8.6.1直线与直线垂直（2知识点+6题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.6.1 直线与直线垂直 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 异面直线所成的角 异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 注意点 (1)找出两条异面直线所成的角，要做平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. (2)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (3)空间两条直线所成的角α∈. 知识点2 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是异面的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 思路方法总结 1.求两条异面直线所成的角的三个步骤 (1)作：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 2.证明空间的两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理的逆定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等证明两直线垂直. 3.异面直线所成角 (1)关于补形作异面直线所成的角 当不方便作异面直线所成的角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线；二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体. (2)关于异面直线的应用 当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论. 典例·举一反三 题型一 异面直线垂直的辨析 1．已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 4．若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 5．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 题型二 异面直线所成角的计算 6．如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与所成的角为30° D．与垂直 9．如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 10．如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角 题型三 异面直线垂直的证明 11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 12．空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 13．如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 14．如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 15．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 题型四 根据异面直线所成角求直线数量 16．在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 17．已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与的夹角均为，那么这样的直线有（     ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 18．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 19．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为 . 20．为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 异面直线所成角求长度 21．如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ） A． B． C． D．或 22．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 23．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 24．如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．    25．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    题型六 根据异面直线所成角求其他量 26．在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 27．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 28．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 29．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 30．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题： （1）求三棱锥的体积. （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.1 直线与直线垂直 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 异面直线所成的角 异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 注意点 (1)找出两条异面直线所成的角，要做平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. (2)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (3)空间两条直线所成的角α∈. 知识点2 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是异面的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 思路方法总结 1.求两条异面直线所成的角的三个步骤 (1)作：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 2.证明空间的两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理的逆定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等证明两直线垂直. 3.异面直线所成角 (1)关于补形作异面直线所成的角 当不方便作异面直线所成的角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线；二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体. (2)关于异面直线的应用 当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论. 典例·举一反三 题型一异面直线垂直的辨析 1．已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 2．如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确. 【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.    由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 3．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可. 【详解】 对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与异面，与异面，， 或与异面，与异面，与相交于点， 或与异面，与异面，与异面，故选项A错误； 对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 或与相交于点，与相交于点，与相交于点， 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误； 对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确； 对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，，，， 或 ，，与相交于点， 或 ，，与异面，故选项D错误. 故选：C. 4．若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 5．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 题型二 异面直线所成角的计算 6．如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：      因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 7．《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：    在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 8．如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与所成的角为30° D．与垂直 【答案】A 【解析】依次判断每个选项：假设与平行，得出矛盾，错误；取为所在直线，满足；取与成角，成立；得到答案。 【详解】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行. 取为所在直线，满足；取与成角，成立。 故选： 【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力。 9．如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】在平面中，过作，交于点，连接，证明，然后利用余弦定理解三角形可得与所成角的大小． 【详解】解析在平面中，过作，交于点，连接，如图， ， 又， 则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，， ， ， 与所成角的大小为60°． 故答案为：. 10．如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理推理得证. （3）利用几何法求出情感教练夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而，平面， 所以平面平面．    （3）由（1）知，，则是异面直线AE与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为. 题型三 异面直线垂直的证明 11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 12．空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【分析】确定为和所成的角，计算长度，，，根据勾股定理得到答案。 【详解】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 13．如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 【答案】见解析 【分析】如图所示，过点M作交于，连接，计算，，，利用勾股定理得到答案。 【详解】如图所示：过点M作交于，连接 则为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为a，计算得到，，， 所以，所以，即. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 14．如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 15．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 题型四 根据异面直线所成角求直线数量 16．在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 【答案】C 【分析】根据题意画出直观图，结合图形分析可得. 【详解】解：由图可知和均是等边三角形，所以，，，与成角.根据平行关系，可知，，，也与成角，故满足题意的面对角线共有8条，故选：C.    【点睛】本题考查两直线所成的角的辨析，属于基础题. 17．已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与的夹角均为，那么这样的直线有（     ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】B 【解析】先将异面直线，平移到点，结合图形可知，当使直线在面的射影为的角平分线时存在2条满足条件，当直线在面的射影为的角平分线时，没有满足条件的直线． 【详解】解：作，，与相交于点，如图所示，则，，则的平分线与直线，所成的角均为，的平分线与直线，所成的角均为.因为，所以与直线所成的角均为的直线有且只有条（直线）， 故选：. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题． 18．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 【答案】A 【分析】利用模型圆锥即可得到答案. 【详解】过点P且与成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上. 故选A 【点睛】本题考查了异面直线的概念，属于基础题. 19．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为 . 【答案】4 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，    当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 20．为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 题型五 异面直线所成角求长度 21．如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用异面直线的夹角定义和余弦定理求解. 【详解】 取的中点为，连接， 在中， ，且， 在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为， 所以直线的夹角为，则或， 所以在中， 当时，由余弦定理得， ，得， 当时，由余弦定理得， ，得， 故选：D. 22．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 23．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 24．如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．    【答案】或 【分析】如图，构造符合题意的直三棱锥，结合题意及余弦定理可得答案. 【详解】如图构造一直三棱锥，使，则由题有： . 在中，由余弦定理，可得， 则；    如图构造一直三棱锥，使，则由题有： . 在中，由余弦定理，可得， 则.    故答案为：或. 25．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 题型六 根据异面直线所成角求其他量 26．在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，可证明，进而可得是直线与所成的角，取的中点，连接，则，可求得，，可求直线与所成夹角的余弦值. 【详解】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接， 又因为是的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 所以与所成的角就是与所成的角，即． 因为是的中点，所以是四边形的中心，所以， 取的中点，连接，则，且， 在矩形中，，所以，则， 在中，， 所以在中，. 故选：B． 27．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 28．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】提出假设证明得出矛盾可判断A错误，根据异面直线性质可得B正确，作出异面直线的平面角可得C正确，由正方体棱长计算利用梯形面积公式计算可得D正确. 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知， 若直线与是平行直线，则可得，显然这与相交于点矛盾，故错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，如下图：    可得为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为.故C正确. 对于D，连接，易知，，所以为等腰梯形， 因为棱长为2，可得， 即等腰梯形的高为，因此，即D正确. 故选：BCD. 29．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 30．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题： （1）求三棱锥的体积. （2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在，点M为AP的中点 【解析】（1）根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积； （2）根据可得，故为的中点，再证明即可． 【详解】解：（1）由题意，得，解得. 由，，得，，， ∴， ∴三棱锥的体积. （2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为. 证明如下： ∵，分别为，的中点，∴， ∴就是异面直线与所成的角. ∵，，，∴. 又，∴， ∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为. 【点睛】本题考查棱锥的体积计算，异面直线所成的角，属于中档题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$