专题03 三角函数（Ⅰ）：正弦、余弦函数的图象与性质（6大考点60题）（期中真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题03 三角函数（Ⅰ）：正弦、余弦函数的图象与性质 （6大考点60题） 3大高频考点概览 考点01求sinx型三角函数的单调性 考点02求sinx型三角函数的单调性 考点03由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 考点04 由正弦（型）函数的最小正周期 考点05 利用正弦函数的对称性求参数 考点06 余弦函数的图象与性质 一、单选题地 城 考点01 求sinx型三角函数的单调性 1．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的严格增区间为______. 3．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 三、解答题 4．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 5．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 6．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 7．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 8．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 9．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 地 城 考点02 求sinx型三角函数的单调性 一、单选题 10．(24-25高一·上海宝山中学·期中)关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 11．(24-25高一下·上海光明中学·期中)在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．(24-25高一下·上海金山中学·期中)已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．(24-25高一下·上海中学·期中)函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 二、填空题 14．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 15．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数，的值域是_________． 16．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数，.当时，则的最大值为_____. 17．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 三、解答题 18．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 19．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. (1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； (2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 20．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 21．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． (1)若米，求的值； (2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 地 城 考点03 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 一、单选题 22．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)若，则的最小值为________． 24．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 25．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 26．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 地 城 考点04 由正弦（型）函数的最小正周期 一、单选题 27．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 28．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数的最小正周期为________． 29．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数的最小正周期是_________． 30．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若函数的最小正周期是，则__________． 三、解答题 31．(24-25高一下·上海延安中学·期中)求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 32．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 1 3 1 1 33．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 34．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质． (1)下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）； ①；②；③（表示不超过的最大整数）． (2)已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”． (3)已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围． 地 城 考点05 利用正弦函数的对称性求参数 一、单选题 35．(24-25高一下·辽宁沈阳二十中学·)设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 36．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 37．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 38．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 39．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 40．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 41．(24-25高一下·上海延安中学·期中)直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 地 城 考点06 余弦函数的图象与性质 一、单选题 42．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 43．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)下列命题中不正确的是（    ） A．在中，若，则三角形为钝角三角形 B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C．若且，则 D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 44．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 45．(24-25高一下·上海光明中学·期中)函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 46．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 47．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 48．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数是________函数（填“奇”或“偶”） 50．(24-25高一下·上海中学·期中)定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________． 51．(24-25高一下·上海大同中学·期中)设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 52．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 54．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______． 55．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______. 56．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______. 57．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的单调增区间为_______． 58．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设，若，则的最大值等于__________． 三、解答题 59．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 60．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03三角函数(I):正弦、余弦函数的图象与性质 (6大考点60题)（答案版） 目目 考点01 求sinx型三角函数的单调性 1.C 2.阅 3.L,V2) (2)x= 经eZ:x=骨+ka,eZ或x=+a度eZ 122 5.(1)0 4,单调造指区间为音+经君+匀]42 (2[5,2] 6.(0y=1,2=2 1 (a-径+2a号+2akez (3)2=0或1=2 70呀 a( 8.四f到=2n2x+到 oi (3)m≤2 9.(1)n; (2-+a,+h,ke2: 3 6 目目 考点02 求sinx型三角函数的单调性 10.D 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.B 12.C 13.A 14.①② 15.[-1,2] 16.2 18.(1-2,21；A= 6 (2)√3-1 19.(1)100√7m (2)少= 5050e03,当0-若时，=05 6 20.(1)600(3-√5) (2)当a=时，S(a)取得最大值，最大值为600V5 6 21.(1)0=arccos 4v17 17 (21250(V2-1 目目 考点03 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 22.D 8月 7π13π 24.3’3] 25.（2,+0) 26. 或团 2 目目 考点04 由正弦（型）函数的最小正周期 27.B 28.2 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29.n 30.2 3引.最小正周期T=,最大值为3，当x=低+骨，keZ时取得最大值 32.()f(x)=2sin(2x+乃+1；最小正周期为刀 6 (2-+ka,+kx,k∈Z 3 6 A 3 =k+1 (3) -------2-- ；[L,2) 3 元O 5π 12i6-2 12 33.(1)T=元； (2②3+6+keZ: 6 34.(1)对于①，y=∫x=x2,若fx)=f(x2),X、x2∈R,x≠，则只能x=-x2≠0， 若x1=-x2≠0，fx+ad=x+2ax+a2=f（x2+a=x号+2ax2+a2,则a=0, 故函数y=∫(x=x2不具有性质A; 对于②，y=fx)=c0sx, 若fx)=c0Sx1=fx=c0sx2,X1、2∈R,x≠x2, 由cosx+a=cosx2+a可得cosx,cosa-sinx1sina=cosx2cosa-sinx2sina, sin x sin a sin x2 sin a, 取x1=-x2+2π，且x2≠kπ，则sina=0,故a=km,k∈Z,k≠0， 若a=kπ，k∈Z,k≠0，则fx)=cosx1=∫x2)=cosx2时， x1-x2=2kπ，k∈Z或x=-x2+2kπ，k∈Z,(x≠x2), 若x-x2=2k,k∈Z,则cosx+ad=cos(x2+a恒成立， 若x,=-x2+2km,k∈Z,则cos(x+a=cos-x2+2km+km)=cosx2-km, 3/6 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 而cosx2-km=cos(x2+kπ)，故cos(x+a=cosx2+a也成立， 综上，A={aa=km,k∈Z,k≠0， 对于③，y=f(x=[x, 若fx=[x]=fx2=[x], 则对任意的非零整数a总有f(x+a)=[x+a=f(x2+a=[:2+a, 若存在a=s+r,s∈Z,0<r<1, 也满足f(x+a=[x+a=f(x2+a=[+ad恒成立， 取0<x<1-r,1-r<x2<1,则fx)=f(x2)=0, f(x+a)=x+a=s+r+x=s,f(x2+a)=x+a=s+1>s 故不存在非整数，使得∫x)=[x]具有性质A, 综上，A={aa=k,k∈Z,k≠0 (2)若定义域为R的函数y=∫(x具有性质A, 则当且仅当3a∈A,a≠0使得当f(x)=f(x2)(x、x2∈D且x≠x2)时，都有f(x+a)=f(x+a; 若y=∫(x)为偶函数，因为fx为偶函数，故∫(x)=∫-， 当x≠0时，则有f(x+a)=∫-x+a),故f(x=f(2a-x, 故f(-x)=f(2a-x),故fx为周期函数，且周期为2a, 取fx=sinx,a=2π，则sinx=sinx2时，总有sinx+2π=sin(x2+2π， 当fx=sinx为奇函数， 综上，“函数y=∫x是周期函数”的一个充分非必要条件是“y=∫x为偶函数”； 目目 考点05 利用正弦函数的对称性求参数 35.B 36.5 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.[2,2024) 38.( 41.2 目目 考点06 余弦函数的图象与性质 42.C 43.C 44.A 45.1 46.2025 48.2 49.偶 50.[9,+0） 51.-3 52.[4,6 53.p=2nπ，n∈Z 54.(3)(4) 5.-05 56.[0,6] 5[呀 58.6 59.(1)y=f(x)=x+1是“L(1,-1,1)函数” 5/6 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1 3)是，a 2b1 2’c=元+2k(k∈Z) n.3thkeZ a剖 专题03 三角函数（Ⅰ）：正弦、余弦函数的图象与性质 （6大考点60题） 3大高频考点概览 考点01求sinx型三角函数的单调性 考点02求sinx型三角函数的单调性 考点03由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 考点04 由正弦（型）函数的最小正周期 考点05 利用正弦函数的对称性求参数 考点06 余弦函数的图象与性质 一、单选题地 城 考点01 求sinx型三角函数的单调性 1．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 二、填空题 2．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的严格增区间为______. 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 3．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，分析该函数在上的性质即可. 【详解】函数，当时，， 当时，函数单调递增，函数值从1增大到， 当时，函数单调递减，函数值从减小到， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即关于的方程在有两个不等的实根， 所以的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 4．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， 5．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，由题知，解得，则， 由，解得， 所以单调递增区间为； （2）由，知， 当时，，所以， 所以. 6．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）利用三角函数定义计算. （2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间. （3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题. 【详解】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 7．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象与性质直接求解即可； （2）令，，再根据即可求出增区间. 【详解】（1）令，所以或，， 因为，所以. （2）令，，解得. 因为，所以的增区间为. 8．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【详解】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得 . （2）由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. （3）由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 9．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求增区间； （3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. 地 城 考点02 求sinx型三角函数的单调性 一、单选题 10．(24-25高一·上海宝山中学·期中)关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 11．(24-25高一下·上海光明中学·期中)在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 12．(24-25高一下·上海金山中学·期中)已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设，都是锐角，可得，与已知矛盾，从而可得以，中一定存在钝角，则角为锐角，从而可判断结论的真假. 【详解】假设，都是锐角，则，故是锐角. 则，同理，从而，矛盾. 故，中必定有一个为钝角，②对①错. 不妨设为钝角，则，为锐角. ， ， ， 看成关于的一元二次方程，注意到， 则判别式恒成立，且两根之积为负数. 从而对任意锐角，必存在唯一钝角符合关系式，因为， 所以也为钝角，所以为锐角. 故可取遍任意锐角， 所以，即，③正确， 又因为任意一个集合都是自身的子集，则，故④正确， 故选：C． 13．(24-25高一下·上海中学·期中)函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值. 【详解】因 ，故其最大值为1. 故选：A. 二、填空题 14．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)定义，若函数，给出下列四个命题： ①该函数是周期函数，且最小正周期是； ②该函数的值域是； ③该函数是偶函数； ④对任意，恒成立. 上述命题中错误的序号是____________． 【答案】①② 【分析】根据题意化简得：据此逐项分析即可 【详解】令，解得：， 同理，解得：， 对于①，若最小正周期是，则成立， 所以，最小正周期不是，①错误 对于②，当时，， ，值域为， 当时，， ，值域为， 综上，该函数的值域是，②错误 对于③，定义域为，关于原点对称 ， ， 是偶函数，③正确 对于④，当时， ， 当时， ， 综上，对任意，恒成立，④正确 故答案为：①② 15．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数，的值域是_________． 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质即可求得值域. 【详解】因为，根据正弦函数的性质可知， 即函数的值域为， 故答案为：. 16．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【答案】2 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 17．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 18．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据正弦型函数值域及最值，利用整体法计算即可； （2）由题意可得，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 当，即时，取得最大值， ， 为函数最大值时，； （2）由（1）知，设，角对应边为， ，解得， 由余弦定理，即， （当且仅当时取等）， 即边的最小值为． 19．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. (1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； (2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 【答案】(1)m (2)，当时， 【分析】（1）先设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，得出，，由余弦定理可得答案. （2）先得出，，由正弦定理可以把表示为的函数，由三角函数的性质得出最值. 【详解】（1）在，，由，得， 设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，则，， 由余弦定理，得，解得， 所以乙出发后的第末甲乙之间的距离为. （2）由（1）知，，， 在中，，则， ，，则， 由，即，得， 因此，，所以当时，y取最小值. 20．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解； （2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， ∴矩形的面积为 当时， ， 即矩形的面积为 . （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 21．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． (1)若米，求的值； (2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理计算可求得，可得的值； （2）利用正弦定理用表示出，再结合条件得到，根据三角函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意知为等腰直角三角形，且， 在中，由，，利用余弦定理可得： ， 即可得； 利用余弦定理的推论可得， 因此 （2）依题意可知，则； 在中由正弦定理， 可得； 在中，由正弦定理， 可得； 因此的面积为 ， 因为，所以，即， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 故面积的最小值为. 地 城 考点03 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 一、单选题 22．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 二、填空题 23．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)若，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式化简，即可得到，再由正弦函数的性质求出，的取值，即可得解. 【详解】因为， ， 若， 即，所以或， 根据对称性不妨令， 则，， 所以， 所以当时取得最小值. 故答案为： 24．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案. 【详解】由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得. 所以的取值范围为 故答案为： 25．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，恒成立， 即， 当时，，所以，则， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 26．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________． 【答案】或 【分析】首先利用辅助角公式化简，再根据对称性求出，根据函数在上无最值，求出的范围，即可得解. 【详解】因为 ， 又直线是函数图象的对称轴，所以， 则； 当，则， 又在上无最值，所以，解得，则， 所以或，则或（负值舍去）； 故答案为：或 地 城 考点04 由正弦（型）函数的最小正周期 一、单选题 27．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可. 【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确； 当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误； 当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误； 易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确. 故选：B 二、填空题 28．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数的最小正周期为________． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算. 【详解】利用正弦型函数的周期公式计算，得到函数的最小正周期为. 故答案为：2. 29．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数的最小正周期是_________． 【答案】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 30．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若函数的最小正周期是，则__________． 【答案】 【分析】用二倍角公式化简得，再根据最小正周期的计算方法求解即可. 【详解】函数化简为，所以函数的最小正周期为，所以. 故答案为： 三、解答题 31．(24-25高一下·上海延安中学·期中)求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】依题意，， 函数的最小正周期，函数的最大值为3， 当，即，时取得最大值． 32．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    33．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图：    由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 34．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质． (1)下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）； ①；②；③（表示不超过的最大整数）． (2)已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”． (3)已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）只需根据新定义来判断即可； （2）证明不必要性只需举出例子即可，证明充分性只需结合新定义以及周期性的定义来证明即可； （3）首先得出函数的一般的表达式，进一步画出函数图象，只需通过观察函数图象的交点个数并结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）对于①，，若，、，，则只能， 若，，则， 故函数不具有性质； 对于②，， 若，、，， 由可得， 故， 取，且，则，故， 若，则时， 或，（）， 若，则恒成立， 若，则， 而，故也成立， 综上，， 对于③，， 若， 则对任意的非零整数总有， 若存在， 也满足恒成立， 取，则， ， ， 故不存在非整数，使得具有性质， 综上，. （2）若定义域为的函数具有性质， 则当且仅当使得当（、且）时，都有； 若为偶函数，因为为偶函数，故， 当时，则有，故， 故，故为周期函数，且周期为. 取，，则时，总有， 当为奇函数， 综上，“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”； （3）由题意当且时，若，则只能， 又函数具有性质且（事实上根据新定义可知，函数具有性质且）， 从而， 又，所以，从而在上的图象关于直线对称， 当且时，若，则只能， 因为函数具有性质且， 所以，而，从而在上的图象关于直线对称， 当时，此时的图象关于直线对称； 当时，此时的图象关于直线对称； 依次类推可得的图象在时关于直线对称， 当时，， 依次类推当时，， 因为当时，，所以当时，， ……， 所以当时，， 由此可画出函数的图象，如下图所示： 显然当时，方程有无数多个解，故不符合题意， 当时，的图象与反比例函数的图象在第二象限的一支会有无数多个交点，故不符合题意， 现在我们来看的情形，此时方程的根只能是正根， 当时，结合二次函数性质可知，方程的根的情况如下： （i）当时，方程有2个根； （ii）当时，方程有1个根； （iii）当时，方程有0个根； 若方程恰有4个解， （i）当时，若方程上有2个根， 则需满足，但这不可能成立； （ii）当时，若方程上有3个根， 则需满足，但这不可能成立； （iii）当时，若方程上有4个根， 则需满足，解得； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为. 地 城 考点05 利用正弦函数的对称性求参数 一、单选题 35．(24-25高一下·辽宁沈阳二十中学·)设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 二、填空题 36．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【答案】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 37．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得. 【详解】由解析式，函数的大致图象如下， 由图，要使，则，且， 令，可得，令，可得， 所以，故. 故答案为： 38．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数对称性定义得出函数关于直线对称，再结合方程在上有奇数个不同的实数解得出即可求参. 【详解】， 得关于直线对称， 而原方程有奇数个实数解，由对称性必为原方程的一个实数解， 从而， 故答案为: 39．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【答案】 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案为： 40．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 41．(24-25高一下·上海延安中学·期中)直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【答案】2 【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可. 【详解】由正弦函数性质得的周期为， 如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为、、， 则，因为，所以， 解得，令，解得， 由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为， 则， 而的纵坐标为，代入解析式中得到， . 故答案为： 地 城 考点06 余弦函数的图象与性质 一、单选题 42．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 43．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)下列命题中不正确的是（    ） A．在中，若，则三角形为钝角三角形 B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C．若且，则 D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 【答案】C 【分析】由正余弦定理可判断A，由弧长公式可判断B，由余弦函数图象性质可判断C，由旋转公式可判断D. 【详解】对A，，则， 令， ，由余弦定理得最大角为钝角，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，则，故C错误； 对D，设点在角的终边上，且，则，， 点在角的终边上，且， 于是点的坐标满足：，， 所以，故D正确. 故选：C. 44．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 45．(24-25高一下·上海光明中学·期中)函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 【答案】1 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 46．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 47．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 48．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数是________函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 50．(24-25高一下·上海中学·期中)定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可. 【详解】由已知可得， 即， 因为，所以， 则， 因，当且仅当时等号成立， 此时，故. 故答案为：. 51．(24-25高一下·上海大同中学·期中)设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 【答案】 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 52．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 54．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______． 【答案】（3）（4） 【分析】化简函数后作出函数在一个周期内的图象，根据函数图象求出函数的值域和周期判断（1）（2），结合函数图象及周期性判断（3），根据诱导公式和同角三角函数基本关系，分段化简求值即可判断（4）. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 即，所以， 综上，，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，故（1）不正确； 该函数是以为最小正周期的周期函数，故（2）不正确； 该周期内的区间为， 故恒有，故（3）正确； 当时， 当时， 当时， ； 综上，任意恒成立，故（4）正确． 故答案为：（3）（4） 55．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______. 【答案】/ 【分析】利用奇函数的性质及周期性有，再应用解析式即可求值. 【详解】由题设. 故答案为： 56．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 57．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的单调增区间为_______． 【答案】 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 58．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设，若，则的最大值等于__________． 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的有界性求出的所有值，进而求出比值的最大值. 【详解】由，得，则，同理， 于是，而， 因此，解得， 又，则， 要最大，则同号，且最小，最大， 所以当时，取得最大值6. 故答案为：6 三、解答题 59．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 【答案】(1)是“函数” (2) (3)是，，， 【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可； （2）根据函数新定义结合正弦函数余弦函数值域计算求解； （3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参. 【详解】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立， 即，即对任意的实数恒成立， 则， 解得， 所以是“函数” （2）因为函数是“函数”，所以， 由于当，， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 则， 所以当，， 令，则， 所以或，即或， 因为，所以 故在上的解为. （3）由题可得：， 则，其中，且， 由于，可化为， 即 由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有： 解得：， 由，解得： 所以函数为“函数，其中，，. 60．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）, 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $