1.一元一次方程-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

中考总复习·数学 专题二方程与不等式 1.一元一次方程 知识梳理 知识点一等式的基本性质 1.等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式. 用式子表示：如果a=b,那么a±c=b±c 2.等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式. 用式子表示：如果a=b,那么0=bc:如果a=b,c≠0，那么a=b cc 【知识点二一元一次方程及其解法 1.含有未知数的表示量相等的等式叫作方程. 2.使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程 叫作一元一次方程， 4.解一元一次方程的步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1 知识点三一元一次方程的应用中相关概念及常用数量关系 1.商品销售中与打折有关的概念 (1)购进商品的价格叫作进价，也叫成本价 (2)在销售商品时标出的价格叫作标价，也称原价. (3)商家卖出商品的价格叫作售价，也叫成交价 (4)商家通过买卖商品所得的盈利叫作利润. (5)利润占进价的百分比叫作利润率. (6)出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几卖出即为打折；打几折，就是以原价的 36 第一部分数与代数 百分之几十或十分之几卖出，如打七折就是以原价的70%卖出： 2.利润问题中的关系式 (1)售价=标价×折扣=成本+利润=成本×(1+利润率). (2)利润=售价-进价=标价×折扣-进价=进价×利润率=成本价×利润率. (3)利润率=-利润x100%=售价-进价×1009%. 进价 进价 3.行程问题中的基本关系式 )路程=速度×时间：速度-路需时回-题霞 (2)环行问题即沿环形路的行程问题，有以下两种情况： ①甲、乙两人在环形路上同时同地同向出发：快者必须多走一圈才能追上慢者，即快者 走的路程=慢者走的路程+一圈的路程. ②甲、乙两人在环形路上同时同地反向出发：两人首次相遇时的总路程为环形路的一圈 长，即甲走的路程+乙走的路程=一圈的路程。 甜 考点精梳 【考点一一元一次方程的定义 例1(2025重庆期中)下列方程中是一元一次方程的是() A.x-2=1 B.2x-3=5 C.y2-4y=3 D.x+2y=1 例2若方程(m-1)xm-2-8=0是关于x的一元一次方程，则m=（） A.1 B.2 C.3 D.1或3 例3若(m-2)xm-=6是关于x的一元一次方程，则m等于 考点二等式的基本性质 例1(2024芜湖期末)下列运用等式性质变形一定正确的是() A.若a=b,则a-c=b+c B.若a=b,则2a=3b C.若a=b,则ac=bc D.若ac=bc,则a=b 例2(2025吕梁期中)根据等式的性质，下列变形错误的是() A.若m=n,则m+5=n+5 B.若m=n,则m-3=n-3 C.若m=n,则-2m=-2n D.若mp=n吧，则m=n 例3(2025新乡期末)下列变形正确的是() A.由a=b,可以得到a-2=b+2 B.由-m=5,可以得到m=-5 37 中考总复习·数学 C.由3=2b,可以得到=3b 2 D.由号=3，可以得到2x=-3y 00 考点三一元一次方程的解 例1(2025博山区期末)x=3是下列哪个方程的解（) A.3x-1=2 B.2x-3=-x C.lx-3=1 D.(x-1)2=4 例2(2024禅城区期末)小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：10-▲= 4x-3”,“▲”处被污染看不清.若方程的解是x=3,则“▲”处的数字应是 例3(2024平昌县期末)若x=3是关于x的方程ax-b=5的解，则2-6a+2b的值为 考点四解一元一次方程口 例1(2024雁塔区月考)解方程-2(x-5)+3(x-1)=0时，去括号正确的是() A.-2x-10+3x-3=0 B.-2x+10+3x-1=0 C.-2x+10+3x-3=0 D.-2x+5+3x-3=0 例2(2025长泰区期中)将方程3x-1_4x+2=1去分母，得() 25 A.3x-1-(4x-2)=1 B.5(3x-1)-2(4x+2)=1 C.5(3x-1)-2(4x+2)=10 D.5(3x-1)-(x+1)=10 例3(2024阳信县期末)下列解方程的变形过程正确的是() A.方程3x=2x-1,移项得3x+2x=-1 B.方程-子2，系数化为1得=子 C.方程4-2(3x-1)=1,去括号得4-6x+2=1 D.方程3-1-1+2+1，去分母得3(3x-1)=1+2(2x+1) 2 3 【考点五一元一次方程的实际应用 例1(2005台州)某超市购进一批商品，每件进价为a元，若要获利25%，则每件商 品的零售价应定为() A.25%a元 B.(1-25%)a元C.(1+25%a元D.1+23%元 例2(2025烟台模拟)明代万历数学家程大位所著的《算法统宗》一书中列举了各种 应用题及解法，其中记载：三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得 到其关.意思是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚 38 第一部分数与代数 痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为 A.3里 B.4里 C.6里 D.8里 例3(2023长宁区期末)某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品， 每人每天生产螺母16个或螺栓22个.若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好 使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是() A.22x=16(27-x) B.2·22x=16(27-x) C.16x=22(27-x) D.2·16x=22(27-x) 易错点精析 易错点一去括号时漏乘项或出现符号错误 例解方程：4x-3(2-x)=5x-2(9+x). 【错解1】漏乘项：去括号，得4x-6+x=5x-18-x.移项、合并同类项，得=-12. 【错解2】符号错误：去括号，得4x-6-3x=5x-18+2x.移项、合并同类项，得-6x=-12.系 数化为1，得x=2 【错点分析】本题错解1中运用分配律时，括号前的系数只乘了第一项，漏乘了第二项； 错解2中出现了符号错误，括号前面是“-”，去括号时，只改变了第一项的符号，却忽视了 改变括号内其他项的符号.这两个错误是解方程时的高频错误，同学们务必正确认识去括号 法则。 【正解】去括号，得4x-6+3x=5x-18-2x.移项、合并同类项，得4x=-12.系数化为1，得 x=-3. 易错点三去分母时漏乘不含分母的项口 例 层方程：六01821 【错解】0.03x-0.7(0.17-0.2x)=1,0.03x-0.119+0.14x=1,0.17x=1.119,x=119 170 【错点分析】在解一元一次方程的去分母环节中易出错，主要是对分数的基本性质的理 解和掌握不够.尤其是对于方程中含有“1”这一项的一元一次方程，由于思维定式，去分母 时更容易出现漏乘的错误.本题的错误就在于去分母时方程右边漏乘了0.021. 【正解】在方程两边都乘以0.021，得0.03x-0.7(0.17-0.2x)=0.021,0.03x+0.14x=0.021+ 0119,017x=0.14,x=号 39 中考总复习·数学 【易错点三去分母时忽视分数线的括号作用 例解方程：_+2=4-龙 362 【错解】去分母，得2x-2-x+2=12-3x.移项、合并同类项，得4x=12.系数化为1，得=3. 【错点分析】分数线除了代替除号外，还具有括号的作用.如果分子是一个多项式，那么 应该把它看作一个整体，去分母时，通常用括号括起来.本题错在忽视了分数线的括号作用， 没有把(x+2)看成一个整体，而造成符号错误.同学们不能再忽视分数线的括号作用了 【正解】去分母，得2(x-1)-(x+2)=3(4-x).去括号，得2x-2-x-2=12-3x.移项、合并同 类项，得4x=16.系数化为1，得=4 【易错点四系数化为1时颠倒分子和分母的位置 例解方程：9-3x=5x+5. 【错解】移项，得-3x-5x=5-9.合并同类项，得-8x=-4.系数化为1，得x=2. 【错点分析】系数化为1是根据等式的性质2，将方程的两边同除以未知数的系数，即 除数是未知数的系数而不是常数项，本题中除数是-8，而不是-4.请同学们在进行系数化为 1时记牢：两边同除以未知数的系数或乘未知数的系数的倒数 【正解】移项，得-3-5x=5-9合并同类项，得-8x=-4.系数化为1，得x= 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)》 1.(★)下列方程中是一元一次方程的是() A.3x+2y=9 B.5x-7=x C{-3=1 3 D.y2-6y+5=0 2.(★)若方程2x-kx+1=5x-2的解为-1，则k的值为() A.10 B.-4 C.-6 D.-8 3.(★)下列说法错误的是() A.若x=Y,则x=y B.若x2=y2,则-4ax2=-4ay2 aa C.若a=b,则a-3=b-3 D.若ac=bc,则a=b 4.（★)若关于x的方程2x+a-4=0的解是x=-2,则a=（) A.-8 B.0 C.2 D.8 5.(★)《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共鹿，适尽 40 第一部分数与代数 问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家 共取一头，恰好取完.问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为() A.x+3x=100 B.3x-x=100 C.x-￥=100 D.x+=100 3 3 6.(★）要锻造直径为60mm、高为30mm的圆柱体钢坯，需截取直径为40mm的圆 柱体钢坯的高为（) A.67.5mm B.45 mm C.135 mm D.90 mm 7.(★)解方程21-1-3+2，去分母正确的是( 3 2 A.2x-1=1-3x+2 B.4x-2=1-3x-2 C.4-2=6-9x-6 D.4x-2=6-9x+6 8.(★)一轮船往返于A,B两地之间，逆水航行需3h,顺水航行需2h,水速为3k/h, 则轮船的静水速度为() A.18 km/h B.15 km/h C.12.5km/h D.20.5km/h 9.(★)“鸡兔同笼”是我国民间流传的数学题：鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露， 看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔？要解决此问题，可设兔有x只，则所列方程是() A.4x+2(36-x)=100 B.2x+4(36-x)=100 C.x+2(36+x)=100 D.2x+2(36-x)=100 10.(★★)某文具店每支铅笔的售价为1.2元，每支圆珠笔的售价为2元.该店在六一 儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔每支打八折出售，圆珠笔每支打九折出售，两种笔共卖 出60支，卖得的钱数为87元.若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为() A.1.2x0.8x+2x0.9(60+x)=87 B.1.2x0.8x+2x0.9(60-x)=87 C.2x0.9x+1.2x0.8(60+x)=87 D.2x0.9x+1.2x0.8(60-x)=87 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)已知关于x的方程2x+a-5=0的解是x=2,则a的值为 12.（★)一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以八折优惠卖出，结果每件 服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是 元. 13.(★)若日历的同一行中相邻三个数的和为63，则这三个数分别为 14.(★★)某公路一侧原有路灯106盏，相邻的两盏路灯之间的距离为36m.为了节约 用电，现计划将原路灯全部更换为新型节能灯，且相邻的两盏节能灯之间的距离变为54m, 则需要新型节能灯 盏 15.(★★)明代《算法纂要》书中有一题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五 个多十枚，四人八枚两个剩.问有几个牧童几个杏.题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知 道人数也不知道有多少个杏.若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8 4 中考总复习·数学 个杏，则多2个杏.问有多少个牧童，多少个杏.该问题中的牧童有 个 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(15分★)解下列方程. (1)10(x-1)=5; 27s-2.2: (3)0.3x-0.4+2=0.5x-0.2 32 0.2 0.3 7.(I0分★)已知x=-2是方程a+3)=a+的解，求a心-子+1的值 18.(10分★)《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的 “百鸡问题”·现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值 一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍.问这一百只鸡中，公鸡、母 鸡、小鸡各有多少只 42 ● 第一部分数与代数 19.(10分★★)甲、乙两人在一条长400m的环形跑道上跑步，甲的速度为360m/min, 乙的速度为240m/mim (1)两人同时同地同向跑，第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ (2)两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？ 20.(10分★★)某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽 毛球每筒的售价多15元，小彬从该网店购买了3筒甲种羽毛球和2筒乙种羽毛球，一共花 费270元. (1)该网店甲、乙两种羽毛球每简筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定购进甲、乙两种羽毛球各80简.已知甲种羽毛球每筒 的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元，元旦期间该网店开展优惠促销活动，甲种 羽毛球打折销售，乙种羽毛球售价不变，若所购进羽毛球均可全部售出，要使全部售出所购 进的羽毛球的利润率是10%，那么甲种羽毛球是按原销售价打几折销售的？ 43中考总复习·数学 =6V2, 17.解：(1)原式=xy(x+2+y）). (2)原式=-分a+3b)24-3b (3)原式=(m-2)(x+y)(x-y）· 18解：原式合舌高. a2-1 a2-a-1 a .2≠0，a2-1≠0，∴.a≠0，a≠±1. V4=2<V5<V9=3,-1<V5的整数解有0,1,2. a≠0，a≠l,∴a=2,原式=2-2-l=1 2 -2 19.解：(1)①输入x=3,3×2+3=9<15,重新输入x= 9,9×2+3=21>15,.输出的结果为21.∴.若输入x=3,则运 算执行2次后输出结果，输出的结果为21. ②第一次输入x,得到2x+3,第二次输入2x+3,得到 2(2x+3)+3=4x+9,∴.4x+9=6x-1,.∴x=5. (2)当a=-3时，第一次输入x,得到-3x+k,第二次 输入-3x+h, 得到-3(-3x+6)+k-9-2k,3x+k=9x-2k,=4k. 每一次运算得到的结果为，小≤m,即m≥ 20.解：(10 -3,B=nt3 (2)①当m=0,n=-5时，A=mx+2=2 x-3 -5x+3 x2-91 MB=2.-5x+3 -10x+6 -10x+6 -3-9(x-3)(a9)x-39+27,是 二次分式； 4品+晋- -3(x-3) 品不是=次分式 A-B=2 -5x+3-2(+3)-(-5x+3)=2x+6+5x-3 -3(x+3)(x-3) (x-3)(x+3)(x-3)(x+3) 一线号，不是二次分式： 4名广g是二次分式 考+号M与B的和化简后是一次分 ②A+B=mx+2+nx+3 式，且分母的次数为1， n=1,结果为号+苦，a0.2mn-0叶 1=1. 由①知，m=0,n=-5时也符合条件，此时2m+n=-5. 综上所述，2m+n的值为1或-5. 专题二方程与不等式 1.一元一次方程 考点精梳 考点一一元一次方程的定义 例1B【解析】x-2=1不是整式方程，则A不符合 题意；2x-3=5符合一元一次方程的定义，则B符合题意； y24y=3中未知数的最高次数是2，则C不符合题意；x+ 2y=1中含有两个未知数，则D不符合题意.故选B. 例2C【解析】由题意可知，m-2=1,解得m=3或 m=1.又.m-1≠0，即m≠1，.m=3,故选C. 例31【解析】根据题意可知，(m-2)xm3-6是关于 x的一元一次方程，.2m-3引=1，.2m-3=1或2m-3=-1,解 得m=2或m=l.又m-2≠0，m≠2，∴m=l. 考点二等式的基本性质 例1C【解析】本题根据等式的性质分析判断. 若a=b,则a-c=b-c,A错误；若a=b,则2a=2b,B 错误；若a=b,则ac=bc,C正确；若ac=bc,则a=b(c≠ 0),D错误.故选C. 例2D【解析】若m=n,则m+5=n+5,A正确.若m= n,则m-3=n-3,B正确.若m=n,则-2m=-2n,C正确.若 mp=吧，当p≠0时，两边除以p,可得m=n;但当p=0时， 则mp=np=0恒成立，此时m与n可能不相等，D错误.故 选D. 例3B【解析】根据等式的基本性质逐项分析验证如 下：由a=b,两边分别减2和加2，等式不再成立，变形错 误，例如，若a=b=5,则a-2=3,b+2=7,显然不等，A错 误；由-m=5,两边同乘-1得m=-5,B正确；由3a=2b, 两边同除以3得a=号6，而非号b,C错误：由之=子， 两边同乘6得3=-2y,而非2x=-3y,D错误.故选B. 考点三一元一次方程的解 例1D【解析】把x=3代入方程3x-1=2,左边=3x3- 1=8,右边=2，左边≠右边，A错误；把x=3代入方程2x- 3=-x,左边=2×3-3=3，右边=-3，左边≠右边，B错误；把 x=3代入x-3=1,左边=3-3引=0，右边=1，左边≠右边，C 错误：把x=3代入方程(x-1)2=4,左边=(3-1)2=22=4，右 边=4，左边=右边，D正确.故选D. 例21【解析】把x=3代入10-▲=4x-3得10-▲=9， 解得▲=1. 例3-8【解析】x=3是关于x的方程ax-b=5的解， ∵.3a-b=5,则2-6a+2b=2-2(3a-b)=2-2x5=-8. 考点四解一元一次方程 例1C【解析】将方程去括号，得-2x+10+3x-3=0, 故选C. 例2C【解析】去分母，得5(3x-1)-2(4x+2)=10.故 选C. 例3C【解析】方程3x=2x-1,移项得3x-2x=-1,A 错误；方程-子x=2,系数化为1得x=-3,B错误；方程4 2(3x-1)=1,去括号得4-6x+2=1,C正确；方程3x-1=1+ 2x+1,去分母得3(3x-1)=6+2(2x+1),D错误.故选C 3 考点五一元一次方程的实际应用 例1C【解析】依题意，得售价=进价+利润=进价× (1+利润率)，.售价为(1+25%)a元，故选C. 例2C【解析】设此人第六天走的路程为x里，则 第五天走的路程为2x里，第四天走的路程为4x里，第三 天走的路程为8x里，第二天走的路程为16x里，第一天走 的路程为32x里.根据题意，得32x+16x+8x+4x+2x+x=378, 解得x=6,∴.此人第六天走的路程为6里.故选C. 例3B【解析】设分配x名工人生产螺栓，则(27- x)名工人生产螺母.：一个螺栓套两个螺母，每人每天生 产螺母16个或螺栓22个，.可得2·22=16(27-x).故选B. ■优题精练 1.B2.C3.D4.D5.D6.A7.C8.B9.A 10.B 11.112.12513.20,21,2214.7115.24 16.解：(1)去括号，得10x-10=5.移项，得10x=15. 系数化为1。得昌 (2)去分母，得4(7x-1)-6(5x+1)=24-3(3x+2). 去括号，得28x-4-30x-6=24-9x-6. 移项，得28x-30x+9x=24-6+6+4. 合并同类项，得7x=28. 系数化为1，得x=4. (3)分母化为整数，得3x-4+2=5x-2.去分母，得 3(3x-4)+12=2(5x-2), 去括号，得9x-12+12=10x-4.移项、合并同类项，得 x=4. 17.解：把x=-2代人方程，得a=之a-2,解得a=4 当a=-4时，原式=16+1+1=18. 18.解：设母鸡有x只，则公鸡有3x只，小鸡有100- x-3x=100-4x(只). 根据题意列方程为3x+5~3x+1004红=100.解得=4. 3 ..3x=12,100-4x=84. 答：公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 19.解：(1)设xmin后两人第一次相遇.由题意，得 360-240=40解得x=号：号x360+号x240÷40=5 (圈).因此，第一次相遇时，两人一共跑了5圈 (2)设ymin后两人第一次相遇.由题意，得360y+ 240y=40.解得)=号min=40s.因此，40s后两人第一次 参考答案 相遇. 20.解：(1)设甲种羽毛球每筒售价x元，则乙种羽 毛球每筒售价(x-15)元.根据题意，得3x+2(x-15)=270, 解得x=60,则x-15=45. 答：甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒 的售价为45元. (2)设甲种羽毛球是按原销售价打x折销售的，根据 题意，得8060x0-50+80x(45-40)=80x(50+40)×10%，, 解得x=9. 答：甲种羽毛球是按原销售价打九折销售的」 2.二元一次方程组 考点精梳 考点一二元一次方程组及其解法 例1D【解析】2x=3中只含有1个未知数，则A不 符合题意；2x2=y-1中含有2个未知数，但最高次数为2， 则B不符合题意；xy=2中y的次数为2，则C不符合题 意；x-6y=0符合二元一次方程的定义，则D符合题意.故 选D. 例2B【解析】已知=2是方程mhy=7的一个 'y=1 解，则2a+b=7,原式=1-(2a+b)=1-7=-6,故选B. 例3A【解析】2n,①②-①得6+1 2x+y=2m+1,② .x-y=7,.6m+1=7,解得m=1,故选A. 考点二二元一次方程组的应用 例1B【解析】根据题意知，横轴方向，4m=7,纵轴 方向，m+n=8.75, ·方程组为 4m=7,故选B. m+n=8.75. 例2D【解析】：如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数 为乙的2倍，∴x+9=2(y-9); .如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，x-9三 y+9. ..根据题意可列方程组 x+9=2y-9),枚选D. x-9=y+9. 例38-=3。【解析】设合伙人数为x人，物价为 y-7x=4 y钱，根据题意，得8x-3, y-7x=4. ■优题精练 1.B2.A3.D4.A5.D6.D7.C8.D9.A 10.D 11.-4012.113.(3,-2)14.-215.-8 (: 17.解：设小强同学生日的月数为x,日数为y,依题