2.1  长方体的认识（4个知识点+4类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（北师大版）

2.1  长方体的认识 学习重难点 学习目标 1、重点：经历观察、分类操作和讨论等探索活动的过程，了解长方体和正方体各部分的名称，发展空间观念。 2、难点：认识长方体和正方体的特点，能利用这些特点解决一些简单的应用问题。 1、通过观察、操作等活动，认识长方体和正方体，了解长方体、正方体各部分的名称。 2、理解长方体长、宽、高的意义，并能根据需要进行简单计算。 3、知道长方体和正方体的特点及正方体是特殊的长方体，能正确利用长方体和正方体的特点解决一些简单问题。 知识点一长方体和正方体的认识 1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示： 知识点二长方体和正方体的特点 1、长方体的特点。 （1）长方体有8个顶点、6个面、12条棱； （2）长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形； （3）长方体相对的棱长度相等。 2、正方体的特点。 （1）正方体有8个顶点、6个面、12条棱； （2）正方体的6个面完全相同，都是正方形； （3）正方体每条棱的长度都相等。 知识点三长方体和正方体的关系 1、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 2、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体。 知识点四长方体和正方体的特点的应用 1、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。 题型一长方体和正方体的认识和特征 1．长方体和正方体都有（ ）个面，（ ）个顶点。 【正确答案】6 8 【解题思路】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点。据此解答。 【详细解答】通过分析可得：长方体和正方体都有6个面，8个顶点。 2．长方体有（ ）个顶点，（ ）条棱，（ ）个面，相对的面的面积（ ）。 【正确答案】8 12 6 相等 【解题思路】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，12条棱，相对的四条棱长度相等。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。每组相对的面完全相同，所以相对面的面积相等。 【详细解答】长方体有8个顶点，12条棱，6个面，相对的面的面积相等。 3．长方体和正方体都有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点，而且正方体的每条棱长都（ ）。 【正确答案】6 12 8 相等 【解题思路】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的特征：正方体有6个面，且都是面积相等的正方形；有8个顶点；有12条棱，且长度都相等。 【详细解答】长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，而且正方体的每条棱长都相等。 4．一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、6厘米，那么这个长方体最多有（ ）条棱长度相等，最多有（ ）个面形状相同，剩下的面都是（ ）形。 【正确答案】8/八 4/四 正方 【解题思路】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等；据此解答。 【详细解答】一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、6厘米，那么这个长方体最多有8条棱长度相等，最多有4个面形状相同，剩下的面都是正方形。 【考点点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征。 题型二长方体和正方体的特征的应用  5．在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是（ ）（填序号）。 【正确答案】①③④⑤⑥⑦ 【解题思路】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等；且长方体对面形状，大小完全一样，这6个面需要两两相等。据此解答。 【详细解答】②和⑧，找不到与其形状相同的图形，排除。剩下的①和③都是长6厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；④和⑤都是长8厘米，宽6厘米的长方形，形状完全相同；⑥和⑦都是长8厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；且它们两两比较，都有相同长度的边，可以拼合在一起，组成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。所以这6个面的编号分别是①③④⑤⑥⑦。 6．请你在下面的8个面中找出6个面，使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是（ ）。 【正确答案】②③④⑥⑦⑧ 【解题思路】 由图可知，长方体的长宽和高分别4厘米，3厘米和2厘米；所以应该是由4厘米和3厘米的面有2个，4厘米和2厘米的面有两个，3厘米和2厘米的面两个，由此选择即可。 【详细解答】 由分析可得：使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是②③④⑥⑦⑧。 7．聪聪想用下面的小棒搭一个棱长总和是56厘米的长方体框架。他可以选（ ）根（ ）厘米的小棒，（ ）根（ ）厘米的小棒和（ ）根（ ）厘米的小棒。 【正确答案】4 8 4 4 4 2 【解题思路】 长方体的特征：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，即长、宽、高各有4条。 已知用小棒搭成一个棱长总和是56厘米的长方体框架，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，再分析图中哪三种小棒的长度相加，和等于长方体的长、宽、高之和，据此得出这个长方体的长、宽、高，每种4根即可。 【详细解答】长、宽、高之和是：56÷4＝14（厘米） 因为14＝8＋4＋2，所以这个长方体框架的长、宽、高分别是8厘米、4厘米、2厘米。 他可以选4根8厘米的小棒，4根4厘米的小棒和4根2厘米的小棒。 8．做一个长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。（单位：dm） （1）用上面的（    ）号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号） （2）将做好的鱼缸的各个面的面积填在表中。 下面 前面 后面 左面 右面 面积/dm2 【正确答案】（1）① （2）18；24；24；12；12 【解题思路】 （1）因为长方体鱼缸无盖，少上面，所以只有下面、前后面、左右面共5个面；结合已知的5块长方形玻璃，只有①号玻璃是一块，所以把①号玻璃做鱼缸的底面最合适。 （2）长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。 根据长方体的特征先确定这个长方体无盖鱼缸用①号玻璃做下面，用②号、④号玻璃做前后面，用③号、⑤号玻璃做左右面；再根据长方形的面积＝长×宽，求出各个面的面积，并填写在表格中。 【详细解答】（1）用上面的①号玻璃做鱼缸底最合适。 （2）下面：6×3＝18（dm2） 前、后面：6×4＝24（dm2） 左、右面：4×3＝12（dm2） 如下表： 下面 前面 后面 左面 右面 面积/dm2 18 24 24 12 12 题型三长方体有关棱长的应用 9．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长（ ）cm的铁丝。 【正确答案】80 【解题思路】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详细解答】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 10．陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是（ ）cm的木条。 【正确答案】188 【解题思路】求需要木条的长度，就是求长方体灯笼的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详细解答】（20＋15＋12）×4 ＝（35＋12）×4 ＝47×4 ＝188（cm） 陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是188cm的木条。 11．民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如图）正面周长是200cm，那么宽就不能超过（ ）cm。 【正确答案】15 【解题思路】根据题意可知，民航规定手提行李箱的长宽高三边之和一般不得超过115厘米，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出李叔叔拿的手提包行李箱的长与高的和；再用115－行李箱的长与高的和，即可求出李叔叔行李箱的宽不能超过的长度，据此解答。 【详细解答】115－200÷2 ＝115－100 ＝15（cm） 宽就不能超过15cm。 12．王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图。从中选用部分小棒搭成一个长方体框架（小棒不裁剪），这个长方体框架的棱长总和是（ ）cm。 【正确答案】52 【解题思路】长方体有4个长、4个宽和4个高，而8cm长的小棒只有3根，所以做长方体框架时不能用8cm长的小棒，只能用8根4cm长的小棒和4根5cm长的小棒；再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体框架的棱长总和即可。 【详细解答】相交于同一个顶点的三条棱分别长4cm、4cm、5cm。 （4＋4＋5）×4 ＝（8＋5）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 这个长方体框架的棱长总和是52cm。 题型四长方体有关棱长的应用 13．挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是（ ）cm。 【正确答案】7 【解题思路】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【详细解答】6×12＝72（cm） 72÷4－6－5 ＝18－6－5 ＝7（cm） 高是7cm。 14．李华有两根一样长的铁丝，将一根铁丝刚好折成一个长为7dm、宽为2dm、高为6dm的长方体框架，若将另一根折成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长是（ ）dm。（接口处忽略不计） 【正确答案】5 【解题思路】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长和＝棱长×12，据此求出长方体的棱长和，再除以12即可。 【详细解答】（7＋2＋6）×4 ＝（9＋6）×4 ＝15×4 ＝60（dm） 60÷12＝5（dm） 即这个正方体框架的棱长是5dm。 【考点点评】此题主要考查长方体和正方体的棱长和公式。 15．用一根长是60厘米的铁丝做一个长方体学具，长5厘米，宽4厘米，高是（ ）厘米。如果将它制作成正方体教具，正方体的棱长是（ ）厘米。 【正确答案】6 5 【解题思路】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，求出长方体的高；根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12；代入数据，即可解答。 【详细解答】60÷4－5－4 ＝15－5－4 ＝10－4 ＝6（厘米） 60÷12＝5（厘米） 用一根长是60厘米的铁丝做一个长方体学具，长5厘米，宽4厘米，高是6厘米。如果将它制作成正方体教具，正方体的棱长是5厘米。 【考点点评】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式和正方体棱长总和公式是解答本题的关键。 16．有两根同样长的铁丝，一根正好围成一个长、宽、高的长方体框架，另一根正好围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是（ ）。 【正确答案】5 【解题思路】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体的棱长总和；两根铁丝的长度一样，正方体的棱长总和＝长方体的棱长总和；正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【详细解答】（9＋4＋2）×4÷12 ＝（13＋2）×4÷12 ＝15×4÷12 ＝60÷12 ＝5（cm） 【考点点评】利用长方体棱长总和公式和正方体棱长总和公式，进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。 一、选择题 1．下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是（    ）。 A．新华字典 B．数学课本 C．一张A4纸 D．课桌桌板 2．老师为同学们准备了如下小棒，用这些小棒不能搭成的长方体是（    ）。 小棒长度 9cm 7cm 4cm 根数 4 8 6 A． B． C． D． 3．棱长总和是108cm的正方体。一个面的面积是（    ）cm2。 A．9 B．36 C．81 D．48 4．用一根铁丝正好制成一个棱长为8分米的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6分米的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（    ）。 A．12分米 B．16分米 C．48分米 D．36分米 5．长方体相交于一点的三条棱的长度分别是10cm、9cm、8cm，这个长方体的棱长总和是（    ）cm。 A．54 B．72 C．102 D．108 二、填空题 6．一个长方体木块的长、宽、高分别为5cm、6cm、7cm，这个长方体的总棱长为（ ）cm。 7．在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是（ ）（填序号）。 8．挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是（ ）cm。 9．用一根36厘米长的铁丝围成一个棱长是整厘米数的长方体框架，这个长方体框架的长、宽、高可能是多少厘米？（至少写出四种） 序号 长/厘米 宽/厘米 高/厘米 ① ② ③ ④ 10．下图中，A面的面积是40cm2。那么： （1）B面的面积是（ ）cm2。 （2）要做这个长方体框架，至少需要（ ）cm的铁丝。 三、解答题 11．为植树绿化山坡需要，工人们在山顶挖了一个长8米、宽6米、深4米的长方体蓄水池，并在水池内壁离池底3.5米处画了一条水位线，这条水位线全长多少米？ 12．用一根铁丝围成一个长方体，长为7cm，宽为5cm，高为6cm。将它改围成一个正方体，正方体的棱长为多少厘米？ 13．一根绳子长20m，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处要用掉绳子20cm，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：cm） 14．一根铁丝正好可以焊接成一个长15厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体框架，如果把这根铁丝焊成一个正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？ 参考答案 1．【解题思路】由图可知，这个物体的长为10厘米，宽为15厘米，高为4厘米，因此可知这个物体的尺寸较小，有一定的厚度，据此解答。 【详细解答】A．新华字典的长、宽、高比较符合题目给的尺寸，因此这个物体可能是新华字典； B．数学书的长和宽会比题目所给的长、宽再大一些，且数学的高度一般在1~2厘米左右，因此这个物体不可能是数学书； C．一张A4纸的厚度很薄很薄，与题目所给的高度不符合，因此这个物体不可能是一张A4纸； D．课桌桌板的长度接近五六十厘米，宽度接近三四十厘米，与题目所给的长度和宽度不符合，因此这个物体不可能是课桌桌板。 故答案为：A 2．【解题思路】长方体特征长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其它四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，据此逐项分析解答。 【详细解答】 A．，需要9cm小棒4根，7cm小棒8根；9cm小棒有4根，7cm小棒有8根；能搭成长方体； B．，需要9cm小棒4根，7cm小棒4根，4cm小棒4根；9cm小棒有4根，7cm小棒有8根，4cm小棒有6根，能搭成长方体； C．，需要7cm小棒7根，4cm小棒8根；7cm小棒有8根，4cm小棒有6根，不能搭成长方体； D．，需要7cm小棒8根，4cm小棒4根；7cm小棒有8根，4cm小棒有6根，能搭成长方体。 老师为同学们准备了如下小棒，用这些小棒不能搭成的长方体是。 小棒长度 9cm 7cm 4cm 根数 4 8 6 故答案为：C 3．【解题思路】已知一个正方体的棱长总和是108cm，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12； 根据正方体的特征可知，正方体的6个面都是完全相同的正方形，由正方形的面积公式S＝a2，即可求出正方体一个面的面积。 【详细解答】正方体的棱长：108÷12＝9（cm） 一个面的面积：9×9＝81（cm2） 一个面的面积是81cm2。 故答案为：C 4．【解题思路】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出正方体的棱长总和，棱长总和不变，利用长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可计算出长方体灯笼框架的高。 【详细解答】长方体灯笼框架的高是： （分米） 这个长方体灯笼框架的高是12分米。 故答案为：A 5．【解题思路】长方体相交于一点的三条棱代表长方体的长、宽和高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入相应数值计算即可。 【详细解答】（10＋9＋8）×4 ＝27×4 ＝108（cm） 因此这个长方体的棱长总和是108cm。 故答案为：D 6．【解题思路】长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据即可解答。 【详细解答】（5＋6＋7）×4 ＝（11＋7）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 所以这个长方体的总棱长为72cm。 7．【解题思路】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等；且长方体对面形状，大小完全一样，这6个面需要两两相等。据此解答。 【详细解答】②和⑧，找不到与其形状相同的图形，排除。剩下的①和③都是长6厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；④和⑤都是长8厘米，宽6厘米的长方形，形状完全相同；⑥和⑦都是长8厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；且它们两两比较，都有相同长度的边，可以拼合在一起，组成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。所以这6个面的编号分别是①③④⑤⑥⑦。 8．【解题思路】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【详细解答】6×12＝72（cm） 72÷4－6－5 ＝18－6－5 ＝7（cm） 高是7cm。 9．【解题思路】铁丝长度相当于长方体棱长总和，铁丝长度÷4＝长＋宽＋高，据此确定这个长方体框架的长、宽、高。 【详细解答】36÷4＝9（厘米） 9＝5＋3＋1＝4＋3＋2＝5＋2＋2＝6＋2＋1 序号 长/厘米 宽/厘米 高/厘米 ① 5 3 1 ② 4 3 2 ③ 5 2 2 ④ 6 2 1 （答案不唯一） 10．【解题思路】（1）根据图分析，A面是一个长方形，宽是5cm，面积是40cm2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据求出A面的长是多少。A面的长，也是B面的长，同时也是整个长方体的长，B面的宽为7cm，代入长方形面积公式可求B面面积。 （2）根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，从图上可知该长方体高为5cm，宽为7cm，再利用上一问求出的长方体的长，计算即可。 【详细解答】（1）（1）40÷5＝8（cm） 8×7＝56（cm2） B面的面积是56cm2。 （2）（8＋7＋5）×4 ＝（15＋5）×4 ＝20×4 ＝80（cm） 要做这个长方体框架，至少需要80cm的铁丝。 【考点点评】本题主要考查了长方形的面积公式和长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。 11．【解题思路】根据题意，求水位线的全长就是求长方体蓄水池的底面周长。长方体的底面是长方形，周长＝（长＋宽）×2，据此代入数据计算。 【详细解答】（8＋6）×2 ＝14×2 ＝28（米） 答：这条水位线全长28米。 【考点点评】本题考查了长方体的有关计算。理解“水位线的全长就是长方体蓄水池的底面周长”是解题的关键。 12．【解题思路】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长度；再依据：正方体棱长总和＝棱长×12，用棱长总和÷12＝正方体的棱长。 【详细解答】（7＋5＋6）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝6（厘米） 答：正方体的棱长为6厘米。 【考点点评】灵活运用长方体正方体的棱长总和公式。 13．【解题思路】由图可知，绳子的长度＝长×2＋宽×2＋高×2＋剪掉的长度，用绳子的总长度除以每个盒子需要的绳子长度即可求出可以捆扎多少个礼盒，除不尽的，用去尾法取整数求近似值。由此解答即可。 【详细解答】18×2＋9×2＋10×4＋20 ＝36＋18＋40＋20 ＝114（厘米） 114厘米＝1.14米 20÷1.14≈17（个） 答：这根绳子最多可以捆扎17个这样的礼盒。 【考点点评】求出每个盒子需要的绳子长度是解答本题的关键；取商的近似值时，要根据实际情况确定“进一法”或“去尾法”。 14．【解题思路】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体的棱长总和；长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体棱长。 【详细解答】（15＋10＋8）×4÷12 ＝（25＋8）×4÷12 ＝33×4÷12 ＝132÷12 ＝11（厘米） 答：这个正方体的棱长是11厘米。 【考点点评】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式、正方体棱长总和公式是解答本题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$