3.分式方程-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

第一部分数与代数 3.分式方程 知识梳理 【知识点一分式方程及解法 1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.说明：分式方程的两边必须是有理式. 2.可化为一元一次方程的分式方程的解法：通过去分母或换元转化为整式方程. 3.解分式方程的步骤：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程； ③验根， 4.验根方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，若为0，是增根，舍去；若不 为0，便是原方程的根.也可以代入原方程进行检验 【知识点二分式方程的应用 分式方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方 程；(5)检验；(6)写出答案 知识点三分式方程的增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程 成立，而在分式方程中分母为0)，那么这个根叫作原分式方程的增根」 腿 考点精梳 【考点一分式方程的解法 例1(2025嵊州市期末)将关于x的方程+↓=2-1去分母后可得（) x-33-x A.x+1=2-1 B.x+1=2-x-3 C.x+1=-2-1 D.x+1=-2-x+3 例2(2025钦州二模)小华同学解方程1+钙=2-1的过程中，说法正确的是(） x-33-x 解：方程两边同时乘(x-3),得1+x=-2-(x-3). …第一步 去括号，得1+x=-2-x-3. …第二步 移项，得x+x=-2-3-1. …第三步 合并同类项，得2x=-6. …第四步 系数化为1，得x=-3. …第五步 51 中考总复习·数学 A.从第一步开始出现错误 B.从第二步开始出现错误 C.从第三步开始出现错误 D.从第四步开始出现错误 -,等式右边是 例3(2024南昌期末)对于实数a,b,定义一种新运算“*”：a*h=1。, 实数运算.例如，13g,则*(-2)2的解是 x-2 考点二分式方程的增根 例1(205诺登市潮未)若关于x的分式方程恐，33有塔根3，则m的值 是 例2(2025浦口区月考)若关于x的分式方程3x+2=m有增根，则实数m的值是 x-1-1-x 【考点三分式方程的实际应用 例1(2025梧州二模)根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买 “G,D”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购 票、取票的等待时间.已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的 3倍，且300名旅客的进站时间比原来200名旅客的进站时间还少5min.设原来平均每分钟 进站旅客的人数是x人，列出方程为() A30=20-5B.90-20+5C.00-20-5D.30=00+5 3x 3x 例2(2024安顺期末)某学校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球 若干个.已知足球的单价比排球的单价高60%，用500元购买的排球数量比用720元购买的 足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元.小宇同学根据题意列出方程500- +0)三斗，则方程中末知效x所表示的是() A.足球的单价B.排球的单价C.足球的数量 D.排球的数量 例3(2025南京期末)有一批货物共120t,原计划使用小车运输，调整为大车运输后， 比原计划少用4辆车.已知每辆大车的运货量是小车的1.5倍，求每辆小车和大车的运货量. 52 第一部分数与代数 易错点精析 了易错点一常数漏乘公分母 例 解方程：2气1 2-x 【错解】方程两边同乘(x-2),得2x=1+1,解得x=1.经检验，x=1是原方程的解。 【错点分析】在方程两边同乘(x-2)时，应注意方程的每一项都要乘.错解在去分母时， 方程右边的“1”这一项漏乘了(x-2)· 【正解】方程两边同乘(x-2),得2x=x-2+1,解得x=-1.经检验，x=-1是原方程的根. 易错点二方程两边同除以可能为零的整式 例 解方程：3x-5=3x-5 x-4x+3 【错解】方程两边同除以(3-5，得，4本所以+3=4，所以34，即方程无解 【错点分析】在没有注意(3x-5)是否等于0的情况下，方程两边同除以(3x-5),结果 导致方程失根.同除以含未知数的代数式，当代数式的值为0时，则有可能导致失根，因此 当两个分子相同的分式相等时，一定要考虑分子是否为0，从而分情况求解，以免造成失根， 【正解】方程两边同乘(x-4)(x+3),得(3x-5)(x+3)-(3x-5)(x-4)=0,即(3x-5)(x+3- +4)-0,73-50,解得=号经检验，=号是原方程的根. 易错点三 解分式方程忽视验根 解方程：点+2老 例 2-x 【错解】方程两边同乘(x-2),得1+2(x-2)=-(1-x),解得x=2. 【错点分析】解出的结果x=2未检验.x=2只是整式方程1+2(x-2)=-(1-x)的根，想要知 道是不是原方程的根，还需检验，其实检验很重要，不光要检验是不是增根，而且有时还能 检验出计算错误， 【正解】方程两边同乘(x-2),得1+2(x-2)=-(1-x),解得x=2.检验：把x=2代入方程 中，分母x-2=0,所以x=2是原方程的增根，原方程无解. 53 中考总复习·数学 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)下列关于x的方程中，不是分式方程的是() A.龙=T B.10=5 C.3x=4 D.x_n=x x x-6 x2+1 πmn 2.(★)分式方程3-1=0的解为() x-1 A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 3.(★)在求3x的倒数的值时，小淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5. 依上述情形，所列关系式成立的是() A8-5 B+5 C8-5 D-8r+5 4.(★)已知x=2是分式方程k+-3=1的解，那么实数k的值为() xx-1 A.3 B.4 C.5 D.6 5.(★)某学校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球 用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程5000= 2x 4000-30,则方程中x表示() A.足球的单价B.篮球的单价 C.足球的数量 D.篮球的数量 6.(★)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细 心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋棕子，求：每袋棕子的原价是多 少元？设每袋粽子的原价是x元，新得方程正确的是() A.240_240=10 B.240_240=10 xx+2 x x-2 C.240_240=10 D.240.240=10 x-2 x x+2 x 7(大)若关于x的方程子2无解，则m的值为() A.0 B.4或6 C.6 D.0或4 8.(★)某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值为30万千克，为了满足市场 需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了 6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产 量为x万千克，根据题意，列方程为() 54 ● 第一部分数与代数 A.30-36=10B.30-30=10 C.36-30=10D.30+36=10 x1.5x x1.5x 1.5xx x1.5x 9.(★)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工 作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每 天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是() A.80(1+35%)_80=40 B.80、80-40 (1+35%)xx C.80-80、=40 D.80_80(1+35%)40 x(1+35%)x 10.(★)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十钱，倩人 去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的 价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一 株椽的价钱，则这批椽有多少株？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是() A.3(x-1)=6210B.6210=3 C.3x-1=6210 D.6210=3 x-1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1山.（★）将分式方程2中0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 12.(★)若关于x的分式方程1-m=1(m为常数)有增根，则增根是 x-44-x 13.(★)植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵，第二组比第 一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人. 14.(★)对于实数a,6,定义一种新运算“②：®女，这里等武右边是实数运 第例如1⑧3=g则方程⑧(-2》名1的解是 15.(★)《千里江山图》是宋代王希孟的作品，它的局部画面装裱前是一个长为2.4m, 宽为1.4m的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬 的宽度应是多少米？设边衬的宽度为xm,根据题意可列方程 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(15分★)解分式方程. (1）12+1-2x=4: x-22-x 2)+4 (3)4+-5=2x x-1 x-1 55 中考总复习·数学 1几.(0分*)无化衡，再求值：k-2品：行其中x请是方程上子 xx+3 18.(0分★)菜市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨了，小 刚家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费是30元.已知小刚家今年7月的用水量比 去年12月的用水量多5m,求该市今年居民用水价格. 19.(10分★★)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000m的外墙粉刷任务，选派 甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙 漆各300kg,购买外墙漆总费用为15000元.已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆 每千克的价格多2元. (1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元： (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的手，乙完成粉刷任务所需 时间比甲完成粉刷任务所需时间多5.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米， 56 ● 第一部分数与代数 20.(10分★★)某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸 板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸 箱（加工时接缝材料不计）· (1)该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天 加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个， 问原计划每天加工纸箱多少个 (2)若该厂购进正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加 工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完. 横式 竖式 图1 图2 第20题图 57中考总复习·数学 意，有-2， 解得1， .∴.x+y=11+9=20. 2x+y=31, y=9. 答：小强同学生日的月数和日数的和为20. 18.解：(1)设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱， 依题意，得+)=400， 解得100. 25x+35y=13000, (y=300. 答：购进甲种矿泉水100箱，乙种矿泉水300箱 (2)(35-25)×100+(48-35)×300=4900(元). 答：该商场售完这400箱矿泉水可获利4900元 19.解：①当k>0,有x=1时，=3；x=4时，y=6. 一以】，年视修两放的解折式为2 4h+b=6, k+b=6, ②当k<0,有x=1时，y=6x=4时，y=3.. 4h+b=3, 解得=1，函数的解析式为=-+7. b=7. 综上所述，此函数的解析式为y=x+2或y=-x+7. 20.解：(1)设计划调配36座新能源客车x辆，该大 学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车(x+5)辆. 依题意，得36x+2y, 22(x+5)-10=y, 解得7， ly=254 答：计划调配36座新能源客车7辆，该大学共有254 名志愿者 (2)设需要调配36座客车m辆，22座客车n辆. 依题意，得36m+22n=254,n=127-18m 11 又m,n均为正整数，m4, n=5. 答：需要调配36座客车4辆，22座客车5辆， 3.分式方程 啦考点精梳 考点一分式方程的解法 例1D【解析】原方程两边同乘(x-3),去分母得x+ 1=-2-(x-3),即x+1=-2-x+3,故选D. 例2B【解析】观察小明解方程的过程，可得从第二 步出现错误，去括号后3没有改变符号，故选B. 例3-1【解析】根据题中的新运算法则列出分式方 程，得2那点整理得之去分母得1+ 2,解得x=-1.经检验，x=-1是原方程的解， 考点二分式方程的增根 例16【解析】方程两边都乘(x2-9),得m+2(x-3)= x+3,:原方程有增根，∴最简公分母x2-9=0,解得x=±3 增根x=3,.当=3时，m=6,.m的值是6. 例2-5【解析】方程两边同时乘(x-1),得3x+2=-m, 分式方程有增根，x-1=0,∵x=1,3×1+2=-m,解得 m=-5. 考点三分式方程的实际应用 例1A【解析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是 x人，根据300名旅客的进站时间比原来200名旅客的进 站时间还少5min,即可得出关于x的分式方程：300= 3x 200-5,故选A. 例2B【解析】足球的单价比排球的单价高60%， 用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1 个，500-720=1，方程中末知数x所表示的是排 x(1+60%)x 球的单价，故选B. 例3解：设每辆小车的运货量为xt,则每辆大车的 运货量为1.5xt, 根据题意，得120-120=4，解得=10. x1.5x 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，.1.5x= 1.5×10=15. 答：每辆小车的运货量为10t,每辆大车的运货量为 15t. ■优题精练 1.D2.D3.B4.B5.D6.C7.D8.A9.A 10.A 11.x(x+1) 2413.314515242器 16.解：)4、（②）=1.3)= 17.解：原式=412.2-x+44).2=-x4 x+24-x x+24-x 方程⊥=2。两边都乘以x(x+3),得x+3=2x,移项、 xx+3 合并同类项，得x=3.检验：当=3时，x(x+3)=3×(3+3)= 18≠0，.x=3是原分式方程的解.当x=3时，原式=-x-4= -3-4=-7. 18.解：设去年居民用水价格为x元/m,则今年水费 为x1+3)元/m3 根据题意，可列方程为30，一-15=5，解得x=15, 经检验，=15是原方程的解，则1+兮)=2 答：该市今年居民用水价格为2元m. 19.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B 种外墙漆每千克的价格是y元. 根据题意，得 30x+300=15000.解得=26. x-y=2, 3y=24. 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每 千克的价格是24元. (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m,则乙每小时 粉刷外墙的面积是4mm2.根据题意，得500-500=5. 解得m=25.经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25m2 20.解：(1)设原计划每天加工x个，则现在每天加 工1.5x个. 由题意得20-2=200，解得-20 经检验，=20是原分式方程的解，且符合题意。 答：原计划每天加工纸箱20个. (2)设加工竖式纸盒m个、横式纸盒n个，由题意得 m+2n=1000, 解得m=200. 4m+3n=2000, n=400. 答：加工竖式纸盒200个、横式纸盒400个恰好能将 购进的纸板全部用完」 4.一元二次方程 腿考点精梳 考点一一元二次方程的相关概念 例1C【解析】x+=1中含有两个未知数，不是一元 二次方程，故A不符合题意；2x+1=4中未知数的最高次数 是1，不是一元二次方程，故B不符合题意：x2+x=2是 元二次方程，故C符合题意：x+1=2不是整式方程，即 不是一元二次方程，故D不符合题意.故选C 例2B【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x= 1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0,解得k=2,故 选B. 例3解：由题意得m-1≠0，lml+1=2,解得m=-1. 考点二一元二次方程根的情况 例1B【解析】.·关于x的一元二次方程(k-1)x2+ 2x-1=0有两个不相等的实数根，六1≠0， 解 224(k-1)×(-1)>0, 得k>0且k≠1.故选B. 例2A【解析】.4=(-1)2-4×1×(-1)=5>0，.关于x 的一元二次方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根，故选A. 例3解：(1).4=[-(m+1)]24(3m-6)=m2-10m+25= (m-5)2≥0，·.方程有两个实数根. (2)x2-(m+1)x+3m-6=0,(x-3)[x-(m-2)]=0,x-3= 0或x-(m-2)=0,.x1=3,x2=m-2. 方程有一个根是负数，m-2<0,m<2 考点三一元二次方程的解法 例1B【解折】户-y子=0，-y=子，广y+1, 2)1,故选B 例2解：方程变形得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,因式 分解得(x-3)(2x-6-x-3)=0,解得x1=3,x2=9. 参考答案 考点四一元二次方程的应用 例1A【解析】设蔬菜产量的年平均增长率为x,根 据2022年蔬菜的产量为80t,则2023年蔬菜的产量为 80(1+x)t,2024年蔬菜的产量为80(1+x)(1+x)t,而2024 年蔬菜的产量达到100t,即80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2= 100,故选A. 例2B【解析】根据利润=每间房的净利润×入住的房间 数可得，即设房价定为x元，根据题意，得G-20)50--180】 10 =10890,故选B. ■优题精练 1.A2.B3.C4.C5.C6.B7.D8.B9.C 10.A 11.312.913.-214.直角15.20 16,解：（山）xV3,=V3.(2)=号，l (3)=3,x=} 17.解：设截去小正方形的边长为xcm,根据题意得 4x2=8×5×(1-80%), 解得=V2,x=-V2(不符合题意，舍去). 答：截去小正方形的边长为√2cm 18.解：设每个商品的定价是x元，由题意，得(x- 40)[180-10(x-52)]=2000. 整理，得x2-110x+3000=0.解得x=50,x2=60. 当x1=50时，进货180-10(x-52)=200(个)，不符合题 意，舍去； 当x2=60时，进货180-10(x-52)=100(个)，符合题意. 答：当该商品每个定价为60元时，进货100个. 19.解：(1)设该种商品每次降价的百分率为%，依 题意得400(1-x%)2=324,解得x=10或x=190(舍去).答： 该种商品每次降价的百分率为10%. (2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降 价后售出该种商品(100-m)件，第一次降价后的利润为 400×(1-10%)-300=60(元/件)， 第二次降价后的利润为324-300=24（元/件）. 依题意，得60m+24(100-m)=36m+2400≥3210，解得 m≥22.5，∴.m≥23. 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一 次降价后至少要售出该种商品23件. 20.解：(1)设AB=xm,则BC=(29+1-2x)m,根据 题意得x(29+1-2x)=100, 整理得x2-15x+50=0,解得x=5,x2=10. 当x=5时，29+1-2x=29+1-2×5=20>19,不符合题意， 舍去： 当x=10时，29+1-2x=29+1-2×10=10<19,符合题意. 答：花圃的一边AB的长为10m.