4.二次根式-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

第一部分数与代数 4.二次根式 知识梳理 知识点一二次根式的有关概念 1.平方根 (1)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就 叫作a的算术平方根，记作Va.特别地，我们规定：0的算术平方根是0. (2)平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫作a的平 方根.数a的平方根记作±a(a>0)· (3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；0 的算术平方根是0. 2.立方根 (1)立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a,那么这个数x就叫作a的 立方根.数a的立方根用a表示 (2)任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根是0 (3)Va=a;(Va)=a;Va=-Va. 3.二次根式 (1)形如Va(@≥Q)的式子叫作二次根式，而Va为二次根式的条件是a≥0. (2)满足下列两个条件的二次根式叫作最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方 数中不含有开得尽方的因数或因式 知识点二二次根式的性质与运算 1.二次根式的性质 )V画=y正a≥0，≥0：V8-2a≥0,0， (2)(Va)2=a(a≥0). a(a≥0)， (3)V=l@= -a(a<0). 2.二次根式的运算 25 中考总复习·数学 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把 同类二次根式分别合并 (2)二次根式的乘法：Va.Vb=ab(a≥0，b≥0. ③〉二次根式的除法：V (a≥0，b>0) (4)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用.二次根式的混合运算顺序 是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的（或先去括号） (5)二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运 算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式、 腿 考点精梳 【考点一二次根式的有关概念 例1(2023山东)若代数式V:有意义，则实数x的取值范围是() x-2 A.x≠2 B.x≥0 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 例2(2023烟台)下列二次根式中，与V2是同类二次根式的是() A.V4 B.V6 C.V8 D.V12 考点二平方根与立方根口 例1(2023衡阳模拟)下列各式中正确的是() A.V9=±3 B.V(-3)2=-3 C.V9=3 D.V12-V3=V3 例2(2024包头)计算V⑨2-6所得结果是() A.3 B.V6 C.3V5 D.±3V5 例3(2023达州一模)下列式子正确的是() A.V(-5)2=-5 B./-8=-2 C.V36=±6 D.-V16=4 考点三二次根式的性质 例1(2022贵港二模)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.-V2 B.V12 D.Va 26 第一部分数与代数 例2(2024景德镇一模)下列二次根式：V5,√写，-2V而，V中，是最简 二次根式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3(2025丹东一模)下列变形正确的是() A.V(-4)x(-9)=V-4×V-9 B.1V164=V16x1V4=4x号=2 c悟Vv灯 D.V252-24=25-24=1 考点四二次根式的运算 例1(2023厦门一模)下列运算正确的是() A.2+1V3=2V3 B.5V2-V2=5 C.5V2a+V2a=6V2a D.Vy +2Vx =3Vxy 例2(2023大连)下列计算正确的是() A.(V2)=V2 B.2V3+3V3=5V6 C.V8=4V2 D.V3(2V3-2)=6-23 易错点精析 易错点一平方根、立方根中的易错问题 例1求V81的算术平方根， 【错解】V81的算术平方根为9. 【错点分析】此题的错误是最常见的，错把81和V81混淆，因为V81=9,所以V81的 算术平方根就是9的算术平方根 【正解】V81=9,∴V81的算术平方根为3. 例2若Va=a,求a的值， 【错解】Va=a,∴.a=1或a=-1. 【错点分析】错误的原因是漏掉了0,0的立方根还是0. 【正解】./a=a,.a=1或a-1或a=0. 27 中考总复习·数学 【易错点三忽视三次根式性质的使用条件 例计算：V(-25)x(-16). 【错解】V(-25)×(-16)=V-25×V-16=(-5)×(-4)=20. 【错点分析】本知识点是最容易出现错误的，尽管错解的结果正确，但错解没有考虑 Vab=Va.Vb的使用条件是a≥0，b≥0，而错解中的V-25,V16是没有意义的，所 以化简中应首先处理符号问题， 【正解】V(-25)×(-16)=V25×16=V25×V16=5×4=20. 【易错点三除法运算中套用分配律 例计算：V15÷(V5+V3). 【错解】V15÷(V5+V3)=V15÷V5+V15÷V3=V3+V5 【错点分析】此题解答出现的错误是VI5分别去除以V5与V3,原因是被除数对加法 运算没有分配律，即a÷(b+c)≠a÷b+a÷c,而除数对加法运算有分配律，即(b+c)÷a=b÷a+c÷a, 因此不能随意地创造分配律」 【正解】5÷(V5+V3)=Y15 =V15(V5-V3)-5V3-3V5 V5+V3(V5+V3)(V5-V3) 2 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)若代数式Vx-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1 2.(★)16的平方根是() A.-4 B.4 C.2 D.±4 3.(★)对于二次根式的乘法运算，一般地，有Va·Vb=Vab,该运算法则成立的 条件是() A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a≤0，b≤0 D.a≥0，b≥0 4.(★)计算V2×V7的结果是() A.2V7 B.7V2 C.14 D.V14 28 ● 第一部分数与代数 1(*)若=V7,=V7,则Vg=() A.2 B.4 C.V7 D.V2 6.(★)矩形相邻两边长分别为V2cm,V5cm,设其面积为Scm,则S在哪两个 连续整数之间() A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 7.(★)已知k=V2(V5+V3)(V5-V3),则与k最接近的整数为（) A.2 B.3 C.4 D.5 8.(*)设m=5V于-V④5，则实数m所在的范围是（) A.m<-5 B.-5<m<-4 C.-4<m<-3 D.m>-3 9.(★★)已知1<<2，化简V(x-1)2+lx-2I的结果为() A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x 10.(★★)将一组数V2,2,V6,2V2,V10,2V3,…,V2n,…,按以下 方式进行排列： 第一行 V2 第二行 2V6 第三行 2V2V102V3 第10题图 则第八行左起第1个数是() A.7V2 B.8V2 C.V58 D.4V7 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)在函数y=1一+1中，自变量x的取值范围是 V3+xx+2 12.(★)化简：V(-3)2= 13.(★)计算(V11-1)(V11+1)的结果为 14.(★)若m,n为实数，且(m+4)2+Vn-5=0,则(m+n)2的值为 15.(★★)请写出一个正整数m的值，使得V8m是整数：m= 29 中考总复习·数学 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）】 16.(12分★)化简. )）V8-2V+V3D: (2)(3+V2)(3-V2)-V24÷V6. 17.(12分★)化简求值. (1)已知a=V5+1,求代数式(a-V3)(a+V3)-a(a-V5)的值； (2)已知x=3+V2,求代数式(11-6V2)x2+(3-V2)x+1的值. 18.(10分★)已知一个直角三角形的斜边长为4，周长为4+3V2,求这个三角形的 面积. 30 ● 第一部分数与代数 19.(10分★)全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等 植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近 似地满足关系式：d=7Vt-12(t≥12)，其中d表示苔藓的直径（单位：cm),t代表冰川消 失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米。 (2)如果测得一些苔藓的直径是35cm,问冰川约是在多少年前消失的. 20.(11分★★)如图，某居民小区有块形如长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC 为V162m,宽AB为V128m.现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部 分)，长方形花坛的长为(V14+1)m,宽为(V14-1)m (1)长方形ABCD的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)除修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元2的地砖 (假设地砖没有损耗)，则要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 第20题图 318解：原式2h+·。0a6户 a a (a+b)(a-b)= a-b atb 把a=1+V2,b=1-V2代入，得 原式=1+V2-l+V2=2V2=V2. 1+V②+1-V22 19解：原武o品 a-2 1 =3(d+3a) 当d2+3a-l=0,即a2+3a=1时，原式=} 3 20解：原式-品}：a222 a-1 a-1 号a1且a-,当0时，原式-1：当 a=2时，原式=0. 4.二次根式 腿考点精梳 考点一二次根式的有关概念 例1D【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有 意义的条件得到不等式组，六：≥0， 解得x≥0且x≠2， “x-2≠0， 故选D. 例2C【解析】根据同类二次根式的定义，V8= 2V2,与V2是同类二次根式，符合题意，故选C 考点二平方根与立方根 例1D【解析】各选项利用平方根、立方根的定义计 算即可求出值.V9=3,A错误；V(-3)=-31=3,B错 误；V⑨不能化简，C错误；V2-V3=2V3-V3= V3,D正确.故选D. 例2C【解析】V-6=V81-36=V45=3V5,故 选C. 例3B【解析】V(-5)P=5,A错误；V-8=-2,B 正确；V36=6,C错误；-V16=-4,D错误.故选B. 考点三二次根式的性质 例1A【解析】最简二次根式需要同时满足两个条 件：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含有开得尽 方的因数或因式，故选A. 例2B【解析】根据最简二次根式的定义，V5, √写，-2V高，V中是最简二次根式的有V5, Vx+y,共2个，故选B. 例3C【解析】利用二次根式的性质与运算公式可判 断YVV5正确，放适C 考点四二次根式的运算 ● 参考答案 例1C【解析】此题只有先判断出同类二次根式，才 能进行加减法运算.2与V3不能合并，A错误：5V2- V2=4V2,B错误；5V2a+V2a=6V2a,C正确； Vy与2Vx不能合并，D错误.故选C. 例2D【解析】(V2)=1,A错误；2V3+3V3 =5V3,B错误；V8=2V2,C错误；V3(2V3-2) =6-2/3,D正确.故选D. ■优题精练 1.D2.D3.D4.D5.A6.C7.B8.B9.B 10.C 11.x>-3且x≠-212.313.1014.115.8（答案 不唯一) 16.解：(1)原式=2V2-V2+4V2=5V2. 2)原式-2-V爱1-V47-25 17.解：(1)原式=㎡2-3-a㎡2+V5a=V5a-3. 当a=V5+1时，原式=V5×(V5+1)-3=5+V5-3= 2+VW5. (2)x=3+V2,.x2=(3+V2)2=11+6V2, .原式=(11-6V2)(11+6V2)+(3-V2)(3+V2)+ 1=121-72+9-2+1=57. 18.解：设直角三角形的两直角边为a和b,则a+b2= 42,.2+b2=16,a+b=3V2 把a+b=3V2两边同时平方，可得a+2ab+b2-18, :宁宁，直角三角形的面积为宁 19.解：(1)当t=21时，d=7V21-12=7x3=21(cm). 答：冰川消失21年后苔薛的直径为21cm. (2)当d=35时，即7Vt-12=35,.t-12=25,t37. 答：冰川约是在37年前消失的. 20.解：(1)长方形ABCD的周长为2(BC+4B)= 2(V162+V128)=34V2(m). 答：长方形ABCD的周长是34V2m. (2)铺地砖的面积为V162×V128-(V14+1)(V14 -1)=144-13=131(m2),故购买地砖花费131×5=655（元）. 答：购买地砖需要花费655元. 数与式强化训练 1.A2.D3.D4.C5.D6.A7.C8.C9.B 10.C 11.x(x+y)(x-y)12.-113.3或914.1115.0.7 16.解：(1)原式=-15+V6-1=-16+V6. (2)原式=-1+2-V/3+3+1=5-V3. (3)原武=3V3x22V2-6V2=12V2-6V2 V3