专题05 三角函数期中压轴题综合专练（4大考点35题）（期中真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题05 三角函数期中压轴题综合专练 （4大考点35题）（答案版） 地 城 考点01 正弦函数的图象与性质 1．A 2．B 3．C 4．C 5．C 6． 7． 8． 9．或 10．(1) (2) (3) 11．(1)，是“三角形函数”，不是“三角形函数” 理由如下： 任意一个三角形，设它的三边长分别为，不妨假设，则， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，满足，故是“三角形函数”， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为， 因为，所以，故是“三角形函数”， 对于，因为可作为一个三角形的三边长，但， 所以不存在以为三边长的三角形，故不是“三角形函数”. （2）设为的一个周期，因为其值域为， 所以存在，使得， 取正整数，则， 则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，不能作为任何一个三角形的三边长， 所以不是“三角形函数”． (3) 12．(1) (2) (3) 13．(1)， (2) (3) 14．(1) (2) (3) 15．(1)， (2)不存在，因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； (3) 16．(1)或 (2)①（i）若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为， 即或，解得， 综上，时，； （ii）若，由①可知，. . ②函数图象如图， 由图可知该函数是非奇非偶函数， 函数的最小正周期为， 值域为； （3）设，则， 设， 所以我们只需要研究当时，函数的最大值是否存在即可， （i）当时，，故此时不存在最大值； （ii）当时，显然在上均单调递减， 从而， 若此时存在最大值，则当且仅当，解得， 注意到， 所以当时，函数不存在最大值，当时，函数存在最大值； （iii）当时，， 由于当时，，当时，， 故我们只需要研究当时，函数是否存在最大值即可； 根据对勾函数性质可知，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在这里我们又分三小种情况来讨论： 情形一：当，即时， 函数在上单调递减， 此时函数无最大值； 情形二：当，由的定义可知，此时本就不存在； 情形三：当，即时， 函数在上单调递增， 此时函数有最大值； 综上所述，当时，函数不存在最大值；当时，函数存在最大值；当时，函数存在最大值. 17．(1)， (2)， 18．D地 城 考点02 余弦函数的图象与性质 19．C 20．A 21．(1) (2)是，由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. (3)或 22．(1)由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. （2）该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. （3）由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 23．(1)不是； (2)； (3). 24．(1)证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. (2) (3)0 25．A地 城 考点03 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 26． 27．①②④ 28．(1) (2) (3) 29．(1) (2)若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. (3)存在，或. 30．(1) (2)． (3) 31．(1)，； (2) (3)由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 32．(1)，，， (2) 33．A地 城 考点04 正切函数的图象与性质 34． 35．(1)不是，是 (2) (3)由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数期中压轴题综合专练（4大考点35题） 4大高频考点概览 考点01正弦函数的图象与性质 考点02余弦函数的图象与性质 考点03函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 考点04 正切函数的图象与性质 地 城 考点01 正弦函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2．(24-25高一下·上海实验学校·期中)设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（    ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 4．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 二、填空题 6．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 7．(24-25高一下·上海南洋模范中学·期中)函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 8．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是__________． 9．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 三、解答题 10．(24-25高一下·上海金山中学·期中)设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 11．(24-25高一下·上海格致中学·期中)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”． (1)判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； (2)如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”； (3)若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：） 12．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 13．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 14．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合 (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求t的取值范围； (3)设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 15．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 16．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)若实数，，满足，则称比远离． (1)若0比远离，求的取值集合； (2)已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值． ①求的表达式； ②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）； (3)对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由． 17．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 地 城 考点02 余弦函数的图象与性质 一、单选题 18．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 20．(23-24高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 二、解答题 21．(24-25高一下·上海实验学校·期中)对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 22．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 23．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. (1)判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； (2)已知与是一对“共零函数”，求的值； (3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 24．(22-23高一下·上海中学·期中)对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 地 城 考点03 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 一、单选题 25．(24-25高一下·上海大同中学·期中)已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 26．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 27．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为__________（请写出所有正确命题的序号）. 三、解答题 28．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 29．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 30．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 31．(24-25高一下·上海育才中学·期中)游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 32．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 地 城 考点04 正切函数的图象与性质 一、单选题 33．(24-25高一下·上海格致中学·期中)设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 34．(23-24高一下·江苏连云港灌南县两灌联考·月考)在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为______. 三、解答题 35．(24-25高一下·上海中学·期中)已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数期中压轴题综合专练（4大考点35题） 4大高频考点概览 考点01正弦函数的图象与性质 考点02余弦函数的图象与性质 考点03函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 考点04 正切函数的图象与性质 地 城 考点01 正弦函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图象关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对于①，根据函数性质画出图象观察即可判断；对于②观察图象并且验算得即可判断；对于③，只需判断方程是否有且仅有1个非零实根即可，通过分类讨论即可解决. 【详解】对于①，显然的定义域关于原点对称，且，即是偶函数， 当时，， 当时，， 从而画出函数的图象如下图所示， 观察可知函数不是周期函数，故①错误； 对于②，观察上图发现，，故②错误； 对于③，，显然是方程的一个根， 若方程有且仅有2个实根， 则方程有且仅有1个非零实根， 注意到，从而，当然也有， 所以当时，方程无解， 设， 那么当时，，此时无解， 当时，， 因为，此时，而， 所以此时即无解， 当时，，此时，， 所以此时即无解， 当时，，此时， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，， 所以此时无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，， 所以此时无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 当时，，，， 所以此时即无解， 注意到，当时，方程无解， 综上所述，方程无非零实数解，故③错误， 即真命题的个数为0个. 故选：A. 2．(24-25高一下·上海实验学校·期中)设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 3．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（    ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】C 【分析】对于①：根据最值分析若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为，举反例说明即可；对于②：先证，分和两种情况，结合函数最值放缩即可证明. 【详解】对于①：因为，当且仅当时，等号成立， 若，为最大值， 可知当且仅当时，取到最大值， 若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为， 但，即， 所以函数的图象是轴对称图形不成立，故①错误； 对于②：先证， 当时，如图所示： 在标准单位圆中，轴，， 则的长为，， 可得； 当时，则； 综上所述：，可得. 当时，，即； 当时，则， 即； 综上所述：，故②正确； 故选：C. 4．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】（）的周期为和的最小公倍数，然后验证得到正整数所有可能取值即可. 【详解】（）的周期为和的最小公倍数， 所以为和的最小公倍数，所以，所以， 因为，，所以为250的约数，为5的整数倍，为偶数， 所以， 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 所以，所以满足条件的正整数的所有可能取值有4个. 故选：C 5．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 【答案】C 【分析】原方程可化为，结合图象，即可判断选项. 【详解】因为，所以关于x的方程，可化为， 在上为周期为的函数，值域为， 在上单调递减，值域为，且时，时， 对于，在时，过程中与图象接近， 且过程中图象呈现周期性波动，第个周期值域为，()逐渐变小且接近于1，(逐渐变小且接近于， 综上，函数的大致图象如下， 当时，无解，A对； 当时，有无数个解，B对； 当且时，有个解，此时时，D对； 当且时，有个解， 当时，有1个解，C错； 故选：C. 二、填空题 6．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 【答案】 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 7．(24-25高一下·上海南洋模范中学·期中)函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，则， 任取， 则， 因为， 所以，则， 所以在上为增函数， 所以有解， 所以有解，即， 设，又得，， 则，当且仅当时等号成立， 由双勾函数的单调性知，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故答案为：． 8．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】令，则，令，，分、、、、五种情况讨论在上的零点个数，即可确定在的零点情况，从而确定的值，即可求出的取值范围. 【详解】令，因为，，所以， 则， 令，， 因为，函数的对称轴为，且，所以当时恒成立； 当，即时，函数无零点，此时也无零点，故舍去； 当，即时，即有且仅有一个零点， 又在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，所以，此时； 当，即， 又函数的对称轴为， 若，即时在上存在两个零点，不妨设为，， 又在上存在两个解，在上存在两个解， 所以在上存在个解， 此时在内不可能恰有个零点，故舍去； 若，即时，令，解得或， 因为在上存在一个解，在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，则，此时； 若，则，又，所以在上存在一个零点，不妨设为， 又在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，则，此时； 综上可得. 故答案为： 9．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，，，直线与函数，的图象的交点为．若对，的最小值为，最大值为，则________． 【答案】或 【分析】由结合已知可得，由，可得可取或，据此可得答案. 【详解】由，得，则或， 由，得直线与函数的图象相邻交点的最小距离为， 得，解得，则函数的最小正周期， 而，则， 于是或，，则可取或， 当时，，； 当时，，. 故答案为：或 三、解答题 10．(24-25高一下·上海金山中学·期中)设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期； （3）由题意存在，，且，使得成立，由此即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以函数在区间上只有一个最小值点， 又因为， 由正弦函数的图象可知：，解得， 所以的取值范围为． （2）由，可知函数关于点对称． 因此，解得，其中为整数． 由于函数在区间上是严格增函数，所以，所以， 结合，其中为整数，所以， 又，其中为整数，所以或， 当时，，函数在区间上不是严格增函数， 当时，，函数在区间上是严格增函数，且关于点对称．所以． 因此函数的最小正周期为． （3）已知函数的值域为，因此， 又，则当且仅当时成立，即， 令，则当，时，，， 此时需存在，满足（为整数），且， 则区间内至少包含两个不同的点， 设存在整数满足， 当时，；当时，；当时，符合题意； 所以． 11．(24-25高一下·上海格致中学·期中)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”． (1)判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； (2)如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”； (3)若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：） 【答案】(1)，是“三角形函数”，不是“三角形函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设三角的三边长分别为，且有，利用题设定义，即可判断和是“三角形函数”，再取，即可说明不是“三角形函数”； （2）取实数，使，再取，其中，能构成三角形，但其函数值不能构成三角形，即可求解； （3）分和两种情况讨论，再结合题设定义，即可求解. 【详解】（1），是“三角形函数”，不是“三角形函数”． 理由如下： 任意一个三角形，设它的三边长分别为，不妨假设，则， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，满足，故是“三角形函数”， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为， 因为，所以，故是“三角形函数”， 对于，因为可作为一个三角形的三边长，但， 所以不存在以为三边长的三角形，故不是“三角形函数”. （2）设为的一个周期，因为其值域为， 所以存在，使得， 取正整数，则， 则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，不能作为任何一个三角形的三边长， 所以不是“三角形函数”． （3）（i）若，取，则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“三角形函数”. （ii）当时，对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下： ①当时，，同理， ，故，， 同理可证，， 可作为某个三角形的三边长． ②当时，，可得如下两种情况： 当时，由得， 由在上单调递增可得， 当时，， 由在上单调递增可得， 综上得，， 又由及余弦函数在上单调递减， 得 同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长. 故时，是“三角形函数”， 综上，的最大值为． 12．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 13．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的振幅，频率. （2）设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. （3）由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 14．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合 (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求t的取值范围； (3)设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可求解； （2）先求，由即可求解； （3）根据定义判断出函数单调递减，由，令，，则，，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由，定义域， 所以，所以； （2）因为，所以， 又因为，所以， 所以； （3）因为对任意，，都有， 若，则，所以，又， 所以在上单调递增， 因为， 令，，则， 由在单调递减，根据复合函数的单调性，只需在单调递减即可， 所以，即， 综上所述，. 15．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将化简，即可得解； （2）首先求出的值，即可求出在上的值域，依题意，即可得到关于的不等式组，解得即可； （3）首先求出的值，再令，结合二次函数的性质求出的值域，依题意可得，求出的范围，结合正弦函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 又且， 所以，； （2）因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； （3）因为的最大值为，且，所以，则， 令，则， 因为，所以当时取得最大值，即， 当时取得最小值，即， 所以， 因为对于任意的，总是存在，使等式成立， 所以， 当时， 又，所以，又，， 所以，解得，即的取值范围为； 16．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)若实数，，满足，则称比远离． (1)若0比远离，求的取值集合； (2)已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值． ①求的表达式； ②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）； (3)对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据新定义以及余弦函数性质解不等式即可； （2）根据新定义求得函数表达式，进一步画出函数的图象，通过图象得出所求性质即可； （3）首先肯定要对分类讨论，其次一个比较关键的地方在于要利用换元法，以及飘带函数、对勾函数的性质，从而即可求解. 【详解】（1）由新定义可得，，即， 解得，即 , 由余弦函数的性质可得或，， 故所求为或； （2）①（i）若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为， 即或，解得， 综上，时，； （ii）若，由①可知，. . ②函数图象如图， 由图可知该函数是非奇非偶函数， 函数的最小正周期为， 值域为； （3）设，则， 设， 所以我们只需要研究当时，函数的最大值是否存在即可， （i）当时，，故此时不存在最大值； （ii）当时，显然在上均单调递减， 从而， 若此时存在最大值，则当且仅当，解得， 注意到， 所以当时，函数不存在最大值，当时，函数存在最大值； （iii）当时，， 由于当时，，当时，， 故我们只需要研究当时，函数是否存在最大值即可； 根据对勾函数性质可知，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在这里我们又分三小种情况来讨论： 情形一：当，即时， 函数在上单调递减， 此时函数无最大值； 情形二：当，由的定义可知，此时本就不存在； 情形三：当，即时， 函数在上单调递增， 此时函数有最大值； 综上所述，当时，函数不存在最大值；当时，函数存在最大值；当时，函数存在最大值. 17．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 地 城 考点02 余弦函数的图象与性质 一、单选题 18．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合中的元素由生成，当为有理数时，余弦函数的取值会呈现周期性，导致集合元素个数有限.关键点在于确定的分母与元素个数的关系，进而判断选项中哪些会导致元素个数不符合2025. 【详解】若（互质），则余弦函数的周期为， 集合元素个数为（当为偶数时）或（当为奇数时）. 需验证选项中对应的是否满足或. 选项A:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项B:，对应（奇数）. 元素个数为，可能. 选项C:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项D:，对应（奇数）. 元素个数为，不可能. 故选：D. 19．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】讨论、，结合正余弦函数的性质研究不等式恒成立确定有序实数对的个数. 【详解】由，，任意实数均有， 当时，任意实数均有，且，则符合题意； 任意实数均有，即， ，，当且仅当任意实数均有，则， 当时，， 则，解得，则符合题意； 当时，， 则，可得解得，则符合题意， 综上所述，满足条件的有序实数对为，共有3个. 故选：C 20．(23-24高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 二、解答题 21．(24-25高一下·上海实验学校·期中)对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 22．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)假命题，答案见解析 (3)答案见解析，值域为，最大值为，最小值为 【分析】（1）利用正弦函数性质和余弦函数性质结合周期性的定义求解即可. （2）先判断原命题是假命题，再利用正弦函数的性质证明即可. （3）利用诱导公式求出，再利用正弦函数和余弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. （2）该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. （3）由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 23．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. (1)判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； (2)已知与是一对“共零函数”，求的值； (3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】(1)不是； (2)； (3). 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【详解】（1）由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. （2）由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； （3）由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 24．(22-23高一下·上海中学·期中)对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【详解】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 地 城 考点03 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 一、单选题 25．(24-25高一下·上海大同中学·期中)已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 二、填空题 26．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 27．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为__________（请写出所有正确命题的序号）. 【答案】①②④ 【分析】求出函数解析式可得，经验证可得函数是奇函数，即①正确，利用整体代换法并根据正弦函数单调性可判断②正确，根据三角函数周期性计算可得，且，因此③错误；结合诱导公式以及三角恒等变换计算可得当时，符合题意，可得④正确. 【详解】由经过点可得， 即，可得， 又，因此可得； 所以； 对于①，易知为奇函数，即①正确； 对于②，当时，， 结合正弦函数图象性质可得函数在区间上严格减；即②正确. 对于③，易知函数的最小正周期为， 且，易知， 所以的最大值为2，即， 所以不存在自然数，使得；即③错误； 对于④，根据题意可得 ， 因此存在常数，对于任意实数，使得，即④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题 28．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 29．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，或. 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）由跃点函数定义，解得，即可证明； （3）由跃点函数定义，即在上个根，根据正弦函数的周期性和图像。讨论即可得到答案. 【详解】（1）由已知得存在实数， 使得. 所以. （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. （3）假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 30．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可； （2）令，求得该不等式在内的解即可； （3）利用图象变换求得解析式，再根据第100个最值点列不等式求解即可. 【详解】（1） （2）对于，令， 求得， 可得函数的单调减区间为，， 故函数在区间上的单调减区间为，． （3）将函数的图象向右移动个单位，可得的图象； 再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值， 根据当时，在区间上正好有100个最大值， ，求得，故实数的取值范围为． 31．(24-25高一下·上海育才中学·期中)游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 32．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解； （2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由图可知：，解得， . 又，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴， ∴，解得. 由图可知函数周期，∴. ∵，∴，∴，. 综上，，，，. （2）由（1）知， ∴. 令，则，. 由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上，函数的值域为. 【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值； 本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围. 地 城 考点04 正切函数的图象与性质 一、单选题 33．(24-25高一下·上海格致中学·期中)设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 则 满足和是有限集， 从而和是互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 二、填空题 34．(23-24高一下·江苏连云港灌南县两灌联考·月考)在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为______. 【答案】 【分析】化简为，结合余弦定理即可求的，根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可. 【详解】根据题意，，即， 由余弦定理，又，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 即， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简. 三、解答题 35．(24-25高一下·上海中学·期中)已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】(1)不是，是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【详解】（1）对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. （2）若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. （3）由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $