2.三角形-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

4 中考总复习·数学 2.三角形 知识梳理 知识点一三角形的边、角关系 1.(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. (2)分类：三角形按角分类如下：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三角形按边分类如下：三边都不相等的三角形、等腰三角形： 等腰三角形可分为等边三角形、只有两条边相等的三角形， 2.三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第 三边 3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 4.(1)三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角 形的外角.如图1，∠ACD就是△ABC其中的一个外角. (2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°， Q (3)①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 图1 ②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 【知识点三三角形中的重要线段 1.(1)在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线；三角形 的三条中线交于二点，这点称为三角形的重心.如图2，点G为△ABC的重心 (2)连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中 位线平行于第三边，且等于第三边的一半.如图3，DE∥BC且DE=)BC. (3)周长问题：如图2所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质 上就是AB与AC的差. (4)面积问题 ①如图2，AD,BE,CF是△ABC的中线，则SA=SAMm=SA=SE=Sc=SAw=号SABc, 2 Sae=Sac=Saa=Saim=Sa-=Saa=石SaR ②如图4，AD是△ABC的中线，将△ABD沿AD翻折，DE交AC于点F,则S△m= SADFC- 126 第二部分图形与几何 图2 图3 图4 2.(1)在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间 的线段叫作三角形的角平分线 (2)如图5，三角形的三条角平分线交于一点，且交点在三角形的内部. (3)如图6，BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线，则LBPC=90°+】∠A: 如图7，P,CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线，则∠BPC=90-∠A: 如图8，BP是∠ABC的平分线，CP是LACD的平分线，则LBPC=号∠A. s 图5 图6 图7 图8 3.(1)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作 三角形的高线，简称三角形的高 (2)如图9，锐角三角形的三条高线交于一点，且交点在三角形的内部；如图10，直角 三角形的三条高线交于一点，且交点在直角三角形的直角顶点处；如图11，钝角三角形的 三条高线的延长线交于一点，且交点在三角形的外部. (E 图9 图10 图11 知识点三全等三角形 1.三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就完全确定了，三角形的这个性质叫 作三角形的稳定性. 127 中考总复习·数学 2.(1)能够完全重合的两个图形叫作全等形， (2)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等」 3.三角形全等的判定方法 (1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”). (2)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或 “SAS”) (3)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 “ASA”)· (4)角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角 角边”或“AAS”). (5)斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 写成“斜边、直角边”或“HL”) 4.不能用“SSA”判定三角形全等：有两边及其一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA”作为三角形全等的判定.如 图12，在△ABC和△ABD中，AB=AB,AC=AD,两条边对应相等，并且B2 边AC,AD所对的角∠B=∠B,很显然，△ABC和△ABD不全等 图12 知识点四■ 角的平分线与线段的垂直平分线 1.角的平分线 (1)性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， (2)判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 2.线段的垂直平分线 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， (2)判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 知识点五等腰三角形 1.(1)等腰三角形的性质 ①性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）· ②性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线相互重合.习惯上 称作等腰三角形“三线合一”性质. ③性质3：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴 (2)等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）· (3)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A,底角为∠B,∠C,则∠A=180°-2∠B, 128 第二部分图形与几何 ∠B=∠C=180°-∠A 2 2.(1)等边三角形的性质 ①性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. ②性质2：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴 (2)等边三角形的判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 【知识点六直角三角形 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.两个内角互余的三角形是直角三角形 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 5.勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则= b2+c2 6.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足+b2=c2,那么这个三角形是 直角三角形 7.满足+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 城 考点精梳 考点一三角形的相送概念 例1(2025宽城区期末)已知三角形两边的长分别是4和10，则这个三角形第三边的 长可能是() A.4 B.5 C.6 D.7 例2(2024霍邱县期末)如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点 C在射线BD上向右移动，则() A.△ABC将先变为直角三角形，然后再变为锐角三角形，而不会再 是钝角三角形 D B.△ABC将变为锐角三角形，而不会再是钝角三角形 例2题图 C.△ABC将先变为直角三角形，然后再变为锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝 角三角形 D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角 129 中考总复习·数学 形，然后再次变为钝角三角形 例3(2025朝阳区期末)如图，在△ABC中，点D为边BC上任意一 点（点D不与点B、点C重合），点E,F分别是线段AD,CE的中点.若 △ABC的面积为8，则△BEF的面积为() A B.2 D.3 例3题图 【考点二全等三角形的判定与性质 例1(2024泰山区期末)如图，点D,E分别在线段AB,AC上， CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下条件仍不能判定△ABE≌ △ACD的是（) A.∠B=∠C B.BE=CD 例1题图 C.BD-CE D.AD-AE 例2(2023江阳区校级期中)如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与 BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,CO.有以下结论：①AD= BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④∠AOB=60°；⑤△CPQ为等边三角形； ⑥CO平分∠BCD.其正确结论的序号是 例2题图 考点三角的平分线的性质及判定 例1(2025高青县期末)如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分 别是20,30,40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则SAMo: SARCO :S△cio等于（） A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 例1题图 例2(2024盐山县期末)如图，直线1,12，，表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 例2题图 【考点四垂直平分线的性质及判定 例1(2025三原县二模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，BC= 6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线 交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为() B A.4cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 例1题图 130 第二部分图形与几何 例2(2025鼓楼区期末)如图，在河岸m上建一个水厂，向两个 村庄P,Q供水，若水厂到两个村庄P,Q的距离相等，则水厂应建在 () A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 例2题图 考点五等腰角形的相关概念 例1(2023任城区期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶 角的度数是 例2(2024头屯河区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5, D BC=8,点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC 于点E,则PD+PE的长是（) A.2.4 B.4.8 C.5.2 例2题图 D.6.4 考点六等边三角形的相关概念 例1(2024昆明期末)如图，将等边三角形APQ的边 PQ向两边延长，使PB=QC=PQ,则∠BAC的度数为(） A.1209 B.110° C.100° D.90° 例1题图 例2(2025杨浦区月考)如图，在等边三角形ABC中，D,E分别 为AB,AC边上的动点，BD=2AE,连接DE,以DE为边在三角形ABC内 作等边三角形DEF,连接CF,当点D从点A向点B运动（不运动到点B) 时，∠ECF大小的变化情况是 (填“变大”“变小”“不变”或 “先变大后变小”).请说明理由. 例2题图 131 中考总复习·数学 【考点七直角三角形的相关概念及其应用 例1(2025荔湾区期末)△ABC的三条边分别记为a,b,c,三个内角分别记为∠A, ∠B,∠C,则由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是() A.a:b:c=1:1:V3 B.(b-c)(b+c)=a2 C.∠A+∠B=2∠C D.a=2,b=3,c=4 例2(2025荔湾区期末)如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于 点D,以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC,满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用 同样的方法作Rt△FGC,∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC,∠HCI=90°.若AC=a, 求CI的长， 0 例2题图 易错点精析 了易错点一误用中线的性质 例如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的 中点，且S△MBc=16cm2,则S阴影=cm2 【错解】8 【错点分析】由条件“点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点” D 可知AD,BE,CE,BF分别为△ABC,△ABD,△ACD以及△BCE的 例题图 中线.根据“等底等高的两个三角形面积相等”可得Sa号Sam,Sam分5，Sa }Sem,同理可得Sam号Sa0,即Sas=子5am4em由于有的同学不能掌据中线性质， 即三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形，而不能对这类图形的面积加以转化 【正解】4 132 第二部分图形与几何 易错点二对定理理解不透彻 例如图，已知BC=BD,∠ACB=∠ADB.求证：AC=AD. 【错解】如图1，连接AB,.AB=AB,∠ACB=∠ADB,BC=BD ∴.△ABC≌△ABD(SAS),∴.AC=AD. 【错点分析】本题连接AB,将四边形转化为三 例题图 角形，利用“SAS”证明△ABC和△ABD全等，但 实际上却是用了不能判定三角形全等的“SSA”,从 而导致解题错误， B 【正解】如图2，连接CD.BC=BD,∴.∠BCD= ∠BDC.∠ACB=∠ADB,∴.∠ACD=∠ADC,AC= 图1 图2 AD. 例题答图 【易错点三分不清直角三角形的斜边和直角边 例在Rt△ABC中，∠A=90°，a=13cm,b=5cm,求以c为边长的正方形的面积. 【错解】由勾股定理得c2=2+b2=132+52=194,∴.以c为边长的正方形面积为c2=194cm2, 【错点分析】上面解法中，忽视了题中∠A=90°这一条件，由于∠A=90°，.斜边应为α， 而不是c 【正解】.∵∠A=90°，∴.c2+b2=a2,∴.c2=2-b2=132-52=144,∴.以c为边长的正方形面积为c2= 144cm2, 【易错点四不区分锐角型或钝角型等腰三角形 例已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角 形的顶角是 【错解】如图1所示∠A=50°. 图1 图2 例题答图 【错点分析】解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时，一腰的垂 直平分线与另一腰的交点位置不同，所以应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论 133 中考总复习·数学 【正解】①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示.EF为AB的垂直平分线， .∠AEF=90°.又∠AFE=40°，.∠A=180°-90°-40°=50° ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示.：EF为AB的垂直平分线， ∴.∠AFE=90°.又∠AEF=40°，∴.∠EAF=180°-90°-40°=50°， .∠BAC=180°-50°=130°.综上所述，等腰三角形的顶角为50°或130°， 易错点五不区分等腰角形顶角顶点和底角顶点 例如图，平面直角坐标系内有一点A(2,-1),0为原点，P是x轴 上的一个动点.如果以点P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形，那么 符合条件的动点P的个数为个 【错解】若三角形是等腰三角形，则OP=OA,∴.符合条件的动点P有 例题图 两个 【错点分析】判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为 顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整.因此，本题应根据题意，结合图形，分三种情况讨论 【正解】如图，分三种情况讨论：①若点P为顶角顶点，O,A 为底角顶点，则PO=PA,符合条件的动点P为P;②若点O为顶角 顶点，P,A为底角顶点，则OP=OA,符合条件的动点P为P2,P3; ③若点A为顶角顶点，O,P为底角顶点，则AP=AO,符合条件的动 例题答图 点P为P4.综上所述，符合条件的动点P的个数共有四个. 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)下列长度的各组线段中，能构成三角形的是() A.3,9,13 B.6,8,15 C.5,7,12 D.4,5,6 2.（★)）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB 的平分线，DE⊥AB于点E,AB=a,CD=m,则AC的长为() A.2m B.a-m C.a D.a+m 第2题图 3.(★)如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC 于点E,若AE=4,则AC的长为() A.6 B.8 C.10 D.12 4.(★)数学课上，老师要求同学们只选择一种工具来判断已经给出 的两个三角形是否全等.同学们有以下几种方案：甲：直尺（带有刻度）； 第3题图 乙：圆规；丙：量角器.你认为三种方案中不可行的是() 134 第二部分图形与几何 A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 5.(★)到三角形三个顶点的距离相等的点是( A.三条角平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三边上的高所在直线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 6.(★)已知a,b,c是△BAC三边长，且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么() A.M>0 B.M=0 C.M<0 D.不能确定 7.(★)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交于AD点G,交BE于点H,给出下列四个结论：①△ABE的面积等于△BCE的面积： ②∠AFG=∠AGF:③∠FAG=2∠ACF;④AF=DG.其中正确结论有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 As--L6 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.(★)如图，在正方形ABCD中，AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点 P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运 动时间为ts,当△ABP和△DCE全等时，t的值为() A.3 B.5 C.7 D.3或7 9.(★)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲， 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形， 设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25，则小 正方形的边长为() A.9 B.6 C.4 D.3 10.(★)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与 ∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个数量关系是() A.∠A=∠1+∠2 B.3∠A=2∠1+∠2 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2) 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)自行车的三角形支架是利用三角形具有 性 12.(★)在△ABC中，AB=13,BC=15,AC=14,则△ABC的面积为 13.(★)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于号AB 第13题图 135中考总复习·数学 .MN∥PQ,.HS∥PQ,.∴.∠NGH=∠GHS,∠EHS= ∠HEO,.∴.∠GHE=∠GHS+∠EHS=∠NGH+∠HEO. ,∠NGD与∠DEQ的平分线相交于点H, 由②可知，∠NGH=号(15°+a),∠0BH=号(75 a).∠GHE=∠NGH+∠HB0-3I5e+2(75-e)=45r. ..∠GHE不可能为30°. 2.三角形 腿考点精梳 考点一三角形的相关概念 例1D【解析】设此三角形第三边的长为x,根据三 角形的三边关系得10-4<x<10+4,即6<x<14.观察选项 只有选项D符合题意，故选D. 例2D【解析】根据∠A的变化规律可知，△ABC先 由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着 又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形，故选D. 例3B【解析】.点E是线段AD的中点，.S△4= S△B,S△iBr=S△DEr,.S△Ea+S△EC=S△ABB+S△ic,'.S△DE+S△Ec= 之Sae△ABC的面积为8，S=Sa+Sa号8=4 :点F是线段CE的中点，S=5-2.故选B. 考点二全等三角形的判定与性质 例1B【解析】已知AB=AC,∠A为公共角，如添加 ∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD,A正确； 如添加BE=CD,.利用SSA不能证明△ABE≌△ACD,.B 错误；如添加BD=CE,根据等量关系可得AD=AE,利用 SAS即可证明△ABE≌△ACD,C正确：如添加AD=AE, 利用SAS即可证明△ABE≌△ACD,D正确.故选B. 例2①②③④⑤【解析】：△ABC和△DCE是等边三 角形，..BC=AC,DE=DC=CE,∠DEC=∠BCA=∠DCE=60° AC=BC, ·.∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, DC=CE. .△ACD≌△BCE(SAS),AD=BE,①正确.△ACD≌ △BCE(已证)，∴.∠CAD=∠CBE..'∠ACB=∠ECD=60 (已证)，∴.∠BCQ=180°-60°×2=60°，.∴.∠ACB=∠BCQ=60°. I∠CAD=∠CBE, 在△ACP与△BCQ中，AC=BC, .∴.△ACP≌△BCO ∠ACB=∠BCQ, (ASA),AP=BQ,③正确.△ACP≌△BCQ(已证)， ∴.PC=QC,∴.△PCQ是等边三角形，∴.∠CPQ=60°， ∠ACB=∠CPQ,∴PQ∥AE,②正确.：∠ACB=∠DCE=60°， .∠BCD=60°.：△DCE是等边三角形，.∠EDC=60°= ∠BCD,.BC∥DE,∴.∠CBE=∠DEO,.∠AOB=∠DAC+ ∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，④正确..·△CBQ≌ △CAP,.CP=CQ.又.∠BCQ=60°，∴.△CPQ是等边三角 形，⑤正确.如图，过点C作CH⊥AD于点H,CG⊥BE于 点G.△ACD≌△BCE,.CH= CG,∴OC平分∠A0E,.∠A0C= ∠EOC,∴.∠OCH=∠OCG,∴. ∠OCH+∠BCH≠∠OCG-∠QCG, A 即∠BC0≠∠DC0,.C0不平分 例2答图 LBCD,⑥错误.综上所述，正确结论的序号是①②③④⑤. 考点三角的平分线的性质及判定 例1C【解析】利用角平分线上的一点到角两边的 距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底分别是20， 30,40,.面积之比就是2：3：4.故选C 例2D【解析】如图，作直线 41,2,4所围成的三角形的外角平分 线和内角平分线，外角平分线相交于 点P,P,P,内角平分线相交于点 P4,根据角平分线的性质可得到这4 个点到三条公路的距离分别相等，故 例2答图 选D. 考点四垂直平分线的性质及判定 例1C【解析】如图所示， 连接AM,AN.AB=AC,∠A 120°，∠B=∠C=180,120°=30. 2 ME垂直平分AB,.BM=AM, 则∠MAB=∠B=30°.同理，可得 例1答图 AN=NC,∠NAC=∠C=30°.在△BAM和△CAN中， ∠B=∠C, AB=AC, ∴.△BAM≌△CAN(ASA),.AM=AN.又 ∠MAB=∠NAC, ∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=120°-30°-30°=60°， △MAW为等边三角形，∴MN=AM=AN=BM=NC,∴MW= 号BC=写x62(em,故选C 3 例2B【解析】：水厂到两个村庄P,Q的距离相等， 水厂应在线段PQ的垂直平分线上，故选B. 考点五等腰三角形的相关概念 例170°或110°【解析】①当顶角 是锐角时，如图1所示，BD是△ABC 的高线，.∠A+∠ABD=90°.：∠ABD= 20°，∠A+∠ABD=90°，∴.LA=70°，即当 顶角是锐角时，顶角的度数是70°.②当 顶角是钝角时，如图2所示，FH为 图1 △EFG的高线，∴.∠FHG=90°. ∠HFE=20°，∠FHG=90°， 、、、E ∠FEG=∠HFE+∠FHG=110°， 即当顶角是钝角时，顶角的度F >G 数是110°.综上可知，等腰三角 图2 形的顶角为70°或110° 例1答图 例2B【解析】如图，过点A作AF⊥BC于点F,连 接AP.在△ABC中，AB= AC=5,BC=8,.BF=4.在 △ABF中，AF=VAB2-BFP =3,S△i=S△4BP+S△4P, B P 号8x3=灯0+分5x 例2答图 PE,12=×5x(PD+PE),FPD+PE=4.8故选B. 考点六等边三角形的相关概念 例1A【解析】△APQ为等边三角形，PQ=AP= AQ,∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.PB=QC=PQ,.BP=QC= PQ=AP=AQ,.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.∠B+∠BAP= ∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,.∠BAP=∠QAC=30°，· ∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.故选A. 例2解：不变理由：设AE= a,则BD=2AE=2a,在CA上截取 CN=AE=a,连接FW,如图所示.： △ABC是等边三角形，AB=AC, ∠A=60°，.∴AD=AB-BD=AB-2a NE=AC-(CN+AE)=AB-2a,.AD=NE 在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°- 例2答图 ∠A=120°..△DEF是等边三角形，.DE=EF,∠DEF=60°， ..∠AED+∠NEF=180°-∠DEF=120°，∴.∠ADE=∠NEF.在 AD-NE, △ADE和△NEF中，∠ADE=∠NEF,·.△ADE≌△NEF DE-EF. (SAS),·.∠A=∠EWF=60°，AE=NF=a,∴CN=NF=a, ∠NFC=∠ECF'∠ENF是△NFC的外角，∴.∠ENF= ∠NFC+∠ECF,∴2∠ECF=60°，.LECF=30°.综上所述， LECF的大小不发生变化，始终等于30， 考点七直角三角形的相关概念及其应用 例1B【解析】a:b:c=1:1:V3,设a=k,b=k, c=V3k,∴d2+b2=k2+k2=2k2,c2=(V3k)2=3k2,∴a2+b2≠c2, .∴.△ABC不是直角三角形，A错误；(b-c)(b+c)=a2,b2- c2=a2,.b2=+c2,△ABC是直角三角形，B正确；∠A+ ∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°，∴.2∠C+∠C=180°， ∠C=60°，∴.∠A+∠B=120°，∴.△ABC不是直角三角形，C 错误；.a2+b2=-22+32=13,c2=42=16,.a+b2≠c2,.△ABC不 是直角三角形，D错误.故选B. 例2解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，. ∠A=90°-30°=60°..CD⊥AB,.∠ADC=90°，∴.∠ACD=30 在R△ACD巾，AC=,AD=a,由勾股定理得CD= V-2=.同理，得化=×a- CH=V3x30=3V3a.在Rt△HC1中，∠1=30，：Ⅲ= 参考答案 2Hc34,由勾股定理得cV343 ■优题精练 1.D2.B3.B4.C5.D6.C7.C8.D9.D 10.C 11.稳定12.8413.1614.315.20 16.解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-63°-51°=66°. :AE是∠BAC的平分线，∠EAC=)LBAC=33 2 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C-90°-51°=39°， .∠DAE=∠DAC-∠EAC=39°-33°=6°. 17.解：0为AD,BC的中点，AO=D0,B0=C0. A0=D0, 在△AOB和△D0C中，∠AOB=∠D0C,.△AOB≌ BO=CO, △DOC(SAS),AB=CD, .只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径 18.解：.△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°， ∠BCD=∠DBC=30°. △ABC是边长为3的等边三角形，.∠ABC=∠BAC= ∠BCA=60°，∴.∠DBA=∠DCA=90°. 4 如图，延长AB至点F,使 BF=CN,连接DF 在△BDF和△CND中， BF=CN. .∠FBD=∠DCN,.△BDF≌ D DB=DC, 第18题答图 △CND(SAS),∴.∠BDF=∠CDN,DF=DN. .∠MDN=60°，∴.∠BDM+∠CDN=60°，.∴.∠BDM+ ∠BDF-60°. MD=DM. 在△DMN和△DMF中，：∠MDN=∠FDM,∴.△DMN≌ DN=DF. △DMF(SAS),MW=MF,.△AMN的周长=AM+AW+MN= AM+MB+BF+AN=AB+AC=6. 19.(1)解：.∠ACB=90°，AC=BC,.∠BAC=∠ABC= 45. AB-4V2.BC=AC=4V2xV2-4. 2 在Rt△BCE中，CE=VBE-BC=V52-4P=3. .AE=AC-CE=4-3=1. (2)证明：如图，过 点C作CM⊥CF交BD于 点M. .'∠ACB=∠FCM=90°， .∠ACF=∠BCM .∠ACB=∠AFE=90°， 第19题答图 中考总复习·数学 ∠BEC=∠AEF,.∴.∠FAC∠MBC. ∠ACF∠BCM, 在△ACF和△BCM中， AC-BC. .△ACF≌ ∠FAC=∠MBC, △BCM(ASA),∴.FC=MC .∠MFC=∠FMC=45°，∴.∠DFC=180°-45°=135°， ∠AFC-90°+45°=135°，∴.∠DFC=∠AFC (AF-DE 在△ACF和△DCF中，∠AFC=∠DFC,.△ACF≌ CF=CF, △DCF(SAS),.AC=DC AC=BC,∴.DC=BC. 20.解：(1)如图1，连接BE,CD相交于点H. △ABD和△ACE都是等腰直角三角形， .AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，.AB=AD= AC=AE,∠CAD=∠BAE,.△ACD≌△AEB(SAS), ∴.CD=BE,∠ADC=∠ABE,∴.∠BDC+∠DBH=∠BDC+ ∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD= 90°，∴∠BHD=90°，.CD LBE. :点M,G分别是BD,BC的中点，：MGL}CD.同 2 理，NGZ RE,MG=NG,AGLNG. 图1 图2 图3 第20题答图 (2)如图2，连接CD,BE,相交于点H,同(1)的 方法，可得MG=NG,MG⊥NG,即小明发现的结论还成立. (3)如图3，连接EB,DC,延长线相交于点H,同 (1)的方法，可得MG=WG. 同(1)的方法，可得△ABE≌△ADC,∠AEB= ∠ACD ∴.∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+18O°-∠ACD-∠ACE= ∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，.∠DHE=90°.同(1) 的方法，可得MG⊥NG,.△GMN是直角三角形. 3.四边形 考点精梳 考点一多边形 例1B【解析】三角形是边数最少的多边形，A正 确；长方形不是正多边形，B错误；n边形有n条边、n个 顶点、n个内角和2个外角，C正确；六边形从一个顶点 出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，D正确， 故选B. 例2540°或360°或180°【解析】剪掉多边形的一个 角，则所得新的多边形的边数可能增加1，可能不变，也 可能减少1，据此再根据多边形的内角和定理即可求解.n 边形的内角和是(n-2)·180°，若所得新的多边形的边数增 加1，则新的多边形的内角和是(4+1-2)×180°=540°，若所 得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4- 2)×180°=360°，若所得新的多边形的边数减少1，则新的多 边形的内角和是(4-1-2)×180°=180°，因而新多边形的内 角和是540°或360°或180°. 例3540【解析】从某个多边形的一个顶点出发的对 角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形，·该多边 形的内角和是3×180°=540°. 考点二平行四边形的性质与判定 例1B【解析】四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=6,A0=CO=1AC,BO=D0=1BD.AC+BD=16, 2 2 ∴.A0+B0=8,.△AB0的周长=A0+B0+AB=8+6=14,故 选B. 例2B【解析】如 D 图，连接AC与BD相交 于点O,在口ABCD中， OA=OC,OB=OD,要使 四边形AECF为平行四 边形，只需证明得到 例2答图 OE=OF即可.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF, A不符合题意；若AE=CF,则无法判断OE=OF,B符合题 意；若AF∥CE,能够利用“AAS”证明△AOF和△COE 全等，从而得到OE=OF,C不符合题意；若∠BAE=∠DCF, 能够利用“ASA”证明△ABE和△CDF全等，从而得到 DF=BE,然后同A选项，故D不符合题意.故选B. 例3解：：四边形ABCD是平行四边形 ..AO=CO,BO=DO,AB=DC,AD=BC. .'△AOB的周长是38cm,△BOC的周长是30cm, △ABC的周长是44cm,△BCD的周长是52cm, .AB+OA+OB=38①，BC+OB+OC=30②，DC+BC+BD 52③，AB+BC+AC=44④， ∴.①-②得AB-BC=8,③+④-①-②得AB+BC=28, 解得AB=18cm,BC=10cm,即AB=DC=l8cm,AD=