数学二模模拟卷（江苏南京专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 2 3 6 C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7.m(1-a)1+a) 8.x22 9.n-m 10.4<3√2<27 11.1或2 12.7 13.95 14.3或12 5.2 16.6 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(7分) 2x+3≤-5① 【解析】解： x-34x- >1②1 32 解不等式①，得x≤-4， 解不等式②，得x<-9 0 .不等式组的解集为x≤-4，(7分) 18.(7分) 【解析】解：原式=之x-）x-3 x-1x-i÷x-1 =2-(x-1.x-1 x-1（x-32 =2-x+1x-1 x-1（x-3)2 1/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =3-x.x-1 x-1（x-3)2 =x-3 ）x-1 x-1(x-32 3·(7分) 19.(7分) 【解析】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为x元，y元. 2x+3y=340 根据题意，得 3x+2y=310 x=50 解得 y=80 所以，每个“福马”礼盒的价格为50元，每个“奔马”礼盒的价格为80元.(7分) 20.(8分) 【解析】证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,∠B=∠D,LBAD=LBCD, :LDAE=∠BCF, :ZBAD ZDAE ZBCD-ZBCF :ZBAE ZDCF :△ABE≌△CDF(ASA), BE=DF.(8分) 21.(8分) 【解析】(1)解：小红所有可能的选法为：AB,AC,AD,BC,BD,CD;(3分) (2)解：画树状图如下： 开始 小明 A D 小刚ABC D A B C D AB C D A BCD 一共有16种等可能性的结果，其中两人恰好选修同一门课程的情况有4种， 他们两人恰好法修园一限程的概率P各8分》一 22.(8分) 2/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)解：根据题意可知，则 n=6÷(1-5%-10%-20%-25%-30%)=60, 6 n%= ×100%=10%, 60 .m=10 4-60-8-18-14-12-4(3分) (2)解：5%+10%+20%=35%，5%+10%+20%+25%=60% ·八年级赋分成绩的中位数在D组中，是88,8的平均数，即为88+8=88，(5分) 2 (3)解：4+2×900+900x109%+30%]=600(人). 60 答：该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共600人.(8分) 23.(8分) 【解析】解：如图，延长CE交AD于点F,分别过点C,F作BD的垂线，垂足分别为点G,H,则四 边形CGHF,四边形CGBE,四边形EFHB均为矩形. .CG=BE=FH=4米，DG=31米，CF∥BD, B D 在Rt△DHF中，∠DHF=90°，∠FDH=53°， tan∠FDH=FH HD' ..DH=4 tan53 (2分) 设AE=x米. 在RtAACE中，∠AEC=90°，∠ACE=67°， tan ZACE=AE CE ..CE=x tan67°·(4分) 在RtAFE中，∠AEF=90°，∠AFE=53°， 3/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 tan∠AFE=AE F' .EF=x tan53o·(6分) GD=GB+BH+HD=CE+EF+HD=31, t-t 4 =31, `tan67°tan53°'tan53° 2.36+1.33+1.33 ≈31. 解得x≈23.8. AB=AE+EB=23.8+4≈28（米） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离AB的高度约为28米.(8分) 24.(8分) 【解析】(I)证明：“四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, .∠CFO=∠AEO, D F 点O是对角线AC的中点， A .A0=C0, 在△COF与△A0E中， 「∠FOC=∠EOA ∠CFO=∠AEO A0=CO ∴△COF≌△AOE(AAS), :CF =AE, 又CF∥AE, ·四边形AECF为平行四边形， 又：EF⊥AC, :平行四边形AECF为菱形.(4分) (2)解：由(1)得平行四边形AECF为菱形. 4/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AE=EC, .∠CAB=∠ACE=30°， ∠CEB=60°，∠ECB=30°， RtACEB中，设EB=x, 则EC=2EB=2x, :AE =2x,AB=AE EB=3x, 3x=18 得x=6, .∴.AE=2x=12, :菱形AECF的周长为4AE=48.(8分) 25.(8分) 【解析】(1)解：：抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点， ∴.设y=ax+1(x-3)=ax2-2ar-3a, 又，抛物线y=ar2+bx+3,即-3a=3, 解得a=-1, 故抛物线解析式为y=-x2+2x+3, y=-x2+2x+3=-(x-12+4, ∴.顶点坐标为1,4)(2分) (2)解：由(1)知抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 则C(0,3, 设PA与y轴交于点D, :S.PCA=2 =5, 又：A-1,0),对称轴为直线x=1, 5/11 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CD=5, D(0,-2)或D(0,8), 「-k,+b=0 设直线4D:=kx+b,由4(-1,0小D(0,-2)得6=-2， [k,=-2 解得五=-2 .AD:y=-2x-2, 当x=1时，y=-2x-2=-4, .P1,-4; 由A-1,0)、D(0,8同理可得AD:y=8x+8,得到P(1,16 综上，P点的坐标为1，-4)或1,16)；(5分) (3)解：由题意得：y=-x2+(2+m)x+3+n, :仅存在一个点Q(x,y),使得2x1+y1=0, :抛物线y=-x2+(2+mx+3+n与直线y=-2x仅有一个交点， -x2+2+m)x+3+n=-2x, 整理得x2-(4+m）x-3-n=0, △=(4+m)-4-3-n=0, .(4+m)+12+4n=0, n=44+m-3 又0≤m≤2，当m>-4时，n随着m的增大而减小， ÷m=2时，n最小为n=4×(4+2-3=-12. ∴.当0≤m≤2时，即当m=2时，n有最小值-12.(8分) 26.(9分) 【解析】(1)证明：：DE=BF,AQ=BF, :AQ =DE 6/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :在平行四边形ABCD中，DC AB, :四边形AQED为平行四边形；(2分) (2)解：如图所示，点G即为所求； (4分) 图2 (3)解：①当点G落在AB边上时，如图， H .C G -B 由折叠性质可知：FG=FB,HE=CE,LEFG=90°， :DE BF, :FG=DE, 在平行四边形ABCD中， AB‖CD, :.四边形DEFG是平行四边形， .∠DGA=∠EFG=90°， 在ADG中，：AD=5,sinA=4 .DG=4, AG=AD2-DG2=3, .BG=AB-AG= 33 25 4 4 ②当点G落在AD边上时，连结BD交EF于点O,连接OG,如图， 7/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H 由平行四边形的中心对称性，得DO=B0, 由翻折的性质得：G0=BO 0G-DO-OB-BD, △BGD为直角三角形，∠DGB=90°， 25..4 .∴.BG=AB·sinA= 455: ③当点G落在DC边上时，连结BG交EF于点O,如图， H (GD M B 由折叠可知：FG=FB, :FB=DE :FG=DE. 则BG垂直平分EF, 由轴对称性可知EF垂直平分BG, ·点G与点D重合 过点D作AB的垂线交于点M, 在Rt BGM中， AM=3,GM =DM =4, ∴BM=AB-AM=2 由勾股定理，得BG=BM+DM三孕+4S 综上所述，点B,G之间的距离为 3或5或5 4 .9分) 27.(10分) 8/11 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)解：作出ABC的外接圆⊙O,连接OB,OC,当ABC的BC边上的高经过点O时， ABC面积最大， 30 B 如图，过点O作OD⊥BC,并延长DO交圆于点，连接A'B,A'C, .∠BAC=30°， .∠B0C=60°， 0B=0C, ∴.△OBC为等边三角形， ∴.∠B0D=30°，0B=0A'=BC=4, ∴.0D=cos30°x0B=2V5, ∴.A'D=4+2V5, Scx8cxfD-x44+2)=8+5. 即ABC面积的最大值(8+4V⑤.(3分) (2)解：如图所示，以BC为边作等边△BCE,连接DE, △ACD是等边三角形， .∠ACD=∠ACE+∠ECD=60°， ,△BCE是等边三角形， 9/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.LBCE=∠BCA+∠ACE=60°， .∠BCA=∠ECD,且DC=AC,EC=BC, ∴.△DCE≌△ACB(SAS), .DE =AB=2, .点D在以点E为圆心的圆上，且半径DE=2,过点E作EF⊥BC于点F,即EF是BC的垂直平分线， 当点D在EF上且在点E的上方时，△BCD的面积取得最大值， ∴.在△BCE中，BC=CE=BE=4,∠BCE=60°，EF⊥BC, :.CF=BF=IBC=1x4=2, 1 2 2 .EF=V5CF=25,且DE=2, ∴.DF=EF+DE=2V3+2, .S.mn-CDF=4×26+2到=45+4,6分 (3)解：，AB=40,BC=20, 08=号4B=20,0c=40, 如图，连接0P,作c0E,使得∠CE0=90,∠EC0=60,则CE-C0=20,0E=205, ∠OCP=LECD, D P B H ,∠CDP=90°，∠DCP=60°， ∴.CP=2CD, :C0、cp ·cE=cD =2, .△COP∽△CED, :0p=CP=2, ·EDCD 10/112026年中考第二次模拟考试 三 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][√][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共12分） 1.AIIBIICIIDI 5.JAIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1AJIBIICIIDI 3.A1[B1[CI[D] 4.A1[B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 8. 10. 11. 12 13 大为晒口h晒母中h体n:仁队+标阳户了的安干效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共1个小邀，共8分.瓣合应与西义子况明，止明心在以谀异步漾) 17.(7分) 18.(7分) 19.(7分) 请在题驱题域韵出鱼屘揖限国限裂绒你绒案无效！ 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 七年级赋分成绩频数直方图 八年级赋分成绩扇形统计图 木频数 18--- 5%A 2 30 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) D E C B R B H G 图1 图2 备用图 ©阁 ⑦阁 ①阁 c (01)'LZ ￥孳曼调窖贸堂韵醒维膨弱用器·曼封霸曼目歌量2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ▣▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣●■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1[W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共12分) 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 9. 10 11. 12 13 14 15. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 18.(7分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 七年级赋分成绩频数直方图 八年级赋分成绩扇形统计图 卜频数 18 20 42 5%A 30 0 707580859095100成绩/分 23.(8分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 25.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) -------,C D D G 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) D 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在第二象限，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式：___________． 8．使代数式有意义的x的取值范围是______． 9．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 10．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 11．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ________． 12．分式方程无解，则a的值为________． 13．单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 14．点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则____________ 15．如图，在中，，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与 的另一个交点为点E．若，则的长为________． 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）化简：． 19．（7分）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 20．（8分）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 21．（8分）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了书法、阅读，足球，器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等． (1)学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法； (2)若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？（请用画树状图或列表的方法说明理由．） 22．（8分）某校七、八年级各有900名学生，为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对AI赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生有6人，D组中的数据从小到大排列前10个如下： 85，85，86，86，87，87，87，87，88，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______，______； (2)八年级赋分成绩的中位数是______． (3)若赋分成绩不低于90分，则认定学生对AI赋能课堂教学“非常满意”，请估计该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共多少人？ 23．（8分）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 24．（8分）如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 25．（8分）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 26．（9分）在中，，，，点E、F分别在上不与端点重合，且，将四边形沿着翻折至四边形处． (1)如图1，与交于点Q，若，求证：四边形为平行四边形； (2)当点G落在边上不与A、D重合时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点保留作图痕迹，不要求写作法； (3)当点G落在的边上时，求点B、G之间的距离． 27．（10分）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在第二象限，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式：___________． 8．使代数式有意义的x的取值范围是______． 9．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 10．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 11．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ________． 12．分式方程无解，则a的值为________． 13．单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 14．点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则____________ 15．如图，在中，，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与 的另一个交点为点E．若，则的长为________． 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）化简：． 19．（7分）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 20．（8分）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 21．（8分）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了书法、阅读，足球，器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等． (1)学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法； (2)若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？（请用画树状图或列表的方法说明理由．） 22．（8分）某校七、八年级各有900名学生，为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对AI赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生有6人，D组中的数据从小到大排列前10个如下： 85，85，86，86，87，87，87，87，88，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______，______； (2)八年级赋分成绩的中位数是______． (3)若赋分成绩不低于90分，则认定学生对AI赋能课堂教学“非常满意”，请估计该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共多少人？ 23．（8分）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 24．（8分）如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 25．（8分）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 26．（9分）在中，，，，点E、F分别在上不与端点重合，且，将四边形沿着翻折至四边形处． (1)如图1，与交于点Q，若，求证：四边形为平行四边形； (2)当点G落在边上不与A、D重合时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点保留作图痕迹，不要求写作法； (3)当点G落在的边上时，求点B、G之间的距离． 27．（10分）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 2．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定是否是同类项解答A，再求出算术平方根解答B，然后根据完全平方公式解答C，最后根据单项式除以单项式判断D即可． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D符合题意． 4．若点在第二象限，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查象限内点的坐标特征和一元二次方程根的判别式，先根据点所在象限得到，的符号，再计算一元二次方程的根的判别式，通过判别式的符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， 方程是一元二次方程（）， 计算判别式得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解的长度，再根据直径所对的圆周角为直角，可求解的长度，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则有，且， ∴为等边三角形， ∴， ∵的直径为12，即， 在中，， ∴的面积是 ． 6．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先判断点与点关于原点中心对称，再结合点到的增减性，逐项分析选项图像的增减性与中心对称特征，筛选出符合条件的函数图像． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴、关于原点中心对称， ∵，， ∴时，y随x增大而增大， A选项：时随增大而减小，不符合增减性，排除． B选项：时随增大而增大，且时，、关于原点中心对称，符合条件． C选项：不存在m的值，使得、关于原点中心对称，排除． D选项：时随增大而减小，排除． 故只有B项符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解：． 8．使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0．二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0． 【详解】解：由题意可知，，且， 解得：，且， 则使代数式有意义的x的取值范围是． 9．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质． 先观察数轴，判断m，n的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 【答案】 【分析】将三个数转化为算术平方根的形式，通过比较被开方数的大小得到原数的大小关系即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即． 11．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ________． 【答案】1或2 【分析】根据众数的定义，结合正整数的性质解答即可． 本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4， ∴， 由x为正整数, 故数据x是1或2． 故答案为：1或2． 12．分式方程无解，则a的值为________． 【答案】7 【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值． 【详解】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 13．单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用． 根据和的度数分别求出的度数，结合，求出，再由角平分线定理得到，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 14．点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则____________ 【答案】3或12 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得，，得到点的坐标为，再分两种情况求得的三等分点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴设的三等分点为点，，则， ∵， ∴， 解得， ∴，则， ∴点的坐标为， 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 故答案为：3或12． 15．如图，在中，，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得，则，由外角定理可得，由题意可得，可得，则，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴的长为． 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 【答案】 6 【分析】首先根据正方形的性质得到，，再利用同角的余角相等证明，从而证得，利用相似比求出的长，进而求出的长，最后利用相似比求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为6． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18．（7分）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．（7分）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 20．（8分）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 21．（8分）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了书法、阅读，足球，器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等． (1)学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法； (2)若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？（请用画树状图或列表的方法说明理由．） 【答案】(1)，，，，， (2) 【详解】（1）解：小红所有可能的选法为：，，，，，； （2）解：画树状图如下： 一共有种等可能性的结果，其中两人恰好选修同一门课程的情况有种， ∴他们两人恰好选修同一门课程的概率． 22．（8分）某校七、八年级各有900名学生，为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对AI赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生有6人，D组中的数据从小到大排列前10个如下： 85，85，86，86，87，87，87，87，88，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______，______； (2)八年级赋分成绩的中位数是______． (3)若赋分成绩不低于90分，则认定学生对AI赋能课堂教学“非常满意”，请估计该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共多少人？ 【答案】(1)10，60，4 (2)88 (3)600人 【分析】（1）根据八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生数及其百分比即可求出，用八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生数除以总人数即可求出，根据总人数减去已知部分人数除以2即可得到； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，则 ， ， （2）解：∵ ∴八年级赋分成绩的中位数在D组中，是88，88的平均数，即为； （3）解：（人）． 答：该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共600人． 23．（8分）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】28米 【分析】延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形，在中，可得设米．在中，可得，在中， 可得，再由，即可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形． 米，米，， 在中，，， ， 设米． 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ， ， ． 解得． （米） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米． 24．（8分）如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，则，又因为点是对角线的中点，故，再证明，则，证明四边形为平行四边形，结合，得出平行四边形为菱形． （2）由（1）得平行四边形为菱形．在中，设，则，根据线段的和关系得，进而求出，根据菱形的四边相等求出菱形的周长，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是对角线的中点， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2）解：由（1）得平行四边形为菱形． ∴， ， ，， 中，设， 则， ，， 得， ∴， 菱形的周长为． 25．（8分）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 26．（9分）在中，，，，点E、F分别在上不与端点重合，且，将四边形沿着翻折至四边形处． (1)如图1，与交于点Q，若，求证：四边形为平行四边形； (2)当点G落在边上不与A、D重合时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点保留作图痕迹，不要求写作法； (3)当点G落在的边上时，求点B、G之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)点B，G之间的距离为或5或 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答即可； （2）连接，交于点O，作的垂直平分线得到的中点F，作直线交于E，过B作直线的垂线交于G，于是得到结论； （3）连接，，，交于点O，延长交于点P，推导出动点G的轨迹是以O为圆心，长为半径的圆弧．然后分三种情况：当点G落在边上时；当点G落在 边上时；当点G与点D重合时，分别解得的长即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在平行四边形中，， 四边形为平行四边形； （2）解：如图所示，点G即为所求； （3）解：①当点G落在边上时，如图， 由折叠性质可知：，，， ， ， 在平行四边形中， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，，， ， ， ②当点G落在边上时，连结交于点O，连接，如图， 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折的性质得： ， 为直角三角形，， ； ③当点G落在边上时，连结交于点O，如图， 由折叠可知：， ， 则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分， 点G与点D重合． 过点D作的垂线交于点M， 在中， ，， ， 由勾股定理，得 综上所述，点B，G之间的距离为或5或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．（10分）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $