专题08 复数（3大考点21题）（期中真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题08 复数（3大考点21题） 3大高频考点概览 考点01复数的四则运算 考点02复数的实部、虚部和共轭 考点03复数的几何意义 地 城 考点01 复数的四则运算 一、填空题 1．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)若都是实数，关于的方程有一个根，则__________. 2．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知，则复数为_______． 3．(23-24高一下·上海交通大学附属中学嘉定分校·期中)设复数，则复数的虚部为______. 二、解答题 4．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 5．(23-24高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)已知复数； (1)求 (2)若复数满足，求. 地 城 考点02 复数的实部、虚部和共轭 一、填空题 6．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数，则的虚部是________. 7．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知i为虚数单位，复数满足，则__． 8．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设是虚数单位，若复数满足，则________. 9．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________. 10．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____ 二、解答题 11．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 地 城 考点03 复数的几何意义 一、单选题 12．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)设、，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 二、填空题 15．(24-25高一下·上海行知中学·期中)设且，满足，则的取值范围为__． 16．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________． 17．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数满足，则_____. 三、解答题 18．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 19．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 20．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 21．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 专题08复数(3大考点21题) 目目 考点01 复数的四则运算 1.7 2.3+i/i+3 3.-2 4.(1)-2W2<k<2W2 (2)±2或±25 5.(1)322=-5+10i; (2)z= 814 2525 目目 考点02 复数的实部、虚部和共轭 6.-1 7.2i 9.3 10.10 11.(1)a>4 7V65 (2)arccos 65 目目 考点03 复数的几何意义 12.C 13.C 14.A 15.[0,4V2] 16.[2√2，+0) 17.±4 18.(1)m=n=1; (2)4 1/2 让教与学更高效 答案版) 品学科网 19.(1)fi=1,g2+3i)=5 @月 (3a=0,此时f(z)=4 20.(1)0 (210 10 21.(1)z=2W5 3 (2)-2<m<3或1<m<3 2 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 复数（3大考点21题） 3大高频考点概览 考点01复数的四则运算 考点02复数的实部、虚部和共轭 考点03复数的几何意义 地 城 考点01 复数的四则运算 一、填空题 1．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)若都是实数，关于的方程有一个根，则__________. 【答案】7 【分析】根据题意，将代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】将代入方程可得， 化简可得， 即， 则，解得. 故答案为： 2．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知，则复数为_______． 【答案】/ 【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 3．(23-24高一下·上海交通大学附属中学嘉定分校·期中)设复数，则复数的虚部为______. 【答案】 【分析】根据复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 二、解答题 4．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可知即可； （2）分两种情况讨论： 以及，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）方程有虚数根， 解得 （2）① 时，; ② 时，8; 综上， 的值为 或 5．(23-24高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)已知复数； (1)求 (2)若复数满足，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用复数乘法运算求解； （2）由复数的除法运算化简求解. 【详解】（1）由题设； （2）由题设. 地 城 考点02 复数的实部、虚部和共轭 一、填空题 6．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数，则的虚部是________. 【答案】 【分析】利用复数的概念直接求得结果. 【详解】复数的虚部是. 故答案为： 7．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知i为虚数单位，复数满足，则__． 【答案】 【分析】根据除法运算可得，进而可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 8．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设是虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】/ 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其实部. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 9．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________. 【答案】3 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 10．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____ 【答案】10 【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 解得，因此， 所以复数的虚部为10. 故答案为：10 二、解答题 11．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围； （2）利用夹角公式可求夹角. 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且. 地 城 考点03 复数的几何意义 一、单选题 12．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 13．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 14．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)设、，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可 【详解】若，则，故充分性成立； 设1，，符合，但不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 二、填空题 15．(24-25高一下·上海行知中学·期中)设且，满足，则的取值范围为__． 【答案】 【分析】设，利用条件推得，将表示后转化为圆上的点到原点的距离即可. 【详解】设， 由可得，故得. 由，可得， 即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上. 所以， 代表点到原点距离的倍， 由图知点到原点距离的取值范围为， 即的取值范围为. 故答案为：. 16．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：．    17．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数满足，则_____. 【答案】 【分析】利用复数的模的性质求解 【详解】， 故答案为： 三、解答题 18．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，求出方程的另一根，再利用韦达定理列式求解. （2）利用复数乘法，结合纯虚数的意义求出，再利用复数模的定义求解. 【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得， 所以. 19．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 20．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 21．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数； （2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可． 【详解】（1）为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； （2）复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $