专项提升训练12：用方程解决问题（知识点梳理+题型分类训练共40题）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

专项提升训练12：用方程解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、基础概念与步骤 1.列方程解决问题的步骤： ① 找出（ ）关系，设未知数；② 根据等量关系列出（ ）；③ 解方程；④ 检验并作答。 2.找等量关系的方法： 题目中“一共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等关键词通常对应数学关系。例如“甲比乙多5”可列方程为（ ）。 二、典型应用题模型 3.相遇问题（相向而行）： 两地之间的总路程 = 甲行驶的路程 ＋ 乙行驶的路程。 公式：（ ）× 相遇时间 = 总路程。 4.合做问题（工程问题）： 工作总量 = （甲的工作效率 ＋ 乙的工作效率）×（ ）。 5.倍数问题： 通常设（ ）的量为x，另一个量用含有x的式子表示。例如“A是B的3倍”，设B为x，则A为（ ）。 6.追及问题（同向而行）： 路程差 = （快速度 － 慢速度）×（ ）。 例如“慢马先走12天，快马追它”，等量关系是：快马路程（ ）慢马路程。 三、复杂情境处理 7.包含休息时间的行程： 总时间 = 行驶时间 ＋ （ ）时间。 （注意：计算休息次数时，通常用去尾法，跑完最后一段到达时不需再休息）。 8.分配问题（如碗筷问题）： 总数量 = 1人1个的数量 ＋ 几人合用1个的数量。 例如“1人1饭碗，3人1菜碗”，设总人数为x，则菜碗数量为（ ）。 题型分类训练 【题型1】基础题 1．一条路长1260米，甲、乙两个修路队同时从两端开始修。甲队每天修100米，乙队每天修80米，几天修完？（用方程解答） 2．少儿图书馆有文学类图书510本，文学类图书的数量比科普类的2倍多30本。少儿图书馆有科普类图书多少本？（列方程解决问题） 3．竹工艺品是指以竹子为原料进行雕刻、绘画等艺术创作的工艺品。师徒二人要加工360件竹工艺品，二人同时加工，师父每小时加工25件，徒弟每小时加工20件。几时能完成这项任务？ 4．农历五月初五是中国的传统节日一端午节。实验小学五（1）班和五（2）班举行包粽子活动，共包224个粽子。其中五（1）班包的粽子个数是五（2）班的3倍，五（1）班和五（2）班各包了多少个粽子？（用方程解答） 5．客车和货车从相距620千米的两地出发相向而行，客车每时行驶80千米，货车每时行驶60千米。如果货车出发1时后客车出发，客车出发几时后相遇？（列方程解答） 6．文具超市有两种不同品牌的铅笔，甲品牌铅笔每支1.8元，乙品牌铅笔每支1.2元，两种品牌的铅笔共买了16支，花费了24.6元。这两种品牌的铅笔各买了几支？ 7．甲乙两地之间的公路长700千米，一辆小汽车和一辆货车同时从两地出发，相向而行。小汽车每小时行驶80千米，货车每小时行驶60千米，行驶几小时后两车相遇？ 8．笼子里有白兔、灰兔若干只。白兔的只数是灰兔的4倍，灰兔比白兔少18只，白兔、灰兔各多少只？（请先画出线段图，写出等量关系，再用方程解答） 9．成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 10．一辆小轿车从甲地开往乙地，每小时行驶90千米。同时，一辆卡车从乙地开往甲地，6小时后两车相遇，小轿车又用了4小时到达乙地，相遇后，卡车多少小时可以到达甲地？ 11．马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 12．刺绣是中国民间传统手工艺之一、陈阿姨绣一幅花鸟图，她准备了一些丝线，绣花朵部分用了这些丝线的，绣鸟部分用了5米，这些丝线还剩下。陈阿姨准备了多少米的丝线？（用方程解） 13．政府决定修建一条海洋隧道，其中一段隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘进425米。已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进5米。求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ 14．笑笑和妈妈想在六一儿童节前，为希望小学的小朋友编60个笔筒。妈妈平均每时编3个，笑笑平均每时编2个。编好60个笔筒，一共需要多长时间？ 15．今年“3.15”期间，某城市因商品质量问题提出投诉的消费者有408人，比去年同期投诉人数的2倍少6人，去年同期投诉的有多少人？（用方程解） 16．上海和武汉之间的水路长1075千米，客轮在上海港，货轮在武汉港，他们同时从两港开出，相对而行，客轮每小时行45千米，货轮每小时行36千米，几小时后两船相距296千米？ 17．同学们去参观闽台缘博物馆。四年级同学比五年级少去60人，五年级去的人数是四年级的3倍。两个年级各去了多少人？（请先画图或写出等量关系，再列方程解决。） 18．一辆货车和一辆小汽车分别从相距315千米的甲、乙两地同时相对开出，2.5时后两车相遇，已知小汽车的速度是货车的1.8倍，货车和小汽车每时分别行驶多少千米？（列方程解决问题） 19．爸爸买了一套如图所示的茶具，一共花了70元。已知茶壶的售价是一个茶杯单价的4倍，那么这套茶具中茶杯的单价是多少元/个？（列方程解答） 20．李丽和蓝兰家相距1200米，李丽要把一本《故事书》还给蓝兰，两人相约步行同时从各自家里出发。 （1）估计两人在哪个地方相遇？请在图上用标出来。 （2）经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 【题型2】进阶题 21．王叔叔和李叔叔分别同时从甲、乙两地开车出发，相向而行。已知甲、乙两地之间的路程为210千米，王叔叔开车的速度是80千米/时，他们出发1.5小时后相遇。李叔叔开车的速度是多少千米/时？（列方程解答） 22．甲、乙两地相距560千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时相遇，已知客车每小时行驶75千米，货车每小时行多少千米？ 23．今年爸爸的年龄比笑笑大30岁，三年后爸爸的年龄是笑笑的3倍，笑笑今年多大年龄？ 24．只列综合算式或方程，不计算。 淘气家和奇思家相距2400米。一天，两人约定在两家之间的路上会合。淘气每分走75米，奇思每分走80米。两人同时从家出发，多长时间后能相遇？ 25．“端午节”五年级两个班举行包粽子活动，其中一班包的粽子数是二班包的粽子数的1.5倍，一班比二班多包了24个粽子，两个班各包了多少个粽子？（列方程解决问题） 26．一些同学参加了学校的“美食社团”，在今天学习制作“安徽板面”的课堂上，男生人数是女生人数的3.5倍，且男生比女生多15人。那么今天来参加活动的男生和女生各有多少人？（列方程解答） 27．港珠澳大桥全长55千米，是世界上最长的跨海大桥。王叔叔和李叔叔分别从两端同时驾车出发，王叔叔的车速是50千米/时，李叔叔的车速是60千米/时。 （1）估计他们在何处相遇，请在图中用标出。 （2）他们出发后几小时相遇？ 28．小王家饲养的鸡和鸭一共239只，其中鸭的数量比鸡的数量的3倍还多15只，小王家养的鸡和鸭各多少只？（列方程解） 29．甲、乙两工程队铺一条长2600米的公路，他们从两端同时施工。甲队每天铺70米，乙队每天铺60米，几天后能够铺完这条公路？ 30．中国古代历法，以六十年为一循环，一循环称为一甲子。妈妈和乐乐今年的年龄之和正好是一甲子，妈妈今年多少岁？ 31．港珠澳大桥东起香港，西止珠海，全长55km。一辆巴士从香港出发，每小时行驶50km，一辆轿车从珠海出发，每小时行驶60km。两车同时出发后几时会相遇？ （1）两车同时出发，请用“”在右图中标出相遇时的大致位置。 （2）两车同时出发多久后相遇？（用方程解答） 32．甲、乙两个工程队给一条长6km的公路画中心线，从公路的两端同时施工，4天画完。甲队每天画730m，乙队每天画多少米？ 33．在一次网络评卷中，张老师和顾老师共同批阅同一道题，共有2520份试卷，张老师每分钟可以批阅10份，顾老师每分钟比张老师多批4份。两位老师批阅这些试卷需要多长时间？ 34．甲、乙两辆货车从A地同时出发到B地，甲车每时行驶56km，乙车每时行驶44km，甲车到达B地后立即返回。若从出发到两车第一次相遇经过了5时，求A，B两地之间的距离。 35．在一次区运动会的长跑比赛上，园园以每分190m的速度匀速前进，已经领先海海15m。这时，海海以每分195m的速度开始追赶园园。海海几分后可以追上园园？ 36．有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之。”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马。”若慢马和快马从同一地点出发，则快马几天可以追上慢马？ 37．小明和小聪分别骑电动车和自行车，同时从相距2800米的两地相向而行，3.5分钟后相遇。电动车每分钟行驶650米，自行车每分钟行驶多少米？（列方程解答） 38．公司员工一起吃午餐，1人一个饭碗，3人合用一个菜碗，6人合用一个汤碗，一共用了45个碗。共有多少名员工参加了这次聚餐活动？ 39．将一个长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形。正方形面积比长方形大79平方厘米，求原来长方形的面积。 40．在长800米的环形跑道上，A、B两点相距360米。艾迪、薇儿两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。艾迪每秒跑8米，薇儿每秒跑5米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么艾迪追上薇儿需要的时间是多少秒。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练12：用方程解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、基础概念与步骤 1.列方程解决问题的步骤： ① 找出（ ）关系，设未知数；② 根据等量关系列出（ ）；③ 解方程；④ 检验并作答。 2.找等量关系的方法： 题目中“一共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等关键词通常对应数学关系。例如“甲比乙多5”可列方程为（ ）。 二、典型应用题模型 3.相遇问题（相向而行）： 两地之间的总路程 = 甲行驶的路程 ＋ 乙行驶的路程。 公式：（ ）× 相遇时间 = 总路程。 4.合做问题（工程问题）： 工作总量 = （甲的工作效率 ＋ 乙的工作效率）×（ ）。 5.倍数问题： 通常设（ ）的量为x，另一个量用含有x的式子表示。例如“A是B的3倍”，设B为x，则A为（ ）。 6.追及问题（同向而行）： 路程差 = （快速度 － 慢速度）×（ ）。 例如“慢马先走12天，快马追它”，等量关系是：快马路程（ ）慢马路程。 三、复杂情境处理 7.包含休息时间的行程： 总时间 = 行驶时间 ＋ （ ）时间。 （注意：计算休息次数时，通常用去尾法，跑完最后一段到达时不需再休息）。 8.分配问题（如碗筷问题）： 总数量 = 1人1个的数量 ＋ 几人合用1个的数量。 例如“1人1饭碗，3人1菜碗”，设总人数为x，则菜碗数量为（ ）。 参考答案 一、基础概念与步骤 1.等量；方程 2.x + 5 = y（或 y - x = 5，答案需符合方程逻辑即可） 二、典型应用题模型 3.速度和（或 甲速 + 乙速） 4.工作时间 5.一倍数（或较少）；3x 6.追及时间；= 三、复杂情境处理 7.休息 8.x ÷ 3 题型分类训练 【题型1】基础题 1．一条路长1260米，甲、乙两个修路队同时从两端开始修。甲队每天修100米，乙队每天修80米，几天修完？（用方程解答） 【答案】 7天 【分析】设x天修完，甲队每天修100米，那么x天甲队修的长度就是100x米（工作总量＝工作效率×工作时间）；同理，乙队每天修80米，那么x天乙队修的长度就是80x米；这条路总长1260米，甲队修的长度加上乙队修的长度就等于路的总长度，所以可列方程：100x＋80x＝1260。先计算出100x＋80x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以180求解出x，即所需天数。 【详解】解：设x天完成。 100x＋80x＝1260 180x＝1260 180x÷180＝1260÷180 x＝7 答：7天修完。 2．少儿图书馆有文学类图书510本，文学类图书的数量比科普类的2倍多30本。少儿图书馆有科普类图书多少本？（列方程解决问题） 【答案】240本 【分析】题中要求列方程解决问题，已知文学类图书的数量比科普类的2倍多30本，可以设科普类图书有x本，根据已知列方程求解即可。 【详解】解：设少儿图书馆有科普类图书x本。 2x＋30＝510 2x＋30－30＝510－30 2x÷2＝480÷2 x＝240 答：少儿图书馆有科普类图书240本。 3．竹工艺品是指以竹子为原料进行雕刻、绘画等艺术创作的工艺品。师徒二人要加工360件竹工艺品，二人同时加工，师父每小时加工25件，徒弟每小时加工20件。几时能完成这项任务？ 【答案】8时 【分析】已知师徒二人要加工360件竹工艺品，二人同时加工，师父每小时加工25件，徒弟每小时加工20件，则先用师父每小时加工的件数加上徒弟每小时加工的件数，求出师父和徒弟每小时加工的件数之和，再设x时能完成这项任务，根据师父和徒弟每小时加工的件数之和乘以时间等于师徒二人要加工的总件数，据此列出方程解答。 【详解】解：设x时能完成这项任务。              答：8时能完成这项任务。 4．农历五月初五是中国的传统节日一端午节。实验小学五（1）班和五（2）班举行包粽子活动，共包224个粽子。其中五（1）班包的粽子个数是五（2）班的3倍，五（1）班和五（2）班各包了多少个粽子？（用方程解答） 【答案】五（1）班168个；五（2）班56个 【分析】根据“五（1）班包的粽子个数是五（2）班的3倍”，可以设五（2）班包了个粽子，则五（1）班包了3个粽子； 根据“五（1）班和五（2）班共包224个粽子”可得出等量关系：五（1）班包粽子的个数＋五（2）班包粽子的个数＝两班一共包粽子的个数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设五（2）班包了个粽子，则五（1）班包了3个粽子。 3＋＝224 4＝224 4÷4＝224÷4 ＝56 56×3＝168（个） 答：五（1）班包168个粽子，五（2）班包56个粽子。 5．客车和货车从相距620千米的两地出发相向而行，客车每时行驶80千米，货车每时行驶60千米。如果货车出发1时后客车出发，客车出发几时后相遇？（列方程解答） 【答案】4时 【分析】根据相遇问题中“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：货车先出发1时行的路程＋（客车的速度＋货车的速度）×客车出发的时间＝全程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设客车出发几时后相遇。 60＋（80＋60）＝620 60＋140＝620 60＋140－60＝620－60 140＝560 140÷140＝560÷140 ＝4 答：客车出发4时后相遇。 6．文具超市有两种不同品牌的铅笔，甲品牌铅笔每支1.8元，乙品牌铅笔每支1.2元，两种品牌的铅笔共买了16支，花费了24.6元。这两种品牌的铅笔各买了几支？ 【答案】甲品牌：9支；乙品牌：7支 【分析】设甲品牌铅笔买了x支，则乙品牌铅笔买了（16－x）支，甲品牌铅笔每支1.8元，x支铅笔是1.8x元，乙品牌铅笔每支1.2元，（16－x）支铅笔是1.2×（16－x）元，两种品牌的铅笔共花24.6元，即买甲品牌铅笔的钱数＋买乙品牌铅笔的钱数＝24.6元，列方程：1.8x＋1.2×（16－x）＝24.6，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲品牌铅笔买了x支，则乙品牌买了（16－x）支。 1.8x＋1.2×（16－x）＝24.6 1.8x＋1.2×16－1.2x＝24.6 0.6x＋19.2＝24.6 0.6x＝24.6－19.2 0.6x＝5.4 x＝5.4÷0.6 x＝9 乙品牌：16－9＝7（支） 答：甲品牌铅笔买了9支，乙品牌铅笔买了7支。 7．甲乙两地之间的公路长700千米，一辆小汽车和一辆货车同时从两地出发，相向而行。小汽车每小时行驶80千米，货车每小时行驶60千米，行驶几小时后两车相遇？ 【答案】5小时 【分析】由题意知：两车同时相向而行，根据等量关系：速度和×时间＝总路程，设行驶x小时后两车相遇，列方程求解即可。 【详解】解：设行驶x小时后两车相遇。 （80＋60）x＝700 140x＝700 140x÷140＝700÷140 x＝5 答：行驶5小时后两车相遇。 8．笼子里有白兔、灰兔若干只。白兔的只数是灰兔的4倍，灰兔比白兔少18只，白兔、灰兔各多少只？（请先画出线段图，写出等量关系，再用方程解答） 【答案】白兔24只；灰兔6只 【分析】已知白兔的只数是灰兔的4倍，先画一条线段表示灰兔的只数，再在这条线段的下方画一条4倍长的线段，表示白兔的只数；在线段图上标注信息和数据，完成线段图。 根据“白兔的只数是灰兔的4倍”，可以设灰兔有只，则白兔有4只；根据“灰兔比白兔少18只”可得出等量关系，据此列出方程，并求解。 【详解】如图： 等量关系：白兔的只数－灰兔的只数＝灰兔比白兔少的只数 解：设灰兔有只，则白兔有4只。 4－＝18 3＝18 3÷3＝18÷3 ＝6 白兔：6×4＝24（只） 答：白兔有24只，灰兔有6只。 9．成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】设轿车每时行驶多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30千米＋货车2小时行的路程＋轿车2小时的路程，列出方程求解即可。 【详解】解：设轿车每时行驶多少千米。 30＋60×2＋2＝300 30＋120＋2＝300 150＋2＝300 150＋2－150＝300－150 2＝150 2÷2＝150÷2 ＝75 答：轿车每时行驶75千米。 10．一辆小轿车从甲地开往乙地，每小时行驶90千米。同时，一辆卡车从乙地开往甲地，6小时后两车相遇，小轿车又用了4小时到达乙地，相遇后，卡车多少小时可以到达甲地？ 【答案】9小时 【分析】6小时后两车相遇，根据速度×时间＝路程，相遇时小轿车行驶了90×6＝540（千米），也就是相遇后，卡车到达甲地还需要行驶的路程；小轿车又用了4小时到达乙地，这段路程是90×4＝360（千米），而这段路程卡车行驶了6小时，根据路程÷时间＝速度，可得卡车每小时行驶360÷6＝60（千米）。相遇后，卡车还需行驶540千米到达甲地，根据路程÷速度＝时间，用540除以60，即可求出，卡车多少小时可以到达甲地。 【详解】90×6÷（90×4÷6） ＝540÷（360÷6） ＝540÷60 ＝9（小时） 答：相遇后，卡车9小时可以到达甲地。 11．马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】先设马丁的女儿岁，然后根据题意可知，分别表示出其他三人的年龄，即儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。再根据把他们的年龄都加起来，正好等于祖母的年龄，列方程解答，进而求出马丁的年龄。 【详解】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。 马丁的年龄：（岁） 答：马丁30岁。 12．刺绣是中国民间传统手工艺之一、陈阿姨绣一幅花鸟图，她准备了一些丝线，绣花朵部分用了这些丝线的，绣鸟部分用了5米，这些丝线还剩下。陈阿姨准备了多少米的丝线？（用方程解） 【答案】24米 【分析】设陈阿姨准备了x米的丝线，则绣花朵部分用了x米，还剩下x米。根据题意可得：丝线的总长度－绣花朵部分用去的长度－剩下的长度＝绣鸟部分用去的长度，据此列出方程x－x－x＝5，然后根据等式的性质解出方程即可。 【详解】解：设陈阿姨准备了x米的丝线。 x－x－x＝5 x－x＝5 x－x＝5 x＝5 ×x＝5× x＝24 答：陈阿姨准备了24米的丝线。 13．政府决定修建一条海洋隧道，其中一段隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5天，这25天共掘进425米。已知甲工程队平均每天比乙工程队多掘进5米。求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米？ 【答案】甲工程队15米；乙工程队10米 【分析】设乙工程队平均每天掘进米，则甲工程队平均每天掘进米，根据，，由题意可知等量关系式：甲工程队的工作效率×20＋（甲工程队的工作效率＋乙工程队的工作效率）×5＝425，据此列方程并求解即可得乙工程队的工作效率，用乙工程队的工作效率＋5，可得甲工程队的工作效率。 【详解】解：设乙工程队平均每天掘进米，则甲工程队平均每天掘进米。 10＋5＝15（米） 答：甲工程队平均每天分别掘进15米，乙工程队平均每天分别掘进10米。 14．笑笑和妈妈想在六一儿童节前，为希望小学的小朋友编60个笔筒。妈妈平均每时编3个，笑笑平均每时编2个。编好60个笔筒，一共需要多长时间？ 【答案】12时 【分析】根据题意可得出等量关系：妈妈每时编笔筒的数量×编的时间＋笑笑每时编笔筒的数量×编的时间＝笑笑和妈妈一共编笔筒的总数量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设一共需要时。 3＋2＝60 5＝60 5÷5＝60÷5 ＝12 答：一共需要12时。 15．今年“3.15”期间，某城市因商品质量问题提出投诉的消费者有408人，比去年同期投诉人数的2倍少6人，去年同期投诉的有多少人？（用方程解） 【答案】207人 【分析】根据题意可得出等量关系：去年同期投诉人数×2－6＝今年“3.15”期间投诉人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设去年同期投诉的有人。 2－6＝408 2－6＋6＝408＋6 2＝414 2÷2＝414÷2 ＝207 答：去年同期投诉的有207人。 16．上海和武汉之间的水路长1075千米，客轮在上海港，货轮在武汉港，他们同时从两港开出，相对而行，客轮每小时行45千米，货轮每小时行36千米，几小时后两船相距296千米？ 【答案】小时或小时 【分析】根据题意，两船相距296千米时有两种情况，一种情况是还没相遇相距296千米，另一种情况是相遇后又相距296千米。 设x小时候两船相距296千米，客轮每小时行驶45千米，x小时行驶45x千米，货轮每小时行驶36千米，x小时行驶36x千米，两船还没相遇相距296千米，那么客轮x小时行驶的距离＋货轮x小时行驶的距离＝上海到武汉的距离－296千米；相遇后又相距296千米，客轮x小时驶的距离＋货轮x小时行驶的距离＝上海到武汉的距离＋296千米。据此列方程求解即可。 【详解】第一种情况：没相遇相距296千米 解：设x小时候两船相距296千米。 45x＋36x＝1075－296 81x＝779 81x÷81＝779÷81 x＝ 答：小时后两船相距296千米。 第二种情况：相遇又相距296千米 解：设x小时候两船相距296千米。 45x＋36x＝1075＋296 81x＝1371 81x÷81＝1371÷81 x＝ 答：小时后两船相距296千米。 17．同学们去参观闽台缘博物馆。四年级同学比五年级少去60人，五年级去的人数是四年级的3倍。两个年级各去了多少人？（请先画图或写出等量关系，再列方程解决。） 【答案】四年级去了30人，五年级去了90人 【分析】根据题意可知，五年级人数减去四年级人数，得60人。将四年级人数设为x人，那么五年级人数为3x人。再根据数量关系列方程解方程即可。 【详解】等量关系为：五年级去的人数－四年级去的人数＝四年级比五年级少去的人数。 解：设四年级去了x人，则五年级去了3x人。 3x－x＝60 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 3×30＝90（人） 答：四年级去了30人，五年级去了90人。 18．一辆货车和一辆小汽车分别从相距315千米的甲、乙两地同时相对开出，2.5时后两车相遇，已知小汽车的速度是货车的1.8倍，货车和小汽车每时分别行驶多少千米？（列方程解决问题） 【答案】货车：45千米；小汽车：81千米 【分析】解：设货车的速度是x千米，小汽车的速度是货车的1.8倍，则小汽车的速度是1.8x千米。根据路程＝速度×时间，2.5小时货车行驶2.5x千米；2.5小时小汽车行驶（2.5×1.8x）千米；货车行驶的路程＋小汽车行驶的路程＝甲、乙两地的距离，列方程：2.5x＋1.8×2.5x＝315，解方程，即可解答。 【详解】解：设货车的速度是x千米，则小汽车的速度是1.8x千米。 2.5x＋1.8×2.5x＝315 2.5x＋4.5x＝315 7x＝315 x＝315÷7 x＝45 小汽车速度：45×1.8＝81（千米） 答：货车每时行驶45千米，小汽车每时行驶81千米。 19．爸爸买了一套如图所示的茶具，一共花了70元。已知茶壶的售价是一个茶杯单价的4倍，那么这套茶具中茶杯的单价是多少元/个？（列方程解答） 【答案】7元/个 【分析】由题意知，茶杯的单价是“一倍数”，故可设茶杯的单价为x元/个，茶壶的售价则为4x元。根据数量关系“茶杯的单价×6＋茶壶的售价＝一套茶具的价格”列方程解答即可。 【详解】解：设这套茶具中茶杯的单价是x元/个，则茶壶的售价是4x元。 6x＋4x＝70 10x＝70 10x÷10＝70÷10 x＝7 答：这套茶具中茶杯的单价是7元/个。 20．李丽和蓝兰家相距1200米，李丽要把一本《故事书》还给蓝兰，两人相约步行同时从各自家里出发。 （1）估计两人在哪个地方相遇？请在图上用标出来。 （2）经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 【答案】（1）见详解 （2）8分钟 【分析】（1）李丽的速度是60米/分，蓝兰的速度是90米/分，比较两人速度，速度越快，同样的时间走的路程越多，即两人相遇点距离李丽家近一些，据此作图； （2）速度×时间＝路程，设经过分钟两人相遇，根据李丽速度×相遇时间＋蓝兰速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】（1）60米/分＜90米/分，即两人相遇点距离李丽家近一些 如图： （2）解：设经过分钟两人相遇。 答：经过8分钟两人相遇。 【题型2】进阶题 21．王叔叔和李叔叔分别同时从甲、乙两地开车出发，相向而行。已知甲、乙两地之间的路程为210千米，王叔叔开车的速度是80千米/时，他们出发1.5小时后相遇。李叔叔开车的速度是多少千米/时？（列方程解答） 【答案】60千米/时 【分析】把李叔叔的开车速度设为未知数，由“速度和×相遇时间＝总路程”可知，（王叔叔开车的速度＋李叔叔开车的速度）×相遇时间＝两地之间的总路程，据此列方程解答。 【详解】解：设李叔叔开车的速度是x千米/时。 （80＋x）×1.5＝210 （80＋x）×1.5÷1.5＝210÷1.5 80＋x＝140 80＋x－80＝140－80 x＝60 答：李叔叔开车的速度是60千米/时。 22．甲、乙两地相距560千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时相遇，已知客车每小时行驶75千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】 65千米 【分析】根据“路程＝速度×时间”，客车每小时行驶75千米，行驶了4小时，所以客车行驶的路程为75×4千米；货车每小时行x千米，行驶了4小时，所以货车行驶的路程为4x千米。因为甲、乙两地相距560千米，客车和货车相对开出后相遇，说明两车行驶的路程之和等于甲、乙两地的距离，所以可列方程：75×4＋4x＝560，计算得300＋4x＝560，然后根据等式的性质，方程两边同时减去300，再同时除以4计算出x，即为货车的速度。 【详解】解：设货车每小时行x千米。 75×4＋4x＝560 300＋4x＝560 300＋4x－300＝560－300 4x＝260 4x÷4＝260÷4 x＝65 答：货车每小时行65千米。 23．今年爸爸的年龄比笑笑大30岁，三年后爸爸的年龄是笑笑的3倍，笑笑今年多大年龄？ 【答案】12岁 【分析】由题意可知，无论过多少年，爸爸和笑笑的年龄差不变，把三年后笑笑的年龄设为未知数，三年后爸爸的年龄＝三年后笑笑的年龄×3，等量关系式：三年后爸爸的年龄－三年后笑笑的年龄＝30岁，列方程求出三年后笑笑的年龄，今年笑笑的年龄＝三年后笑笑的年龄－3岁，据此解答。 【详解】解：设三年后笑笑x岁，则三年后爸爸3x岁。 3x－x＝30 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 15－3＝12（岁） 答：笑笑今年12岁。 24．只列综合算式或方程，不计算。 淘气家和奇思家相距2400米。一天，两人约定在两家之间的路上会合。淘气每分走75米，奇思每分走80米。两人同时从家出发，多长时间后能相遇？ 【答案】解：设x分钟后能相遇。 75x＋80x＝2400 【分析】两人相遇时，所用的时间相同，设x分钟后能相遇，根据时间＝路程÷速度，用淘气每分钟走75米，x分钟走75x米；奇思每分钟走80米，x分钟走80x米，淘气走的路程＋奇思走的路程＝淘气家和奇思家相距的路程，列方程：75x＋80x＝2400，据此解答。 【详解】解：设x分钟后能相遇。 75x＋80x＝2400 155x＝2400 x＝2400÷155 x＝ 25．“端午节”五年级两个班举行包粽子活动，其中一班包的粽子数是二班包的粽子数的1.5倍，一班比二班多包了24个粽子，两个班各包了多少个粽子？（列方程解决问题） 【答案】一班包了72个粽子；二班包了48个粽子 【分析】设二班包的粽子数为x个，则一班包的粽子数为1.5x个。根据“一班比二班多包24个”的条件，列方程求出二班包的粽子数，再用二班包的粽子数乘1.5就是一班包的粽子数。 【详解】解：设二班包的粽子数为x个。 1.5x－x＝24 0.5x＝24 x＝24÷0.5 x＝48 48×1.5＝72（个） 答：一班包了72个粽子，二班包了48个粽子。 26．一些同学参加了学校的“美食社团”，在今天学习制作“安徽板面”的课堂上，男生人数是女生人数的3.5倍，且男生比女生多15人。那么今天来参加活动的男生和女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】男生21人；女生6人 【分析】把参加活动的女生人数设为未知数，男生人数＝女生人数×3.5，用含有字母的式子表示出男生人数，等量关系式：男生人数－女生人数＝15人，据此列方程解答。 【详解】解：设今天来参加活动的女生有x人，则男生有3.5x人。 3.5x－x＝15 2.5x＝15 2.5x÷2.5＝15÷2.5 x＝6 3.5×6＝21（人） 答：今天来参加活动的男生有21人，女生有6人。 27．港珠澳大桥全长55千米，是世界上最长的跨海大桥。王叔叔和李叔叔分别从两端同时驾车出发，王叔叔的车速是50千米/时，李叔叔的车速是60千米/时。 （1）估计他们在何处相遇，请在图中用标出。 （2）他们出发后几小时相遇？ 【答案】（1）见详解 （2）0.5小时 【分析】（1）因为李叔叔的车速（60千米/时）比王叔叔的车速（50千米/时）快，所以相同时间内李叔叔行驶的路程更远，相遇点会更靠近王叔叔出发的一端，在图中靠近王叔叔的一侧用▽标出即可。 （2）设他们出发后x小时相遇。根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：王叔叔的车速×相遇时间＋李叔叔的车速×相遇时间＝港珠澳大桥的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】（1）如图： （2）解：设他们出发后x小时相遇。 50x＋60x＝55 110x＝55 110x÷110＝55÷110 x＝0.5 答：他们出发后0.5小时相遇。 28．小王家饲养的鸡和鸭一共239只，其中鸭的数量比鸡的数量的3倍还多15只，小王家养的鸡和鸭各多少只？（列方程解） 【答案】56只；183只 【分析】设小王家养的鸡有x只，则鸭有（3x＋15）只，根据鸭的只数＋鸡的只数＝总只数，列出方程求出x的值是鸡的只数，总只数－鸡的只数＝鸭的只数。 【详解】解：设小王家养的鸡有x只。 3x＋15＋x＝239 4x＋15＝239 4x＋15－15＝239－15 4x＝224 4x÷4＝224÷4 x＝56 239－56＝183（只） 答：小王家养的鸡和鸭各56只、183只。 29．甲、乙两工程队铺一条长2600米的公路，他们从两端同时施工。甲队每天铺70米，乙队每天铺60米，几天后能够铺完这条公路？ 【答案】20天 【分析】根据题意，设x天后能够铺完这条公路；甲队每天铺70米，x天铺70x米；乙队每天铺60米，x天铺60x米，甲队铺的米数＋乙队铺的米数＝这条路的总长度，列方程：70x＋60x＝2600，解方程，即可解答。 【详解】解：设x天后能够铺完这条公路。 70x＋60x＝2600 130x＝2600 x＝2600÷130 x＝20 答：20天后能够铺完这条公路。 30．中国古代历法，以六十年为一循环，一循环称为一甲子。妈妈和乐乐今年的年龄之和正好是一甲子，妈妈今年多少岁？ 【答案】48岁 【分析】由图可知，今年妈妈的年龄恰好是乐乐年龄的4倍，且妈妈和乐乐今年的年龄之和正好是一甲子，即60岁；假设乐乐今年的年龄为x岁，则妈妈今年的年龄是4x岁，妈妈的年龄+乐乐的年龄=60岁，据此列方程并求解，最后用乐乐今年的年龄乘4，求出妈妈今年的年龄。 【详解】解：设乐乐今年x岁。 妈妈：（岁） 答：妈妈今年48岁。 31．港珠澳大桥东起香港，西止珠海，全长55km。一辆巴士从香港出发，每小时行驶50km，一辆轿车从珠海出发，每小时行驶60km。两车同时出发后几时会相遇？ （1）两车同时出发，请用“”在右图中标出相遇时的大致位置。 （2）两车同时出发多久后相遇？（用方程解答） 【答案】（1）见详解 （2）0.5小时 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，当这两辆车同时出发时，因为轿车行驶的速度比巴士行驶的速度快，所以当它们相遇时，轿车行驶的路程比巴士行驶的路程长，据此标出它们相遇的大概位置。 （2）根据轿车行驶的路程＋巴士行驶的路程＝总路程，设两车同时出发小时后相遇，利用速度×时间＝路程，可以表示轿车行驶的路程为，巴士行驶的路程为，据此列出方程求解即可。 【详解】（1）两车相遇时大致的位置如图所示： （2）解：设两车同时出发小时后相遇。                                答：两车同时出发0.5小时后相遇。 32．甲、乙两个工程队给一条长6km的公路画中心线，从公路的两端同时施工，4天画完。甲队每天画730m，乙队每天画多少米？ 【答案】770m 【分析】根据题意可知：（甲队每天画的长度＋乙队每天画的长度）×天数＝甲、乙两个工程队一共的画线长度，根据数量关系式列方程解答。 【详解】6km＝6000m 解：设乙队每天画xm。                             答：乙队每天画770m。 33．在一次网络评卷中，张老师和顾老师共同批阅同一道题，共有2520份试卷，张老师每分钟可以批阅10份，顾老师每分钟比张老师多批4份。两位老师批阅这些试卷需要多长时间？ 【答案】105分钟 【分析】张老师每分钟可以批阅10份，顾老师每分钟比张老师多批4份，那么顾老师每分钟可以批阅份。设两位老师批阅这些试卷需要分，那么张老师可以批阅份，顾老师可以批阅份，根据张老师批阅的份数＋顾老师批阅的份数＝2520份，列出方程进行求解即可。 【详解】解：设两位老师批阅这些试卷需要分。                                                                        答：两位老师批阅这些试卷需要105分钟。 34．甲、乙两辆货车从A地同时出发到B地，甲车每时行驶56km，乙车每时行驶44km，甲车到达B地后立即返回。若从出发到两车第一次相遇经过了5时，求A，B两地之间的距离。 【答案】250km 【分析】根据路程等于速度乘时间，两车从同一地点出发，甲车到达B地后立即返回，第一次相遇时两车的行驶总路程之和等于两倍的A、B两地距离（即甲车行驶了一个来回的部分路程，乙车行驶了单程的一部分）。设A，B两地之间的距离是千米，列方程得，求出方程的解即可。据此解答。 【详解】解：设A，B两地之间的距离是km。                             答：A，B两地之间的距离是250km。 35．在一次区运动会的长跑比赛上，园园以每分190m的速度匀速前进，已经领先海海15m。这时，海海以每分195m的速度开始追赶园园。海海几分后可以追上园园？ 【答案】 3分 【分析】根据园园先跑了15米，所以园园与海海两人之间的路程差是15米；等量关系式：海海的路程－园园的路程＝15，据此列出方程并求解即可。 【详解】解：设海海x分后可以追上园园。 答：海海3分后可以追上园园。 36．有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之。”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马。”若慢马和快马从同一地点出发，则快马几天可以追上慢马？ 【答案】20天 【分析】由题意知，慢马行的路程等于快马行的路程。根据路程等于速度乘时间，设快马x天可以追上慢马，列方程，求出方程的解即可。 【详解】解：设快马x天可以追上慢马。                                                                 答：快马20天可以追上慢马。 37．小明和小聪分别骑电动车和自行车，同时从相距2800米的两地相向而行，3.5分钟后相遇。电动车每分钟行驶650米，自行车每分钟行驶多少米？（列方程解答） 【答案】150米 【分析】已知两地相距2800米，相遇时间3.5分钟，电动车速度是650米/分钟，设自行车每分钟行驶x米，根据（电动车速度＋自行车速度）×相遇时间＝总路程，代入数值列出方程，求出x的值，也就是自行车每分钟行驶的速度。 【详解】解：设自行车每分钟行驶x米。 （650＋x）×3.5＝2800 （650＋x）×3.5÷3.5＝2800÷3.5 650＋x＝800 650＋x－650＝800－650 x＝150 答：自行车每分钟行驶150米。 38．公司员工一起吃午餐，1人一个饭碗，3人合用一个菜碗，6人合用一个汤碗，一共用了45个碗。共有多少名员工参加了这次聚餐活动？ 【答案】 30名 【分析】根据题意，饭碗每人一个，菜碗每3人合用一个，汤碗每6人合用一个，总碗数为45个。碗的数量必须是整数，因此员工总数应是3和6的公倍数，即6的倍数。设员工总数为6k人（k为正整数），则饭碗为6k个，菜碗为6k÷3＝2k个，汤碗为6k÷6＝k个，总碗数为6k＋2k＋k＝9k个。根据总碗数45个，列出方程9k＝45求解。 【详解】设员工总数为6k人（k为正整数）。 饭碗数量：6k（个） 菜碗数量：6k÷3＝2k（个） 汤碗数量：6k÷6＝k（个） 总碗数：6k＋2k＋k＝9k（个） 根据题意，总碗数为45个，得： 9k＝45 k＝45÷9 k＝5 员工总数：6×5＝30（名） 答：共有30名员工参加了这次聚餐活动。 39．将一个长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形。正方形面积比长方形大79平方厘米，求原来长方形的面积。 【答案】90平方厘米 【分析】根据题意，长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形，说明这个长方形的长比宽多1厘米。先假设原来长方形的宽不变，长增加3厘米，面积就增加一个小长方形，这个小长方形的长正好是原来长方形的宽，小长方形的宽是3厘米；这时得到一个大的长方形，又假设大长方形的长不变，宽增加4厘米，面积又增加一个小长方形，这个小长方形的长正好是原来长方形的长加3的和，小长方形的宽是4厘米；根据增加的两个小长方形的面积和是79平方厘米，列出方程解决。 【详解】解：设原来长方形的长是a厘米，则原来长方形的宽是（a－1）厘米。 （a－1）×3＋（a＋3）×4＝79 3a－3＋4a＋3×4＝79 3a＋4a－3＋12＝79 7a＋9＝79 7a＋9－9＝79－9 7a＝70 7a÷7＝70÷7 a＝10 a－1＝10－1＝9 10×9＝90（平方厘米） 答：原来长方形的面积是90平方厘米。 【点睛】根据长方形的长增加3厘米，宽增加4厘米，就变成一个正方形，说明这个长方形的长比宽多1厘米。再画图理解增加的面积是两个小长方形的面积之和，列方程解答。 40．在长800米的环形跑道上，A、B两点相距360米。艾迪、薇儿两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。艾迪每秒跑8米，薇儿每秒跑5米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么艾迪追上薇儿需要的时间是多少秒。 【答案】300秒 【分析】艾迪追上薇儿需要比薇儿多跑360米，则比薇儿多休息3次，在这3次休息中薇儿多跑了（5×10×3）米，则艾迪要比薇儿多跑（360＋5×10×3）米，利用“追及时间＝多跑路程÷速度差”计算追及时间，列式为：（360＋5×10×3）÷（8－5），计算得170秒。170秒时间内艾迪每秒跑8米，用170×8计算出艾迪跑的总路程，再除以100得到需要休息几次，计算得13次（使用去尾法保留整数，因为不够100米不休息），每次休息10秒钟，用13×10得休息的总时间，再加上170秒的追及时间，即为艾迪追上薇儿共需要多少时间。 【详解】360÷100≈3（次） （360＋5×10×3）÷（8－5） ＝（360＋50×3）÷3 ＝（360＋150）÷3 ＝510÷3 ＝170（秒） 170×8÷100 ＝1360÷100 ≈13（次） 170＋13×10 ＝170＋130 ＝300（秒） 答：艾迪追上薇儿需要300秒。 【点睛】解题关键是结合跑步时间与休息时间，通过分析两人的速度和路程差，逐步推导追及过程中包含休息的总时间。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $