专题06 向量的数量积定义与运算律（6大考点46题）（期中真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题06 向量的数量积定义与运算律（6大考点46题） 6大高频考点概览 考点01向量的概念和线性运算 考点02向量的投影 考点03用定义求向量的数量积 考点04 数量积的运算律 考点05 已知数量积求模 考点06 向量夹角的计算 地 城 考点01 向量的概念和线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 2．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即可判断CD． 【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误； 对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 二、填空题 3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 【答案】/ 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 4．(23-24高一下·上海奉贤中学·)四边形为菱形，其中，，则__________. 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 5．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________ 【答案】13 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 6．(23-24高一下·上海嘉定区第一中学·期中)化简向量运算：______． 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 7．(22-23高一下·上海延安中学·期中)若，，则_________. 【答案】/ 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 故答案为： 8．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，化简________ 【答案】 【分析】利用向量的加、减法运算即可. 【详解】. 故答案为： 地 城 考点02 向量的投影 一、填空题 9．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 10．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量投影的定义可求得的值，结合向量夹角的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，向量在向量方向上的数量投影为， 可得， 因为，故. 故答案为：. 11．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 【答案】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 12．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，若，则在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【分析】由数量投影定义计算即可. 【详解】已知，， 则， 则在方向上的数量投影为. 故答案为：. 二、解答题 13．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是； 【答案】证明见解析 【分析】根据向量数乘的运算性质和投影向量公式证明即可. 【详解】当时，与方向相反，，所以， 所以在方向上的投影向量为. 地 城 考点03 用定义求向量的数量积 一、单选题 14．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知 . 都是单位向量，以下命题正确的是（   ） A． B． C．若 ，则 D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积公式及模长判断各个选项. 【详解】因为 ， 都是单位向量，所以，设 ， 夹角为， 因为，不一定等于1，故A选项错误； ，不一定等于1，故B选项错误； 若 ，可能向量方向相反，则 或，故C选项错误； ，故D选项正确. 故选：D. 15．(24-25高一下·上海西中学·期中)下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则夹角为钝角 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】当时，可判断A；，可判断B；由已知可得或或，可判断C；由已知可得，可判断D. 【详解】对于A，若时，因零向量与任意向量是共线向量，故得不出，故A错误； 对于B，因，取，符合条件，但不是钝角，故B错误； 对于C，由，可得，可得或或， 所以或或，故C错误； 对于D，由，可得，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 16．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D. 【详解】对于A，由题在上的投影向量为，故A错误； 对于B，由题，故B错误； 对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误； 对于D，，所以，故D正确. 故选：D 17．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知非零向量与满足，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由，利用数量积运算化简得，得解. 【详解】由条件，即, ，展开并整理得， 故三角形为等腰三角形. 故选：C. 六、填空题-考点3：用定义求向量的数量积 18．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知中的边，，，若为边上的动点，则________． 【答案】 【分析】利用基底表示出，结合数量积的运算可得答案. 【详解】依题意设。， 则，， 所以 因为， 所以， 所以. 故答案为：2 19．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，则由题干条件可得，，利用三角换元及同角三角函数的关系及基本不等式即可求解. 【详解】设，则，， 不妨设，设， 则，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：． 20．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若，，是非零向量，则下列命题中真命题是__________．（填写序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则． 【答案】③ 【分析】举反例可以否定①②，利用向量数量积的定义可以证明③成立. 【详解】对于①：如，，，满足，显然，故①错误； 对于②：当时，恒成立，不能得出，故②错误； 对于③：若，即， 即， 又，，是非零向量，所以，即， 所以或，所以，故③正确； 故答案为：③ 二、解答题 21．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 22．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)在中，角所对的边分别为，且. (1)若满足，求角大小； (2)若，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量数量积的定义，将题设条件转化成三角形的边角关系，根据余弦定理化简整理得出，再结合条件计算得出为等边三角形，即可求出角； （2）利用正弦定理进行边角互化，结合（1）的结论解出，利用余弦定理计算出，从而可得出，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由可得，， 即， 根据余弦定理，， 则有，整理可得. 因为，则，即，解得或（舍去），所以. 则，即，故，为等边三角形， 所以. （2）根据正弦定理，由可得， 因为，所以. 由（1）可知，，即， 由可解得，则. 根据余弦定理，， 因为，所以. 所以. 23．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，与的夹角，求： (1)； (2)向量和的夹角余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再根据模长与数量积的关系求解即可； （2）根据平面向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，与的夹角， 所以， 则 所以； （2）. 地 城 考点04 数量积的运算律 一、单选题 24．(24-25高一下·上海育才中学·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（   ） ①；                  ②，； ③；           ④与的夹角为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量在坐标系中的坐标定义，建立向量与坐标的一一对应关系，利用向量的数量积定义，向量的模，向量的垂直判断，向量的夹角计算公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，且，. 对于①，因，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，由①已得，所以，故③正确； 对于④，因， 则， 且， 则， 因，故与的夹角为，故④正确． 综上可得，有②，③，④共3个结论正确. 故选：C. 二、填空题 25．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 26．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为______. 【答案】 【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即， 由， 对称轴，所以，所以. 故答案为： 27．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若非零向量满足，，则__________． 【答案】 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 28．(24-25高一下·上海格致中学·期中)若向量、满足，且，，则向量与的夹角为________． 【答案】 【分析】利用条件得到，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，则，又，则， 又，则，又，则， 故答案为：. 29．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 方法一：正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为. 因为，即，所以，可得． 方法二：连接，则由极化恒等式知， 又易知，所以，可得， 故的取值范围是． 故答案为：. 30．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，且，则的值为______. 【答案】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值. 【详解】由题设，即. 故答案为： 31．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】通过数量积的运算律先求出及，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，即可得解. 【详解】由，， 得， ， 所以， 又，所以， 解得，即. 故答案为：. 三、解答题 32．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 （2）在上的数量投影为. 33．(24-25高一下·上海大学附属中学·)设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 34．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可； （2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值； （3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）由，则， 则， 令，则，则，其对称轴， 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）； 当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意； 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）. 综上，实数的值为. （3）令，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则即得，，即得， 即实数的取值范围是. 35．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解； （2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解. 【详解】（1）向量，满足，，设与的夹角为， 所以， ，则， 则， 故与夹角为. （2）将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． 地 城 考点05 已知数量积求模 一、填空题 36．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 37．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】记，分，，三种情况计算可求最大值. 【详解】因为，所以，记， 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 所以的最大值为. 故答案为：. 38．(24-25高一下·上海西中学·期中)设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____. 【答案】 【分析】根据，结合数量积的运算求解，即得答案. 【详解】由于 、 为夹角为 的单位向量， 故， 故答案为： 39．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)已知平面向量满足.，且，则__________. 【答案】2 【分析】由得，根据即可求解. 【详解】因为，所以，即. 因为.所以. 又. 所以. 故答案为：2. 二、解答题 40．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算； （2）向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数的值. 【详解】（1）根据向量模的计算公式，. 已知，，所以. 再根据向量模的计算公式求出. 然后根据向量的夹角公式可得. 因为两向量夹角的范围是，所以. （2）已知，，，则. 因为，根据向量垂直的性质，所以. 即，解得. 41．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【详解】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 地 城 考点06 向量夹角的计算 一、填空题 42．(24-25高一下·上海新中高级中学·期中)已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由，结合二次函数的性质可得，由，可得，向量在方向上数量投影为，即得. 【详解】由题意， 设，则， ， 由二次函数的性质可知，当，取得最小值， 由得，得， 向量在方向上数量投影为， 故向量在方向上数量投影的取值范围为， 故答案为： 43．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____. 【答案】/ 【分析】根据数量积坐标公式计算结合辅助角公式计算求解. 【详解】平面向量 为单位向量，设平面向量 的夹角为， 则 ，由得， 又 ，设，其中， 则， 当时， 故① 而 ②， 其中为锐角且，故， 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 故此时， 当时， 故③ 而 ④， 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 故此时， 综上， 故答案为：. 二、解答题 44．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.    (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【详解】（1）由可得， 则， 所以； （2）依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. （3）依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 45．(24-25高一下·上海西中学·期中)已知两个不共线的平面向量，记. (1)若，求的值. (2)若时，，求的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意意可得，利用向量相等可求； （2）由，可求得，利用向量的夹角公式可求的夹角. 【详解】（1）因为，不共线，所以为非零向量，所以由可得存在，使得， 即， 所以，解得； （2）当时，，又， 所以， 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以的夹角为. 46．(22-23高一下·上海复兴高级中学·期中)已知向量是同一平面内的两个向量，其中． (1)若，且与垂直，求与的夹角； (2)若，向量满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得到，得到答案. （2）计算得到，得到答案. 【详解】（1）与垂直，则， 故，，故. （2），故，即， 即，故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06向量的数量积定义与运算律 (6大考点46题)（答案版） 目目 考点01 向量的概念和线性运算 1.B 2.B .05 4.1 5.13 6.d 7.2a+7b/7b+2a 8.BA 目目 考点02 向量的投影 9.1 10.9 11.-8 12.-4 13.当2<0时，6与z方向相反，2=5=-元，所以6，ā=元-0， 所以b在a方向上的投影向量为26cos(π-)E=-2(-cos0)E=元cos0E=B 目目 考点03 用定义求向量的数量积 14.D 15.D 16.D 17.C 18.2 1 20.③ 21.(1)-8 1/3 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)3 20 (2 10 23.(1)a+6=219 (24v19 19 目目 考点04 数量积的运算律 24.C 25.4 26.5 27.1 29 29.8,12 30号 31.「43-2,4V5+2] 32.0肾 @号 33.0)5 (2)25 2 (2)m=√2； 727 (3)存在， 6 35.(1))arecos239 13 (2)cos0=- 5 3 目目 考点05 已知数量积求模 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36.4V5 37.13+4/4+√13 38.5 39.2 40.(11a5,a,6= (2)k=1 41.(1)6√5 (2)k=-3±3 目目 考点06 向量夹角的计算 53 22 43.46A6 33 44.(1)a=vm2+n2+2mncosa a时 品 45.(1)k=-4 a号 6.0号 (2)-5 3/3 专题06 向量的数量积定义与运算律（6大考点46题） 6大高频考点概览 考点01向量的概念和线性运算 考点02向量的投影 考点03用定义求向量的数量积 考点04 数量积的运算律 考点05 已知数量积求模 考点06 向量夹角的计算 地 城 考点01 向量的概念和线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 2．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 4．(23-24高一下·上海奉贤中学·)四边形为菱形，其中，，则__________. 5．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________ 6．(23-24高一下·上海嘉定区第一中学·期中)化简向量运算：______． 7．(22-23高一下·上海延安中学·期中)若，，则_________. 8．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，化简________ 地 城 考点02 向量的投影 一、填空题 9．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 10．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________ 11．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 12．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，若，则在方向上的数量投影为__________. 二、解答题 13．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是； 地 城 考点03 用定义求向量的数量积 一、单选题 14．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知 . 都是单位向量，以下命题正确的是（   ） A． B． C．若 ，则 D． 15．(24-25高一下·上海西中学·期中)下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则夹角为钝角 C．若，则 D．若，则 16．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 17．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知非零向量与满足，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 六、填空题-考点3：用定义求向量的数量积 18．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知中的边，，，若为边上的动点，则________． 19．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________． 20．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若，，是非零向量，则下列命题中真命题是__________．（填写序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则． 二、解答题 21．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 22．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)在中，角所对的边分别为，且. (1)若满足，求角大小； (2)若，且，求的面积. 23．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，与的夹角，求： (1)； (2)向量和的夹角余弦值. 地 城 考点04 数量积的运算律 一、单选题 24．(24-25高一下·上海育才中学·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（   ） ①；                  ②，； ③；           ④与的夹角为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 25．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，且，，则___________ 26．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为______. 27．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若非零向量满足，，则__________． 28．(24-25高一下·上海格致中学·期中)若向量、满足，且，，则向量与的夹角为________． 29．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 30．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，且，则的值为______. 31．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______. 三、解答题 32．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 33．(24-25高一下·上海大学附属中学·)设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 34．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 35．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 地 城 考点05 已知数量积求模 一、填空题 36．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，的夹角为，则______. 37．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________． 38．(24-25高一下·上海西中学·期中)设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____. 39．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)已知平面向量满足.，且，则__________. 二、解答题 40．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 41．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 地 城 考点06 向量夹角的计算 一、填空题 42．(24-25高一下·上海新中高级中学·期中)已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为_________． 43．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____. 二、解答题 44．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.    (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 45．(24-25高一下·上海西中学·期中)已知两个不共线的平面向量，记. (1)若，求的值. (2)若时，，求的夹角. 46．(22-23高一下·上海复兴高级中学·期中)已知向量是同一平面内的两个向量，其中． (1)若，且与垂直，求与的夹角； (2)若，向量满足，且，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $