第三单元 分数乘法（期中复习讲义）培优版（导图+14个考点真题讲练+提优练 共48题）-2025-2026学年北师大版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年北师大版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 分数乘法【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+14个考点讲练+真题提优练 共48题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 分数乘整数的计算与应用 考点讲练二 整数乘分数的计算与应用 考点讲练三 求一个数的几分之几的问题 考点讲练四 打折的意义及应用（份数) 考点讲练五 分数乘分数的计算 考点讲练六 分数乘分数的应用 考点讲练七 分数乘小数 考点讲练八 因数和积的大小关系（分数乘法） 考点讲练九 倒数的认识 考点讲练十 与倒数有关的综合计算 奥数拓展一 分数与整数的乘法 奥数拓展二 分数乘分数 奥数拓展三 分数乘小数 奥数拓展四 分数的连乘运算 知识点一 分数乘法的意义 1. 分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 2. 分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 知识点二 分数乘法的计算法则 1. 分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5.规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6.分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三 分数乘法解决问题 1. 找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。 2. 写数量关系式技巧 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 ①两个量的关系：画两条线段图； ②部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量） 5. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 （1）单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； （2）单位“1”的量×[1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几]＝另一个数量。 知识点四 倒数的认识 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 考点讲练一 分数乘整数的计算与应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）结合图形，认真观察，解答下面问题。 （1）根据图形和算式填空。 整数乘法 3×2＝6 小数乘法 0.3×2＝0.6 分数乘法 3个一乘2得（    ）个一 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） （2）整数、小数和分数乘法计算的道理一样吗？请说明理由。 （3）这样的道理对你以后的学习有什么启发？ 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）欢欢和乐乐看同一本故事书，欢欢每天看这本书的，乐乐每天看这本书的，两人各看了5天，他们共看了这本书的几分之几？ 考点讲练二 整数乘分数的计算与应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一本故事书鹏鹏第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了全书的( )，如果这本书共有240页，第三天他应该从第( )页开始看起。 【变式】（难度：☆☆☆☆）在学校劳动实践基地的蔬菜种植区，西红柿的种植面积是60平方米，黄瓜的种植面积比西红柿多。黄瓜比西红柿多种植了多少平方米？ （1）画一画。 （2）列式解决问题。 考点讲练三 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）湛江距离广州大约460千米，一辆客车从湛江开往广州已经行驶了全程的。 （1）在图上用“△”标出此时客车的大致位置。 （2）此时，客车大约行驶了多少千米？ （3）此时，客车距离广州大约还有多少千米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）六年级二班有48名学生，其中男生占。全班有38人报名“周末小志愿者”活动。这个班报名“周末小志愿者”活动的男生最多有( )人，最少有( )人。 考点讲练四 打折的意义及应用（份数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）某动物园的门票定价是90元/张，旅游淡季时门票打七折，旅游淡季时的门票是( )元/张。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）京东“6.18”购物节对商品进行打折。笑笑妈妈买了一套中国“四大名著”和一把吉他，“四大名著”原价145元打八折，吉他原价380元打六折，笑笑妈妈一共花了多少元？ 考点讲练五 分数乘分数的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）在下面的括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )0.7         ( )        ( ) 【变式】（难度：☆☆☆☆）下面算式中，和计算结果相等的算式有（    ）个。 ①         ②      ③     ④ ⑤      ⑥      ⑦      ⑧ A．4 B．5 C．6 D．7 考点讲练六 分数乘分数的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）体育老师将一个排球向上抛起，抛起高度为米，落地后反弹高度为米。这个排球需要放气、充气，还是无需处理？请说明理由。 小科普 根据标准，一个排球向上抛起，落地后反弹高度应为抛起高度的～。 【变式】（难度：☆☆☆☆）李师傅每小时粉刷一面墙的，他小时能粉刷这面墙的几分之几？（在长方形中把算式用图表示出来，再计算结果） 考点讲练七 分数乘小数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）小明在学完分数乘法时很快就计算出下面算式的得数。 21×＝ ×＝ 1.8×＝ 小明：我发现：“一个数（0除外）乘一个比1小的分数，积一定小于它本身”。 小明真是个善于发现的好孩子！如果让你继续研究分数乘法中积的其他变化规律，聪明的你还能发现分数乘法中的其他规律吗？请举例说明并写出你的结论。（每个规律最少举2个例子） 【变式】（难度：☆☆☆☆）×□，要使积小于，方框里可以填( )，要使积大于，方框里可以填( )。 考点讲练八 因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( ) ( ) ( ) 【变式】（难度：☆☆☆☆）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )      ( ) 考点讲练九 倒数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）甲数是，乙数是甲数的，乙数是( )，丙数与乙数互为倒数，丙数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）( )＝( )＝0.2×( )＝25×( )＝1。 考点讲练十 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）甲数的与乙数的相等（甲、乙均不为0），则甲数大于乙数。( )（判断对错） 【变式】（难度：☆☆☆☆）．( )的倒数是它本身，( )没有倒数。如果a、b互为倒数，那么( )。 奥数拓展一 分数与整数的乘法 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）迄今中国发现数量最多、保存最好、音律最全的一套编钟——曾侯乙编钟，共有三层，分别是上层钮钟、中层南钟和下层甬钟，其中钮钟19件，南钟比钮钟多，南钟是甬钟的。钮钟比甬钟多几件？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）把一根绳子对折，再对折后的长度为米，这根绳子原来长为（    ）。 A．米 B．米 C．3米 奥数拓展二 分数乘分数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）计算：。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）右图中三角形a，b的面积都是长方形面积的，则阴影部分面积是长方形面积的（　　） A． B． C． D． 奥数拓展三 分数乘小数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）×( )＝1×( )＝2.5×( )＝1。 【变式】（难度：☆☆☆☆）两根同样长的铁丝，第一根截去它的，第二根截去米，余下的部分（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较 奥数拓展四 分数的连乘运算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）下列算式能简算的要简算。                    【变式】（难度：☆☆☆☆☆）怎样简便怎样计算。                                           1．一条2米长的绳子，第一次用去全长的，第二次用去米，两次用去的长度相比，（    ）。 A．第一次用去的长 B．第二次用去的长 C．无法确定 2．《庄子•天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一根一尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，第三天再截取剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。第三天截取的长度是这根木棒的（    ）。 A． B． C． D． 3．一堆沙子重400吨，运走它的后，又运走了吨，一共运走了多少吨？正确列式为（    ）。 A． B． C． D． 4．三个连续偶数倒数的和是，则这三个偶数的和是（    ）。 A．18 B．24 C．36 D．30 5．文文和乐乐到文具店去买了同样的文具后，两人的钱都有剩余，文文剩下了所带钱数的，乐乐剩下所带钱数的。（    ）带的钱多？ A．文文 B．乐乐 C．一样多 D．无法判断 6．今年的“校园艺术节”五年级参加人数为75人，六年级比五年级多参加五年级人数的，六年级比五年级多参加( )人，六年级参加总人数为( )人。 7．一串葡萄的质量是千克，10串这样的葡萄的质量是( )千克。串这样的葡萄的质量是( )千克。乐乐洗一串葡萄用时小时，是( )分钟。 8．成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。爸爸的体重是78千克，他血液中约含有( )千克的水。 9．一桶食用油重9升，每天用去这桶油的，4天用去这桶油( )，用去了( )升。 10．体育商店有足球和排球共200只，且两种球的个数差不多，每只足球售价30元，每只排球售价25元，当足球售完后，排球全部售完。这时售出的两种球一共卖( )元。 11．两根一样长的绳子，第一根截去全长的，第二根截去米，两根剩下的绳子一样长。( )（判断对错） 12．5千克的跟2千克的一样重。( )（判断对错） 13．3个与3的意义不相同，但是计算结果相同。( )（判断对错） 14．能简算的要简算。 ＋－＋                      10－－ ×＋×                        ＋＋ 15．李叔叔原来的体重是75千克，坚持体育锻炼一个月后，体重减轻了，再经过一个月后，又减轻了原来体重的，李叔叔现在的体重是多少千克？ 16．笑笑和淘气跳绳，淘气跳了120下，笑笑跳的数量比淘气跳的多20下，笑笑跳了多少下？ 17．小明春节时共攒了压岁钱2000元，开学时，买了一双新鞋花去了，买书和学习用品共花去，剩下的放入储蓄罐，放入储蓄罐的有多少元？ 18．高铁的发展给我们的生活带来了极大便利，李阿姨乘坐高铁去云南旅游，列车开出全程的时，她开始睡觉，等她醒来时，列车行驶的路程是睡前行驶路程的，在李阿姨睡觉的这段时间，列车行驶的路程是全程的几分之几？ 19．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 20．五（1）班有学生48人，其中男生占，全班有32人参加安全知识竞赛。这个班报名参加安全知识竞赛的男生最多有多少人？最少有多少人？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 分数乘法【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+14个考点讲练+真题提优练 共48题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 分数乘整数的计算与应用 考点讲练二 整数乘分数的计算与应用 考点讲练三 求一个数的几分之几的问题 考点讲练四 打折的意义及应用（份数) 考点讲练五 分数乘分数的计算 考点讲练六 分数乘分数的应用 考点讲练七 分数乘小数 考点讲练八 因数和积的大小关系（分数乘法） 考点讲练九 倒数的认识 考点讲练十 与倒数有关的综合计算 奥数拓展一 分数与整数的乘法 奥数拓展二 分数乘分数 奥数拓展三 分数乘小数 奥数拓展四 分数的连乘运算 知识点一 分数乘法的意义 1. 分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 2. 分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 知识点二 分数乘法的计算法则 1. 分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5.规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6.分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三 分数乘法解决问题 1. 找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。 2. 写数量关系式技巧 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 ①两个量的关系：画两条线段图； ②部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量） 5. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 （1）单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； （2）单位“1”的量×[1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几]＝另一个数量。 知识点四 倒数的认识 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 考点讲练一 分数乘整数的计算与应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）结合图形，认真观察，解答下面问题。 （1）根据图形和算式填空。 整数乘法 3×2＝6 小数乘法 0.3×2＝0.6 分数乘法 3个一乘2得（    ）个一 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） （2）整数、小数和分数乘法计算的道理一样吗？请说明理由。 （3）这样的道理对你以后的学习有什么启发？ 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）由整数乘法可知，结果是6，6可以表示6个一，所以3个一乘2得6个一。 小数乘法中，0.3表示3个0.1，0.6表示6个0.1，所以3个0.1乘2得6个0.1。 分数乘法中，表示3个，表示6个，所以3个乘2得6个。 （2）整数、小数和分数乘法计算的道理是一样的。理由：都是求几个相同加数的和的简便运算。从图形和算式来看，整数乘法是几个“一”的和的简便运算；小数乘法是几个“十分之一”等计数单位的和的简便运算；分数乘法是几个“几分之一”的和的简便运算，都是相同加数求和的简便运算。 （3）在以后的学习中，对于新的数学运算，可以从已有的整数、小数、分数乘法的道理出发，利用知识之间的联系来学习新的知识，这样能更好地掌握数学知识的规律。 【规范解答】（1）填空如下： 整数乘法 3×2＝6 小数乘法 0.3×2＝0.6 分数乘法 3个一乘2得（6）个一 3个（0.1）乘2得（6）个（0.1） 3个（）乘2得（6）个（） （2）答：道理一样，因为都是求几个相同加数的和的简便运算。 （3）答：利用知识之间的联系来学习新的知识，这样能更好地掌握数学知识的规律。（答案不唯一） 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）欢欢和乐乐看同一本故事书，欢欢每天看这本书的，乐乐每天看这本书的，两人各看了5天，他们共看了这本书的几分之几？ 【答案】 【思路引导】分别用欢欢与乐乐每天看这本书的几分之一乘5，再相加求出和，即可得解。 【规范解答】 答：他们共看了这本书的。 考点讲练二 整数乘分数的计算与应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一本故事书鹏鹏第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了全书的( )，如果这本书共有240页，第三天他应该从第( )页开始看起。 【答案】 71 【思路引导】把全书总页数看作单位“1”，求两天一共看了全书的几分之几，第一天和第二天看的都是全书的几分之几，即单位“1”相同，所以只需要将两者相加即可。 求第三天从第几页开始看，先算前两天一共看的页数，第三天接着前两天看的页数继续往后面看，所以第三天看的页数是前两天看的页数加1。 【规范解答】 240×＋1 ＝70＋1 ＝71（页） 【变式】（难度：☆☆☆☆）在学校劳动实践基地的蔬菜种植区，西红柿的种植面积是60平方米，黄瓜的种植面积比西红柿多。黄瓜比西红柿多种植了多少平方米？ （1）画一画。 （2）列式解决问题。 【答案】（1）图见详解 （2）20平方米 【思路引导】（1）先画一个长方形表示西红柿的种植面积60平方米，再把它平均分成3份，黄瓜的种植面积比西红柿的种植面积多1份，据此在下方画出表示黄瓜种植面积的长方形，并在图上标注信息和数据，完成线段图。 （2）把西红柿的种植面积看作单位“1”，黄瓜的种植面积比西红柿多，即黄瓜比西红柿多的面积占西红柿面积的，单位“1”已知，用西红柿的种植面积乘，求出黄瓜比西红柿多种植的面积。 【规范解答】（1）如图： （2）（平方米） 答：黄瓜比西红柿多种植了20平方米。 考点讲练三 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）湛江距离广州大约460千米，一辆客车从湛江开往广州已经行驶了全程的。 （1）在图上用“△”标出此时客车的大致位置。 （2）此时，客车大约行驶了多少千米？ （3）此时，客车距离广州大约还有多少千米？ 【答案】（1）见详解； （2）345千米； （3）115千米 【思路引导】（1）把湛江到广州的全程看作单位“1”，平均分成4份，根据已经行驶了全程的，即行驶的路程占3份，在图上用“△”标出此时客车的大致位置即可。 （2）将湛江到广州的全程看作单位“1”，已知，已经行驶了全程的，根据求一个数的几分之几是多少用乘法即可求出客车大约行驶了多少千米。 （3）用全程减去已经行驶的路程即可求出客车距离广州大约还有多少千米。 【规范解答】（1）画图如下： （2）460×＝345（千米） 答：客车大约行驶了345千米。 （3）460－345＝115（千米） 答：客车距离广州大约还有115千米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）六年级二班有48名学生，其中男生占。全班有38人报名“周末小志愿者”活动。这个班报名“周末小志愿者”活动的男生最多有( )人，最少有( )人。 【答案】 30 20 【思路引导】全班人数×男生所占分率＝男生人数，即48×＝30（人），报名参加活动的人数大于全班男生人数，所以当全班男生都参加时，就是参加活动男生人数最多的时候，当女生全部参加活动时，就是参加活动男生人数最少的时候，据此解答。 【规范解答】48×＝30（人） 48－30＝18（人） 当男生全部参加时，此时参加活动的男生人数就最多，就是30人； 当女生全部参加活动时，参加活动的男生人数最少，是：38－18＝20（人） 这个班报名“周末小志愿者”活动的男生最多有 30人，最少有20人。 【考点剖析】此题主要考查分数乘法的应用，解题关键是找出什么情况下男生人数最多，什么情况下男生人数最少。 考点讲练四 打折的意义及应用（份数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）某动物园的门票定价是90元/张，旅游淡季时门票打七折，旅游淡季时的门票是( )元/张。 【答案】63 【思路引导】七折表示原价的，把原价看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用90×即可求出旅游淡季时的门票。 【规范解答】90×＝63（元） 旅游淡季时的门票是63元/张。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）京东“6.18”购物节对商品进行打折。笑笑妈妈买了一套中国“四大名著”和一把吉他，“四大名著”原价145元打八折，吉他原价380元打六折，笑笑妈妈一共花了多少元？ 【答案】344元 【思路引导】八折表示原价的，六折表示原价的；分别把“四大名著”原价和吉他原价看作单位“1”，根据分数乘法的意义，分别用145×和380×即可求出两种的实际价格，再相加即可求出一共花的钱数。 【规范解答】八折表示原价的，六折表示原价的； 145×＝116（元） 380×＝228（元） 116＋228＝344（元） 答：笑笑妈妈一共花了344元。 考点讲练五 分数乘分数的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）在下面的括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )0.7         ( )        ( ) 【答案】 ＝ ＜ ＞ ＜ 【思路引导】（1）分数乘法与加法比较：计算左边分数乘积和右边分数和，再比较大小。 （2）分数与小数比较：用分子除以分母，得到小数再与0.7比较大小。 （3）（4）积的变化规律，当一个因数乘（或除以）一个不为0的数，另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。判断结果与原分数的大小关系。 【规范解答】，，因为1＝1，所以＝； ，，所以＜0.7； ，所以； ，所以＜。 【变式】（难度：☆☆☆☆）下面算式中，和计算结果相等的算式有（    ）个。 ①         ②      ③     ④ ⑤      ⑥      ⑦      ⑧ A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】分析题目，先算出×7的结果，再计算出给出的各个算式的结果，最后找出和×7的结果相等的算式即可。 【规范解答】×7＝ ①1＋＝＋＝；1＋的计算结果和×7相等；               ②＋＝＝；＋的计算结果和×7相等；                 ③×6＝；×6的计算结果和×7相等；                ④1×＝；1×的计算结果和×7相等； ⑤×＝，×的计算结果和×7不相等； ⑥－＝－＝，－的计算结果和×7不相等； ⑦＋＝＝，＋的计算结果和×7相等；                ⑧0×＝0，0×的计算结果和×7不相等； 所以和×7计算结果相等的算式是：① ② ③④⑦，有5个。 故答案为：B 考点讲练六 分数乘分数的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）体育老师将一个排球向上抛起，抛起高度为米，落地后反弹高度为米。这个排球需要放气、充气，还是无需处理？请说明理由。 小科普 根据标准，一个排球向上抛起，落地后反弹高度应为抛起高度的～。 【答案】需要放气；理由见详解 【思路引导】根据标准，一个排球向上抛起，落地后反弹高度应为抛起高度的～，把排球抛起的高度看作单位“1”，单位“1”已知，用排球抛起的高度分别乘、，求出排球落地后反弹高度的范围，再用排球实际落地后反弹高度米与标准反弹范围进行比较，得出结论。 【规范解答】标准反弹范围的下限：×＝（米） 标准反弹范围的上限：×＝（米） ＞ 答：这个排球需要放气。因为排球落地后反弹高度米超过标准反弹范围米～米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）李师傅每小时粉刷一面墙的，他小时能粉刷这面墙的几分之几？（在长方形中把算式用图表示出来，再计算结果） 【答案】见详解 【思路引导】根据分数乘法的意义，用乘，即可算出他小时能粉刷这面墙的几分之几。 【规范解答】 答：他小时能粉刷这面墙的。 【考点剖析】本题解答的关键是根据乘法的意义列出算式，熟练掌握分数乘分数的计算方法。 考点讲练七 分数乘小数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）小明在学完分数乘法时很快就计算出下面算式的得数。 21×＝ ×＝ 1.8×＝ 小明：我发现：“一个数（0除外）乘一个比1小的分数，积一定小于它本身”。 小明真是个善于发现的好孩子！如果让你继续研究分数乘法中积的其他变化规律，聪明的你还能发现分数乘法中的其他规律吗？请举例说明并写出你的结论。（每个规律最少举2个例子） 【答案】6；；0.6 我发现：“一个数（0除外）乘一个比1大的分数，积一定大于它本身”； 举例：1.2×2＝2.4；×＝；×6＝2； 我发现：“一个数（0除外）乘一个等于1的数，积一定等于它本身”； 举例：3×1＝3；×1＝；0.8×1＝0.8。 【思路引导】先根据分数乘法的计算方法计算出这三个算式的结果，再得出规律；再把第二个乘数写成大于1，或等于1，得出规律。 【规范解答】 21×＝6 ×＝ 1.8×＝0.6 我发现：“一个数（0除外）乘一个比1大的分数，积一定大于它本身”； 举例：1.2×2＝2.4；×＝；×6＝2； 我发现：“一个数（0除外）乘一个等于1的数，积一定等于它本身”； 举例：3×1＝3；×1＝；0.8×1＝0.8。 【考点剖析】解决本题通过计算，得出乘法算式中计算的规律。 【变式】（难度：☆☆☆☆）×□，要使积小于，方框里可以填( )，要使积大于，方框里可以填( )。 【答案】 小于1的数 大于1的数 【思路引导】因为一个分数乘一个小于1的数，得到的积比这个分数小；一个分数乘大于1的数，得到的积比这个分数大。据此解答。 【规范解答】由分析知： ×□，要使积小于，方框里可以填（小于1的数），要使积大于，方框里可以填（大于1的数）（答案不唯一） 【考点剖析】了解一个分数乘一个小于1的数，得到的积比这个分数小、一个分数乘一个大于1的数，得到的积比这个分数大，是解答本题的关键。 考点讲练八 因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( ) ( ) ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＜ 【思路引导】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小； 分数与整数相乘，用整数与分子的积作为分子，分母不变；分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母；计算结果能约分的要约分。 【规范解答】因为，所以； 因为，，所以； 因为，，，所以。 【变式】（难度：☆☆☆☆）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )      ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【思路引导】（1）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 （2）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。 （3）先根据分数乘分数的计算法则求出两个算式的得数，再比较大小。 【规范解答】（1），所以； （2），所以； （3），，所以。 考点讲练九 倒数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）甲数是，乙数是甲数的，乙数是( )，丙数与乙数互为倒数，丙数是( )。 【答案】 9 【思路引导】甲数是，乙数是甲数的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算； 乘积为1的两个数互为倒数，求一个分数的倒数，只需要把这个分数的分子和分母交换位置即可。 【规范解答】＝ 的倒数是9。 所以，乙数是，丙数是9。 【变式】（难度：☆☆☆☆）( )＝( )＝0.2×( )＝25×( )＝1。 【答案】 //2.5 /0.625 5 /0.04 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数，将带分数化成假分数，小数化成真分数，交换假分数和真分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数；整数的倒数等于这个整数分之一。 【规范解答】＝、0.2＝ ＝ ＝0.2×5＝25×＝1 考点讲练十 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）甲数的与乙数的相等（甲、乙均不为0），则甲数大于乙数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由“甲数的与乙数的相等（甲、乙均不为0）”可得：甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1，分别表示出甲、乙两数，再比较即可。 【规范解答】由题意可知：甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1。 则甲数＝，乙数＝，， ，所以甲数＞乙数。原题说法正确。 故答案为：√ 【变式】（难度：☆☆☆☆）．( )的倒数是它本身，( )没有倒数。如果a、b互为倒数，那么( )。 【答案】 1 0 【思路引导】互为倒数的两个数的乘积为1，则a与b的乘积为1，由此即可解答。 【规范解答】1的倒数是它本身，0没有倒数。 如果a、b互为倒数，那么； 奥数拓展一 分数与整数的乘法 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）迄今中国发现数量最多、保存最好、音律最全的一套编钟——曾侯乙编钟，共有三层，分别是上层钮钟、中层南钟和下层甬钟，其中钮钟19件，南钟比钮钟多，南钟是甬钟的。钮钟比甬钟多几件？ 【答案】7件 【思路引导】已知南钟比钮钟多，将钮钟的数量看作单位“1”，则甬钟的数量是钮钟的，根据“求一 个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用钮钟的数量乘，可求出南钟的数量；又已知南钟是甬钟的，根据“已知一个数的几分之几是多少， 求这个数用除法计算”，用南钟的数量除以，可求出甬钟的数量；最后用钮钟的数量减去甬钟的数量，即可得到钮钟比甬钟多的件数，据此解答。 【规范解答】 （件） （件） （件） 答：钮钟比甬钟多7件。 【考点剖析】确定单位“1”是解题的关键。 【变式】（难度：☆☆☆☆）把一根绳子对折，再对折后的长度为米，这根绳子原来长为（    ）。 A．米 B．米 C．3米 【答案】B 【思路引导】将绳子对折再对折后，绳子一分为四。那么将米乘4，可求出绳子原来的长度。 【规范解答】×4＝（米）＝（米） 所以，这根绳子原来长米。 故答案为：B 奥数拓展二 分数乘分数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）计算：。 【答案】 【思路引导】先把公因数提取出来，即把改写成，再利用等差数列的求和公式、裂项求和方法进行计算即可。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点剖析】本题是对等差数列求和公式和裂项相消法的应用，通过将每一项进行拆分，使得中间项相互抵消，从而简化计算。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）右图中三角形a，b的面积都是长方形面积的，则阴影部分面积是长方形面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】试题分析：如图所示，依据a、b的面积和长方形的面积的关系，即可得出，E、F分别是长方形的长和宽的中点，则三角形AEF的面积就等于长方形面积的，而四边形AECF的面积是长方形面积的，从而依据阴影部分是面积=四边形AECF的面积﹣三角形AEF的面积，即可求解． 解：设长方形的长和宽分别为M、N， 因为a的面积=BE×BC×=BE×M=MN． 所以BE=N，则E是长方形的宽AB的中点， 同理F是长方形的长AD的中点； 则S△AEF=M×N×=MN， 所以阴影部分的面积=（MN﹣×2）﹣MN， =MN﹣MN， =MN； 答：阴影部分面积是长方形面积的． 故答案为D． 点评：解答此题的关键是求出三角形AEF的面积与长方形的面积的关系，即可轻松解答问题，关键是先证明E、F分别是AB、AD的中点． 奥数拓展三 分数乘小数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）×( )＝1×( )＝2.5×( )＝1。 【答案】 /1.5 /0.4 【思路引导】乘积为1的两个数互为倒数，依次求出已知数的倒数即可。 【规范解答】是分数，求它的倒数只需要交换分子和分母的位置，即； 是带分数，化为假分数是＝，交换分子和分母的位置，即； 2.5是小数，化为分数是＝＝，交换分子和分母的位置，即； 所以（或1.5）＝＝（或0.4）＝1。 【变式】（难度：☆☆☆☆）两根同样长的铁丝，第一根截去它的，第二根截去米，余下的部分（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较 【答案】D 【思路引导】根据题意，可以设两根铁丝的全长分别为1米、3米、0.9米进行讨论； 求第一根铁丝余下部分的长度，把铁丝的全长看作单位“1”，第一根截去它的，则余下部分的长度是全长的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用全长乘（1－），求出第一根铁丝余下部分的长度； 求第二根铁丝余下部分的长度，用全长减去米即可； 最后比较两根铁丝余下部分的长度，得出结论。 【规范解答】（1）当两根铁丝的长度都等于1米时； 第一根剩下： 1×（1－） ＝1× ＝（米） 第二根剩下： 1－＝（米） 两根铁丝余下的部分一样长。 （2）当两根铁丝的长度都大于1米时，假设是3米。 第一根剩下： 3×（1－） ＝3× ＝2（米） 第二根剩下： 3－＝（米） 2＜ 第二根铁丝余下的部分长。 （3）当两根铁丝的长度都小于1米，大于米时，假设是0.9米。 第一根剩下： 0.9×（1－） ＝× ＝（米） 第二根剩下： 0.9－ ＝－ ＝－ ＝（米） ＝，＞，即＞； 第一根铁丝余下的部分长。 综上所述，这两根铁丝余下的部分长度无法比较。 故答案为：D 奥数拓展四 分数的连乘运算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）下列算式能简算的要简算。                    【答案】；；；1 【思路引导】（1）去括号后利用加法交换律将同分母分数先相加； （2）去括号后按照从左往右的顺序进行计算； （3）根据分数乘法法则 ，分子和分子相乘作为新分子，分母和分母相乘作为新分母，计算时能约分的要先约分； （4）按照运算顺序，从左往右依次计算。 【规范解答】 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）怎样简便怎样计算。                                           【答案】；2 ；7 【思路引导】首先利用乘法结合律把结合，然后算出来再与相乘算出结果。 利用加法交换和结合律把和结合，把和结合，然后再把结果加起来。 利用减法的性质去掉括号，然后从左往右计算。 利用乘法分配律逆运算进行计算。 【规范解答】 ＝×1 1．一条2米长的绳子，第一次用去全长的，第二次用去米，两次用去的长度相比，（    ）。 A．第一次用去的长 B．第二次用去的长 C．无法确定 【答案】A 【思路引导】把2米长的绳子看作单位“1”，用总长度乘求出第一次用去的长度，然后比较两次用去的长度即可。 【规范解答】2×＝（米） ＞ 两次用去的长度相比，第一次用去的长。 2．《庄子•天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一根一尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，第三天再截取剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。第三天截取的长度是这根木棒的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】把这根木棍的长度看作单位“1”，每日截取剩余部分的一半，明确每天剩余长度与原长的关系，用乘法计算。 【规范解答】第一天截取它的一半，即1×＝；此时剩下1－＝； 第二天截取剩下的一半，即×＝；此时剩下－＝； 第三天再截取剩下的一半，即×＝。 3．一堆沙子重400吨，运走它的后，又运走了吨，一共运走了多少吨？正确列式为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把这堆沙子的总重量看作单位“1”，求总重量的，用400吨乘求出第一次运走的重量，第二次运走了吨，后带了单位吨，表示具体的重量，加上第一次运走的重量，据此列式。 【规范解答】据分析可知，正确列式为：400×＋ 4．三个连续偶数倒数的和是，则这三个偶数的和是（    ）。 A．18 B．24 C．36 D．30 【答案】D 【思路引导】三个连续偶数倒数的和是，分母是120，先把120分解质因数，然后根据“两个连续偶数相差2”，把120分解成三个连续偶数的乘积，即可解答。 【规范解答】120＝2×2×2×3×5＝4×5×6，4、5、6不是三个连续的偶数，又因为含有因数5，所以为：4×2＝8；5×2＝10；6×2＝12； 这三个偶数为8、10、12 和为：8＋10＋12＝30。 故答案为：D 【考点剖析】利用分解质因数，以及连续偶数的特征，求出符合要求的三个连续的偶数。 5．文文和乐乐到文具店去买了同样的文具后，两人的钱都有剩余，文文剩下了所带钱数的，乐乐剩下所带钱数的。（    ）带的钱多？ A．文文 B．乐乐 C．一样多 D．无法判断 【答案】B 【思路引导】文文剩下所带钱数的，证明文文花了他所带钱的；乐乐剩下所带钱数的，说明乐乐花了他所带钱数的；因为他们买了同样的文具，所以文文所带钱的就等于乐乐所带钱的，进而运用积相等时，一个因数大了，另一个因数则小的知识进行解答。 【规范解答】文文花了所带钱数的：1－＝， 乐乐花了所带钱数的：1－＝， 因为买了同样的文具，所以文文的总钱数×＝乐乐的总钱数×， 又因为＜，则乐乐的总钱数＞文文的总钱数。 故答案为：B 【考点剖析】此题重点考查对分数的意义和分数大小比较的灵活运用。 6．今年的“校园艺术节”五年级参加人数为75人，六年级比五年级多参加五年级人数的，六年级比五年级多参加( )人，六年级参加总人数为( )人。 【答案】 3 78 【思路引导】（1）把五年级参加人数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此用五年级参加人数乘即可解答； （2）用五年级参加的人数加上六年级比五年级多参加的人数即可得到六年级参加的人数。 【规范解答】75×＝3（人） 75＋3＝78（人） 7．一串葡萄的质量是千克，10串这样的葡萄的质量是( )千克。串这样的葡萄的质量是( )千克。乐乐洗一串葡萄用时小时，是( )分钟。 【答案】 8 3 【思路引导】用一串葡萄的质量×10求出10串这样的葡萄的质量；用一串葡萄的质量×求出串这样的葡萄的质量；1小时＝60分钟，用60乘即可求出时是多少分钟。 【规范解答】×10＝8（千克） ×＝（千克） 1小时＝60分钟 60×＝3（分钟） 一串葡萄的质量是千克，10串这样的葡萄的质量是8千克。串这样的葡萄的质量是千克。乐乐洗一串葡萄用时小时，是3分钟。 8．成人体内血液约是体重的，血液中约含有的水。爸爸的体重是78千克，他血液中约含有( )千克的水。 【答案】 //2.88 【思路引导】是把体重看作单位“1”，是把血液看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。 【规范解答】 （千克） 他血液中约含有2.88（或或2.88）千克的水。 9．一桶食用油重9升，每天用去这桶油的，4天用去这桶油( )，用去了( )升。 【答案】 3 【思路引导】先求4天用去这桶油的几分之几，就是求4个是多少，用乘法计算；求用去了多少升，就是求9升的几分之几是多少，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出用去多少升。 【规范解答】4×＝ 9×＝3（升） 即4天用去这桶油，用去了3升。 10．体育商店有足球和排球共200只，且两种球的个数差不多，每只足球售价30元，每只排球售价25元，当足球售完后，排球全部售完。这时售出的两种球一共卖( )元。 【答案】5000 【思路引导】设体育商店有足球x只，那么排球有200－x（只），售出的足球为x×30（元），售出的排球为25（200－x）元，两者相加即可求出答案。 【规范解答】设体育商店有足球x只，那么排球有200－x（只）， x×30＋25（200－x） ＝25x＋5000－25x ＝5000（元） 【考点剖析】解题的关键是用字母表示出足球的数量，排球的数量，进而根据题中的数量关系求出售出的两种球一共卖的价钱。 11．两根一样长的绳子，第一根截去全长的，第二根截去米，两根剩下的绳子一样长。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】由于不知道这两根绳子的具体长度，所以无法确定哪根剩下部分长。分以下三种情况： ①如果两根绳子同长1米，则第一根用去的长正好是1×＝米，两根用去的同样长，则剩下的同样长； ②如果两根绳子长大于1米，则第一根用去的大于米，第一根用去的长，则剩下的比第二根短； ③如果两根绳子小于1米，则第一根用去的小于米，第一根用去的短，则剩下的比第二根剩下长。 【规范解答】根据分析可知，两根一样长的绳子，第一根截去全长的，第二根截去米，两根剩下的绳子无法比较。 原题干说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】成本题要注意题目中两个的不同意义，第一个表示占全长的分率，第二个表示具体长度。 12．5千克的跟2千克的一样重。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】5千克的是把5千克看作单位“1”，平均分成5份，取其中的1份，重1千克，2千克的是把2千克看作单位“1”，平均分成2份，取其中的1份，重1千克，1千克＝1千克，所以重量相同。 【规范解答】5×＝1（千克） 2×＝1（千克） 5千克的和2千克的一样重，都是1千克，原题说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】此题考查分数的乘法，掌握分数的乘法运算法则是解题的关键。 13．3个与3的意义不相同，但是计算结果相同。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】3个表示3个相加的和是多少，可列式为×3；3的表示将3分成6份，求其中的5份是多少，可列式为3×。计算比较即可。 【规范解答】3个列式计算：×3＝ 3的列式计算：3×＝ 所以意义不同，但计算结果相同。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查了分数的意义及分数乘法的意义的应用。 14．能简算的要简算。 ＋－＋                      10－－ ×＋×                        ＋＋ 【答案】1；9 ； 【思路引导】（1）根据带符号搬家，把分母相同的分数分组计算； （2）运用减法的性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和； （3）运用乘法分配律进行计算； （4）运用加法交换律，把分母相同的分数放在一起计算。 【规范解答】 15．李叔叔原来的体重是75千克，坚持体育锻炼一个月后，体重减轻了，再经过一个月后，又减轻了原来体重的，李叔叔现在的体重是多少千克？ 【答案】62千克 【思路引导】把李叔叔原来的体重看作单位“1”。根据题意，一个月后体重减轻了75千克的，第二个月后体重减轻了75千克的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。要求现在的体重，可以用原来的体重减去第一个月减轻的体重，再减去第二个月减轻的体重。 【规范解答】 （千克） 答：李叔叔现在的体重是 62 千克。 16．笑笑和淘气跳绳，淘气跳了120下，笑笑跳的数量比淘气跳的多20下，笑笑跳了多少下？ 【答案】80下 【思路引导】把淘气跳的数量看作单位“1”，已知淘气跳了120下，先用乘法求出120的是多少，再加上20即可求出笑笑跳的数量。 【规范解答】120×＋20 ＝60＋20 ＝80（下） 答：笑笑跳了80下。 17．小明春节时共攒了压岁钱2000元，开学时，买了一双新鞋花去了，买书和学习用品共花去，剩下的放入储蓄罐，放入储蓄罐的有多少元？ 【答案】1700元 【思路引导】买鞋花去总压岁钱的，买书和学习用品花去总压岁钱的，那么总共花掉的比例为（＋）。把总压岁钱看作单位“1”，那么剩下的比例为：1－（＋）。已知总压岁钱是2000元，用2000乘剩下的比例即可。 【规范解答】把总压岁钱看作单位“1”。 2000×[1－（＋）] ＝2000×[1－（＋）] ＝2000×[1－] ＝2000×[－] ＝2000× ＝1700（元） 答：放入储蓄罐的有1700元。 18．高铁的发展给我们的生活带来了极大便利，李阿姨乘坐高铁去云南旅游，列车开出全程的时，她开始睡觉，等她醒来时，列车行驶的路程是睡前行驶路程的，在李阿姨睡觉的这段时间，列车行驶的路程是全程的几分之几？ 【答案】 【思路引导】等李阿姨醒来时，列车行驶的路程是睡前行驶路程的，将睡前行驶的路程看作单位“1”，则列车已经行驶了的，用乘法求出李阿姨醒来时列车行驶的路程占总量的分率，再用这个分率减去睡前行驶的分率解答。 【规范解答】 答：在李阿姨睡觉的这段时间，列车行驶的路程是全程的。 19．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 【答案】28人 【思路引导】根据题意，有的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，则两种读物都订的人占（＋－1），所以两种读物都订的有48×（＋－1），据此解答即可。 【规范解答】48×（＋－1） ＝48× ＝28（人） 答：两种读物都订阅的有28人。 【考点剖析】根据订两种读物的人数分别占全部人数的分率，求出两种读物都订的人数占全部人数的分率是完成本题的关键。 20．五（1）班有学生48人，其中男生占，全班有32人参加安全知识竞赛。这个班报名参加安全知识竞赛的男生最多有多少人？最少有多少人？ 【答案】最多有27人，最少有11人。 【思路引导】根据“学生总人数48人，其中男生占”，把男生人数看作单位“1”，能求出男生的人数；这个班参加科技小组的男生最多可能有27人，就是男生全部参加；最少可能有的人数，是指所有的女生参加后，剩下的人数。 【规范解答】男生人数：48×＝27（人） 因为全班有32人参加安全知识竞赛参加，所以男生最多27人全部参加； 最少可能有的人数：48－27＝21（人） 32－21＝11（人） 答：这个班报名参加安全知识竞赛的男生最多有27人，最少有11人。 【考点剖析】此题考查分数乘法应用题和关于最大与最小的类型题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $