2.整式-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

19.解：(1).A,B两点间的距离为10，点A表示的 数为6，.6-10=4，即点B表示的数是-4. :动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿 数轴向左匀速运动， .点P表示的数是6-6t. (2)①·动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的 速度沿数轴向右匀速运动， ∴.点Q表示的数是-4+4t.点P与点Q相遇，∴.6-6t= -4+4t,解得t=1. 答：当点P运动1s时，点P与点Q相遇. ②点P表示的数是6-6t,点Q表示的数是-4+4t, (6-6)-(-44=8,解得=号或=号 答：当点P运动s或号s时，点P与点Q间的距离 为8个单位长度， 20.解：(1)设经过xs,点A,B之间的距离等于3 个单位长度， 则1(-3+x)-(12-2x)=3,解得x=4或x=6. 答：经过4s或6s,点A,B之间的距离等于3个单 位长度. (2)设经过xs,点A,B到原点的距离之和为y,则 y=l-3+xl+l12-2x. 当x≤3时，y=l3+x+12-2x=3-x+12-2x=-3x+15; 当x=3时，y=6;当3<x≤6时，y=-3+x+l12-2x=-3+ x+12-2=-x+9; 当x=6时，y=3；当x>6时，y=-3+x+12-2x=-3+x- 12+2x=3x-15. 综上所述，点A,B到原点距离之和的最小值为3. 2.整式 腿考点精梳 考点一列代数式 例1C【解析】若汽车行驶的速度是akm/h,则6a 表示这辆汽车行驶6h的路程，A正确；若某水果的价格 是6元/kg,则6a表示买akg该水果的金额，B正确；若 一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a,则60+ a表示这个两位数，C错误；若一个圆柱的底面积为a,高 为6，则6a表示这个圆柱的体积，D正确.故选C 例2B【解析】十位数字为a,个位数字为b,这个 两位数可以表示为10a+b,故选B. 例3C【解析】根据代数式的运算顺序解释其意义， 0.8(x-15)表示在原价的基础上减15元后再打八折，故 选C. 考点二代数式求值 例18【解析】解决此类问题容易出现符号方面的错 误或不能将代数式看成一个整体，没有思路，无从下手.解 答这类问题时应用整体思想，对问题进行整体处理，往往 可使利用常规方法不易求解的问题得到解决.本题就是将 参考答案 2m-3n看成一个整体，将代数式m(n-4)-n(m-6)变形为 含有2m-3n的式子，即可求得结果.具体的解法为当2m- 3n=-4时，原式=mn-4m-mn+6n=-4m+6n=-2(2m-3n)=-2× (-4)=8. 例26【解析】xy+x2=xy(x+y),x+y=3,y=2,x=1, .原式=1×2x3=6. 考点三整数指数幂的运算 例1-2或0或2【解析】幂的值为1有三种情况： ①非零实数的零次幂等于1；②1的任何次幂等于1；③-1 的偶次幂等于1.当x-1≠0且+2=0时，原式成立，即= -2;当x-1=1时，原式成立，即x=2:当x-1=-1时，x+2= 2是偶数，原式成立，即x=0.综上所述，x的值为-2或0 或2. 例2B【解析】a2与-a不是同类项，无法合并，A不 符合题意；aa2=d,B符合题意；(d)3=,C不符合题 意；(2ab2)=8ab,D不符合题意.故选B. 考点四探索规律 例120【解析】解决此问题，需先数出每组图形的 个数，之后对比不同组图形个数，计算其差值，分析规律 并计算.第1个图中小球的个数为1，第2个图中小球的个 数为3=1+2，第3个图中小球的个数为6=1+2+3，第4个 图中小球的个数为10=1+2+3+4.由此推断，第n个图中小 球的个数为1+2+3+…+n=n(n+1).当共有210个小球时， 2 即nn+l)=210,解得n=20或n=-21(不符合题意，舍 2 去)，因此第20个图形中有210个小球. 例2A【解析】第1个式子为3a=3a,第2个式 子为9a=32·a2°，第3个式子为27a=33·+,第4个式子 为81a=34a,…,.第n个式子为3a.故选A. 考点五整式的综合运算 例1解：原式=a2-1+a2+1=2a2.当a=V3时，原式=2× (V3)=6. 例2解：原式=x2+2y+y2+x2-2xy=2x2+y2.当x=1,y=-2 时，原式=2×12+(-2)2=6. 例3解：原式=[(4a2+4ab+b2)-(4a2-b2)]÷2b=(4a2+ 4ab+b2-4a2+b2)÷2b=(4ab+2b2)÷2b=2a+b.当a=2,b=-1时， 原式=2x2+(-1)=3. 考点六因式分解 例1D【解析】解题的关键是能否按照因式分解的一 般步骤进行解题：①多项式的各项有公因式时，先提公因 式；②各项没有公因式时，看看能否用公式法因式分解； ③因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止.因此 本题可直接提取公因式x,再利用平方差公式因式分解， 即x-x2=x(1-x2)=x(1-x)(1+x).故选D. 例2C【解析】A选项，从左到右是整式乘法，不是 因式分解，故该选项不符合题意；B选项，等号的右边不 是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合 中考总复习·数学 题意；C选项，从左到右是因式分解，故该选项符合题 意；D选项，等号的右边不是几个整式的积的形式，不是 因式分解，故该选项不符合题意.故选C. ■优题精练 1.D2.D3.A4.C5.C6.A7.D8.B9.D 10.D 11.(9x+8y)12.202313.4014.28或3615.18 16.解：(1)x6.(2)4x+3.(3)-3ab.(4)b2+ 2bc+c2-4a2. 17.解：(1)(x+2)x-x-2=(x+2)(x-1).(2) 3m448=3(m2+4)(m+2)(m-2).(3)ab44ab3+4ab2-ab2(b 2)2.(4)-2.x2y+16xy-32y=-2y(x-4)2. 18.解：(1)原式=x2-1+4x24x+1-4x2+2x=x2-2x 把x=V2+1代入，得原式=(V2+1)2-2(V2+1)=3+ 2V2-2V2-2=1. (2)[(2x+y)(2x-y)-y(3x-y)]÷(2x)=(4x2-y2-3xy+2)÷ (2x)-(4-3)(2)=4(2)-3y4(2)-2- 当=写2时.原式-2x写×2了 3 19.解：【尝试】(1)由题意得前4个台阶上的数的 和是-5-2+1+9=3. (2)由题意，得-2+1+9+x=3,解得x=-5,则第5个台 阶上的数x是-5. 【应用】由题意知台阶上的数字是每4个一循环， .31÷4=7…3, .7x3+1-2-5=15,即从下到上前31个台阶上的数的和为15. 【发现】数“1”所在的台阶数为4k-1. 20.解：(1)观察图1可知，每增加一块正方形地砖， 等腰直角三角形地砖增加2块. (2)观察图2可知，中间一个正方形的左上、左边、 左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了 个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6= 3+2×1+1=4+2×1.图3和图1中间正方形的右上和右下都对 应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3： 8=3+2×2+1=4+2×2.归纳得4+2n(即2n+4),∴若一条这样 的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直 角三角形地砖的块数为2n+4. (3)由规律知，等腰直角三角形地砖块数(2+4)是 偶数，.2023-1=2022（块）. 再由题意，得2n+4=2022,解得n=1009,:.等腰直角 三角形地砖最少剩余1块，需要正方形地砖1009块. 3.分式 腿考点精梳 考点一分式的概念 例1C【解析】根据分式有意义的条件是分母不能为 0,若要分式有意义，则分母不能为0.≥0，则+ 1≥1，可为任何实数，故选C. 例2C【解析】由题意得(x+1)(x-1)=0,则x=±1， 故选C. 例3D【解析】根据题意，得90解得=3，故 x+3≠0. 选D. 考点二分式的基本性质 1A【解折根据分式的基本任质可得品器， 222,分子扩大为原来的4格，分母扩大 为原来的2倍，因此分式的值整体扩大为原来的2倍，故 选A. 2D【解析】当=0时，子-招则A不符合题 意：：无法约分，则B不符合题意；当c≠0时，公能， 则C不符合题意；2y=-24,则D符合题意.故选D. 例3B【解析】分子、分母同时乘以10即可把分式 的分子、分母的系数化为整数，放号。故 选B. 考点三分式的运算 例1C【解析】分式的混合运算，应该是先算乘方， 再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里面的，且运 算结果必须化为最简分式.因此本题可根据分式的减法和乘 法法则来解答，同时要通过因式分解进一步约分化简，得 到最简分式.原式=x+》.(x-y)(x+y)=(x+y)-(y) (x-y)(x+y) =x+y-x+y=2y,故选D. 例2B【解析】原式=a+3)a-3】÷2-7a+9= a a (a+3)(a-3):（(a-32=(a+3)(a-3).a a =a+3.故选B. a a (a-3)2a-3 ■优题精练 1.B2.A3.C4.D5.A6.C7.A8.D 9.B10.D 1.0(答案不唯-）120013.14.号 2a+3b 100+p 5 16解：原式=音音4 当时，原式品子 17:原式8点228 -44.8。-2=3,2,=±2，-2时分式无 x-2(x-2)24x-2 意义，舍去，∴x=-2. 当=-2时，原式名2号中考总复习·数学 2.整 式 知识梳理 知识点一代数式的有关概念 1.代数式 (1)用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式. (2)用具体数值代替代数式中的字母，按代数式指明的运算，计算后所得的结果叫作代 数式的值， 2.整式的有关概念 (1)单项式与多项式统称整式： (2)由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式（单独一个数或一个字母也是单项式）. 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，单项式中的所有字母的指数和叫作这个单项式 的次数 (3)几个单项式的和叫作多项式.在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中次数 最高的项的次数叫作这个多项式的次数.不含字母的项叫作常数项， (4)所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项. 知识点三整式的运算 1.整式的运算法则 (1)合并同类项法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变， (2)去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的 符号都不改变：括号前是“”，把括号和它前面的“_”去掉后，原括号里各项的符号都要 改变， 2.幂的运算性质 (1)同底数幂的乘法：am·a=(m,n都是整数，a≠0). (2)幂的乘方：(d)=am(m,n都是整数，a≠0). (3)积的乘方：(ab)"=db(n是整数，a≠0，b≠0) (4)同底数幂的除法：d"÷d=(m,n都是整数，且m>n,a≠0) (5)零指数幂：a=1(a≠0). (6)负指数幂：ar=」(a≠0，p是正整数). 0 第一部分数与代数 3.整式的乘法 (1)单项式乘多项式：m(a+b)=ma+mb. (2)多项式乘多项式：(a+b)(c+d)=c+ad+bc+bd. (3)乘法公式 ①平方差公式：(a+b)(a-b)=2-b2. ②完全平方公式：(a+b)2=2+2ab+b2;(a-b)2=2-2ab+b2. 4.整式的除法 (1)单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除 式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式 (2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商 相加. 【知识点三因式分解 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解.因式分解与整式乘法是互逆 运算. 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.公因式系数是各项系数的 最大公约数，相同字母取最低次幂 3.因式分解中的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);因式分解中的完全平方公式：d±2ab+ b2=(a±b)2 删 考点精梳 考点一列代数式 例1(2025丹东模拟)用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予6a实际意义 的例子中，错误的是（) A.若汽车行驶的速度是akmh,则6a表示这辆汽车行驶6h的路程 B.若某水果的价格是6元kg,则6a表示买akg该水果的金额 C.若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a,则6a表示这个两位数 D.若一个圆柱的底面积为a,高为6，则6a表示这个圆柱的体积 例2(2024福州模拟)一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,那么这个两位数可 以表示为() A.10ab B.10a+b C.106+a D.ab 例3(2024江油期末)为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法 11 中考总复习·数学 是将原价为x元的一批图书以0.8(x-15)元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图 书的促销方法的是() A.在原价的基础上打八折后再减15元 B.在原价的基础上打0.8折后再减15元 C.在原价的基础上减15元后再打八折 D.在原价的基础上减15元后再打0.8折 考点二代数式求值 例1已知2m-3n=-4,则代数式m(n-4)-n(m-6)的值为 例2(2023湖北十堰)若x+y=3,y=2,则xy+y2的值是 考点三整数指数幂的运算 例1(2024菏泽模拟)已知(x-1)2-=1,则整数x的值为 例2(2024四川眉山)下列运算中正确的是() A.a-a=a B.a.a=a C.(a2)3=a D.(2ab2)3=6ab6 口考点四■探索规律 例1下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第 个图形共有210个小球， e e eo e 90 e ee eee eeee 图1 图2 图3 图4 例1题图 例2(2025广西模拟)有一系列式子，按照一定的规律排列成3a2,9a,27a°，81a”,…, 则第n(n为正整数)个式子为() A.3"a B.3"a- C.3nd D.3nd- 考点五 整式的综合运算 例1(2024吉林)先化简，再求值：(a+1)(a-1)+a+1,其中a=V3. 12 ● 第一部分数与代数 例2(2024陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x-2y),其中x=1,y=-2. 例3(2024甘肃)先化简，再求值：[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 考点六因式分解 例1(2024邵阳)下列将多项式x-x3因式分解正确的是() A.x(x2-1) B.x(1-x2) C.x(x+1)(x-1)D.x(1+x)(1-x) 例2(2023常德)下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是() A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x 易错点精析 易错点一列代数式的细节 例某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元， 以后每天收费0.5元，那么一张光盘在出租后第n天(n>2且n为整数)应收费 元. 【错解】0.5n+0.6 【错点分析】本题是中考中最易错的问题之一，主要考查列代数式时需要注意的一些细 节.本题中结果带有单位“元”，若此时代数式为单项式，则不需给代数式加括号，若此时代 数式为多项式，则需给代数式加括号，所以本题的正解为(0.5+0.6).因此归纳列代数式时 需注意的细节：①代数式中出现乘号，通常写作“.”或者省略不写；②数字与字母相乘时， 数字写在字母前面；③除法运算写成分数形式；④当表示和或差而后面有单位时，代数式应 加括号 【正解】(0.5n+0.6) 13 中考总复习·数学 易错点二错用负整数指数幂 例计算： 【错解12-分片日 【错点分析】进行负整数指数幂的运算时，可以根据运算法则将”转化为1，即将负指 数幂变为正指数幂再进行运算.本题错解误用了负整数指数幂的性质，没有将底数取倒数， (正解】号片山士-8 8 易错点三代数式求值的思维定式 例一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为 106,要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 是 输人x 计算3x-2的值 >100 输出结果 否 例题图 【错解】43 【错点分析】本题是考查代数式求值的典型试题，根据图表准确写出运算程序是解题的 关键.本题的难，点也是易错点为求出输入的最小正整数，则直接求当3x-2=127时，x=43,这 个结果不一定是最小正整数值，需要考虑循环运算的因素，才能得出使输出的结果为127时 输入的最小正整数值 【正解】当3-2=127时，=43，当3-243时，=15，当3x-2=15时，=？，不是整 数，∴.输入的最小正整数为15. 【易错点四综合计算中的错误 例计算：-x2.(-x2)2-(-2x2)3 【错解】原式=-x2.x4-(-2)3.(x2)3=-x6-(-6x)=-x+6x=5x6 【错点分析】错解在计算(-2x)3时，字母部分的乘方是正确的，错在系数的乘方，误认 为(-2)3=-6. 【正解】原式=-x2.x4-(-2)3.(x2)3=-x6-(-8x)=-x6+8x6=7x6 4 第一部分数与代数 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)如果单项式2xz2的次数是8，那么n的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(★)下列因式分解正确的是（) A.ax+ay-a=a(x+y) B.a2+b=a(a+b) C.a2+a+1=(a+1)2 D.-a2+b2=(b-a)(b+a) 3.(★)若-xy与xy是同类项，则2m+n的值为（) A.7 B.5 C.3 D.2 4.(★)下面是一名同学做的四道题：①(a+b)2=a2+b2,②(-2a2)2=-4a,③d÷a3=a2, ④a3.a=a2.其中做对的一道题的序号是() A.① B.② C.③ D.④ 5.（★)按一定规律排列的单项式：x,-2x2,3x3,-4x,…,-10x,…,则第n个单项 式（用含n的式子表示）为() A.-nx" B.(-1)"x" C.(-1)"Inx" D.(-1)2nax 6.(★)多项式3xmy3-(m+1)x+2是四次三项式，n是最高次项的系数，则m”的值为 () A.1 B.-1 C.3 D.-3 7.(★)计算-(V2)4(V2+m)4-22的结果是() A.1 B.2 c￥ D.3 8.(★)若-y=2,x-8=,则整式0-z)243(y-z)的值为() 2 A号 B.-9 C.9 D.0 9.(★★)若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘 数”（如4=22-02,12=42-22）.在1~100这100个数中，“神秘数”的个数是（) A.10 B.11 C.12 D.13 10.(★★)从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁 成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么 通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为() 15 中考总复习·数学 图1 图2 第10题图 A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)体育用品商店的每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，学校到体育 用品商店购买9个排球、8个篮球共需 元 12.（★）已知a2-a-2=0,则代数式d-2a2-a+2025= 13.(★)为筹办牡丹花展，植物园设计牡丹的摆放造型.如图是牡丹造型和牡丹盆数 (圆点)的数量规律，那么按照此规律排列，第13个牡丹花造型有 盆牡丹花 (圆点). 图1 图2 图3 B 第13题图 第15题图 14.(★）已知a+b=8,ab2=4,则+b-b= 2 15.(★★)如图，E,F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE,AF为边， 在正方形内部作面积为10的长方形AFGE,再分别以AE,EG为边，作正方形AEPH和正 方形GRQE.若图中阴影部分的面积为61，则长方形AFGE的周长为 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说阴、演算步骤或推理过程） 16.(12分★)化简. (1）-3x2.x4+(-2x3)2; (2)x(x+2)-(x-3)(x+1); 16 ● 第一部分数与代数 (3)(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b); (4)(2a+b+c)(b+c-2a). 17.(12分★)因式分解. (1)(x+2)x-x-2; (2）3m-48; (3)ab4-4ab3+4ab2; (4)-2x2y+16xy-32y. 18.(10分★) (1)先化简，再求值：(x+1)(x-1)+(2x-1)2-2x(2x-1),其中x=V2+1. (2)先化简，再求值：[2x+y)2x-y)-y(3x-y)]÷(2x),其中x=3,y=2 19.(10分★★)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4 个台阶上依次标着-5，-2,1,9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等. 【尝试】(1)求前4个台阶上的数的和是多少. (2)求第5个台阶上的数x是多少 【应用】求从下到上前31个台阶上的数的和. 【发现】试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数. 入 第19题图 17 中考总复习·数学 20.(11分★★★)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角 形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列. 【观察思考】 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2 块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；依此类推 XX.XX☒☒☒ 图1 图2图3 第20题图 【规律总结】 (1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块 (2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地 砖的块数为 (用含n的代数式表示). 【问题解决】 (3)现有2023块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三 角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 18