第二十章 勾股定理 章末综合试题 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 章末综合试题 2025-2026学年 下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为(   ) A． B． C．2 D． 2．如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 (    )    A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为上的一点，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 4．如图：在中，平分，平分，且交于M，若，则等于（    ） A．75 B．100 C．120 D．125 5．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（　　） A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定 6．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D．2 7．如图，有一只棱长为20厘米的正方形盒子，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体木箱的外表面爬行到的中点P的最短路线长为（　　） A．厘米 B．50厘米 C．厘米 D．30厘米 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(　　)． A．2π B．3π C．4π D．8π 9．现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为（　　） A．300厘米 B．250厘米 C．200厘米 D．150厘米 10．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（   ） A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25 C．a=6，b=8，c=10 D．a=0.3，b=0.4，c=0.5 二、填空题 11．小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________． 12．在中，高，若，，则的面积为___________． 13．如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为___． 14．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为_____． 15．一艘轮船以16 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距__________． 16．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为________ 米． 三、解答题 17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段上的一个动点 (1)的长等于_______， (2)当点P在线段上运动，且使取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明） 18．如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 19．第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 20．已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 21．如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 22．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 23．下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                   但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 24．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B A C C A B A 1．A 此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴；首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数． 解：，， 点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点， 点表示， 点表示的数为： 故选：A． 2．A 根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 解：如图所示：记BC上的高为AE， ∵AE=4，AC= BC=4 ， 即   解得： 故选：A．    本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长． 3．C 利用勾股定理解和，可得，由此求出，则． 解：在中，由勾股定理可得：， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， ， ， 解得， ， 故选C． 本题考查勾股定理解直角三角形，解题的关键是通过勾股定理得出． 4．B 本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定以及勾股定理的运用等知识点，根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得，进而可求出的值，解题的关键是首先证明出为直角三角形． ∵平分，平分， ∴，，即， ∴为直角三角形， 又∵，平分，平分， ∴，， ∴，， 由勾股定理可知． 故选：B． 5．A 解：在Rt△ABC中， ∴AB2=AC2+BC2， 又∵半圆的面积为：S=πR2， ∴S1=π(， S2=π(+π( =π() =π(， ∴S1=S2， 故选A． 6．C ∵展开后由勾股定理得：AB2=12+（1+1）2=5， ∴AB=， 故选C． 本题考查了平面展开最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 7．C 本题考查了最短路径问题及勾股定理的应用，解题的关键是将几何体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理进行求解． 把正方体的面与面展开在同一平面内，然后在平面内，利用勾股定理求点A和P点间的线段长． 解：把正方体的面与面展开在同一平面内，在长方形中， ∵P为的中点， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴在中， 厘米． 故选C． 8．A 根据半圆面积公式结合勾股定理，可知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积． 解：∵，， ∴． 故选A． 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方是解答此题的关键． 9．B 如图所示， ∵蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟， ∴OA=14×5=70（厘米），OB=48×5=240（厘米）， ∴AB=（厘米）． 所以蜗牛和乌龟的直线距离为250厘米. 故选B． 10．A A选项中，由于1.5 2 +2 2 ≠3 2 ，所以不是直角三角形； B选项中，72+242=252，所以是直角三角形； C选项中，62+82=102，所以是直角三角形； D选项中 ，0.32+0.42=0.52，所以是直角三角形， 故选A. 11．2 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，    所以BC即为河水深度，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：BC=2（m）， 故答案为：2． 本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 12．90或210 高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解． 解：∵AD为边BC上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中，， 当AD在三角形的内部时，BC=20+8=28， 所以△ABC的面积为×28×15=210； 当AD在三角形的外部时，BC=20-8=12， 所以△ABC的面积为×12×15=90． 故答案为：90或210． 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，当涉及到有关高的题目时，注意由于高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，所以要注意考虑多种情况． 13． 根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到原点的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数． 解：根据勾股定理可求出圆的半径为：＝，即点A到表示1的点的距离为， 那么点A到原点的距离为（+1）个单位， ∵点A在原点的右侧， ∴点A所表示的数为 故答案为： 本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关键是解题的关键． 14． 首先根据勾股定理求得AC的长，再根据面积公式求得斜边上的高线的长． 解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴根据勾股定理，得：AC＝＝12， ∴三角形的面积是×5×12＝30， ∴AB边上的高＝＝. 故答案为：． 本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理进行计算．注意：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半；直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 15．20km 根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长． 作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形． 在Rt△ABC中，AC=16×1=16km， BC=12×1=12km． 则AB==20km， 故答案为：20km． 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据题意画出图形，确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键． 16．15 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=9m，OB=12m， 根据勾股定理得AB==15m， 故答案为15. 17．(1) (2)见解析 本题考查了作图－应用与设计作图，轴对称——最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q；连接交于点P即可得到结果． （1）解：∵每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上， ∴， 故答案为：； （2）解：取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点Q，连接交于点P ． 18．(1) (2) 本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． （1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 19．(1)见解析 (2) 本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． （1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 20．(1)见解析 (2)①见解析；② 此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． （1）证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 21．(1)圆锥 (2)扇形 (3)见解析 (4)125 本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥； （2）圆锥的侧面展开图是扇形； （3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果； （4）直接用勾股定理解直角三角形即可． （1）解：此图形的名称为圆锥; 故答案为：圆锥； （2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形； 故答案为：扇形； （3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接，则为蜗牛爬行的最短路线． （4）由题易知． 在中，由勾股定理，得． 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125． 22．(1)；； (2)；； (3)25 本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． （1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 23．(1)2； (2)，； (3)； (4)见解析 本题主要考查无理数，实数与数轴，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题． （1）根据无理数定义进行判断即可； （2）根据勾股定理进行计算即可； （3）根据勾股定理求出，再用的长减去1即可得出点表示的数； （4）根据3和1构造直角三角形，得斜边为，即在数轴上找出对应的点即可． （1）解：是无理数； 无理数； 是整数，属于有理数， 所以，无理数有2个， 故答案为：2； （2）解：在中， ∵, ∴； 在中， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵ ∴, ∵点对应的数是， ∴点表示的数为； （4）解：如图，点表示的数是 24．探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $