专项提升训练03：长方体（一）解决问题（知识点梳理+题型分类训练共37题）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

专项提升训练02：长方体（一）解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、长方体、正方体有关棱长的应用 1.棱长总和公式： 长方体的棱长总和 = （长 + 宽 + 高）× ( ) 正方体的棱长总和 = 棱长 × ( ) 2.实际应用： 在解决如“捆扎礼盒”、“搭建框架”等问题时，需要计算（ ）的总长度。如果有重叠部分或打结处，需要额外加上。 二、长方体、正方体的展开图 3.展开图特征： 长方体展开图通常由( )个长方形组成，相对的面完全相同且（ ）。 4.相对的面： 在正方体展开图中，如果有“间隔一个面”或者处于“Z”字型两端的面，它们通常是（ ）的面。 三、长方体、正方体的表面积 5.表面积公式： 长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × ( ) 正方体的表面积 = 棱长×棱长×( ) 6.无盖/无底问题： 在解决粉刷墙壁、制作鱼缸、包装盒子等问题时，往往不需要计算( )个面。 例如：无盖鱼缸或游泳池贴砖只有( )个面（缺一个上面）。 例如：粉刷教室四壁和屋顶通常算( )个面（缺一个底面，且要减去门窗面积）。 四、立体图形的切拼 7.切拼规律： 拼接： 两个长方体拼成一个大长方体，表面积会（ ），减少的面积是重合面面积的2倍。 切割： 一个长方体切成两块，表面积会（ ），增加的面积是切面面积的2倍。 五、露在外面的面 8.计算方法： 数露在外面的面时，可以从（ ）、（ ）、（ ）三个方向分别观察，然后把看到的面数加起来。 题型分类训练 【题型1】长方体、正方体有关棱长的应用 1．笑笑家有一个长方体蚊帐（如图），长2米，宽1.5米，高1.8米。蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 2．奇思想制作一个长方体收纳盒，已知这个收纳盒的棱长总和是120厘米，底面的长是15厘米，宽是10厘米。请问这个收纳盒的高度是多少厘米？ 3．有一种长方体包装箱，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。用这种包装箱装长5厘米、宽4厘米、高3厘米的首饰盒，要想装得最多，第一层装多少盒？第二层装多少盒？ 4．某建筑物长60米、宽50米、高70米。“六·一节”快到了，为增添节日气氛，工人叔叔要在这个建筑物四周装上彩灯（底面的四边不装）。张叔叔去商店买彩灯，他至少买几捆？ 5．淘气用一根长24分米的铁丝围了一个长方体框架。量得长是3.5分米，宽是2分米。三位同学分别这样计算高的长度： ① 24－3.5×4＝10（分米） 10－2×4＝2（分米） ② 24－3.5×4＝10（分米） 10－2×4＝2（分米） 2÷4＝0.5（分米） ③ 24÷4＝6（分米） 6－3.5－2＝0.5（分米） （1）请你判断三位同学的解答，正确的有（    ）。 （2）你喜欢哪个同学的解答？请你写一写他的解题思路。 6．在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 7．四川成都自古被誉为“天府之国”，又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台。柜台长0.9米，宽0.4米，高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装其他部件，制作这个售卖柜台至少需要多少米的角铁？ 8．一根铁丝可以焊成一个长50厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【题型2】长方体、正方体的展开图 9．下图是一个正方体展开图，正方体的六个面分别写上“祝你学习进步”六个字，请你说出每个字相对的面上的字是哪个字？ 10．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图B所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？ 11．淘气用一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸板做了一个无盖的长方体纸盒。（纸盒的展开图如图所示） （1）这个纸盒的长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）把这个纸盒放在地上，最多占地多少平方厘米？ 12．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 13．下图中每个方格的边长都是1厘米，请按要求回答下面各题。 （1）下图中是一个不完整的长方体展开图，请在合适的把缺少的面添上。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是（    ）平方厘米。 14．下图所示的是小鹿西西的房子模型及其展开图。 （1）请你在展开图上把窗户、天窗和电视接收器的大致位置标出来。 （2）小鹿西西的房子的占地面积是多少平方米？ 15．西周时期的士人学习的“六艺”是“礼、乐、射、御、书、数”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如下图，与“御”字相对的是哪个字？ 16．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 17．下图所示的是一个长方体的展开图，如果A面是前面，F面是左面，那么下面的面积是多少平方厘米？（单位：cm） 【题型3】长方体、正方体的展开图 18．有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 19．用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 20．这是一个长方体的展开图，做这样的一个纸箱至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 21．学校新建了一间智能音乐教室，现在要粉刷四壁和天花板。量得教室的长是24米，宽是6米，高是宽的，门窗面积是21平方米。如果每平方米用涂料0.5升，粉刷这间教室共需涂料多少升？ 22．一间教室长10米，宽8米，高3米。要粉刷教室的顶部和四周墙壁，除去门窗面积25平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 23．一个长方体游泳池，长150米、宽60米、深4米。若这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 24．“五育并举，德育为先”某小学进行“手拉手”活动。老师想把一个空教室布置成一个教育基地。笑笑量了一下，找到一些数学信息：教室长10米、宽9米、高为3米，门窗面积为11.6平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷多少平方米的面积？ 【题型4】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 25．儿童节，妙想要给贫困地区的小朋友寄糖果，两盒糖果包成一包。 （1）怎样包才能节约包装纸？请你简单画出来或用文字描述出来。 （2）需要多少包装纸？（注：接口处不计，单位：厘米） 26．将下面长方体木料切成完全相等的两块，怎样切能使木料增加的表面积最多？先画一画，再算一算切完之后表面积增加了多少平方分米？ 27．在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 28．将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 29．有12个棱长1厘米的小正方体，拼成一个长方体，有几种不同的拼法？怎样拼，表面积最小？是多少？（计算说明） 30．如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 31．做一个棱长为8分米的无盖正方体玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ 【题型5】露在外面的面 32．将4个棱长为6厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的4个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？ 33．下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 34．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 35．将小正方体木块按下图所示的方式摆在墙角，数一数，一共有多少个面露在外面？ 36．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 37．（1）如图是由（    ）个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（    ）个，只有一面涂上橙色的小正方体有（    ）个。 （2）若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练02：长方体（一）解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、长方体、正方体有关棱长的应用 1.棱长总和公式： 长方体的棱长总和 = （长 + 宽 + 高）× ( ) 正方体的棱长总和 = 棱长 × ( ) 2.实际应用： 在解决如“捆扎礼盒”、“搭建框架”等问题时，需要计算（ ）的总长度。如果有重叠部分或打结处，需要额外加上。 二、长方体、正方体的展开图 3.展开图特征： 长方体展开图通常由( )个长方形组成，相对的面完全相同且（ ）。 4.相对的面： 在正方体展开图中，如果有“间隔一个面”或者处于“Z”字型两端的面，它们通常是（ ）的面。 三、长方体、正方体的表面积 5.表面积公式： 长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × ( ) 正方体的表面积 = 棱长×棱长×( ) 6.无盖/无底问题： 在解决粉刷墙壁、制作鱼缸、包装盒子等问题时，往往不需要计算( )个面。 例如：无盖鱼缸或游泳池贴砖只有( )个面（缺一个上面）。 例如：粉刷教室四壁和屋顶通常算( )个面（缺一个底面，且要减去门窗面积）。 四、立体图形的切拼 7.切拼规律： 拼接： 两个长方体拼成一个大长方体，表面积会（ ），减少的面积是重合面面积的2倍。 切割： 一个长方体切成两块，表面积会（ ），增加的面积是切面面积的2倍。 五、露在外面的面 8.计算方法： 数露在外面的面时，可以从（ ）、（ ）、（ ）三个方向分别观察，然后把看到的面数加起来。 参考答案 一、长方体、正方体有关棱长的应用 1. 4；12 2. 棱 二、长方体、正方体的展开图 3. 6；不相邻 4. 相对 三、长方体、正方体的表面积 5. 2；6 6. 6；5；5 四、立体图形的切拼 7. 减少；增加 五、露在外面的面 8. 正面；侧面；上面 题型分类训练 【题型1】长方体、正方体有关棱长的应用 1．笑笑家有一个长方体蚊帐（如图），长2米，宽1.5米，高1.8米。蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 【答案】14.2米 【分析】由题意知：蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管），则钢管的长度等于4条高和2条长与2条宽的和，即需要的钢管长度＝2×长＋2×宽＋4×高，代入数据计算即可。 【详解】2×2＋1.5×2＋1.8×4 ＝4＋3＋7.2 ＝7＋7.2 ＝14.2（米） 答：固定这样一个蚊帐至少需要14.2米长的钢管。 2．奇思想制作一个长方体收纳盒，已知这个收纳盒的棱长总和是120厘米，底面的长是15厘米，宽是10厘米。请问这个收纳盒的高度是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】根据长方体的棱长总和公式，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，得出长＋宽＋高的总和，再减去长减去宽就是收纳盒的高。 【详解】120÷4＝30（厘米） 30－15－10 ＝15－10 ＝5（厘米） 答：这个收纳盒的高度是5厘米。 3．有一种长方体包装箱，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。用这种包装箱装长5厘米、宽4厘米、高3厘米的首饰盒，要想装得最多，第一层装多少盒？第二层装多少盒？ 【答案】24盒；32盒 【分析】要使装的首饰盒最多，应让首饰盒的长、宽、高尽可能与包装箱的长、宽、高匹配。将首饰盒按长5厘米、宽4厘米的面为底面放置在包装箱第一层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷4＝3（盒）。则第一层能装的首饰盒数量为：8×3＝24（盒）。此时包装箱剩余的高度为7－3＝4厘米，将首饰盒按长5厘米、高3厘米的面为底面放置在第二层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷3＝4（盒）。则第二层能装的首饰盒数量为：8×4＝32（盒）。 【详解】第一层：40÷5＝8（盒） 12÷4＝3（盒） 8×3＝24（盒） 第二层：40÷5＝8（盒） 12÷3＝4（盒） 8×4＝32（盒） 答：第一层装24盒，第二层装32盒 4．某建筑物长60米、宽50米、高70米。“六·一节”快到了，为增添节日气氛，工人叔叔要在这个建筑物四周装上彩灯（底面的四边不装）。张叔叔去商店买彩灯，他至少买几捆？ 【答案】5捆 【分析】由图可知，建筑物是一个长方体，要在四周装彩灯（底面的四边不装），那么需要装彩灯的部分是两条长、两条宽和四条高。即：彩灯长度＝长×2＋宽×2＋高×4，已知建筑物长60米、宽50米、高70米，每捆彩灯是100米。把数据代入计算后，再除以100即可得出需要购买的捆数。 【详解】60×2＋50×2＋4×70 ＝120＋100＋280 ＝220＋280 ＝500（米） 500÷100＝5（捆） 答：张叔叔至少买5捆。 5．淘气用一根长24分米的铁丝围了一个长方体框架。量得长是3.5分米，宽是2分米。三位同学分别这样计算高的长度： ① 24－3.5×4＝10（分米） 10－2×4＝2（分米） ② 24－3.5×4＝10（分米） 10－2×4＝2（分米） 2÷4＝0.5（分米） ③ 24÷4＝6（分米） 6－3.5－2＝0.5（分米） （1）请你判断三位同学的解答，正确的有（    ）。 （2）你喜欢哪个同学的解答？请你写一写他的解题思路。 【答案】（1）②和③； （2）③；见详解 【分析】要计算长方体框架的高有两种方法：一种是用铁丝的总长度减去4条长的长度，再减去4条宽的长度，求出4条高的长度，最后除以4求出1条高的长度；另一种是直接用铁丝的总长度除以4，求出一组长、宽、高的和，再减去已知的长和宽，即可求得1条高的长度，据此解答。 【详解】方法一： 4条宽与4条高的长度之和：24－3.5×4 ＝24－14 ＝10（分米） 4条高的长度：10－2×4 ＝10－8 ＝2（分米） 1条高的长度：2÷4＝0.5（分米） 方法二： 长、宽、高之和：24÷4＝6（分米） 1条高的长度：6－3.5－2 ＝2.5－2 ＝0.5（分米） 所以，高的长度是0.5分米。 综上所述，这三位同学的解答，正确的有②和③，我喜欢③同学的解答，他的思路是先求出一组长、宽、高的总和，再减去已知的长和宽，直接求出长方体的高。（答案不唯一） 6．在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 【答案】230厘米 【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。 【详解】根据分析得出： 50×2＋30×2＋10×4＋30 ＝100＋60＋40＋30 ＝230（厘米） 答：至少需要230厘米长的彩带。 7．四川成都自古被誉为“天府之国”，又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台。柜台长0.9米，宽0.4米，高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装其他部件，制作这个售卖柜台至少需要多少米的角铁？ 【答案】12.4米 【分析】制作长方体框架所需的角铁长度即为长方体的棱长总和。长方体共有 12 条棱，分为长、宽、高 3 组，每组 4 条棱长度相等。根据公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，将长、宽、高数据代入公式计算即可。 【详解】（0.9＋0.4＋1.8）×4 ＝3.1×4 ＝12.4（米） 答：制作这个售卖柜台至少需要 12.4 米的角铁。 8．一根铁丝可以焊成一个长50厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】40厘米 【分析】先根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝总长，再用铁丝总长÷12即可。 【详解】（50＋40＋30）×4 ＝120×4 ＝480（厘米） 480÷12＝40（厘米） 答：这个正方体的棱长是40厘米。 【点睛】长方体和正方体都有12条棱，长方体相对的棱长度相等，正方体12条棱长度都相等。 【题型2】长方体、正方体的展开图 9．下图是一个正方体展开图，正方体的六个面分别写上“祝你学习进步”六个字，请你说出每个字相对的面上的字是哪个字？ 【答案】你和步相对；祝和习相对；学和进相对 【解析】略 10．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图B所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？ 【答案】280厘米 【分析】根据题意可知，灯罩的长36厘米、宽12厘米、高22厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 【详解】（36＋22＋12）×4 ＝70×4 ＝280（厘米） 答：至少需要280厘米的木条。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 11．淘气用一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸板做了一个无盖的长方体纸盒。（纸盒的展开图如图所示） （1）这个纸盒的长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）把这个纸盒放在地上，最多占地多少平方厘米？ 【答案】（1）30；15；5； （2）450平方厘米 【分析】（1）从图中可知，在长方形纸板的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体纸盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是5厘米。 （2）物体的底面积叫做占地面积。把长方体纸盒面积最大的面放在地上，就是占地最多的面积。 【详解】（1）长：40－5－5＝30（厘米） 宽：25－5－5＝15（厘米） 这个纸盒的长是30厘米，宽是15厘米，高是5厘米。 （2）30×15＞30×5＞15×5 30×15＝450（平方厘米） 答：最多占地450平方厘米。 12．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 【答案】98平方厘米 【分析】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】2＋5＋2＋5＝14（厘米） 2＋3＋2＝7（厘米） 14×7＝98（平方厘米） 答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。 13．下图中每个方格的边长都是1厘米，请按要求回答下面各题。 （1）下图中是一个不完整的长方体展开图，请在合适的把缺少的面添上。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）2 【分析】（1）长方体有6个面，展开图有“1－4－1”型、“2－3－1”型和“3－3”型，图中这个不完整的长方体展开图是“1－4－1”型，缺少的一个面应在最下面一行，是与最上面一行相同的长3厘米，宽1厘米的长方形。据此作图。 （2）长方体相对的面面积相等。有★的面是长2厘米，宽1厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出有★的面的面积，即是与它相对的面的面积。 【详解】通过分析可得： （1） （2）2×1＝2（平方厘米），则与★相对的面的面积是2平方厘米。 14．下图所示的是小鹿西西的房子模型及其展开图。 （1）请你在展开图上把窗户、天窗和电视接收器的大致位置标出来。 （2）小鹿西西的房子的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）图见详解 （2）32平方米 【分析】（1）根据房子的门在展开图的位置，确定展开图的展开方法，然后在展开图上标出窗户、天窗和电视接收器的大概位置； （2）房子的长8米，宽4米，根据长方形的面积=长×宽，即可得解。 【详解】（1）如图： （2）（平方米） 答：小鹿西西的房子的占地面积是32平方米。 15．西周时期的士人学习的“六艺”是“礼、乐、射、御、书、数”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如下图，与“御”字相对的是哪个字？ 【答案】“数”字。 【分析】通过折纸方法还原正方体，可以找出相对的面。 【详解】通过折纸方法还原正方体可知： “礼”与“射”相 对；“御”与“数”相 对；“乐”与“书”相 对。 答：与“御”字相对的是“数”字。 【点睛】可以用折纸方法还原正方体降低难度来解决。 16．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小22厘米；最大34厘米 【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米； 如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。 【详解】 周长最小： （3×1＋2×2＋1×4）×2 ＝（3＋4＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 周长最大： （3×4＋2×2＋1×1）×2 ＝（12＋4＋1）×2 ＝17×2 ＝34（厘米） 答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。 【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。 17．下图所示的是一个长方体的展开图，如果A面是前面，F面是左面，那么下面的面积是多少平方厘米？（单位：cm） 【答案】48平方厘米 【分析】如果A面是前面，F面是左面，那么长方体下面是长为8厘米、宽为6厘米的长方形，利用长方形面积公式：，计算其面积即可。 【详解】（平方厘米） 答：下面的面积是48平方厘米。 【点睛】本题主要考查长方体展开图的应用，关键是根据所给信息判断哪个面是下面。 【题型3】长方体、正方体的展开图 18．有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）7厘米；（2）294平方厘米 【分析】（1）根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出一个铁丝的长度，两根铁丝长度相同，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用铁丝长度除以12即可求出正方体的棱长。 （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出彩纸的面积。 【详解】（1）（9＋6＋6）×4÷12 ＝21×4÷12 ＝84÷12 ＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 （2）7×7×6＝294（平方厘米） 答：在这个正方体的表面贴上彩纸，需要294平方厘米的彩纸。 19．用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 【答案】正方体；多8平方厘米。 【分析】先换算成统一单位，1分米厘米，将数值代入长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，然后进行比较即可。 【详解】1分米厘米 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：正方体盒子用料多，多8平方厘米。 【点睛】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 20．这是一个长方体的展开图，做这样的一个纸箱至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】312平方厘米 【分析】在本题中，根据长方体的展开图可知长方体的长是12厘米，长加宽的和等于15厘米，宽等于长加宽的和减长，可求出宽，高为8厘米，求一个纸箱至少需要多少平方厘米的硬纸板，求的是长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，已知长，宽，高，即可求出长方体的面积，即可求出至少需要多少平方厘米的硬纸板。 【详解】15－12＝3（厘米） （12×3＋12×8＋3×8）×2 ＝（36＋96＋24）×2 ＝（132＋24）×2 ＝156×2 ＝312（平方厘米） 答：做这样的一个纸箱至少需要312平方厘米的硬纸板。 【点睛】这道题考查长方体的表面积，运用长方体的表面积解决生活中的实际问题。 21．学校新建了一间智能音乐教室，现在要粉刷四壁和天花板。量得教室的长是24米，宽是6米，高是宽的，门窗面积是21平方米。如果每平方米用涂料0.5升，粉刷这间教室共需涂料多少升？ 【答案】151.5升 【分析】先求出教室的高，四壁面（长×高＋宽×高）×2，天花板面积＝长×宽；粉刷面积等于四壁面积加上天花板面积，再减去门窗面积 ；即可求出粉刷面积；粉刷这间教室共需涂料等于每平方米需要的涂料乘粉刷的平方米数。 【详解】高：（米） （平方米） （升） 答：粉刷这间教室共需涂料151.5升。 22．一间教室长10米，宽8米，高3米。要粉刷教室的顶部和四周墙壁，除去门窗面积25平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】163平方米 【分析】这间教室是长方体，求粉刷面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为地面和门窗不用粉刷，所以需要减去底面积和门窗面积，据此解答。 【详解】（10×8＋10×3＋8×3）×2－10×8－25 ＝（80＋30＋24）×2－80－25 ＝134×2－80－25 ＝268－80－25 ＝188－25 ＝163（平方米） 答：粉刷的面积是163平方米。 23．一个长方体游泳池，长150米、宽60米、深4米。若这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】10680平方米 【分析】根据题意可知贴瓷砖只有底面、左面、右面、前面和后面共个面。根据游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2 ，代入数据即可求出贴瓷砖的面积。 【详解】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是平方米。 24．“五育并举，德育为先”某小学进行“手拉手”活动。老师想把一个空教室布置成一个教育基地。笑笑量了一下，找到一些数学信息：教室长10米、宽9米、高为3米，门窗面积为11.6平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷多少平方米的面积？ 【答案】192.4平方米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；要粉刷教室的四壁和屋顶，即要计算长方体的上面、前后、左右5个面的面积，根据长方体的表面积公式可知：粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗的面积，据此列式计算。 【详解】10×9＋10×3×2＋9×3×2－11.6 ＝90＋30×2＋27×2－11.6 ＝90＋60＋54－11.6 ＝150＋54－11.6 ＝204－11.6 ＝192.4（平方米） 答：要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷192.4平方米的面积。 【题型4】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 25．儿童节，妙想要给贫困地区的小朋友寄糖果，两盒糖果包成一包。 （1）怎样包才能节约包装纸？请你简单画出来或用文字描述出来。 （2）需要多少包装纸？（注：接口处不计，单位：厘米） 【答案】（1）见详解 （2）1300平方厘米 【分析】（1）两盒糖果包成一包，要节约包装纸，就要使表面积最小，应让两个长方体最大的面叠在一起，据此解答。 （2）两个长方体最大的面叠在一起构成一个大长方体，这个大长方体的长是20，宽是15，高是5＋5＝10，根据，代入数据计算即可。 【详解】（1）据分析可知，节约包装纸的包法如下图： （2） （平方厘米） 答：需要1300平方厘米包装纸。 26．将下面长方体木料切成完全相等的两块，怎样切能使木料增加的表面积最多？先画一画，再算一算切完之后表面积增加了多少平方分米？ 【答案】图见详解；196平方分米 【分析】由于切一刀增加两个切面的面积，这个长方体木料最大的面是前、后面，所以平行于前、后面来切，平均分成的小长方体，表面积增加的最多，平均分成2个长方体，增加两个长14分米，宽是7分米的长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】如图： 14×7×2 ＝98×2 ＝196（dm2） 答：切完之后表面积增加了196平方分米。 27．在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 【答案】736平方厘米 【分析】分析题目，按照第一种切法表面积增加的160平方厘米，正好是长方体的左、右两个面的面积；按照第二种切法表面积增加的256平方厘米，正好是长方体前、后两个面的面积；按照第三种切法表面积增加的320平方厘米，正好是长方体上、下两个面的面积；把它们相加即可求出原来长方体彩砖的表面积，据此解答。 【详解】160＋256＋320 ＝416＋320 ＝736（平方厘米） 答：原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 28．将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 【答案】3000平方厘米；不相等 【分析】已知正方体的棱长是10厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出1个正方体的表面积，再乘5，即是5个正方体的表面积之和； 长方体是由5个棱长是10厘米的正方体拼成，有8个面重合，所以长方体的表面积比原来5个正方体的表面积之和减少了8个面，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘8，即是减少的表面积； 用5个正方体的表面积之和减去减少的表面积，即是拼成的长方体的表面积。 【详解】5个正方体的表面积之和： 10×10×6×5 ＝100×6×5 ＝600×5 ＝3000（平方厘米） 长方体的表面积： 3000－10×10×8 ＝3000－800 ＝2200（平方厘米） 3000≠2200 答：5个正方体的表面积之和是3000平方厘米，与长方体的表面积不相等。 29．有12个棱长1厘米的小正方体，拼成一个长方体，有几种不同的拼法？怎样拼，表面积最小？是多少？（计算说明） 【答案】有4种拼法；拼成的长方体长、宽、高分别为：3厘米、2厘米、2厘米，表面积最小，是32平方厘米。 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，则小正方体体积1立方厘米，则拼成的长方体体积为12立方厘米，长方体体积＝长×宽×高，已知体积为12立方厘米，可组合出长、宽、高分别为：1厘米、1厘米、12厘米；1厘米、2厘米、6厘米；1厘米、3厘米、4厘米；2厘米、2厘米、3厘米几种拼接方法。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算得出表面积，据此可得出答案。 【详解】12个棱长1cm的小正方体，拼成一个长方体，有4种拼法。即长、宽、高分别为：1厘米、1厘米、12厘米；1厘米、2厘米、6厘米；1厘米、3厘米、4厘米；2厘米、2厘米、3厘米。组成的长方体表面积最小的是长3厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体，可计算表面积分别为： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米），则四种拼法中组成的长方体表面积最小的是长3厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体面积最小。 答：有4种拼法；拼成的长方体长、宽、高分别为：2厘米、2厘米、3厘米表面积最小，是32平方厘米。 30．如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【详解】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 31．做一个棱长为8分米的无盖正方体玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ 【答案】320平方分米 【分析】求做一个无盖正方体玻璃鱼缸需要玻璃的面积，就是求正方体5个面的面积之和，根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算即可求解。 【详解】8×8×5 ＝64×5 ＝320（平方分米） 答：至少需要320平方分米的玻璃。 【题型5】露在外面的面 32．将4个棱长为6厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的4个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？ 【答案】会；216平方厘米 【分析】根据题意，将4个棱长为6厘米的正方体拼成如图所示一字排开的长方体，有6个面会重合，所以长方体的表面积比原来4个正方体的表面积之和减少了6个面的面积； 由正方体的特征可知，正方体的每个面都是边长6厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘6即是减少的表面积。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 答：长方体的表面积与原来的4个正方体的表面积之和相比，会发生变化，减少了216平方厘米。 33．下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 【答案】512平方厘米 【分析】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 34．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 【答案】486个 【分析】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，两面涂红色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有12×（n－2）个，有两面涂红色的共有108个，即12×（n－2）＝108，据此可求出n。将n代入6×（n－2）2即可求出一面涂红色的小正方体的个数。 【详解】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，则12×（n－2）＝108。 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（个） （11－2）2×6 ＝92×6 ＝81×6 ＝486（个） 答：只有一面涂红色的小正方体共有486个。 35．将小正方体木块按下图所示的方式摆在墙角，数一数，一共有多少个面露在外面？ 【答案】63个 【分析】由图可知看得见的每个正方体都有三个面露出来，从上至下依次有1到6个正方体，从正面看，从右侧看，从上方看，每个方向均有（1＋2＋3＋4＋5＋6）个正方体露在外面，再乘3即可求出一共有多少个面露在外面。 【详解】（1＋2＋3＋4＋5＋6）×3 ＝21×3 ＝63（个） 答：一共有63个面露在外面。 36．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 【答案】（1）14个 （2）21个；21平方分米 【分析】（1）数小正方体的个数可分为上、中、下三层，分别数出每层个数，上层有1个，中间层有5个，下层有8个，再相加。 （2）这个几何体露在外面的部分包括从上面、前面和右面这三个方向看到的图形，从上面可以看到8个小正方形，从前面可以看到7个小正方形，从右面可以看到6个小正方形，再相加。已知棱长为1分米，先根据棱长×棱长求出一个面的面积，再乘总数量，即可求出露在外面的总面积。据此解答。 【详解】（1）1＋5＋8 ＝6＋8 ＝14（个） 答：墙角一共堆放了14个小正方体。 （2）8＋7＋6 ＝15＋6 ＝21（个） 1×1×21 ＝1×21 ＝21（平方分米） 答：这些小正方体露在外面的小正方形一共有21个，露在外面的总面积是21平方分米。 37．（1）如图是由（    ）个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（    ）个，只有一面涂上橙色的小正方体有（    ）个。 （2）若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 【答案】（1）18；8；2；（2）42平方厘米 【分析】（1）由图可知，图形是由上、下两层组成，各9个；小正方体涂色橙色的面数与露出面有关，所以有两面涂上橙色的小正方体分别在图形的前、后、左、右面中间的2个，一共8个；只有一面涂上橙色的小正方体分别在图形的上、下面中间的位置，只有2个； （2）涂橙色的面积也就图形的表面积，图形是一个长3厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体，根据面积计算公式：长方体的面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算。 【详解】（1）9×2＝18（个） 所以，图形是由18个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有8个，只有一面涂上橙色的小正方体有2个。 （2）（3×3＋3×2＋3×2）×2 ＝（9＋6＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 答：涂上橙色的面积一共是42平方厘米。 【点睛】此题考查了学生对涂色部分表面积的探讨以及长方体的表面积计算，需要学生具备空间想象能力。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $