易错04 一次函数与反比例函数（易错专练，9大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题04 一次函数与反比例函数 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 动点函数图象辨析 易错点 2 一次函数图象与系数的关系 易错点 3 反比例函数系数k的几何意义 易错点 4  忽略反比例函数的增减性是它的单只性质而不是整体性质 易错点 5 不会利用函数图象分析方程或不等式 易错点 6 一次函数的应用（行程问题拐点实际意义不清晰） 易错点 7 忽略函数问题中的自变量取值范围 易错点 8 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 易错点 9 一次函数与几何变换 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 动点函数图象辨析 错因剖析 概念混淆：图形运动阶段划分不清，如将三角形运动的 “进入 - 完全覆盖 - 离开” 三个阶段混为一谈，或错误判断各阶段的时间节点. 认知偏差： 仅凭直觉判断，不具体计算分析；无视运动边界. 基础薄弱： 无法用函数表示运动状态，不具备分析图形或图象的能力. 【例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 避错秘籍 【防错指南】 1、先分段再写函数，根据函数类型判断图象 2、特殊点需要带入验证 3、结合题意分析函数变化趋势 【知识链接】 分段函数：实际问题中因变量随自变量变化的规律不同时，需分段表示函数，每段对应一个独立的解析式，图像由多段函数曲线 / 线段拼接而成。 图形运动问题：关键是抓住 “临界状态”（图形顶点 / 边与边界重合），以此为界划分运动阶段，再逐阶段分析几何量的变化规律。 变式迁移 【变式1-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·安徽宿州·一模）如图，点M，N是矩形的边上两个同时运动的动点，点M的运动路线：；点N的运动路线：，已知点N的运动速度是点M运动速度的2倍，设，的面积为S．若，，则S与x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·甘肃平凉·一模）如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（    ） A． B． C． D． 易错点2 一次函数图象与系数的关系 错因剖析 概念混淆： 、 意义模糊，象限判断混乱。 认知偏差：死记硬背，不理解意义，凭印象乱猜。 基础薄弱： 作图不规范，不会求直线与坐标轴的交点。 【例2】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 避错秘籍 【防错指南】 1、看 定升降： 从左到右上升； 下降。 2、看 定上下： 交 y 轴正半轴 ；负半轴 ；过原点 。 3、象限由 共同决定，缺一不可。 【知识链接】 1、增减性：，y 随 x 增大而增大； 反之。 2、与 y 轴交点：；与 x 轴交点：。 变式迁移 【变式2-1】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 易错点3 反比例函数系数k的符号 错因剖析 概念混淆： 混淆 “面积” 与 “” 的对应关系： 误记为 “过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成的矩形面积是 ”，忽略 的符号，直接用面积等于 进行计算，导致符号错误。 混淆 “矩形” 与 “三角形” 面积： 把 “矩形面积 ” 和 “三角形面积 ” 记反，或搞不清是向 轴还是 轴作垂线。 认知偏差：误以为点在双曲线上移动时，围成的矩形面积会改变，忽略 “无论点在何处，矩形面积恒等于 ” 这一核心几何意义。 由面积为正数直接得出 ，忽略 时面积同样为正，必须结合点所在象限判断 的符号。 基础薄弱： 没有掌握用坐标表示几何图形面积的方法。 【例3】（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 避错秘籍 【防错指南】答题思路： 1、 寻找已知图形面积与矩形或三角形面积的关系，从而求出，再又反比例函数所在象限，判断k值的符号. 2、 根据题意，确定题图中点之间的位置关系，通过设一个点的坐标，并表示出其他各点坐标，再又图形面积列出方程解答. 【知识链接】 过反比例函数 上任意一点 ，分别向 轴、 轴作垂线，垂足为 ： 矩形 的面积： 三角形 或 的面积： 口诀：矩形恒为 ，三角折半取 变式迁移 【变式3-1】（2026·广东深圳·一模）如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 【变式3-2】（2026·吉林长春·一模）如图，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______． 易错点4 忽略反比例函数的增减性是它的单只性质而不是整体性质 错因剖析 概念混淆：混淆反比例函数与一次函数的单调性： 一次函数在全体实数上单调，而反比例函数在每个象限内分别单调，定义域不连续。 混淆 “整体增减” 与 “分支增减”： 错误认为 时 随 增大始终减小， 时始终增大，无视象限分界。 认知偏差：想当然地用 “ 越大 就越小 / 越大” 直接比较，不判断两点是否在同一象限。 强行跨象限使用增减性。 基础薄弱：不理解 “象限” 对函数符号与变化趋势的影响。 【例4】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1、先看象限，再用增减 比较函数值大小时，先判断两点是否在同一分支（同一象限）： 2、同象限：用增减性判断； 不同象限：直接看符号（一正一负可直接比较）。 3、牢记关键词：在每个象限内 描述增减性时，必须带上这句话，否则表述错误。 4、拿不准时代入计算 直接把 代入求 ，是最稳妥、最不易错的方法。 5、画图辅助 简单画出双曲线，标出点的大致位置，直观判断大小。 【知识链接】 1、反比例函数 ： ，在每一象限内 随 增大而减小； ，在每一象限内 随 增大而增大。 2、与一次函数对比： 一次函数 是整体单调；反比例函数是分段单调。 3、本质原因： 定义域 ，图像不连续，因此不能在整个实数范围谈单调性。 变式迁移 【变式4-1】（2026·安徽芜湖·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【变式4-2】（2026·北京·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 【变式4-3】（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 易错点5 不会利用函数图象分析方程或不等式 错因剖析 概念混淆： 1、混淆“函数图象”与“方程/不等式”的核心关联：不清楚“反比例函数图象上的点的坐标，必然满足函数解析式”，无法将方程 、不等式 转化为图象上的位置关系（交点、上下位置）。 2、混淆“图象交点”与“方程解”的关系：误将交点的纵坐标当作方程的解，或不知道两函数图象的交点横坐标，就是对应方程的解。 3、混淆反比例函数与一次函数的图象应用逻辑：误以为一次函数图象的分析方法（如整体判断解集）可直接套用在反比例函数上，忽略反比例函数图象断开（）的特点。 认知偏差： 1、数形结合意识薄弱：习惯用纯代数方法硬解方程、不等式，忽略图象的直观性，不会通过画图简化解题过程，导致计算复杂、易出错。 2、对图象分析的理解片面：仅能识别反比例函数的象限分布，不会通过图象的高低、交点位置，判断函数值的大小关系，进而转化为不等式的解集。 3、思维定式影响：受“代数计算更准确”的错误认知影响，拒绝使用图象辅助，即便画图也不会结合图象分析，仅将其当作“形式化步骤”。 4、忽略定义域限制：分析图象时忘记，导致解集遗漏“”这一关键条件，或误将坐标轴上的点当作有效交点。 基础薄弱： 1、不会绘制反比例函数简易图象：无法快速画出双曲线的大致位置、象限分布，难以通过图象定位交点、判断函数值的正负范围。 2、不清楚“图象位置与不等式的对应关系”：不知道“反比例函数图象在一次函数图象上方”对应 ，“下方”对应 。 3、不会根据图象确定解集范围：找到交点后，无法结合象限、图象的连续性，分段判断不等式的解集，易出现“漏解、多解”。 4、不会验证图象分析的结果：通过图象得出解集后，不会代入特殊值验证，无法发现图象绘制偏差或分析错误。 【例5】（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 避错秘籍 【防错指南】 1、明确几何意义，建立关联：牢记核心对应关系，避免混淆： 方程 （）→ 两函数图象交点的横坐标（排除 ）； 不等式 → 反比例函数图象在一次函数图象上方的所有点的横坐标集合； 不等式 → 反比例函数图象在一次函数图象下方的所有点的横坐标集合。 2、结合象限，分段判断解集：根据反比例函数图象的象限分布（断开的双曲线），结合交点坐标，分象限、分区间判断解集，避免跨象限误判，同时牢记 。 【知识链接】 核心关联：函数图象的本质是“满足函数解析式的所有点的集合”，因此方程的解对应图象的交点，不等式的解集对应图象的特定位置区域。 反比例函数图象与方程的关联： 反比例函数 （）与一次函数 （）的交点，是方程组 的解，交点横坐标是方程 的解。 若两函数无交点，则方程 无实数解。 反比例函数图象与不等式的关联： 当 时，反比例函数图象在一、三象限，结合一次函数图象的交点，分一、三象限判断不等式解集，注意 ； 当 时，反比例函数图象在二、四象限，同理分二、四象限判断，避免跨象限合并解集； 单独分析反比例函数相关不等式（如 ），直接根据图象所在象限判断： 时解集为 ， 时解集为 。 与增减性的关联：分析不等式时，若需判断同一象限内的函数值大小，可结合反比例函数的增减性辅助分析；若跨象限，直接通过图象符号（正、负）判断，无需使用增减性。 变式迁移 【变式5-1】（2026·陕西西安·一模）已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·安徽阜阳·一模）若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（    ） A． B．， C． D．， 【变式5-3】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 易错点6 一次函数的应用（行程问题拐点实际意义不清晰） 错因剖析 概念混淆：不清楚拐点是行程状态发生改变的分界点， 认知偏差：能看懂图象的折线形状，但不会将拐点与实际行程结合，不会通过拐点坐标计算停留时间、变速前后的速度，无法将图象信息转化为行程数据。 基础薄弱：不能根据拐点的位置、线段的走向，判断物体是“匀速行驶→停留→匀速行驶”“匀速前进→掉头返回”等具体过程。 【例6】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 避错秘籍 【防错指南】 首先明确行程图象的横轴（通常为时间）、纵轴（通常为路程）含义，再识别拐点，牢记：拐点≠普通点，是行程状态改变的“分界点”。 再结合具体实际，分析拐点意义，通过“速度=路程差÷时间差”计算出行驶速度或拐点坐标。 结合拐点坐标验证，确保速度、时间、路程的计算无错误。 【知识链接】 一次函数行程图象中，（为斜率，为截距），斜率的实际意义是“速度”，截距的实际意义是“初始路程”（时的路程）；拐点是两个不同一次函数解析式的交点，对应行程状态的改变。 1、拐点与速度的关联： 线段斜率：物体沿正方向匀速运动，为速度大小； 线段斜率：物体沿反方向匀速运动，为速度大小； 线段斜率：物体静止，速度为0，对应图象中的水平线段，水平线段的横坐标差为停留时间。 2、常见行程场景与拐点的对应关系： 匀速行驶→停留→匀速行驶：图象为“倾斜线段→水平线段→倾斜线段”，两个拐点分别对应“开始停留”和“结束停留”； 匀速前进→掉头返回：图象为“正斜率线段→负斜率线段”，拐点对应“掉头时刻”，此时路程最大； 两人相遇/追及：两物体的行程图象交点（拐点或普通交点），对应相遇/追及时刻，交点横纵坐标分别为相遇/追及的时间和路程。 与一次函数基础的关联：拐点前后的线段，分别对应两个不同的一次函数解析式，可通过线段上的两个点（拐点+另一个点），利用待定系数法求出解析式，进而求解行程问题。 变式迁移 【变式6-1】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式6-2】（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【变式6-3】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 易错点7 忽略函数问题中的自变量取值范围 错因剖析 概念混淆：混淆“解析式有意义”与“实际问题有意义”：误以为只要解析式有意义，自变量取值就合理，忽略实际场景中自变量的隐含限制（如时间、路程、人数等不能为负数）。 认知偏差： 解答过程不重视自变量的取值范围，导致失分。 基础薄弱： 不能用正确的符号语言表示出自变量的取值范围。 【例7】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 避错秘籍 【防错指南】 自变量取值范围的判断需“双重兼顾”——解析式有意义、实际问题有意义，二者缺一不可；解题时可先标注范围，再进行后续步骤，从源头规避此类错误。 【知识链接】实际问题中自变量取值范围的确定方法： 第一步：找出题干中与自变量相关的实际量（如时间、路程、人数）； 第二步：根据实际量的意义，确定限制条件（如非负、整数、取值区间）； 第三步：结合解析式的限制，综合得出自变量取值范围（取两者的交集）。 变式迁移 【变式7-1】（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【变式7-2】（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分． (1)求当时，与之间的函数表达式． (2)张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？ 【变式7-3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 易错点8 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 错因剖析 概念混淆：混淆“交点坐标”与“几何量”的关联：不清楚交点坐标可转化为几何中的点的坐标，无法将交点的横纵坐标与线段长度、图形面积等几何量结合，仅把交点当作“方程的解”，忽略其几何意义。 认知偏差：受“求交点就是解方程组”的固有思维影响，拿到交点综合题，仅能完成交点坐标求解，无法进一步拓展思路，不会结合几何图形的性质（如三角形面积公式、线段垂直平分线）解题。 基础薄弱：不熟练掌握三角形、四边形面积公式，不会通过点的坐标求线段长度（如坐标轴上两点间距离、平行于坐标轴的线段长度），无法将交点坐标转化为几何计算的已知条件。 【例8】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 避错秘籍 【防错指南】关联坐标与几何量，精准转化 牢记核心转化方法，避免脱节： 交点横坐标→平行于y轴的线段长度（绝对值）；交点纵坐标→平行于x轴的线段长度（绝对值）； 坐标轴上两点间距离：x轴上两点（）、（）距离为，y轴上两点（）、（）距离为； 利用交点坐标求图形面积：优先构造直角三角形、矩形，以坐标轴为直角边，结合面积公式计算，避免复杂计算。 数形结合，双向验证：通过代数计算求出几何量（如面积、线段长度）后，对照函数图象进行验证，确保几何图形构建正确、计算无误；同时可通过图象直观判断几何关系，辅助代数计算。 【知识链接】几何公式与方法： 线段长度：平行于坐标轴的线段，长度为对应坐标差的绝对值； 三角形面积：直角三角形面积=直角边乘积÷2；不规则三角形可通过补全法、分割法转化为直角三角形计算； 对称性质：反比例函数图象关于原点对称，若（）是两函数交点，则（）也一定是交点，可快速求解未知交点坐标。 与函数基础的关联：求两函数交点坐标，本质是解方程组（），交点个数由方程组的解的个数决定（Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点），交点个数直接影响几何图形的构建。 变式迁移 【变式8-1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【变式8-2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【变式8-3】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 易错点 9 一次函数与几何变换 错因剖析 概念混淆：在一次函数与平移、对称、旋转、位似等几何变换结合的题目中，不会正确转化点的坐标与直线解析式，搞混 “点变换” 与 “直线变换” 的关系，导致解析式求错、位置判断错误、图形分析失误。 认知偏差：死记 “左加右减、上加下减”，不懂为什么平移后解析式这么变，稍微变形就不会。数形结合意识弱，不会画草图分析，只有平移 k 不变；旋转、对称、翻折 k 通常会变，这一点普遍忽略。 基础薄弱：不会求点的变换坐标，待定系数法不熟练，计算失误。 【例9】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标； (2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 避错秘籍 【防错指南】 1、直线变换 → 先找点，再求解析式 任意找原直线上两个好算的点，对它们做几何变换，再用两点式求新直线解析式，最稳不易错。 2、平移牢牢记住一句话 上下平移：只动 ，上加下减， 不变 左右平移：只变 ，左加右减， 不变 3、对称变换先改坐标，再求直线 关于 x 轴对称： 关于 y 轴对称： 关于原点对称： 4、旋转先判断 k 是否变 旋转 90°、180° 后，直线倾斜方向改变，k 一定重新计算，不能直接照搬。 5、画草图验证 求出解析式后，简单画一下位置，看是否符合题意的平移 / 对称 / 旋转，避免明显错误。 【知识链接】 1、一次函数基本形式 ：斜率，决定直线倾斜方向与陡峭程度 ：直线与 轴交点 2、平移变换规律 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 向右平移 个单位： 向左平移 个单位： 3、对称变换坐标规则 关于 x 轴对称：，直线变为 关于 y 轴对称：，直线变为 关于原点对称：，直线变为 4、几何变换核心思想 直线是 “点的集合”，直线的几何变换 = 直线上所有点的同步几何变换， 抓住两个点，就能抓住整条直线。 变式迁移 【变式9-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【变式9-2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 1、 （2025·湖南株洲·一模）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．当x增加1时，y增加1 B．函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 2、 （2026·陕西·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，且两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、 （2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4、 （2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5、 （2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 6、 （2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 7、 （2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 8、 （2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 9、 （2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 10、 （2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 11、 （2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 12、 （2026·黑龙江·一模）已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； (2)求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； (3)请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 13、 （2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 14、 （2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与反比例函数 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 动点函数图象辨析 易错点 2 一次函数图象与系数的关系 易错点 3 反比例函数系数k的几何意义 易错点 4  忽略反比例函数的增减性是它的单只性质而不是整体性质 易错点 5 不会利用函数图象分析方程或不等式 易错点 6 一次函数的应用（行程问题拐点实际意义不清晰） 易错点 7 忽略函数问题中的自变量取值范围 易错点 8 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 易错点 9 一次函数与几何变换 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 动点函数图象辨析 错因剖析 概念混淆：图形运动阶段划分不清，如将三角形运动的 “进入 - 完全覆盖 - 离开” 三个阶段混为一谈，或错误判断各阶段的时间节点. 认知偏差： 仅凭直觉判断，不具体计算分析；无视运动边界. 基础薄弱： 无法用函数表示运动状态，不具备分析图形或图象的能力. 【例1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 避错秘籍 【防错指南】 1、先分段再写函数，根据函数类型判断图象 2、特殊点需要带入验证 3、结合题意分析函数变化趋势 【知识链接】 分段函数：实际问题中因变量随自变量变化的规律不同时，需分段表示函数，每段对应一个独立的解析式，图像由多段函数曲线 / 线段拼接而成。 图形运动问题：关键是抓住 “临界状态”（图形顶点 / 边与边界重合），以此为界划分运动阶段，再逐阶段分析几何量的变化规律。 变式迁移 【变式1-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 【变式1-2】（2026·安徽宿州·一模）如图，点M，N是矩形的边上两个同时运动的动点，点M的运动路线：；点N的运动路线：，已知点N的运动速度是点M运动速度的2倍，设，的面积为S．若，，则S与x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，三种情况，分别求出S与x的函数关系式，即可判断答案． 【详解】解：四边形是矩形 ，，，， 当时，如图1，点N在上， ，则，， ； 当时，如图2，点N在上， ； 当时，如图3，点N在上， 此时， ； 综上，选项A符合题意． 【点睛】此类问题，动点在各边上的面积各不相同，需要分别求解． 【变式1-3】（2026·甘肃平凉·一模）如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的数据可得，，再代入消元解出，进而得到即可． 【详解】解：由图可知，当在点处时，， 即，则， 由图像可知：当点在点处时，， ，即， 把代入得， 整理得，解得或（舍去）， 点N为的中点， ， 则点M从点A运动到点B所需的时间为． 易错点2 一次函数图象与系数的关系 错因剖析 概念混淆： 、 意义模糊，象限判断混乱。 认知偏差：死记硬背，不理解意义，凭印象乱猜。 基础薄弱： 作图不规范，不会求直线与坐标轴的交点。 【例2】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 避错秘籍 【防错指南】 1、看 定升降： 从左到右上升； 下降。 2、看 定上下： 交 y 轴正半轴 ；负半轴 ；过原点 。 3、象限由 共同决定，缺一不可。 【知识链接】 1、增减性：，y 随 x 增大而增大； 反之。 2、与 y 轴交点：；与 x 轴交点：。 变式迁移 【变式2-1】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 【变式2-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 【变式2-3】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 易错点3 反比例函数系数k的符号 错因剖析 概念混淆： 混淆 “面积” 与 “” 的对应关系： 误记为 “过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成的矩形面积是 ”，忽略 的符号，直接用面积等于 进行计算，导致符号错误。 混淆 “矩形” 与 “三角形” 面积： 把 “矩形面积 ” 和 “三角形面积 ” 记反，或搞不清是向 轴还是 轴作垂线。 认知偏差：误以为点在双曲线上移动时，围成的矩形面积会改变，忽略 “无论点在何处，矩形面积恒等于 ” 这一核心几何意义。 由面积为正数直接得出 ，忽略 时面积同样为正，必须结合点所在象限判断 的符号。 基础薄弱： 没有掌握用坐标表示几何图形面积的方法。 【例3】（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】答题思路： 1、 寻找已知图形面积与矩形或三角形面积的关系，从而求出，再又反比例函数所在象限，判断k值的符号. 2、 根据题意，确定题图中点之间的位置关系，通过设一个点的坐标，并表示出其他各点坐标，再又图形面积列出方程解答. 【知识链接】 过反比例函数 上任意一点 ，分别向 轴、 轴作垂线，垂足为 ： 矩形 的面积： 三角形 或 的面积： 口诀：矩形恒为 ，三角折半取 变式迁移 【变式3-1】（2026·广东深圳·一模）如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 【答案】 【分析】设，，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，结合三角形的面积列出方程进行求解即可. 【详解】解：设，则， ∵反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为6， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴. 【变式3-2】（2026·吉林长春·一模）如图，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的几何意义可知．利用和同底（）且高之比等于 的关系，求出的面积，进而求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上，且轴， ． 点在线段上，且， 点到轴的距离与点到轴的距离（即）之比为． 和同底（底边均为）， ． ， ． ，解得． 反比例函数图象在第二象限， ， ． 【变式3-2】（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数图像上任意一点作轴、轴的垂线，与轴、轴所围成的矩形面积为的绝对值．如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上， ∴， ∵四边形是面积为的正方形， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 易错点4 忽略反比例函数的增减性是它的单只性质而不是整体性质 错因剖析 概念混淆：混淆反比例函数与一次函数的单调性： 一次函数在全体实数上单调，而反比例函数在每个象限内分别单调，定义域不连续。 混淆 “整体增减” 与 “分支增减”： 错误认为 时 随 增大始终减小， 时始终增大，无视象限分界。 认知偏差：想当然地用 “ 越大 就越小 / 越大” 直接比较，不判断两点是否在同一象限。 强行跨象限使用增减性。 基础薄弱：不理解 “象限” 对函数符号与变化趋势的影响。 【例4】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】 1、先看象限，再用增减 比较函数值大小时，先判断两点是否在同一分支（同一象限）： 2、同象限：用增减性判断； 不同象限：直接看符号（一正一负可直接比较）。 3、牢记关键词：在每个象限内 描述增减性时，必须带上这句话，否则表述错误。 4、拿不准时代入计算 直接把 代入求 ，是最稳妥、最不易错的方法。 5、画图辅助 简单画出双曲线，标出点的大致位置，直观判断大小。 【知识链接】 1、反比例函数 ： ，在每一象限内 随 增大而减小； ，在每一象限内 随 增大而增大。 2、与一次函数对比： 一次函数 是整体单调；反比例函数是分段单调。 3、本质原因： 定义域 ，图像不连续，因此不能在整个实数范围谈单调性。 变式迁移 【变式4-1】（2026·安徽芜湖·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意； D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； 【变式4-2】（2026·北京·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的符号为负． 【变式4-3】（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意； B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意； C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意； D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意． 易错点5 不会利用函数图象分析方程或不等式 错因剖析 概念混淆： 1、混淆“函数图象”与“方程/不等式”的核心关联：不清楚“反比例函数图象上的点的坐标，必然满足函数解析式”，无法将方程 、不等式 转化为图象上的位置关系（交点、上下位置）。 2、混淆“图象交点”与“方程解”的关系：误将交点的纵坐标当作方程的解，或不知道两函数图象的交点横坐标，就是对应方程的解。 3、混淆反比例函数与一次函数的图象应用逻辑：误以为一次函数图象的分析方法（如整体判断解集）可直接套用在反比例函数上，忽略反比例函数图象断开（）的特点。 认知偏差： 1、数形结合意识薄弱：习惯用纯代数方法硬解方程、不等式，忽略图象的直观性，不会通过画图简化解题过程，导致计算复杂、易出错。 2、对图象分析的理解片面：仅能识别反比例函数的象限分布，不会通过图象的高低、交点位置，判断函数值的大小关系，进而转化为不等式的解集。 3、思维定式影响：受“代数计算更准确”的错误认知影响，拒绝使用图象辅助，即便画图也不会结合图象分析，仅将其当作“形式化步骤”。 4、忽略定义域限制：分析图象时忘记，导致解集遗漏“”这一关键条件，或误将坐标轴上的点当作有效交点。 基础薄弱： 1、不会绘制反比例函数简易图象：无法快速画出双曲线的大致位置、象限分布，难以通过图象定位交点、判断函数值的正负范围。 2、不清楚“图象位置与不等式的对应关系”：不知道“反比例函数图象在一次函数图象上方”对应 ，“下方”对应 。 3、不会根据图象确定解集范围：找到交点后，无法结合象限、图象的连续性，分段判断不等式的解集，易出现“漏解、多解”。 4、不会验证图象分析的结果：通过图象得出解集后，不会代入特殊值验证，无法发现图象绘制偏差或分析错误。 【例5】（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 避错秘籍 【防错指南】 1、明确几何意义，建立关联：牢记核心对应关系，避免混淆： 方程 （）→ 两函数图象交点的横坐标（排除 ）； 不等式 → 反比例函数图象在一次函数图象上方的所有点的横坐标集合； 不等式 → 反比例函数图象在一次函数图象下方的所有点的横坐标集合。 2、结合象限，分段判断解集：根据反比例函数图象的象限分布（断开的双曲线），结合交点坐标，分象限、分区间判断解集，避免跨象限误判，同时牢记 。 【知识链接】 核心关联：函数图象的本质是“满足函数解析式的所有点的集合”，因此方程的解对应图象的交点，不等式的解集对应图象的特定位置区域。 反比例函数图象与方程的关联： 反比例函数 （）与一次函数 （）的交点，是方程组 的解，交点横坐标是方程 的解。 若两函数无交点，则方程 无实数解。 反比例函数图象与不等式的关联： 当 时，反比例函数图象在一、三象限，结合一次函数图象的交点，分一、三象限判断不等式解集，注意 ； 当 时，反比例函数图象在二、四象限，同理分二、四象限判断，避免跨象限合并解集； 单独分析反比例函数相关不等式（如 ），直接根据图象所在象限判断： 时解集为 ， 时解集为 。 与增减性的关联：分析不等式时，若需判断同一象限内的函数值大小，可结合反比例函数的增减性辅助分析；若跨象限，直接通过图象符号（正、负）判断，无需使用增减性。 变式迁移 【变式5-1】（2026·陕西西安·一模）已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组，即的解为． 【变式5-2】（2026·安徽阜阳·一模）若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（    ） A． B．， C． D．， 【答案】C 【分析】联立直线和双曲线可得，根据没有交点可知方程无解，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：联立，则， 整理得：， 直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点， 方程无解，即， ． 【变式5-3】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 易错点6 一次函数的应用（行程问题拐点实际意义不清晰） 错因剖析 概念混淆：不清楚拐点是行程状态发生改变的分界点， 认知偏差：能看懂图象的折线形状，但不会将拐点与实际行程结合，不会通过拐点坐标计算停留时间、变速前后的速度，无法将图象信息转化为行程数据。 基础薄弱：不能根据拐点的位置、线段的走向，判断物体是“匀速行驶→停留→匀速行驶”“匀速前进→掉头返回”等具体过程。 【例6】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 避错秘籍 【防错指南】 首先明确行程图象的横轴（通常为时间）、纵轴（通常为路程）含义，再识别拐点，牢记：拐点≠普通点，是行程状态改变的“分界点”。 再结合具体实际，分析拐点意义，通过“速度=路程差÷时间差”计算出行驶速度或拐点坐标。 结合拐点坐标验证，确保速度、时间、路程的计算无错误。 【知识链接】 一次函数行程图象中，（为斜率，为截距），斜率的实际意义是“速度”，截距的实际意义是“初始路程”（时的路程）；拐点是两个不同一次函数解析式的交点，对应行程状态的改变。 1、拐点与速度的关联： 线段斜率：物体沿正方向匀速运动，为速度大小； 线段斜率：物体沿反方向匀速运动，为速度大小； 线段斜率：物体静止，速度为0，对应图象中的水平线段，水平线段的横坐标差为停留时间。 2、常见行程场景与拐点的对应关系： 匀速行驶→停留→匀速行驶：图象为“倾斜线段→水平线段→倾斜线段”，两个拐点分别对应“开始停留”和“结束停留”； 匀速前进→掉头返回：图象为“正斜率线段→负斜率线段”，拐点对应“掉头时刻”，此时路程最大； 两人相遇/追及：两物体的行程图象交点（拐点或普通交点），对应相遇/追及时刻，交点横纵坐标分别为相遇/追及的时间和路程。 与一次函数基础的关联：拐点前后的线段，分别对应两个不同的一次函数解析式，可通过线段上的两个点（拐点+另一个点），利用待定系数法求出解析式，进而求解行程问题。 变式迁移 【变式6-1】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 【变式6-2】（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为． 【变式6-3】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 易错点7 忽略函数问题中的自变量取值范围 错因剖析 概念混淆：混淆“解析式有意义”与“实际问题有意义”：误以为只要解析式有意义，自变量取值就合理，忽略实际场景中自变量的隐含限制（如时间、路程、人数等不能为负数）。 认知偏差： 解答过程不重视自变量的取值范围，导致失分。 基础薄弱： 不能用正确的符号语言表示出自变量的取值范围。 【例7】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 【答案】(1)每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元 (2)14.4万元 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设每台A型发酵设备的采购费用为万元，则每台B型发酵设备的采购费用为万元，根据题意列分式方程解答即可； （2）设采购A型设备台，则B型设备台，根据题意列一元一次不等式组求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型发酵设备的采购费用为万元，则每台B型发酵设备的采购费用为万元． 根据题意得：， 解得 检验：当时，，所以是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴每台B型发酵设备的采购费用（万元） 答：每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元． （2）解：根据题意得：， 解得， 由实际意义设备数量为非负整数，即：， ∴， ∴的取值范围是：（为整数）， 由题意知：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 答：w的最大值为14.4万元． 避错秘籍 【防错指南】 自变量取值范围的判断需“双重兼顾”——解析式有意义、实际问题有意义，二者缺一不可；解题时可先标注范围，再进行后续步骤，从源头规避此类错误。 【知识链接】实际问题中自变量取值范围的确定方法： 第一步：找出题干中与自变量相关的实际量（如时间、路程、人数）； 第二步：根据实际量的意义，确定限制条件（如非负、整数、取值区间）； 第三步：结合解析式的限制，综合得出自变量取值范围（取两者的交集）。 变式迁移 【变式7-1】（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中 【分析】（1）利用待定系数法可求出段反比例函数解析式，进而得出答案； （2）利用待定系数法可求出段一次函数解析式，再把，代入段解析式求出对应的y值，把，代入段解析式求出对应的y值，进行比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段反比例函数解析式为 ， 把点 代入得 ，解得 ， ∴段反比例函数解析式为： ； （2）解： 设段解析式为 ， 把，，代入得 ，解得 ， 即段解析式为 ， 把，代入段解析式得 ， 把，代入段解析式得 ， 因为 ， 因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中． 【变式7-2】（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分． (1)求当时，与之间的函数表达式． (2)张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？ 【答案】(1) (2)张老师安排题目的时间段最长可持续分钟 【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式的求解与应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）根据反比例函数模型，代入点求出即可得到函数表达式； （2）先求出各分段的函数解析式，再分别令解出对应，结合题意判断有效解，最终算出注意力指数不低于的最长持续时间． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，当时，． 将代入，得． 故函数表达式为． 答：． （2）解：当时，设，由函数过原点和，求得， 令，则，解得； 当时，设，由函数过，， 可得， 解得， 则解析式为， 令，则，解得； 当时，．令，则（，不在区间内，舍去）． 由图象可知，注意力指标数不低于的时间段从持续到． 故最长持续时间为（分钟）． 答：张老师安排题目的时间段最长可持续分钟． 【变式7-3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 易错点8 一次函数、反比例函数图象交点的综合运用缺少几何观念 错因剖析 概念混淆：混淆“交点坐标”与“几何量”的关联：不清楚交点坐标可转化为几何中的点的坐标，无法将交点的横纵坐标与线段长度、图形面积等几何量结合，仅把交点当作“方程的解”，忽略其几何意义。 认知偏差：受“求交点就是解方程组”的固有思维影响，拿到交点综合题，仅能完成交点坐标求解，无法进一步拓展思路，不会结合几何图形的性质（如三角形面积公式、线段垂直平分线）解题。 基础薄弱：不熟练掌握三角形、四边形面积公式，不会通过点的坐标求线段长度（如坐标轴上两点间距离、平行于坐标轴的线段长度），无法将交点坐标转化为几何计算的已知条件。 【例8】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 避错秘籍 【防错指南】关联坐标与几何量，精准转化 牢记核心转化方法，避免脱节： 交点横坐标→平行于y轴的线段长度（绝对值）；交点纵坐标→平行于x轴的线段长度（绝对值）； 坐标轴上两点间距离：x轴上两点（）、（）距离为，y轴上两点（）、（）距离为； 利用交点坐标求图形面积：优先构造直角三角形、矩形，以坐标轴为直角边，结合面积公式计算，避免复杂计算。 数形结合，双向验证：通过代数计算求出几何量（如面积、线段长度）后，对照函数图象进行验证，确保几何图形构建正确、计算无误；同时可通过图象直观判断几何关系，辅助代数计算。 【知识链接】几何公式与方法： 线段长度：平行于坐标轴的线段，长度为对应坐标差的绝对值； 三角形面积：直角三角形面积=直角边乘积÷2；不规则三角形可通过补全法、分割法转化为直角三角形计算； 对称性质：反比例函数图象关于原点对称，若（）是两函数交点，则（）也一定是交点，可快速求解未知交点坐标。 与函数基础的关联：求两函数交点坐标，本质是解方程组（），交点个数由方程组的解的个数决定（Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点），交点个数直接影响几何图形的构建。 变式迁移 【变式8-1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 【变式8-2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 易错点 9 一次函数与几何变换 错因剖析 概念混淆：在一次函数与平移、对称、旋转、位似等几何变换结合的题目中，不会正确转化点的坐标与直线解析式，搞混 “点变换” 与 “直线变换” 的关系，导致解析式求错、位置判断错误、图形分析失误。 认知偏差：死记 “左加右减、上加下减”，不懂为什么平移后解析式这么变，稍微变形就不会。数形结合意识弱，不会画草图分析，只有平移 k 不变；旋转、对称、翻折 k 通常会变，这一点普遍忽略。 基础薄弱：不会求点的变换坐标，待定系数法不熟练，计算失误。 【例9】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标； (2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了正比例函数与反比例数，一次函数的平移，旋转的性质，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点A分别代入反比例函数与正比例函数，待定系数法求解析式，根据正比例函数与反比例函数都是中心对称图形，即可得出点的坐标； （2）先求得旋转后的正比例函数解析式，根据平移的性质得出一次函数解析式为，结合题意，根据有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】（1）解：将点A代入得， ∴， ∴反比例函数表达式为：， 将点A代入得， ， 解得： ∴正比例函数的表达式为：， ∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形， ∴关于原点对称， ∴ （2）解：∵将绕原点逆时针旋转得到， 代入正比例函数，得，， 解得：， ∴正比例函数逆时针旋转后得到， 向上平移（）个单位长度，得到的一次函数： ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴，即有两个相等的实数根， ∴ 解得：或（舍去） 避错秘籍 【防错指南】 1、直线变换 → 先找点，再求解析式 任意找原直线上两个好算的点，对它们做几何变换，再用两点式求新直线解析式，最稳不易错。 2、平移牢牢记住一句话 上下平移：只动 ，上加下减， 不变 左右平移：只变 ，左加右减， 不变 3、对称变换先改坐标，再求直线 关于 x 轴对称： 关于 y 轴对称： 关于原点对称： 4、旋转先判断 k 是否变 旋转 90°、180° 后，直线倾斜方向改变，k 一定重新计算，不能直接照搬。 5、画草图验证 求出解析式后，简单画一下位置，看是否符合题意的平移 / 对称 / 旋转，避免明显错误。 【知识链接】 1、一次函数基本形式 ：斜率，决定直线倾斜方向与陡峭程度 ：直线与 轴交点 2、平移变换规律 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 向右平移 个单位： 向左平移 个单位： 3、对称变换坐标规则 关于 x 轴对称：，直线变为 关于 y 轴对称：，直线变为 关于原点对称：，直线变为 4、几何变换核心思想 直线是 “点的集合”，直线的几何变换 = 直线上所有点的同步几何变换， 抓住两个点，就能抓住整条直线。 变式迁移 【变式9-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 【变式9-2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式9-3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴． 1、 （2025·湖南株洲·一模）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．当x增加1时，y增加1 B．函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的计算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：A、当x增加1，为时，，即当x增加1时，y增加1，故本选项正确，不符合题意； B、因为，则函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； C、因为，则函数图象经过第一、二、三象限，即函数图象不经过第四象限，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，即，则函数图象与x轴交点坐标是，故本选项错误，符合题意； 2、 （2026·陕西·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，且两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到A，B的坐标，再求出正比例函数的解析式，结合函数图像平移规律得到平移后的解析式，最后根据一次函数的性质判断其不经过的象限即可. 【详解】解：∵ A，B两点关于原点中心对称，点A坐标为，点B坐标为， ∴ 由关于原点对称的点的坐标性质得，，即， 将代入，得 ，解得：. ∴ 原正比例函数解析式为. 将该函数图像向下平移个单位长度，根据平移的“上加下减”规则，得平移后解析式为. 对于一次函数， ，， 函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，.即选项A符合题意. 3、 （2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 4、 （2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 5、 （2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 6、 （2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶ 当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 故选∶ C． 7、 （2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 8、 （2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 9、 （2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 10、 （2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 11、 （2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 12、 （2026·黑龙江·一模）已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； (2)求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； (3)请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 【答案】(1)400； (2) (3)时间为分、7分或分 【分析】（1）利用路程÷时间可得出甲的速度；由甲骑行5分钟的路程，进而可得出点Ｍ的坐标； （2）设甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式为．代入和，建立方程组求解即可； （3）分，，和，根据题意可得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：甲从A地出发，到换电站停留2分钟，图中显示甲在7分钟时离开换电站，实际骑行时间为分钟， 甲从B地返回A地用了分钟，路程为2400米， 所以甲的速度为（米/分） 甲骑行5分钟的路程为米， 所以点M的坐标为； （2）解：换电站对应的时间为7分钟，此时甲的路程为2000米， 甲到达B地的时间为分钟，对应坐标为， 设函数关系式为， 代入和得； 解得， 所以，函数关系式为： （3）解：乙的速度为米/分， 设乙的行驶的时间与路程的函数关系式为， 把，代入得：， 解得， 所以，函数关系式为； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得：或（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得： 综上，时间为分、7分或分． 13、 （2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 14、 （2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； （2）解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $