二次函数的实际应用 高频考点归纳 专项练 2026年中考数学一轮复习备考

二次函数的实际应用 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 1．随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地? (3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下： 喷水管长度 1.0m 的距离 若与成二次函数关系，求： ①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大； ②最大距离为多少米? 2．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2，以水平地面为轴，以停车棚支柱为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系的图象，其中点距地面，点为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱的水平距离为，距地面． (1)求二次函数的解析式； (2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)如图，雨点沿着与地面的夹角为的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货箱多高的货物？（参考数据：，结果精确到） 3．某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． (1)求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． (2)求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式） 4．周末，玲玲与姐姐完成作业后去羽毛球馆进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．以姐姐所站的位置作为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从姐姐站立点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球距离地面的高度单位：与水平距离单位：之间近似满足函数关系， (1)姐姐在一次发球时，发现羽毛球的发球点距离地面的距离，当羽毛球距离发球点的水平距离为时羽毛球距离地面最高，为，根据上述数据解答下列问题： ①求姐姐在这一次发球时羽毛球与地面的高度单位：与水平距离单位：的函数关系式； ②在距离发球点水平距离处，放置一个高的球网，求羽毛球在发出后与的竖直距离的最大值； (2)姐姐再次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，玲玲在两次接球的过程中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，若玲玲第一次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为，第二次接球的起跳点与发球点之间的水平距离为高度，计算的值． 5．在平面直角坐标系中，，是抛物线上不同的两点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若一次函数的图象恰好过点M，N，且，求a的值： (3)若函数的图象恰好过点M，N，且，求的值． 6．项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为． 探究问题： (1)桥塔的高度 ； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 7．五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． (1)小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ (2)在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大?最大利润是多少? 8．某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … (1) ， ， ； (2)当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润(售价成本)销售量】 (3)由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 9．在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 10．春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 11．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）] 销售单价x（元） 75 78 82 日销售量y（件） 150 120 80 日销售利润w（元） 5250 a 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ． ②求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 12．某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 13．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件，经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为x（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价x的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致，经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价x（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 14．如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处，如图3．延长交于点，求的长． 15．从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． (1)若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． (2)点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 参考答案 1．(1) (2) (3)①0.8；② （1）根据抛物线过交y轴于0.6m，可设抛物线的表达式为，再将B、D两点的坐标代入，求出抛物线的表达式； （2）根据这个喷灌系统最多可灌溉的半径和扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解； （3）①根据测量数据，得到的一对对称点，求出对称轴； ②设与的关系式为，将测量数据的三对值代入与的关系式中，得到关于待定系数的方程组求解，求出与的关系式． （1）解：∵抛物线过点，，． ∴设抛物线的表达式为． 解得： 最外层水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）∵这个喷灌系统最多可灌溉的半径为， 这个喷灌系统最多可灌溉的面积为． 答：这个喷灌系统最多可灌溉的土地． （3）①∵点，关于与所成的二次函数的图象的对称轴对称， 该二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． ②设与的关系式为，把，，代入，得 解得 与的关系式为． 当时，． 最大距离为． 本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，求扇形面积等知识，解题的关键是根据题意利用待定系数法求出函数表达式． 2．(1) (2)见解析 (3) 本题考查二次函数的应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与货车的高比较大小即可； （3）过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H，计算出，进而求出点C的横坐标以及对应的y值，减去货车高度即为所求． （1）解：由题意知，，代入，得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵，棚顶外沿B距车棚支柱的水平距离为， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内； （3）解：如图，过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H， 由题意知，在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得， 解得， 则点C的横坐标为：， 当时，， ， 即货车最多还能装超出货箱的货物． 3．(1) (2) 本题考查了列一次函数式与二次函数式，找到等量关系是解题的关键； （1）由题意知，设，当时，；当时，；代入解方程组即可求解； （2）根据利润等于单件利润乘销售量即可得到w关于x的函数关系式． （1）解：设，由题意知当时，；当时，； 则，解得：， ∴； （2）解：由题意得：， 整理得：． 4．(1)①；② (2)1 本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①依据题意，可得顶点坐标为，从而可设抛物线为，又抛物线过，则，可得，进而可以得解；②依据题意，，又，则直线为，又设抛物线上点P为，则羽毛球在发出后与的竖直距离为：，进而可以判断得解； （2）依据题意，把分别代入（1）解析式和，求出和即可． （1）解：①由题意，顶点坐标为， 可设抛物线为， 又抛物线过， ， ， 抛物线的函数关系式为； ②由题意，， 又， 直线为， 设抛物线上点P为， 羽毛球在发出后与的竖直距离为： ， ∵， ∴当时，与的竖直距离取得最大值3.61， 羽毛球在发出后与的竖直距离的最大值为 （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 5．(1)； (2)； (3) （1）对于抛物线（），其对称轴公式为，本题只需找出抛物线中的值，代入公式即可求出对称轴． （2）先联立抛物线与一次函数的方程求出、，进而得到、，再根据，利用勾股定理建立关于的方程求解． （3）联立抛物线与反比例函数的方程，结合建立关于的方程，求出后再计算的值． （1）解：对于抛物线，其中，根据对称轴公式，可得对称轴为． （2）解：联立抛物线与一次函数的方程： 解得，． 把代入得； 把代入得． ∴，． ∴，，． ∵， ∴，即， 解得或， 又， ∴． （3）解：联立抛物线与函数的方程： ∵，且、是方程的两根， ∴代入方程，得到 ①；同时 ②。 由①②可得： 将代入可得： 因为（已知抛物线 ），且， ∴， ∴， 把代入得： ∴，，， ∴． 本题考查了二次函数对称轴公式、函数图象交点问题（通过联立方程求解）、勾股定理、等知识点．解题的关键在于熟练运用相关公式和定理，如利用对称轴公式求抛物线对称轴；联立函数方程求出交点坐标；根据直角条件利用勾股定理或向量垂直性质建立方程等． 6．(1) (2)抛物线的函数表达式 (3)①；② 本题平行投影的应用，二次函数的实际应用； （1）根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求解即可； （2）先求出，，再设抛物线的函数表达式，代入，，计算即可； （3）①根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求出，再令时，求出，，得到； ②由题意可得“弓形”的面积为，四边形的面积为，代入计算求值，最后代入计算即可． （1）解：∵在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点， ∴，， 设抛物线的函数表达式，代入，，可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （3）解：①由题意可得， ∵， ∴， 当时，解得， ∴，， ∴； ②由题意可得“弓形”的面积为， 四边形的面积为， ∴． 7．(1)至少40元/千克才不亏本； (2)当销售单价定为55元/千克时，每天获得的利润是432元． 本题考查一元一次不等式的应用，一次函数及二次函数的应用． （1）设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元时，水果商才不会亏本，由题意建立不等式求出其值即可； （2）由（1）可知，每千克枇杷的平均成本为40元，再根据题意列出利润关于销售单价的二次函数，然后二次函数的性质求解即可． （1）解：设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元水果商才不亏本． 由题意得： 解得：， 答：至少40元/千克才不亏本； （2）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为： ， 把，代入关系式，得 ， 解得：， ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为： ， ∵每天销量至少36千克， ∴，解得， 由（1）可知，每千克枇杷的平均成本为40元， 由题意得： ， ∵，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为432元． 答：当销售单价定为55元/千克时，每天获得的利润是432元． 8．(1)2880，460，3220； (2)当周销售量最大时，面包的售价为25元； (3)2 本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先由待定系数法求出关于的函数解析式，然后求出每件的成本，求出，再根据周销售利润(售价成本)销售量求出，； （2）设周销售利润为w（元），根据周销售利润(售价成本)销售量，建立关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设周销售利润为w（元），此时新成本为，根据周销售利润(售价成本)销售量，建立关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解． （1）解：由题意设， 由表格得：， 解得：， ∴， 则每个成本为：（元）， ∴， ， ， 故答案为：2880，460，3220； （2）解：设周销售利润为w（元），则， ∴当时， w有最大值4500元， 答：当周销售量最大时，面包的售价为25元； （3）解：设周销售利润为w（元）， 则， 对称轴，而由题意， ∴当时，w有最大值， ∴． 9．(1)300，5400 (2)每顶头盔应降价20元 (3)或4 本题主要考查了有理数混合运算、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据“每降价2元，平均每周可多售出40顶”列式求解即可； （2）设每顶头盔应降价元，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元，根据题意可得，知该函数图像的对称轴为，开口向下，根据当时，利润仍随售价的增大而增大，可知，进而解得，结合题意即可获得答案． （1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出顶， 共获利元． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价元， 根据题意，可得， 整理可得，， 解得，， 当时时，售价为元； 当时时，售价为元； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元， 根据题意，得 ， 则该函数图像的对称轴为，开口向下， 当时，利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得， ∵，且为整数， 或4． 10．(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元 (3)当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． （1）解：根据题意，设， 将和代入， 得：，解得：， 与的函数表达式为． （2）解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． （3）解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 11．(1)一次函数解析式为； (2)①40，4560；②该商品日销售利润的最大值为6250元； (3)的值为2． 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练销售问题的数量关系． （1）由题意商品的日销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）①根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解； ②根据二次函数的顶点式即可求解； （3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），把销售的最大利润代入即可求解． （1）解：设日销售量（件与销售单价（元之间满足的一次函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：①设该产品的成本单价是元， 根据题意，得， 解得， ． 故答案为：40，4560； ②根据题意，得， ， ∴当时，最大，最大值为6250， 答：该商品日销售利润的最大值为6250元； （3）解：设利润为元，根据题意可得： ， 销售单价不低于68元，即， ∴， 对称轴为， ， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 答：的值为2． 12．(1)50件 (2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 (3)或 本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． （1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； （3）解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 13．(1) (2)当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元 本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键． （1）根据利润等于数量乘以每件的利润建立与销售单价x的关系式即可； （2）先用待定系数法求出的解析式，再建立与销售单价x的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围． （1）解：根据题意得： ； （2）解：把代入得： ， 解得：， 设利润之和为w元， ∴抛物线开口向下 对称轴为 ∴当时，w随x增大而增大 时，， 答：当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元． 14．(1) (2) (3) （1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）延长，交于点，延长，交于点．由旋转的性质得，，求出，然后根据求解即可． （1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为． ∴此时抛物线的对称轴为直线，， ∴的对称点为，平移后． 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴． （3）解：如图，延长，交于点，延长，交于点． 由题意得，，． ∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，求二次函数，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，求二次函数是解题的关键． 15．(1)像到的距离为 (2)①见解析；② 题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）过点Q作，垂足为N，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，求解即可； （2）①结合（1）的知识点，运用尺规作角等于已知角即可； ②根据题意得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再由勾股定理及得出相应关系式． （1）解：过点Q作，垂足为N，如图所示： 根据题意得：， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴像到的距离为； （2）解：①根据（1）中可知，，过点的直线交于点，点即为的像， ∴以点为圆形，任意长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，在点处尺规作角等于得到垂直于的直线，且交射线于点，连接得到与平行直线m，则直线m与的一个交点为点P； ②根据题意得，如图所示，过点作于点，设与交于点，直线与交于点，则，四边形是矩形，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得：． 学科网（北京）股份有限公司 $