数学二模模拟卷（江苏苏州专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分) 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6.[A][B1[CI[D1 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10 11. 12 13 14 15. 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(5分) 18.(5分) 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 聊天对话与图文生成类A工具午间使用人数统计 学生使用AI工具方式扇形统计图 人数 50 50 公共学习类 5053052050 10%入私人家教类 20 30 口聊大对话类 口图文生成类 聊天 10% 代码编程类 对话类 45% 图文 生成类 50 30% 12:00-12:30-13:00- 其他 12:30 13:00 13:30 时间 23.(8分) 30 B 45 15° E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) B D 25.(10分) F AE 0 C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（    ）． A． B． C． D． 2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 4．中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 5．若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A． B． C． D． 6．一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 8．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：______ 10．若，则________． 11．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，那么小球停留在黑色区域的概率是____． 12．如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的半圆分别交， 于点，，半圆与相切于点．若，则图中阴影部分的周长为__________．（结果保留） 13．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线 把分成面积相等的两部分，则的值为___________． 14．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为________． 15．二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______． 16．如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在 内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程组：． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）昆明是一座四季如春的城市，有许多美丽的景点．在“五一”小长假即将来临之际，某校甲、乙两位同学准备去昆明旅游，他们收集了四个感兴趣的景点名片，这些名片除正面外，大小、形状均相同，分别为A西山，B滇池、C翠湖、D金殿．他们将四张名片洗匀后背面朝上放在桌面上，甲同学先从中抽取一张卡片记下结果，并放回，洗匀后乙同学再从中随机抽取一张，记下结果． (1)甲同学抽到去A西山旅游的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率． 21．（6分）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（8分）工具的多样化及普及化，为学习和工作带来便利的同时，也在一定程度上造成了学生使用场景过度集中、信息依赖等问题．某校社团针对中午放学后学生使用工具的情况，在全校随机选取300名学生进行了问卷调查（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 中午放学后学生使用AI工具的情况调查问卷 尊敬的同学： 您好！为优化工具使用环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下均为单选） 1．您通常使用工具的方式是（    ） A．聊天对话类B．图文生成类C．代码编程类D．私人家教类E．公共学习类 2．您通常使用工具的时间是（    ）（每项含最小值，不含最大值） A．   B．   C．    D．其他时间 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共学习类”所在扇形的圆心角度数为___________． 本次调查的学生中使用“聊天对话类”工具的有____________人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1500名学生，估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数． (3)假如你是社团的成员，请根据统计图中的信息，给学生们提出一条合理使用工具的建议． 23．（8分）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为． (1)求与的值； (2)点为线段上一动点（可与端点重合），过点作轴交轴于点，连接，求 面积的最大值． 25．（10分）如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（10分）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 27．（10分）二次函数和图象交于点和点，点P为x轴上一动点，且P点横坐标满足，过P点作直线轴，分别交二次函数，的图象于M，N两点，交直线于Q点． (1)求的值； (2)若（，），求的值； (3)在（2）的条件下，若四边形有两边平行，求所有满足条件的P点横坐标的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将这个数化简，再求倒数即可． 【详解】解：，而的倒数是． 2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四个选项中，选项A、B、C、D中图形是轴对称图形；选项C中图形是中心对称图形， 选项C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿， 亿． 4．中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键； 众数是出现次数最多的数据，中位数是按大小排列后中间位置的数（或平均数）． 【详解】∵数据为87，86，89，87，88，90，95，97， ∴排序后为86，87，87，88，89，90，95，97． ∵87出现2次，其他数据均出现1次， ∴众数为87． ∵数据共8个，中位数为第4和第5个数的平均数，即88和89， ∴中位数为． 故选：A． 5．若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式性质判断，结合举反例排除错误选项即可得到结果． 【详解】解：A．∵， ∴，故A选项成立； B．∵， ∴，故B不成立； C．举反例：取，，满足，此时，故C不成立； D．举反例：取，，满足，此时，，，故D不成立． 6．一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再由平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 即，解得， ， 即，解得． 7．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据轴可知，的高为点的纵坐标，利用三角形面积公式结合反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∵点在第二象限， ∴，即， ∴， 即，解得 ． 8．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：______ 【答案】 【分析】用提公因式法因式分解． 【详解】解：． 10．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入思想求解，先将所求代数式变形为含有已知式子的形式，再代入计算． 【详解】解：， ， ． 11．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，那么小球停留在黑色区域的概率是____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，观察图中，得出黑色小方格的数量是，总的小方格数量是，再运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：理解题意，观察图中，得出黑色小方格的数量是，总的小方格数量是， ∴小球停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 12．如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的半圆分别交， 于点，，半圆与相切于点．若，则图中阴影部分的周长为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出直角，求出，根据等角对等边以及勾股定理求出相关线段的长度，最后利用弧长公式求出弧长． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆与相切于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 的长度为， ∴阴影部分的周长为． 13．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线 把分成面积相等的两部分，则的值为___________． 【答案】0.6 【分析】首先，将直线，变形得出，知直线恒过定点，然后根据题意得直线过点，再将此点代入即可得出的值． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴直线恒过定点． ∵直线，把分成面积相等的两部分， ∴直线过线段的中点． ∵， ∴直线过点． 把点代入，得，解得． 14．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为________． 【答案】/84度 【分析】利用正多边形的内角和公式，求出正五边形的一个内角的度数，得到和的度数，再借助等边三角形的内角为，四边形的内角和为，计算即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴的交点，得，根据点在线段上，即，则，展开整理可得，解出，即可． 【详解】解：∵二次函数与轴交于，两点， ∴，即， 整理得：， 设、且， 由韦达定理得：，； ∵点在线段上，即， ∴， 展开可得：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，恒成立， ∴的取值为：， 故答案为：． 16．如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在 内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角度关系推导及线段长度计算等几何综合知识．该解题过程先通过截取并作构造辅助线，再利用角度关系推导出，结合相似三角形的性质求出和的长度，接着通过等腰三角形三线合一及全等三角形的性质得到，最后代入线段长度计算出的值． 【详解】解：截取，作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴由，得， ∴， ∴由，得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则的长为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（5分）计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值、负整数指数幂、二次根式的乘法，再计算加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（5分）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后代入进行分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式 20．（6分）昆明是一座四季如春的城市，有许多美丽的景点．在“五一”小长假即将来临之际，某校甲、乙两位同学准备去昆明旅游，他们收集了四个感兴趣的景点名片，这些名片除正面外，大小、形状均相同，分别为A西山，B滇池、C翠湖、D金殿．他们将四张名片洗匀后背面朝上放在桌面上，甲同学先从中抽取一张卡片记下结果，并放回，洗匀后乙同学再从中随机抽取一张，记下结果． (1)甲同学抽到去A西山旅游的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：四张卡片中，写有字母A的名片只有1张， ∴甲同学抽到去A西山旅游的概率； （2）解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的结果数为4， 所以甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率=． 21．（6分）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由题意可得，由可得，再证明即可证得； （2）由可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． （2）解：， ． ∴在中， ． ， ． ， ． ． 22．（8分）工具的多样化及普及化，为学习和工作带来便利的同时，也在一定程度上造成了学生使用场景过度集中、信息依赖等问题．某校社团针对中午放学后学生使用工具的情况，在全校随机选取300名学生进行了问卷调查（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 中午放学后学生使用AI工具的情况调查问卷 尊敬的同学： 您好！为优化工具使用环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下均为单选） 1．您通常使用工具的方式是（    ） A．聊天对话类B．图文生成类C．代码编程类D．私人家教类E．公共学习类 2．您通常使用工具的时间是（    ）（每项含最小值，不含最大值） A．   B．   C．    D．其他时间 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共学习类”所在扇形的圆心角度数为___________． 本次调查的学生中使用“聊天对话类”工具的有____________人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1500名学生，估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数． (3)假如你是社团的成员，请根据统计图中的信息，给学生们提出一条合理使用工具的建议． 【答案】(1)36，135，图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】（1）用360度乘以“公共学习类”所占的百分比求出圆心角的度数，用调查的总人数乘以使用“聊天对话类”工具的人数所占的百分比求出对应的人数，求出聊天和图文的总人数，进而补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据统计图进行作答即可． 【详解】（1）解：； （人）； （人），补全条形图如图： （2）解：（人）； 答：估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数为450人； （3）解：建议同学们减少无意义的娱乐类使用时长，多利用工具辅助学习，合理规划午间使用的时间，避免影响休息．（合理即可） 23．（8分）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点的垂直高度； （2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合角的三角函数关系列方程求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ． 答：点的垂直高度约为． （2）解：过点作于点， ，， ∴四边形是矩形， ，． 设山体的垂直高度，则． ，， 是等腰直角三角形， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， 解得． 答：山体的垂直高度约为． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为． (1)求与的值； (2)点为线段上一动点（可与端点重合），过点作轴交轴于点，连接，求 面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别把点B的坐标代入两个解析式，即可求得对应的值； （2）先联立两个解析式，求得点A和点B的横坐标，设点，则，然后根据三角形面积公式，得到面积关于m的表达式，再根据二次函数的性质讨论即可解答． 【详解】（1）解：把点代入一次函数中，得， 解得，则， 把点代入反比例函数中，得，则； （2）解：令，解得或， 即点的横坐标为2，点B的横坐标4， 设点，则， ∴， ∵， ∴当时，取到最大值为， 面积的最大值为． 25．（10分）如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，进而得，得，结合得，进而证明是的切线； （2）连接，根据圆周角定理得，得，在中，计算，在中，根据计算的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：连接， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ，即， ． 26．（10分）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)且为正整数 (2)销售场次是第场 (3)第场获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】本题是一次函数，二次函数的综合运用，理解题意并列出函数关系式是顺利解题的关键． （1）根据第一场销售量及每场销售量的递减规律直接构建函数关系式； （2）分两段建立销售单价与场次的函数模型，通过给定数据求解参数后，代入单价为15万元的条件求解对应场次，结合场次范围筛选有效解； （3）依据利润公式分两段构建利润函数，利用二次函数的增减性和反比例函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较后确定全场最大利润及对应场次，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，其中且为正整数 （2）解：设基本价为万元当时， 设与的函数关系式为 将，代入得 解得 ，其中且为正整数 当时，设与的函数关系式为 将 代入得 解得 ，其中且为正整数 当时，令 解得，因，不符合范围，舍去 当时，令 解得， 符合的范围 答：销售场次是第21场． （3）解：设每场获得的利润为万元当时 ，二次函数图象开口向下，对称轴为 又，在对称轴左侧，随的增大而增大 当时，取得最大值，（万元） 当时 ， 在时，随的增大而减小 当时，取得最大值，（万元） 答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 27．（10分）二次函数和图象交于点和点，点P为x轴上一动点，且P点横坐标满足，过P点作直线轴，分别交二次函数，的图象于M，N两点，交直线于Q点． (1)求的值； (2)若（，），求的值； (3)在（2）的条件下，若四边形有两边平行，求所有满足条件的P点横坐标的值． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的P点横坐标为或 【分析】（1）将点和点代入求解即可； （2），同理可得，，则，，求出直线解析为．由题意可知，M点坐标为，N点坐标为，Q点坐标为，然后表示出，即可求解； （3）作轴，轴，由直线轴，得到，当时，根据平行线分线段成比例定理得到，由，得到，故D点横坐标为，即P点横坐标为；当时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得； （2）解：由（1）可知，，同理可得，， ，． 设直线解析式为， 把，代入中， 得 解得 ∴直线解析为． 由题意可知，M点坐标为，N点坐标为，Q点坐标为， ，， ． ，且，， ， ． （3）解：如图1，作轴，轴，由直线轴，得到， 当时， ， ， ． ， ， 故D点横坐标为，即P点横坐标为． 当时，过点作轴，轴， ， ， ． ， ∴， 故C点横坐标为，即P点横坐标为． 综上所述，满足条件的P点横坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 1 8 C A C B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9.aa-1 10.-5 . 12.+22 13.0.6 14.84°/84度 15.m≥7 16.17V5 7 三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的 计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 17.(5分) 【解折】解：原式=44+2×5可 4、 4*2x3 1 =446 95分 18.(5分) x+2y=25① 【解析】解： 3x+4y=49②' 由①得x=25-2y,③ 将③代入②得：3(25-2y)+4y=49, 解得y=13, 将y=13代入①，解得x=-1, 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=-1 :这个方程的解 b=13·(5分) 19.(6分) 【解析】解： 1-x） x2-4 x+2x2+4x+4 =/x+2 x）.x2-4 (x+2x+2x2+4r+4 2 x+22 -X x+2(x+2)(x-2) 2 x-2’ 2=2-25(6分) 当x=5+2时，原式=5+2-2万3 20.(6分) 【解析】(1)解：四张卡片中，写有字母A的名片只有1张， ·甲同学抽到去A西山旅游的概率=4：(2分) (2)解：画树状图为： 开始 D 个 ABCDABCDABCD ABCD 共有16种等可能的结果数，其中甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的结果数为4， 所以甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率4=}。 164·(6分) 21.(6分) 【解析】(1)证明：：DB⊥AB,EC⊥AC, ∴.∠B=∠C=90°. :∠BAC=∠DAE, :LBAC-∠DAC=LDAE-LDAC,即LBAD=LCAE. 在△ABD和△ACE中， ∠B=∠C, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 2/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 △ABD≌△ACE(ASA). AD=AE.（3分) (2)解：：∠BAD=20°， .∠CAE=20°. .在RtAACE中， ∠CEA=70°. AD=AE, ∴.∠ADE=∠AED. :∠DAE=110°， ∴.∠AED=(180°-∠DAE)÷2=35° :∠CED=∠CEA-LAED=35°.(6分) 22.(8分) 【解析】(1)解：360°×10%=36°； 300×45%=135(人)： 300×45%+30%)-50-30-35-30-17-15-8=40(人)，补全条形图如图： 聊天对话与图文生成类AI工具午间使用人数统计 人数 50 50 45 40 40 35 35 30 30 ☐聊天对话类 3 25 □图文生成类(3分) 2 17 5 10 5 0 12:00-12:30-13:00-其他 12:3013:0013:30时间 (2)解：1500×30%=450（人）： 答：估计中午放学后使用“图文生成类”AI工具的学生人数为450人；(5分) (3)解：建议同学们减少无意义的娱乐类AI使用时长，多利用AI工具辅助学习，合理规划午间使用 AI的时间，避免影响休息.（合理即可）(8分) 23.(8分) 【解析】(1)解：在RtA ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=15°，AB=80m, 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 sin∠BAE=B B' .BE=AB·sinl5°≈80×0.26=20.8(m). 答：点B的垂直高度BE约为20.8m,(3分) (2)解：过点B作BF⊥CD于点F, :BE⊥AD,FD⊥AD, 30 45 F A E D .四边形BEDF是矩形， .FD BE 20.8m BF ED 设山体的垂直高度CD=xm,则CF=CD-FD=(x-20.8)m. :∠CBF=45°，∠BFC=90°， △BFC是等腰直角三角形， ∴.BF=CF=（x-20.8m. 在Rt△ABE中，cOS∠BAE=AE AB' .AE=AB.cosl5°≈80×0.97=77.6m), ∴.AD=77.6+x-20.8=(x+56.8)m. 在Rta4CD中，∠CAD=30,an30=CD-51.73, AD 33 x_1.73 x+56.83, 解得x≈77.4m. 答：山体的垂直高度CD约为77.4m.(8分) 24.(8分) 【解析】(1)解：把点B(4,1代入一次函数y=ax+3(a≠0)中，得4a+3=1, 解得a=子则y= 2+3, 把点84利代入反比例函数y=x>0巾，得=4，则y-兰：3分) 4/9 画学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4 (2)解：令-2x+3= 21 解得x=2或x=4, 即A点的横坐标为2，点B的横坐标4， 设点Cm,-2m+3则2≤m≤4： .5. 1 :-1<0, 4 9 :.当m=3时，Soc0取到最大值为 :△0CD面积的最大值为？.(8分) 9 25.(10分) 【解析】(1)证明：连接0D, C.:AB=AC. .∠ABD=∠C, :0B=0D, ∠ABD=∠ODB, ∠C=LODB, .OD∥CE, :DE⊥AC, .OD⊥DE, 又：0D是⊙O的半径， :DE是⊙O的切线；(4分) (2)解：连接AD, B 由(1)知∠ABD=∠C, 5/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD=AD, .∠ABD=∠AFD, .∠AFD=∠C, .DF=DC=12, :DE⊥AC, .CosC=CE9 3 DC124' :AB为⊙O直径， .∠ADB=90°， .∠ADC=90°， ..cosC=4C=4,即2-3 AC4' AC=16.(10分) 26.(10分) 【解析】(1)解：依题意得y=49-(x-1)=50-x,其中1≤x≤30且x为正整数(2分) (2)解：设基本价为b万元当1≤x≤20时， 设p与x的函数关系式为p=ax+b x=10 10.6=3a+b 将p=10.6'y=2t 代入得 12=10a+b 1 解得a=5 b=10 1 p=5x+10,其中1≤x≤20且x为正整数 当21≤x≤30时，设p与x的函数关系式为p=m+10 将x=25,p=14.2 25*10 代入得142= 解得m=105 六p=105+10,其中21≤x≤30且x为正整数 当1≤x≤20时，令写x+10=15 解得x=25,因25>20，不符合范围，舍去 6/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当21≤r≤30时，令105+10=15 解得x=21, 符合21≤x≤30的范围 答：销售场次是第21场.(6分) (3)解：设每场获得的利润为w万元当1≤x≤20时 w=p-10y-3x+10-1050-=写50-=写+10x=号x-25+125 :-号<0，二次函数图象开口向下，对称辅为x=25 又：1≤x≤20，在对称轴左侧，w随x的增大而增大 :当x=20时，w取行最大值，默=20-25+125=120（万元） 当21≤x≤30时 w=p-101y-(10510-10js0--19550--250-10s .5250>0, 在21≤x≤30时，w随x的增大而减小 当=21时，w取得最天值，"大005=250-105=45（万元 :145>120 答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元(10分) 27.(10分) -1=4a,-2b,+G1 【解析】(1)解：由题意可知， 1=4a,+2b+G, 解得6=2：(2分) 1 (2)解：由(1)可知，G=-4a,同理可得6=269=-4a, 1 1 小y=a+2-4a,为=a,r+24a, 2 设直线AB解析式为y=+b, 把A(-2,-),B(2,1)代入y=x+b中， 「-1=-2k+b 得1=2k+b 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 k=- 解得 2 b=0 ·直线AB解析为y= 2x. 由题意可知，M点坐标为a+分-40小，N点坐标为x4,+宁-40小Q点坐标为 0=a,r+-4a-=a2-4a,QM-r 1 a82x+4a=-ax2+4a No a2 (x2-4) 0M-a,(x2-4) :4a2+3a1=0,且a1,a2≠0， 4=3 -44, :№3 QM4·(6分) (3)解：如图1，作AC⊥y轴，BC⊥x轴，由直线11x轴，得到MN∥BC, M 图1 当AN∥BM时， №3 OM4 A0 NO 3 BO QM4' AD A0 3 AC AB 7 :AC=2--2)=4, AD=12 校D应根坐标为2号。子即P点横坐标为号 8/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当BN‖AM时，过点B作BD⊥y轴，AD⊥x轴， y N D C B NO 3 P 0 OM4' M 图2 BO NO 3 A0 OM 4' BC BO3 BD BA 7 BD=2-（-2)=4, c号 成C点根坐款为？-号号，甲P点情坐标为号 综上所达，满足条件的P点横坐标为子或 7 .(10分) 9/92026年中考第二次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） LAJ[BJ[C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 10. 11 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共11个小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 聊天对话与图文生成类A工具午间使用人数统计 学生使用AI工具方式扇形统计图 人数 50 50 公共学习类 4 9 10%入 私人家教类 5305015 口聊天对话类 聊天 ☐图文生成类 对话类 10% 代码编程类 45% 图文 生成类 5 30% 12:00-12:30- 13:00- 其他 12:30 13:00 13:30 时间 23.(8分) 30° 15 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) B D 25.(10分) AE 0 C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（    ）． A． B． C． D． 2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 4．中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 5．若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A． B． C． D． 6．一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 8．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：______ 10．若，则________． 11．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，那么小球停留在黑色区域的概率是____． 12．如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的半圆分别交， 于点，，半圆与相切于点．若，则图中阴影部分的周长为__________．（结果保留） 13．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线 把分成面积相等的两部分，则的值为___________． 14．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为________． 15．二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______． 16．如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在 内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程组：． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）昆明是一座四季如春的城市，有许多美丽的景点．在“五一”小长假即将来临之际，某校甲、乙两位同学准备去昆明旅游，他们收集了四个感兴趣的景点名片，这些名片除正面外，大小、形状均相同，分别为A西山，B滇池、C翠湖、D金殿．他们将四张名片洗匀后背面朝上放在桌面上，甲同学先从中抽取一张卡片记下结果，并放回，洗匀后乙同学再从中随机抽取一张，记下结果． (1)甲同学抽到去A西山旅游的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率． 21．（6分）如图，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（8分）工具的多样化及普及化，为学习和工作带来便利的同时，也在一定程度上造成了学生使用场景过度集中、信息依赖等问题．某校社团针对中午放学后学生使用工具的情况，在全校随机选取300名学生进行了问卷调查（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 中午放学后学生使用AI工具的情况调查问卷 尊敬的同学： 您好！为优化工具使用环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下均为单选） 1．您通常使用工具的方式是（    ） A．聊天对话类B．图文生成类C．代码编程类D．私人家教类E．公共学习类 2．您通常使用工具的时间是（    ）（每项含最小值，不含最大值） A．   B．   C．    D．其他时间 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共学习类”所在扇形的圆心角度数为___________． 本次调查的学生中使用“聊天对话类”工具的有____________人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1500名学生，估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数． (3)假如你是社团的成员，请根据统计图中的信息，给学生们提出一条合理使用工具的建议． 23．（8分）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为． (1)求与的值； (2)点为线段上一动点（可与端点重合），过点作轴交轴于点，连接，求 面积的最大值． 25．（10分）如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（10分）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 27．（10分）二次函数和图象交于点和点，点P为x轴上一动点，且P点横坐标满足，过P点作直线轴，分别交二次函数，的图象于M，N两点，交直线于Q点． (1)求的值； (2)若（，），求的值； (3)在（2）的条件下，若四边形有两边平行，求所有满足条件的P点横坐标的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $