专题04 三角函数（Ⅱ）（3大考点30题）（期中真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题04 三角函数（Ⅱ）（3大考点30题） 3大高频考点概览 考点01求图象变化前后的解析式 考点02由图象确定正余弦型函数解析式 考点03正切函数的图象与性质 地 城 考点01 求图象变化前后的解析式 1、 单选题 1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 二、填空题 3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 【答案】 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 4．(24-25高一下·上海大同中学·期中)将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【答案】 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 5．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 6．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________. 【答案】 【分析】根据平移得出函数解析式，再由余弦函数的单调性得解. 【详解】由题意，， 令，解得， 所以函数的单调增区间为 故答案为： 7．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值. 【详解】， 对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取最大值. 所以，,所以的最小值为. 故答案为：. 8．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 【答案】. 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 三、解答题 9．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 10．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【详解】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 11．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值； (3)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题意可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求解； （2）根据三角函数图象变换规律得到，求出函数的零点，利用正弦型函数的周期性求解； （3）分别求出两个函数在上的值域，利用值域间的包含关系得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意，， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为，所以，得. （2）当时，， 则，最小正周期， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在上恰好有100个零点， 所以的最小值为. （3）当时，， 当时，，所以， 所以函数的值域为， 因为对任意，存在，使得成立，即成立， 设在上的值域为， 当时，，所以， 因为，所以的值域， 根据题意，， 则有，解得，又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 地 城 考点02 由图象确定正余弦型函数解析式 一、单选题 12．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 13．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 二、填空题 14．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 【答案】 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 15．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【答案】. 【分析】根据图像求出周期和振幅，再根据最大值点求出. 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 16．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)函数的图象如图，则 的值为_____. 【答案】 【分析】先由函数图象得到符合题意的的表达式，再求出一个周期的值，再根据函数的周期性求值即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又因为，所以，所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，因为，令，可得， 所以. 所以， 因为，所以， 因为一共有2026项，且， 所以. 故答案为： 17．(24-25高一下·上海长征中学·期中)函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【答案】， 【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围. 【详解】因为，所以函数的最小正周期， 所以函数在区间上的图象为一个周期的图象， 又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，， 所以与关于对称，且， 所以，即， 故，所以， 故答案为：，. 18．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图为函数 的部分图象，则 的值为_____ 【答案】/ 【分析】根据函数图象确定函数周期，求出的值，再结合在函数单调递增区间上，代入求解，即可得答案. 【详解】由图可知，则， 由图象可知点在函数单调递增区间上，则， 则，则， 由于，故， 故答案为： 19．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为_____. 【答案】 【分析】根据函数图象求函数解析式，再应用正弦型函数的性质求单调增区间. 【详解】由图，则，故，可得， 所以，则， 所以，可得，而，故， 所以， 令，则， 所以函数单调递增区间为. 故答案为： 三、解答题 20．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式； （2）利用正弦函数单调递增区间即可解得； （3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域. 【详解】（1） 根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得; ，可得，， 又因为，所以， 即； （2）由，，解得，， 所以的递增区间为； （3）当时，，此时有， 即的值域为. 21．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1).理由见解析 (2) (3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【分析】（1）结合散点图即可判断； （2）结合散点图即可求解； （3）由（2）求解即可求解. 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， （2）由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （3）由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 地 城 考点03 正切函数的图象与性质 一、填空题 22．(24-25高一·上海宝山中学·期中)如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 【答案】 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则，，， 因为，即，则，可得， 又因为正方形的边长为， 由题意可得，整理可得，即， 因为，则，可得或，解得. 故答案为：. 23．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知函数，则的最小正周期为_________． 【答案】 【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解. 【详解】因为， 设是的周期，则，即， ，故或，， 即或，， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 24．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)函数的最小正周期为______． 【答案】 【分析】根据正切函数最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 25．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)函数的最小正周期为______. 【答案】 【分析】根据正切型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 26．(24-25高一下·上海建平中学·期中)把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 【答案】 【分析】由题得到函数的解析式，再根据最小正周期计算公式计算即可. 【详解】函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象， 则函数，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 27．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 【答案】 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 28．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可. 【详解】的对称中心为， 所以是正切函数图象的对称中心. 故答案为：是 29．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)已知函数，则函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 二、解答题 30．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数（Ⅱ）（3大考点30题） 3大高频考点概览 考点01求图象变化前后的解析式 考点02由图象确定正余弦型函数解析式 考点03正切函数的图象与性质 地 城 考点01 求图象变化前后的解析式 1、 单选题 1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 2．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 4．(24-25高一下·上海大同中学·期中)将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 5．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 6．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________. 7．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 8．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 三、解答题 9．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 10．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 11．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值； (3)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 地 城 考点02 由图象确定正余弦型函数解析式 一、单选题 12．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 二、填空题 14．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 15．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 16．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)函数的图象如图，则 的值为_____. 17．(24-25高一下·上海长征中学·期中)函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 18．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图为函数 的部分图象，则 的值为_____ 19．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为_____. 三、解答题 20．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 21．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 地 城 考点03 正切函数的图象与性质 一、填空题 22．(24-25高一·上海宝山中学·期中)如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 23．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知函数，则的最小正周期为_________． 24．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)函数的最小正周期为______． 25．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)函数的最小正周期为______. 26．(24-25高一下·上海建平中学·期中)把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 27．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 28．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 29．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)已知函数，则函数的最小值为_____. 二、解答题 30．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 专题04三角函数（Ⅱ）(3大考点30 目目 考点01 求图象变化前后的解析式 1.D 2.D 3.π 8 4.x=-π 12 4049π4049， -元 4 4 6. +km(k∈Z) k,2 8. 5π 12 9.0f)=5sin2x+ (2②4 (3)0<as,4 9元 10.0-号 ax晋受ez, +k,0,keZ 2 6 2 )-骨或0=君 6 11.(1)0=1: 295元 (2)18 2 目目 考点02 由图象确定正余弦型函数解析式 12.D 13.C 14.2sim2x+ 2π 1/2 让教与学更高效 题)（答案版） 丽学科网 www.zxxk.com 16.2026.5 17.k=-1,A>5 18g名 19.[-2π+6kπ，π+6km,k∈Z 20.0到-2sm2x+写}-1 2-12 (3)[-1, 21.(1)y=Asin(wx+o)+B. 包a=25sm[g小5 (31点进港，5点离港，或13点进港，17点离港；4小时： 目目 考点03 正切函数的图象与性质 22. 12 23.2 24. 6 25.4 26.2π 27.5 28.是 29.-1 30.号 2023π (3)0, 2024 让教与学更高效