期中专题：平行线与相交线 压轴题培优训练 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

期中专题：平行线与相交线 压轴题培优训练 1．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP，试说明：∠B+∠D＝∠BPD；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM∥AB． ∵PM∥AB，（辅助线的作法） ∴∠B＝∠BPM．（　 　 ） ∵AB∥CD，（已知） ∴PM∥CD．（　 　 ） ∴∠D＝∠DPM．（　 　 ） ∵∠BPM+∠DPM＝∠BPD，（角的和差定义） ∴∠B+　 　 ＝∠BPD．（等量代换） （2）如图2，若AB∥CD，∠BEP＝150°，∠PFD＝128°，则∠EPF＝　 　 °． （3）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由． 2．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNB+∠PMD　 　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②． ①当ON∥EF，PM∥EF时，求α的度数； ②当PM∥EF时，求∠MON的度数（用含α的式子表示）． 3．问题探究： 如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： （1）请按张山同学的思路，写出证明过程； （2）请按李思同学的思路，写出证明过程． 4．已知：直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点． （1）如图1，∠AEM，∠EMF，∠CFM的数量关系为 　 　 ；（直接写出答案） （2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF＝140°，求∠ENF的度数； （3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，且，，设∠EMF＝α，求∠EHF的度数（用含α的代数式表示）． 5．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由． （3）如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，求∠BAE的度数． 6．【问题情境】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 【问题迁移】 （2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，（点P与点O，A，B不重合），∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，已知两条直线AB∥CD，点P在两平行线之间，且∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求∠P+2∠Q的度数． 7．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺EFG和HMN（∠GEF＝∠MHN＝90°，∠MNH＝60°，∠HMN＝30°，∠EGF＝∠EFG＝45°）”，已知AB∥CD．如图①，把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上，把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上，HM经过点E． （1）若∠GEM＝120°，∠DEF＝20°，求∠AHN的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺HMN，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得∠FGM＝20°，请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺GEF绕E点以每秒3°的速度按逆时针方向，同时将三角尺HMN绕H点以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t（0≤t≤60）．请直接写出当HN与△EGF的一边平行时t的值． 8．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN，PM与AB相交于点F，PN与CD相交于点E． （1）如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM＝55°，∠PED＝30°，求∠MPN的度数； （2）分别在∠AFM、∠CEP的内部作射线FG、EG交于点G，使得∠MFG∠AFM，∠PEG∠PEG（n＞1，且n为整数）； （3）①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H，若n＝3，∠G＝40°，求∠P的度数； ②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）． 9．如图1，已知AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在AB，CD之间，连接EF，FH． （1）若∠EFH＝72°，∠DHF＝22°，求∠AEF的度数； （2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M． （ⅰ）若∠DHF＝54°，∠EMH＝30°，求∠AEM的度数； （ⅱ）若∠AEF+∠CHF＝k•∠EFH，直接写出∠FHD﹣2∠FMH的度数（用含k的代数式表示）． 10．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF； （2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，请说明∠EPF和∠EQF之间的关系； （3）如图3，已知，，则∠P与∠Q有什么关系，请说明理由． 11．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下． （1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由； （2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数； （3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 12．如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点． （1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数； （2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP． ①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数； ②试探究∠CDA与∠B的关系． 13．已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点． （1）若∠1＝30°，∠P＝84°，则∠2＝ 　 　 度； （2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由； （3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系． 14．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 15．如图，直线l1∥l2，点A为直线l1上的一个定点，点B为直线l1、l2之间的定点，点C为直线l2上的动点． （1）当点C运动到图1所示位置时，试说明：∠ABC＝∠1+∠2； （2）点D在直线l2上，且∠DBC＝∠2（0°＜∠2＜90°），BE平分∠ABD．如图2，若点D在AB的延长线上，∠1＝48°，求∠EBC的度数． 16．小明将一个含30°角的直角三角板POM（其中∠MOP＝90°，∠OMP＝60°，∠OPM＝30°），按如图1所示放置，使得直角三角板的一边MO落在直线AB上，过顶点P作直线EF∥AB，在MP的左侧作直线CD∥MP，分别交直线AB，EF于点G，H． （1）∠CGB的度数为 　 　 ； （2）将直角三角板POM从如图1所示初始位置，绕顶点M按图中箭头方向转动，且保证点O在直线AB上方．直线AB，CD保持初始位置，直线EF随着点P的运动位置发生变化，且保持EF∥AB． ①当点P在直线AB下方时，如图2，试猜想∠OPF和∠OMB的数量关系，并说明理由； ②在转动过程中，当直角三角板POM的一边与直线CD平行时，求∠OMB的度数． 17．综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线AB，CD和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线AB∥CD和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线AB，CD在同一平面内． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板45°角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上，请直接写出∠AFE与∠CGE的数量关系 　 　 ； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板60°角的顶点F放在直线AB上，若∠2＝2∠1，求∠2的度数； 【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点F、G放在平行线外，分别在∠AMF、∠CNE的内部作射线MP、NP交于点P，使得，（n＞1且n为整数），请求出∠P（用含n的式子表示）． 18．已知AB∥CD． （1）如图①，若∠E＝α°，∠END＝β°，∠BME＝γ°且a30，则α＝　 　 ，β＝　 　 ，γ＝　 　 ； （2）如图②，∠BME与∠CNE的角平分线所在直线相交于点P，求∠E+2∠MPN的大小； （3）如图③，若EN平分∠CNP，延长PM交EN于点F，且∠EMF＝2∠FMA，当∠E+∠FPN＝70°时，求∠CNP的大小． 19．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． （1）如图1，直线AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED． 解：过点E作直线EF∥CD， 所以∠2＝①　 　 ， 因为AB∥CD（已知），EF∥CD， 所以②　 　 ， 所以∠B＝③　 　 ， 因为∠1+∠2＝∠BED， 所以∠B+∠D＝∠BED． （2）如图2，直线AB∥CD，若∠BEP＝160°，∠PFD＝120°，则∠EPF的度数为 　 　 ． 【方法运用】 （3）如图3，直线AB∥CD，点P在AB的上方，∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由． 【联系拓展】 （4）如图4，已知∠EPF＝β，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，请你用含有β的式子表示∠G的度数，直接写出结果．∠G＝ 　 　 ． 20．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 参考答案 1．解：（1）如图，过P作PM∥AB， ∵PM∥AB，（辅助线的作法） ∴∠B＝∠BPM，（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，（已知） ∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠D＝∠DPM，（两直线平行，内错角相等） ∵∠BPM+∠DPM＝∠BPD，（角的和差定义） ∴∠B+∠D＝∠BPD．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠D； （2）过点P作PN∥AB（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴∠EPN+∠BEP＝180°， ∵∠BEP＝150°， ∴∠EPN＝180°﹣∠BEP＝30°， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠FPN+∠PFD＝180°， ∵∠PFD＝128°， ∴∠FPN＝180°﹣∠PFD＝52°， ∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝30°+52°＝82°． 故答案为：82； （3）∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是：∠PFC﹣∠PEA＝∠EPF；理由如下： 过点P作PH∥AB（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴∠HPE＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠HPF＝∠PFC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EPF＝∠HPF﹣∠HPE＝∠PFC﹣∠PEA， 即∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是：∠PFC﹣∠PEA＝∠EPF． 2．解：（1）过P点作PQ∥AB， ∴∠PNB＝∠NPQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠PMD＝∠QPM， ∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN， 故答案为：＝； （2）①∵ON∥EF，PM∥EF， ∴PO∥PM， ∴∠ONM＝∠NMP， ∵∠PMN＝60°， ∴∠ONM＝∠PMN＝60°， ∵NO平分∠MNO， ∴∠ANO＝∠ONM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠NOM＝∠ANO＝60°， ∴α＝∠NOM＝60°； ②如图②， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α， ∵NO平分∠ANM， ∴∠ANO∠ANM＝30°α， ∵AB∥CD， ∴∠MON＝∠ANO＝30°α； 综上所述，∠MON的度数为30°α． 3．证明：（1）如图②，过点E作EF∥AB， ∵EF∥AB， ∴∠BEF＝∠B（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠DEF＝∠D， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D， 即∠BED＝∠B+∠D． （2）如图③，过点B作BF∥DE，交CD延长线于K， ∵BF∥DE， ∴∠E＝∠EBF（两直线平行，内错角相等），∠BKD＝∠CDE（两直线平行，同位角相等）， ∵AB∥CD， ∴∠BKD＝∠ABF（两直线平行，同位角相等）， ∴∠ABF＝∠CDE， ∴∠E＝∠EBF＝∠ABF+∠ABE＝∠CDE+∠ABE， 即∠E＝∠CDE+∠ABE． 4．解：（1）如图，过点M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠EMN＝∠AEM，∠FMN＝∠CFM， ∵∠EMF＝∠EMN+∠FMN， ∴∠EMF＝∠AEM+∠CFM． 故答案为：∠EMF＝∠AEM+∠CFM； （2）如图，过M作MP∥AB， ∵AB∥CD， ∴MP∥CD， ∴∠BEM+∠EMP＝∠DFM+∠FMP＝180°， ∴∠BEM＝180°﹣∠EMP，∠DFM＝180°﹣∠FMP， ∵EN，FN分别平分∠MEB和∠DFM， ∴∠MEN∠BEM，∠MFN∠DFM， ∴∠MEN+∠MFN ∠BEM∠DFM （180°﹣∠EMP）（180°﹣∠FMP） ＝180°（∠EMP+∠FMP） ＝180°140° ＝110°， ∴∠ENF＝360°﹣∠MEN﹣∠MFN﹣∠EMF＝360°﹣110°﹣140°＝110°； ∴∠ENF的度数为110°； （3）如图，过M作ML∥AB，交EH于L，过H作HK∥CD， 设∠BEH＝3y，∠PFG＝3x，根据题意得：∠MFP＝2x，∠MEH＝2y， ∵AB∥CD， ∴ML∥AB∥HK∥CD， ∴∠LMF＝∠GFM＝5x，∠EML＝∠QEM＝180°﹣5y， ∴∠FML+∠EML＝5x+180°﹣5y，即：α＝180°+5（x﹣y）， ∴x﹣y36°， ∴y﹣x＝36°， ∴∠PHE＝∠EHK﹣∠PHK＝∠BEH﹣∠PFG＝3y﹣3x＝3（y﹣x）＝3（36°）＝108°α， ∴∠EHF的度数为108°α． 5．解：（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： ∵AB∥MN∥CD， ∴∠DPN＝∠CDP，∠BPN＝∠ABP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP； （3）如图③，延长EA交BC于点L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 6．解：（1）过点P作PE∥AB，则：∠APE+∠PAB＝180°， ∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝50°． 由题意可得：PE∥CD． ∴∠PCD+∠CPE＝180°． 又∵∠PCD＝120°， ∴∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°． （2）∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPD＝∠α+∠β或者∠α＝∠CPD+∠β或者∠β＝∠α+∠CPD． ①当点P在线段AB上时，∠CPD＝∠α+∠β； 过点P作PE∥AD， ∴∠CPE＝∠α． ∵AD∥CB， ∴PE∥BC， ∴∠DPE＝∠β． ∵∠CPD＝∠DPE+∠CPE， ∴∠CPD＝∠α+∠β； ②当点P在线段AB右侧时，∠α＝∠CPD+∠β；理由如下： 如图，过点P作PE∥AD， ∴∠CPE＝∠α． ∵AD∥CB， ∴PE∥BC， ∴∠CPE＝∠β． ∵∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE， ∴∠CPD＝∠α﹣∠β，即∠α＝∠CPD+∠β； ③当点P在线段AB左侧时，∠β＝∠α+∠CPD；理由如下： 过点P作PE∥AD， ∴∠DPE＝∠α． ∵AD∥CB， ∴PE∥BC， ∴∠CPE＝∠β． ∵∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE， ∴∠CPD＝∠β﹣∠α，即∠β＝∠α+∠CPD； （3）过点P作PG∥AB，过点Q作QH∥AB，如图， AB∥CD，点P在两平行线之间，且∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q， 由（2）的结论可得：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ， ∴∠PEB＝2∠BEQ，∠PFD＝2∠DFQ． ∴∠EPF+2∠EQF＝∠AEP+∠CFP+2（∠BEQ+∠DFQ） ＝∠AEP+∠CFP+2∠BEQ+2∠DFQ ＝∠AEP+∠CFP+∠BEP+∠DFP ＝（∠AEP+∠BEP）+（∠CFP+∠PFD） ＝180°+180° ＝360°． 7．解：（1）∵∠GEM＝120°， ∴∠GEH＝180°﹣120°＝60°， ∵∠GEF＝90°， ∴∠FEH＝90°﹣60°＝30°， ∵∠DEF＝20°， ∴∠DEH＝∠DEF+∠FEH＝20°+30°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠AHM＝∠DEH＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠MHN＝90°， ∴∠AHN＝90°﹣50°＝40°； （2）结论：∠DEF﹣∠AHG＝5°． 理由：设∠DEF＝x． ∵∠FEG＝90°， ∴∠CEG＝90°﹣x， ∵∠FGM＝20°，∠MGH＝60°， ∴∠FGH＝60°﹣20°＝40°， ∵∠EGF＝45°， ∴∠EGH＝∠EGF+∠FGH＝85°， ∵AB∥CD， ∴∠AHG+∠CEG＝∠EGH， ∴∠AHG＝85°﹣（90°﹣x）＝x﹣5°， ∴∠DEF﹣∠AHG＝5°； （3）过点F作直线FK∥ED， 由（1）可得，∠AHN＝40°，∠DEF＝20°， 根据条件可得，∠NHB＝140﹣2t，∠GED＝110+3t，∠DEF＝20+3t，∠GFK＝155+3t； ①当NH∥GF时， |140﹣2t﹣155﹣3t|＝0或|140﹣2t﹣155﹣3t|＝180， 解得：t＝33； ②当NH∥EF时， |140﹣2t﹣20﹣3t|＝0或|140﹣2t﹣20﹣3t|＝180， 解得：t＝24或60； ③当NH∥EG时， |140﹣2t﹣110﹣3t|＝0或180， 解得：t＝6或42， 综上，t＝6或t＝24或t＝33或t＝42或t＝60． 8．解：（1）过点P作PQ∥AB，如图1所示： ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴CD∥PQ， ∴∠MPQ＝∠AFM，∠NPQ＝∠PED， ∴∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠AFM+∠PED， ∵∠AFM＝55°，∠PED＝30°， ∴∠MPN＝∠AFM+∠PED＝55°+30°＝85°； （2）①过点G作GH∥AB，如图2所示： 当n＝3时，， 设∠MFG＝α，∠PEG＝β， ∴∠AFM＝3α，∠PEC＝3β， ∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝2α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝2β， ∴∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣3β， ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥CD， ∴∠HGF＝∠AFG＝2α，∠HGE＝∠CEG＝2β， 由（1）可知：∠MPN＝∠AFM+∠PED＝3α+180°﹣3β＝180°﹣3（β﹣α）， ∴∠FGE＝∠HGE﹣∠HGF＝2（β﹣α）＝40°， ∴β﹣α＝40°÷2＝20°， ∴∠MPN＝180°﹣3（β﹣α）＝180°﹣3×20°＝180°﹣60°＝120°； ②∠MPN与∠G的数量关系是：，理由如下： 延长GF到T，过点P作PR∥AB，如图3所示： ∵， 设∠MFG＝α，∠PEG＝β， ∴∠AFM＝nα，∠PEC＝nβ， ∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝（n﹣1）α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝（n﹣1）β， ∴∠PFT＝∠AFG＝（n﹣1）α，∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣nβ， ∵PR∥AB，AB∥CD， ∴PR∥AB∥CD， ∴∠RPE＝∠PED＝180°﹣nβ，∠RPM＝∠AFM＝nα， 由（1）可知：∠G＝∠PFT+∠CEG＝（n﹣1）α+（n﹣1）β＝（n﹣1）（α+β）， ∴， ∴∠MPN＝∠RPE﹣∠RPM＝180°﹣nβ﹣nα＝180°﹣n（α+β）， ∴， ∴． 9．解：（1）如图1，过点F作AB的平行线FP， 由条件可知AB∥FP∥CD， ∴∠PFH＝∠DHF＝22°，∠AEF+∠PFE＝180°， ∵∠EFH＝72°， ∴∠PFE＝∠EFH﹣∠PFH＝72°﹣22°＝50°， ∴∠AEF＝180°﹣∠PFE＝180°﹣50°＝130°； （2）①如图2，过点M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MN， ∴∠HMN＝∠CHM，∠EMN＝∠AEM， ∵∠EMN＝∠HMN﹣∠EMH， ∴∠AEM＝∠CHM﹣∠EMH， 由条件可知∠CHF＝180°﹣∠DHF＝180°﹣54°＝126°， ∵HM平分∠CHF， ∴， ∵∠EMH＝30°， ∴∠AEM＝∠CHM﹣∠EMH＝63°﹣30°＝33°； ②如图，过点F作FF′∥AB， ∴∠AEF+∠EFF′＝180°， 由条件可知MN∥CD， ∴∠CHF+∠HFF′＝180°， ∴∠AEF+∠CHF+∠EFF′+∠HFF′＝360°， 即∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°， 由条件可知k∠EFH+∠EFH＝360°， ∴； 由（2）①可得∠AEM＝∠CHM﹣∠EMH， ∴2∠FMH＝2∠CHM﹣2∠AEM＝∠CHF﹣2（180°﹣∠AEF） ＝∠CHF+2∠AEF﹣360°， 由条件可知∠FHD﹣2∠FMH ＝180°﹣∠CHF﹣∠CHF﹣2∠AEF+360° ＝540°﹣2（∠CHF+∠AEF） ＝540°﹣2（360°﹣∠EFH） ． 10．（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2， 又∵∠1+∠2＝∠EPF， ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF． （2）解：如图2， 由（1），可得∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，∠EPF＝∠AEP+∠CFP， ∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q ∴，， ∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ ∴∠EPF+2∠EQF＝360° （3）解：∠P+3∠Q＝360°， 理由：由（1）可得∠P＝∠AEP+∠CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ， ∵， ∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ ∴∠P+3∠Q＝360°． 11．解：（1）成立， 理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE， ∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE． （2）如图2，过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD，∠FAD＝60°， ∴∠FAD＝∠ADC＝60°， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°， ∴∠EDC∠ADC＝30°， ∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴∠ABE∠ABC＝20°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°， ∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°． （3）∠BED的度数改变． 如图3，过点E作EG∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β°，∠ADC＝∠FAD＝α°， ∴∠ABE∠ABCβ°，∠CDE∠ADCα°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， ∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°β°，∠CDE＝∠DEGα°， ∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°β°α°． 12．解：（1）如图1，过点B作BF∥MN， 则∠BAM＝∠ABF＝30°， ∵MN∥PQ， ∴PQ∥BF， ∴∠CBF＝∠QCB＝20°， ∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝50°； （2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°， 当n＝2时，∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°， ∴∠BCQ＝180°﹣2y°， 由（1）知，∠ABC＝∠BAM+∠BCQ， ∴2x+180﹣2y＝90，整理，得：x﹣y＝﹣45， 如图2，延长DA交PQ于点G， ∵MN∥PQ， ∴∠MAE＝∠DGC＝x°， ∵∠D+∠DCG+∠DGC＝180°，且∠DCP+∠DCG＝180°， ∴∠DCP＝∠D+∠DGC， 则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC ＝y°﹣x° ＝﹣（x﹣y）° ＝45°； ②n∠CDA+∠ABC＝180°， 设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°， ∴∠BCQ＝180°﹣ny°， 由（1）知，∠ABC＝nx°+180°﹣ny°， ∴y°﹣x°， ∵MN∥PQ， ∴∠MAE＝∠DGP＝x°， 则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC ＝y°﹣x° ， 即n∠CDA+∠ABC＝180°． 13．解：（1）如图，过P作PC∥直线a， ∴PC∥b， ∴∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC， ∴∠2＝∠APB﹣∠1＝54°； 故答案为：54； （2）如图，∵QM∥PB，QN∥PA， ∴∠PMQ+∠P＝180°，∠PMQ+∠MQN＝180°， ∴∠MQN＝∠P＝∠1+∠2， ∴∠EQN＝180°﹣∠MQN＝180°﹣∠1﹣∠2； 即∠Q＝∠1+∠2或∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2； （3）∵QE⊥AP， ∴∠QEP＝90°， ∵QF∥PB， ∴∠QFE＝∠P， ∴∠EQF＝90°﹣∠QFE＝90°﹣∠1﹣∠2， ∴∠EQG＝180°﹣∠EQF＝90°+∠1+∠2． 14．解：（1）如图③，延长BA至H， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠HAP+∠D， ∵∠HAP＝∠GAB，∠GAB＝70°， ∴∠HAP＝70°， ∵∠D＝15°， ∴∠APD＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图④，过P点作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠MPA+∠PAB＝180°， ∴∠MPE﹣∠MPA﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， 即∠APE﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）由示例知，∵AB∥CD， ∴∠AQE＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵QE，AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， ∴2∠BAF＝∠PAB，2∠DEQ＝∠PED， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知，∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠BAF+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝180°+180°＝360°， 即2∠BAF+∠APE＝360°． 15．（1）证明：如图所示，过点B向右作BF∥l1， ∵l1∥l2， ∴BF∥l1∥l2， ∴∠ABF＝∠1，∠FBC＝∠2， ∴∠ABF+∠FBC＝∠1+∠2，即∠ABC＝∠1+∠2； （2）解：∵BE平分∠ABD，点D在AB的延长线上， ∴∠ABE＝90°， ∵∠DBC＝∠2，∠DBC＝180°﹣∠ABC， ∴∠2＝180°﹣∠ABC 由（1）知，∠2+∠1＝∠ABC， ∴∠2＝∠ABC﹣∠1， ∴180°﹣∠ABC＝∠ABC﹣∠1， ∴， ∵∠1＝48°， ∴∠ABC＝（180°+48°）÷2＝114°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝114°﹣90°＝24°． 16．解：（1）∵CD∥MP， ∴∠BGD＝∠OMP＝60°， ∴∠CGB＝180°﹣∠BGD＝120°； 故答案为：120°； （2）①∠OPF＝90°+∠OMB，理由如下： 如图所示，设AB与OP交于点Q， ∵EF∥AB， ∴∠OPF＝∠OQB， ∵∠OQB＝180°﹣∠OQM ＝180°﹣（180°﹣∠MOQ﹣∠OMQ） ＝∠MOQ+∠OMQ ＝∠OMQ+90°， ∴∠OPF＝90°+∠OMB； ②由（1）可知，∠BGD＝60° 当OP∥CD时，如图所示，设AB与OP交于点Q， ∵OP∥CD， ∴∠OQM＝∠BGD＝60°， ∵∠MOP＝90°， ∴∠OMB＝180°﹣∠OQM﹣∠MOP＝30°； 当OM∥CD时，如图所示， ∵OM∥CD， ∴∠OMA＝∠BGD＝60°， ∴∠OMB＝180°﹣∠OMA＝120°， 当MP∥CD时，∠OMB＝180°（舍）， 综上，∠OMB的度数为30°或120°． 17．解：【操作判断】如图，过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠AFE＝∠FEH，∠HEG＝∠CGE， ∵∠FEH+∠HEG＝90°， ∴∠AFE+∠CGE＝90°， 故答案为：∠AFE+∠CGE＝90°； 【迁移探究】如图， 由操作判断可知∠3+∠2＝90°， ∵∠1＝∠3，∠2＝2∠1， ∴∠2＝2∠3， ∴3∠3＝90°， 解得∠3＝30°， ∴∠2＝2∠3＝60°； 【拓展应用】∵，∠PNE∠ENC， ∴∠AMF＝n∠FMP，∠ENC＝n∠PNE， 如图，过点E作EI∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EI∥CD， ∴∠IEN＝180°﹣∠ENC＝180°﹣n∠PNE，∠IEF＝∠AMF＝n∠FMP， ∴180°﹣n∠PNE+n∠FMP＝90°， 即∠PNE﹣∠FMP， ∵∠P+∠PME+∠E+∠PNE＝360°， ∴∠P+180°﹣∠FMP+∠E+∠PNE＝360°， ∴， 解得． 18．解：（1）∵， ∴β＝80，α＝30， 如图，过点N作NF∥ME交AB于点F， ∴∠BME＝∠AFN，∠E＝∠ENF， 又∵AB∥CD， ∴∠AFN＝∠DNF， ∴∠DNF＝∠BME， ∴∠END＝∠DNF+∠ENF＝∠E+∠BME， ∴β°＝α°+γ°， ∴γ°＝β°﹣α°， 即80°﹣30°＝50°， 故答案为：30，80，50； （2）如图，设∠BME的平分线是MF，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠FMB＝∠FPQ，∠QPN＝∠PNC， ∵MF平分∠EMB，PN平分∠CNE， ∴， ∴∠MPN＝∠FPQ+∠QPN＝∠FMB+∠PNC∠BME∠CNE， 即2∠MPN＝∠BME+∠CNE， ∵∠END+∠CNE＝180°， 由（1）得∠END＝∠E+∠BME， ∴2∠MPN＝∠END﹣∠E+180°﹣∠END， ∴∠E+2∠MPN＝180°； （3）∵EN平分∠CNP， ∴∠CNP＝2∠CNE， 设∠FMA＝α，∠CNE＝β， 则∠EMF＝2α，∠CNP＝2β， ∴∠AME＝3α， 由（1）得∠CNE＝β＝∠E+∠AME＝∠E+3α， 由（2）得∠FPN＝∠FMA+∠PND＝α+180°﹣2β， ∴， ∵β﹣α+α+180°﹣2β＝70°， ∴β＝66°， ∴∠CNP＝2β＝132°． 19．解：（1）过点E作直线EF∥CD， ∴∠2＝∠D， ∵AB∥CD（已知），EF∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠1， ∵∠1+∠2＝∠BED， ∴∠B+∠D＝∠BED， 故答案为：∠D；AB∥EF；∠1； （2）如图2，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠BEP+∠MPE＝180°， ∠PFD+∠FPM＝180°， ∵∠BEP＝160°，∠PFD＝120°， ∴∠MPE+∠FPM＝80°， ∴∠EPF＝80°， 故答案为：80°； （3）∠PFC＝∠PEA+∠FPE， 理由如下：过P点作PN∥AB， ∴PN∥CD∥AB， ∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC， ∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF， ∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF， ∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF； （4）如图， 由（2）知，∠PEA+∠PFC+∠EPF＝360°， ∵∠EPF＝β， ∴∠PEA+∠PFC＝360°﹣β， ∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴，， ∴， 由（1）知：， 故答案为：180． 20．解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 学科网（北京）股份有限公司 $