1.一次函数-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

中考总复习·数学 专题三函 数 1.一次函数 知识梳理 知识点一平面直角坐标系的有关知识 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角 坐标系， 2.点的坐标的概念：对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x 轴、y轴上对应的数a,b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a.b)称为点P的 坐标. 3.各象限内点的坐标的特征 (1)点P(x,y)在第一象限台x>0,y>0. (2)点P(x,y)在第二象限台x<0,y>0. (3)点P(x,y)在第三象限曰x<0,y<0. (4)点P(x,y)在第四象限台x>0,y<0. 4.坐标轴上的点的特征 (1)点P(x,y)在x轴上台y=0,x为任意实数， (2)点P(x,y)在y轴上台x=0,y为任意实数， (3)点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上台x,y同时为零，即点P的坐标为(0.0) 5.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 (I)点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等. (2)点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数. 6.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 (1)位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2)位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. 7.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 (1)点P与点P关于x轴对称台横坐标相等，纵坐标互为相反数. 78 第一部分数与代数 (2)点P与点P关于y轴对称一纵坐标相等，横坐标互为相反数. (3)点P与点P关于原点对称一横、纵坐标均互为相反数. 8.点到坐标轴及原点的距离 (1)点P(x,y)到x轴的距离等于yl. (2)点P(x,y)到y轴的距离等于. (3)点P(x,y)到原点的距离等于V+. 9.横坐标为0，点在y轴上；纵坐标为0，点在x轴上， 知识点三■ 函数的有关知识 1.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的 每一个值，变量y都有唯二的值与它对应，那么我们称y是x的函数.其中x是自变量，使 函数有意义的自变量的全体取值叫作自变量的取值范围， 2.函数的表示方法一般有三种：列表法，图象法，关系式 知识点三一次函数的概念及性质 1.一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫作x的一次函数 特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx(k为常数，k≠0)，这时，y叫作x 的正比例函数. 2.所有一次函数的图象都是一条直线，一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)的直 线，正比例函数y=kx的图象是经过原点的直线： 3.(1)k>0,b>0时，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大. (2)>0、b<0时，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大. (3)k<0,b>0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小. (4)k<0,b<0时，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小 (5)当=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例， 4.确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k.确定 一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b(k≠0)中的常数k和b.解这类问题的一 般方法是待定系数法， 5.直线)=kx+b与x轴的交点坐标为-，0，与y轴的交点坐标为0.b;直线与两 坐标袖附成的角形的面积为8=引女 2ll 6.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作由直线y=hx平移b1个单位长度而得到（当 b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).平移前后飞的值不变，改变的是b的值. 79 中考总复习·数学 知识点四一次函数与方程的关系 1.一次函数和一元一次方程的关系：当一次函数y=kx+b(k≠0)中的函数值为0时， 可得0=kx+b,即kx+b=0,这在形式上变成了求解关于x的一元一次方程.也就是说，当一次 函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx+b=0的解.若从图象上来看， 函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx+b=0的解.由此可见，方程与函数 是密不可分的， 2.一次函数与二元一次方程的关系：若k,b表示常数且k≠0，则y-kx=b为二元一次 方程，有无数个解；将其变形可得y=kx+b,将x,y看作自变量、因变量，则y=kx+b是一次 函数.事实上，以方程y-kx=b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=kx+b的图象相同. 腿 考点精梳 【考点一平面直角坐标系的有关概念 例1(2024北京市朝阳外国语学校月考)在平面直角坐标系中，若点P(m-2,m+1)在 第二象限，则m的取值范围是() A.m<-1 B.m>2 C.-1<m<2 D.m>-1 例2(2024西城区模拟)将点A(3,2)向左平移4个单位长度得点A',则点A'关于y 轴对称的点的坐标是() A.(-3,2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) 例3(2025萧山区期末)小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x 轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1m,则图中 转折点P的坐标表示正确的是() (单位：mm, 1 例3题图 A.(5,30) B.(8,10) C.(9,10) D.(10,10)》 考点二函数的概念和三种表示方法 例1(2025山西模拟)函数)中，自变量x的取值范围是() A.x≠0 B.x<1 C.x>1 D.x≠1 80 第一部分数与代数 例2(2025渭南市一模)据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约 0.05mL.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开 xmin后，水龙头滴出ymL的水，则y与x之间的关系式是() A.y=0.05x B.y=5x C.y=100x D.y=0.05x+100 例3(2025荔湾区期中)小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了 公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶的路程s(单位：m) 与时间t(单位：min)之间函数关系的大致图象是() ◆sm ◆s/m As/m s/m t/min t/min t/min t/min A B D 考点三与函数有关的应用型问题 例1(2025宽城区期中)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃 早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中小明离家的距离y与时间x之 间的对应关系.根据图象，下列说法正确的是() 4y/km A.小明吃早餐用了25min 0.8 0.6 B.小明读报用了30min C.食堂到图书馆的距离为0.8km 8 2528 58 68 x/min 例1题图 D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 例2(2025长沙模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个 边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的 路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B),则△ABP的 面积S随着时间t变化的函数图象大致是() 例2题图 A 考点四一次函数的图象、性质及相关问题 例1(2025新城区期末)已知一次函数y=kx+b-x的图象与y轴的正半轴相交，且函数 值y随自变量x的增大而增大，则飞，b的取值情况为() A.k>1,b<0 B.k>1,b>0 C.k>0,b>0 D.k>0,b<0 81 中考总复习·数学 例2(2024武昌区月考)将直线y=2x-3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位 长度后，所得的直线表达式为() A.y=2x-4 B.y=2x+4 C.y=2x+2 D.y=2x-2 例3(2025沁阳县期中)已知一次函数y=kx+5和y=k'x+7,假设k>0且'<0，则这两 个一次函数的图象的交点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 0 考点五一次函数关系式的确定 例1(2025闵行区三模)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第一、二、三象限，它 的关系式可以是() A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 例2(2025慈溪市期中)声音在空气中的传播速度与温度有关，若传播速度v与温度t 之间满足关系式v=kt+b,且已知当温度为0℃时声音在空气中的传播速度为331ms,当温 度为15℃时声音在空气中的传播速度为340s,则声音在空气中的传播速度与温度之间的 关系式为 例3(2025肇庆期末)已知一次函数y=kx+b的图象经过点M(0,2)和N(1,3). (1)求k,b的值 (2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),求a的值， 【考点六一次函数与方程、方程组及不等式的关系 例1(2025望城区期末)若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直 线)2+6-1上，则常数（) A分 B.2 C.-1 D.1 y=kx+6 Ay y=x+b 例2(2024阜宁县期末)如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点 3.5)￥ P(3,5),则关于x的不等式x+b>kx+6的解集是 例2题图 82 ● 第一部分数与代数 例3(2025渝北区期中)已知一次函数y=ax+2与y=kx+b的图象如图所示，且方程组 ax-y=-2, )-1,点B的坐标为(0，-1).你能确定两个一次丽数的表达式吗？ x=2, 的解为 kx-y=-b 41 y=ax+2 =kx+b 例3题图 【考点七一次函数在实际问题中的应用 例1(2024沈阳模拟)如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分 水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y (cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 s能把小水 杯注满. y/cm 11 图1 图2 例1题图 例2一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间 是一次函数关系，其部分图象如图所示 (1)求y与x之间的关系式（不需要写定义域）. (2)已知当油箱中的剩余油量为8L时，该汽车会开始提示加油.在此次行驶过程中， 行驶了500km时，司机发现离前方最近的加油站有30km的路程，在开往该加油站的途 中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ Ay/L 60 150 x/km 例2题图 83 中考总复习·数学 例3某公司销售智能机器人，售价为10万元/台，进价y与销售量x之间的函数关系 如图所示 4(万元/台) (10,8) (1)当x=10时，公司销售机器人的总利润为 万元. 8 6---1 (30,6) (2)当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式 (3)销售量为多少台时，公司销售机器人的总利润为37.5万元？ 010 30 例3题图 易错点精析 易错点一忍视特殊情况 例若直线y=-2x+m不过第三象限，则m的取值范围是 【错解】m>0 【错点分析】上面解答错误的原因是忽视了正比例函数这种特殊情况，即当m=0时， y=-2x的图象过原点和第二、四象限，也符合题意.因此解题时要注意区分“图象不过第三 象限”与“图象经过第一、二、四象限不是一回事，前者包括过原点，后者不包括过原点 【正解】m≥0 【易错点二忽视一次项系数不能为零 例当m为何值时，y=-(m-2)x-3+(m-4)是一次函数？ 【错解】由m2-3=1解得m=2或m=-2,∴.当m=2或m=-2时此函数为一次函数， 【错点分析】此题出错的原因是没有考虑到一次函数的一次项系数不能为零这一隐含条 件.当=2时，原函数化简为y=-2,不是一次函数，不符合题意，因此要准确掌握一次函数 的定义 m2-3=1, 【正解】由-m-2)≠0 解得m=-2,.当m=-2时，此函数为一次函数. 84 第一部分数与代数 易错点三对一次函数的性质掌握不牢固 例已知一次函数y=kx+b中，自变量x的取值范围是-1≤x≤4，相应函数值的范围 是-3≤y≤2，求此函数的表达式. 【错解】由题意可知，当x=-1时，y=-3:当=4时，y=2.将，=4 分别代入y= y=-3,y=2 -k+b=-3,k=1, kx+b,得 解得 .此函数的表达式为y=x-2. 4k+b=2, b=-2, 【错点分析】此题已知一次函数自变量区间和函数值的对应区间，求其函数的表达式， 解题时容易受“函数值随自变量的值增大而增大”的思维定势影响，只考虑>0时图象上升 这种情况，进而产生错误.因此求解此类问题时应注意>0时图象上升及k<0时图象下降两 种情况 【正解】当k>0时，y随x的增大而增大，∴.当x=-1时，y=-3;当x=4时，y=2.此函数 的表达式为y=x-2.当k<0时，y随x的增大而减小，.当x=-1时，y=2;当x=4时，y=-3. 将.4，分别代人r6.得2解得此函数的表达式为y-+1 3y=2,y=-3 4k+b=-3. b=1, 综上所述，此函数的表达式为y=x-2或y=-x+1. 易错点四忽视取值范围 例汽车离开A地4km后，以20km/h的平均速度前进th,求汽车离开A地的距离s (km)与行驶时间t(h)之间的关系式，并画出它的图象 【错解】由题意，得s(km)与t(h)之间的关系式是s=20t+4.当t=0时，s=4;当t=1 时，s=24.过点(0,4)，(1,24)的直线就是一次函数s=20+4的图象，如图1所示. y/km s/km 3分 10 10 x/h 0 2 t/h 图1 图2 例题答图 【错点分析】由题意可知，变量t表示的实际意义是行驶时间，所以t的取值范围是t≥ 0,因此函数图象不能出现在第三象限.另外，受思维定式的影响，错解没有将直角坐标系中 的变量x,y变换成变量t,s.正确解答如图2. 【正解】由题意，得s(km)与t(h)之间的关系式是s=20t+4.当t=0时，s=4;当t=1 时，s=24.过点(0,4)，(1,24)的直线就是一次函数s=20t+4的图象，如图2所示. 85 中考总复习·数学 【易错点五忽视隐含条件 例如图，周长为24的凸五边形ABCDE被对角线BE 分为等腰三角形ABE及矩形BCDE,且AB=AE=ED.设AB 的长为x,CD的长为y,求y与x之间的函数关系式，写 出自变量x的取值范围，并在所给的坐标系中画出这个函 0246810 数的图象。 例题图 【错解】由四边形BCDE是矩形可得BC=ED,BE=CD,又由AB=AE=ED=x,CD=y,可 得BC=x,∴y与x之间的函数关系式为y=24-4x(0<x<6). 【错点分析】以上解法错误的原因是在求自变量x的取值范围时，忽视了“三角形两边 之差小于第三边，两边之和大于第三边”这一隐含条件，即x≤4时，CD≥8，则△ABE不构 成三角形， 10 =44x 【正解】.·四边形BCDE是矩形，.BC=ED,BE=CD.AB=AE=ED=x, 4x<6 CD=y,.BC=x,BE=y凸五边形ABCDE的周长为24，∴y=24-4x.AB- AE<BE<AB+AE,∴.0<24-4x<2x.∴.自变量x的取值范围是4<x<6.函数的 0246810x 图象如图所示。 例题答图 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★）在平面直角坐标系中，若点P(m-2,m+1)在第二象限，则m的取值范围是 () A.m<-1 B.m>2 C.-1<m<2 D.m>-1 2.(★)一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0) 3.(★)在平面直角坐标系中，函数y=kx+b的图象如图所示，则下列 y=kx+b 判断正确的是() A.k>0 B.b<0 C.kb>0 D.kb<0 0 4.(★)函数y= 1+(x-2°的自变量x的取值范围是(） Vx+1 第3题图 A.x≥-1 B.x>2 C.x>-1且x≠2 D.x≠-1且x≠2 5.(*)已知点(4，，2.)都在直线)=22上，则，为的大小关系是（) A.yi>y B.Yi=Y2 C.yI<y2 D.不能比较 86 第一部分数与代数 6.(★)如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间 的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是() T℃ A.0点时气温达到最低 B.最低气温是零下4℃ C.0点到14点之间气温持续上升 114 14 24t/时 D.最高气温是8℃ 第6题图 7.（★)在平面直角坐标系中，以方程4x-3y=9的解为坐标的点组成的图形是（) y 4 4-3-2- -4-2-11234x 424 -4-3-2-134x C D 8.(★)有一本书，每20页厚为1mm,设从第1页到第x页的厚度为y(mm),则 () 1 A.y=20 B.y=20x 1 C.=20+w D.y=20 9.(★)一次函数y=4x+4分别交x轴、y轴于A,B两点，在x轴上取一点C,使 3 △ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(★)如图，边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形 沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分 的面积为S(阴影部分)，那么S与t的大致图象应为( 第10题图 87得最大值，w敏大=-10×40+3000=2600.答：当购进40件A 种纪念品、60件B种纪念品时，获得的利润最大，最大利 润为2600元. 方程与不等式强化训练 1.A2.B3.C4.A5.C6.D7.A8.A9.C 10.C 11.312.x<-213.202514.2020=6 +106015.1 16.解：(1)去分母，得3(x+15)=15-5(x-7).去括 号，得3x+45=15-5x+35.移项，得3x+5x=15+35-45.合并 同类项，得8=5.方程的两边都除以8，得x=令 (2)解不等式①，得x>-1,解不等式②，得x<4, 不等式组的解集为-1<x<4,.所有的整数解为0,1,2,3. (3)整理，得2x2-7x+6=0,则a=2,b=-7,c=6,4= 649-406=1>0.24-4,-2.号 3 2×2 17.解：两方程相减得x-2y=2m-1,.-1≤x-2y≤3， .-1≤2m-1≤3，解得0≤m≤2. 18.解：设A型机器人每小时搬运xkg原料，则B型 机器人每小时搬运2.5xkg原料 根据题意，得2000-2000=20，解得x=60.经检验， 2.5x x=60为原分式方程的解，则2.5x=150 答：A型机器人每小时搬运60kg原料，B型机器人 每小时搬运150kg原料 19.解：(1)设该校有x名同学报名了半程马拉松， 有y名同学报名了健康跑， 根据题意，得120r+50=690, 21x+3y=69, 解得2， y=9. 答：该校有2名同学报名了半程马拉松，有9名同学 报名了健康跑 (2)设该校参加健康跑人数的增长率为m,根据题意 得4(1+m)2-9. 解得m=0.5=50%,m2=-2.5(不符合题意，舍去). 答：该校参加健康跑人数的增长率为50%， 20.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm,由题 意得(100-2x)(40-2x)=1600,解得x1=10,x2=60(不符合 题意，舍去). 答：剪去的小正方形的边长为10cm. (2)①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小长方形，设收纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为 100-2a=(50-a)cm,宽为(40-2a）cm, ∴.(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58>50(不符合 题意，舍去)， ∴.收纳盒的高为12cm. ②12<15，·不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒。 参考答案 专题三函 数 1.一次函数 腿考点精梳 考点一平面直角坐标系的有关概念 例1C【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数、 纵坐标是正数，列出不等式组求解.：点P(m-2,m+1) 在第二象限，10，解得-1m<2.故选C 例2D【解析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标 的相关结论可得.：将点A(3,2)向左平移4个单位长度 得点A',点A'的坐标为(-1,2)，点A'关于y轴对称 的点的坐标是(1,2)，故选D. 例3C【解析】可先求得点P的 横坐标，再结合图形中相关线段的和 差关系求得点P的纵坐标.如答图，过 A 点C作CD⊥y轴于点D,·.CD=50:2- 16=9,0A=0D-AD=40-30=10, .P(9,10),故选C. 例3答图 考点二函数的概念和三种表示方法 例1D【解析】根据分母不等于零分式有意义，可 得答案.由题意，得x-1≠0，解得x≠1，故选D. 例2B【解析】每分钟滴出100滴水，每滴水约 0.05mL,则每分钟滴水100×0.05=5(mL),则xmin可 滴5xmL,即y=5x,故选B. 例3B【解析】根据题意，得小刚从家到学校行驶路 程s(单位：m)随着时间t(单位：min)的变化先匀速增 加，再不变，最后再匀速增加，故选B. 考点三与函数有关的应用型问题 例1B【解析】小明吃早餐用了25-8=17(min),A 错误；小明读报用了58-28=30(min),B正确；食堂到图 书馆的距离为0.80.6=0.2(km),C错误；小明从图书馆 回家的速度为0.8÷10=0.08(km/min),D错误.故选B. 例2B【解析】当点P在AD上时，△ABP的底AB 不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而 增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变， 所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的 底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增 大而减小：当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不 变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP 的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的 增大而减小.故选B. 考点四一次函数的图象、性质及相关问题 例1A【解析】由于y=kx+b与y轴交于点(0，b), 当b>0时，点(0，b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交 于正半轴；当b<0时，点(0，b)在y轴的负半轴上，直 线与y轴交于负半轴.熟知一次函数的增减性是解答此题的 关键.一次函数y=kx+b-x即为y=(k-1)x+b,:函数值y随 中考总复习·数学 x的增大而增大，.k-1>0,解得k>1;.:图象与y轴的正半 轴相交，..b>0.故选B. 例2A【解析】解决本题可根据直线平移的性质“左 加右减，上加下减”.由题意得y=2(x-2)-3+3=2x-4.故选A. 例3A【解析】.一次函数y=kx+5中>0，.一次函 数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限.又：一次函数y= k'x+7中k'<0,·一次函数y=k'x+7的图象经过第一、二、 四象限.5<7，∴.这两个一次函数的图象的交点在第一象 限，故选A 考点五一次函数关系式的确定 例1A【解析】由一次函数=kx+b(k≠0)的图象经 过第一、二、三象限可知k>0,b>0,.符合题意的只有A 选项，故选A. 例2v=0.6t+331【解析】把t-0,v=331;t=15,v=340 分别代人=6得-31，。解得-06，声音在空 15k+b=340, b=331, 气中的传播速度与温度之间的关系式为=0.6t+331. 例3解：（山）由题意得解得， k+b=3, :k,b 的值分别是1和2.(2)将k=1,b=2代入y=hx+b中得y= x+2.点A(a,0)在y=x+2的图象上，0=a+2,即a=-2. 考点六一次函数与方程、方程组及不等式的关系 例1B【解析】：以二元一次方程x+2y-b=0的解为 坐标的点(x,）都在直线y=了+b-1上，直线解析式两 边同乘2得2y=-x+2b-2,变形为x+2y-2b+2=0,.-b=-2b+ 2,解得b=2,故选B. 例2x>3【解析】观察函数图象得到当>3时，函数 y=x+b的图象都在y=kx+6的图象上方，·关于x的不等式 x+b>kx+6的解集为x>3. 例3解：“方程组的解为，’“交点小 lkx-y=-b 的坐标为(2,1)，∴.点A在函数y=a+2的图象上，2a+ 21,a=号：点A2,、点B0,-)在函数)x6 的图象上，必解得侣两个改函数的表透 b=-1, 式为=2+2，-l. 考点七一次函数在实际问题中的应用 例15【解析】设一次函数的表达式为y=kx+b,将 @,D,2.)代入，得.解得2表达式 b=1, 为y=2x+1.当y=11时，2x+1=11,解得x=5, ∴.至少需要5s能把小水杯注满. 例2解：(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b,将 (150,45,0.60)代人=6中.得150+=45·解 b=60. k=0y与之间的关系式为)=0460. 得 b=60, (2)当y=-0460=8时，解得520.即行驶520km 时，油箱中的剩余油量为8L.530-520=10(km),∴.在开 往该加油站的途中，汽车开始提示加油时离加油站的路程是 10km. 例3解：(1)当x=10时，公司销售机器人的总利 润为10×(10-8)=20（万元）· (2)设y与x之间的关系式为y=kx+b,:函数图象过 点(10,8)，(30,6)， 1 六有10+h=8,解得 30k+b=6, =10'六当10≤x≤30时，y b=9, 与x之间的关系式为一09 (3)设销售量为m台时，公司销售机器人的总利润为 37.5万元..37.5>20，m>10. 又m为正整数，4m≠37.5.只有在10<m<30内， 公司销售机器人的总利润才有可能为37.5万元.依题意得 m10-0m+9)=37.5,解得m=l5,m=-25(舍去). 答：销售量为15台时，公司销售机器人的总利润为 37.5万元. ■优题精练 1.C2.A3.D4.C5.C6.D7.D8.A 9.D10.A 11.y=x-1(答案不唯-)12.-7或号13.0<1 14.-2<x<-115.4 16.解：(1)由题意得m-2≠0，解得m≠2. (2)由题意得m-4-0,且m-2≠0，解得m=4. 17.解：直线l1经过点(0,4)，直线2经过点 (3,2),且与关于x轴对称，.两直线相交于x轴上， 且直线山1经过点(3，-2)，2经过点(0，-4)· 把(0,4)和(3，-2)代入直线L1的解析式y=kx+b, =4;。解得=-2， 则/6 3k+4=-2, b=4, 故直线1的解析式为y=-2x+4. l1与b2的交点坐标为l,b与x轴的交点，∴-2x+4=0, 解得x=2,即1与2的交点坐标为(2,0). 18.解：(1)根据题意，得y-90x+70(21-x)=20x+1470, ∴y与x之间的关系式为y=20x+1470.(2):购买B种树苗 的数量少于购买A种树苗的数量，.21-x<x,解得x>10.5. 又y=20x+1470,且x取整数，.当x=11时，y有最小 值为1690， ·.所需费用最少的方案是购买B种树苗10棵，购买A 种树苗11棵，所需费用为1690元. 19.解：(1)根据图象信息，当t=24min时，甲、乙 两人相遇，甲的速度为2400：60=40(m/min)· (2):甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、 乙两人都匀速步行且同时出发，=24时两人相遇，.甲、 乙两人的速度和为2400÷24=100(mmin),乙的速度为 100-40=60(m/min).乙从图书馆回学校的时间为2400÷60= 40(min),40x40=1600(m),..点A的坐标为(40,1600). 设线段AB所表示的函数表达式为y=x+b,:A(40,1600), 406=160·解得=40. B(60,2400),六60k+b=2400, 线段AB所 b=0, 表示的函数表达式为y=40x. 20.解：(1)由图可知，a=7,b=(11.2-7)÷(6-3)=1.4, c=(13.3-11.2)÷(7-6)=2.1. (2)由图得，当x>3时，1与x之间的关系式为y=6+ (x-3)×2.1,整理得y=2.1x0.3,函数图象如图所示. y 13.3 11.2 B 03 67 x 第20题答图 (3)由图得，当3<<6时，与x之间的关系式为y2= 7+(x-3)×1.4, 整理得y2=1.4x+2.8,.当y1=y2时，交点存在，即 2.1x-0.3=1.4x+2.8. 解得=引，9， 函数与为的图象存在交点号，9)， 其意义为当x<马时是调价前合算，当>}时是调价 后合算。 2.反比例函数 腿考点精梳 考点一反比例函数的概念 例1D【解析】根据反比例函数的定义，可得m-2=-1, 且m-1≠0，解得m=-l,故选D. 例21【解析】·反比例函数的解析式为=V2k-L :2k-10,解得>k的最小整数值为1. 考点二反比例函数的图象及性质 例1C【解析】：双曲线y=k经过点(-2,1)， ● 参考答案 k=-2,∴.双曲线过点(2，-1)，A正确；该反比例函数的 图象分布在第二、四象限，与直线y=x没有公共点，B正 确；当y>-1时，x<0或x>2,C错误；当x>2时，-1<y<0, D正确.故选C. 例2C【解析】由图可知，y=在x轴上方的图象在 第二象限，故<0：女·女在x轴上方的图象在第 一象限，且y=色的图象距原点较远，故有0<k水.综合可 得，k>k>k.故选C. 例3C【解析】设点P的坐标为，是，Pm1y轴 于点B,点A是x轴正半轴上的一个定点，.四边形OAPB 是个直角梯形，四边形O1PB的面积=2(PB+A0)~B0= 合402-号0-号2040是定值，四 2 x 边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大 时，四边形OAPB的面积逐渐减小.故选C. 考点三反比例函数与一次函数的综合运用 例1A【解析】点A的横坐标为2，∴.点B的横坐 标为-2..当y1>2时，x的取值范围是x>2或-2<x<0,故 选A. 例2解：(1)：反比例西数=与一次函数归 kx+b的图象交于A,B两点，且点A的横坐标和点B的纵 坐标都是-2，(-2,4)，B(4,-2)· .-2k+b=4, 一次函数=kxb的图象过A,B两点.4hb=-2, 解得·一次函数的表达式为)=+2. b=2, (2)令y=0,则y=-x+2=-0,x=2,M(2,0),∴0M=2, :Saw-S.wtSmwFx2x4+X2x2-6. (3)观察函数图象发现，当-2<<0或x>4时，反比例 函数图象在一次函数图象上方. 考点四反比例函数的图象与k的几何意义 例1B【解析】由题意可得，AC=m-1,CQ=n,则 S四边形Ao=ACCQ=(m-1)n=n-n.:P(1,4),Q(m,n)在函 数y=套(0)的图象上，m=ke4(常数)，Sa ACCQ=4-n.当m>l时，n随m的增大而减小，Sg边形cg= 4-n随m的增大而增大.故选B. 例2C【解析】设点C的坐标为m,点，则点 2n,名，An浩aA上|宁mm 浩品上=号=4放选C