第二十五章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十五章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于函数的描述错误的是（　　） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与直线平行 C．函数图象在y轴上的截距是1 D．函数值y随着自变量x的增大而增大 4．正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致应为（    ） A． B． C． D． 5．小甬，小真两人的跑步路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系如图所示，已知小甬的跑步速度比小真快，则下列说法正确的是（　　） A．小甬每分钟跑200米．小真每分钟跑100米 B．小甬每跑100米时，小真只能跑60米 C．相遇时，小甬、小真两人都跑了500米 D．经过4分钟时，小甬、小真两人都跑800米 6．一次函数：和有下列结论： ①当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为3，则； ②当时，函数与函数的图象有两个交点，则； ③当时，图象上有两点（a，b）、（c，d），则； ④直线交于点P（25，10），则方程的解为x=25； 其中正确的结论序号为（　　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知y是x的一次函数，则函数的图象在y轴上的截距为______． 8．若y与x成正比例，且当x＝3时，y＝6，则y与x之间的函数关系式为 __． 9．函数是正比例函数，则的值为________． 10．函数，则________． 11．如果直线l与直线平行，且直线l在y轴上的截距为，那么直线l的表达式是___________． 12．如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是________． 13．求直线与两坐标轴所围成图形的面积是________________ 14．如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是______． 15．已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将_______． 16．某直线过点、B，则该直线解析式为__________________ 17．平面直角坐标系，若坐标原点到直线y＝kx﹣2（k≠0）的距离等于，则k的值等于__． 18．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为_________． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示： x（公里） 80 120 180 200 … y（元） 200 300 450 500 … (1)写出y（元）关于x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (2)由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (3)如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？ 20．若正比例函数的图象经过点．    (1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象； (2)点B的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标． 21．甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地，快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地，两车之间的距离（单位：）与慢车的行驶时间（单位：）之间的部分函数图象如图所示，请结合图象解决下面问题：      (1)慢车的速度为________； (2)求线段表示的与之间的函数表达式； (3)请根据题意补全图象． 22．我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图． 分类 用水量 单价（元/） 第1级 不超过300 第2级 超过300不超过480的部分 第3级 超过480的部分 根据图表信息，解答下列问题： (1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式． (2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量． 23．如图，已知：在中，，，，D是边上的一个动点，，垂足为E，点F在上，且，作，交线段于点P，交线段的延长线交于点G． (1)求证：； (2)设，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)若点P到的距离等于线段的长，求线段的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 25．如图，点，为平面直角坐标系中的两点，其中、满足，点在第一象限内，且满足，． (1)求点的坐标； (2)如图，作直线关于轴的对称直线，在直线上找一点不同于点的点，使得的面积为，求：点的坐标； (3)在（2）的条件下，当点在轴右侧时，在直线上是否可找一点，轴上找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的一般形式为，其中，的次数是1，为任意实数． 【详解】解：A、中，的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； B、，是一次函数，符合题意； C、中，的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； D、，的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； 故选：B 3．下列关于函数的描述错误的是（　　） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与直线平行 C．函数图象在y轴上的截距是1 D．函数值y随着自变量x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故本选项的描述正确； B、函数的图象与直线平行．故本选项的描述正确； C、令，则，则函数图象在y轴上的截距是．故本选项的描述错误； D、函数值y随着自变量x的增大而增大．故本选项的描述正确． 故选：C 4．正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图像，可先根据一次函数的图像判断的符号，再判断正比例图象与实际是否相符，判断正误．解题的关键是掌握一次函数图像与系数的关系：，的图像经过一、二、三象限；，的图像经过一、三、四象限；，的图像经过一、二、四象限；，的图像经过二、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数为， ∴随的增大而增大， 故选项C不合题意； A．由一次函数的图像可得，正比例函数图像可得，故此选项符合题意； B．由一次函数的图像可得，而正比例函数图像可得，故此选项不符合题意； D．该选项中的两个函数图像都是一次函数的图像，与条件不符，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．小甬，小真两人的跑步路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系如图所示，已知小甬的跑步速度比小真快，则下列说法正确的是（　　） A．小甬每分钟跑200米．小真每分钟跑100米 B．小甬每跑100米时，小真只能跑60米 C．相遇时，小甬、小真两人都跑了500米 D．经过4分钟时，小甬、小真两人都跑800米 【答案】B 【分析】根据题意结合图象可知小甬的图象经过原点，运用待定系数法分别求出两人的跑步路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可． 【详解】解：∵小甬的跑步速度比小真快， ∴小甬的图象经过原点， 设小真跑步路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系式为y＝kx+200，则800＝4k+200，解得k＝150， ∴小真跑步路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系式为y＝150x+200， 150×2+200＝500， ∴小甬的图象经过（2，500）， ∴小甬路程y（米）和跑步时间x（分）之间的关系式为y＝250x， ∴小甬的速度为500÷2=250(米/分) 小真的速度为（800-200）÷4=150(米/分) ∴小甬的速度：小真的速度＝250：150， 故选项A错误； 设小甬跑100米,小真跑 a 米,则250:150=100∶a 解得:a=60, ∴小甬每跑100米时，小真只能跑60米,故选项B正确, 由图知,相遇时小真跑了500-200=300(米),故选项C错误 由图知,经过4分钟,小真跑了800-200=600(米),故选项D错误 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数的应用,涉及的知识有:待定系数法求一次函数解析式,一次函数的性质,读懂图形中的数据是解本题的关键. 6．一次函数：和有下列结论： ①当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为3，则； ②当时，函数与函数的图象有两个交点，则； ③当时，图象上有两点（a，b）、（c，d），则； ④直线交于点P（25，10），则方程的解为x=25； 其中正确的结论序号为（　　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】（1）根据三角形面积公式得到，再解方程即可得到的b1值； （2）由函数y=|x﹣2|可知函数的最低点为（2，0），把（2，0）代入求得，直线与平行时，．进而求出k2的取值范围． （3）当时，解析式为，把（a，b）、（c、d）两点代入解析式整理可得：，进而可以求出（a﹣b）（c﹣d）． （4）根据函数交点与方程组的关系可知，两函数交点为P（25，10），则该点对应的x=25，y=10为方程组的解，进而可以得出结论． 【详解】解：①当时，则一次函数为， 则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y的坐标为（0，）， 因为一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为3， 所以，解得， 故①不正确； ②当时，则一次函数为， ∵y=|x﹣2|≥0， ∴函数y=|x﹣2|的最低点为（2，0）， 把（2，0）代入得，， 解得：． 当直线与平行时，， 故当时，图象与函数y=|x﹣2|的图象有两个交点，则且． 故②不正确； ③当时，解析式为， ∵（a，b）、（c、d）在图象上， 把（a，b）、（c、d）两点代入解析式整理可得：， ∴， ∴， 故③正确； ④根据函数交点与方程组的关系可知，两函数交点为P（25，10），（） 则该点对应的为方程组的解， 方程组，①﹣②得：， ∴x=25是的解． 故④正确． 正确的是③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，交点问题，以及方程组的相关问题．解题的关键是结合图象，利用定义对各个问题进行解答．解面积问题的时候要注意分类讨论，结果可能不唯一．解交点问题时，要注意结合函数图象来分析，还要注意本题要求是一次函数，所以一次项系数不为0． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知y是x的一次函数，则函数的图象在y轴上的截距为______． 【答案】-1 【分析】令x=0，代入解析式，即可求得． 【详解】解：令中，x=0，则， ∴函数的图象在y轴上的截距为-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一次函数与y轴的交点问题，根据与y轴的交点的横坐标为零是解决此类题的关键． 8．若y与x成正比例，且当x＝3时，y＝6，则y与x之间的函数关系式为 __． 【答案】 【分析】首先设y＝kx，再代入x＝3，y＝6可得k的值，进而可得函数解析式． 【详解】解：设y＝kx， ∵当x＝3时，y＝6， ∴6＝3k， 解得：k＝2， ∴y＝2x， 故答案为：y＝2x． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如y＝kx（k≠0）的形式是正比例函数． 9．函数是正比例函数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，函数解析式中常数项必须为零即可解答． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为： 10．函数，则________． 【答案】 【分析】本题考查了求解函数的解析式以及求解函数值，先由，求出值，再把代入计算化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 那么 故答案为： 11．如果直线l与直线平行，且直线l在y轴上的截距为，那么直线l的表达式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像平移的问题，根据直线l与直线平行，所以得到两个函数的k值相同，再根据截距是，可得，即可求解. 【详解】解：∵直线l与直线平行， ∴设直线l的解析式为：， ∵在y轴上的截距是， ∴， ∴直线l的表达式为：． 故答案为：． 12．如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 13．求直线与两坐标轴所围成图形的面积是________________ 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，分别求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：当时，；令，则，解得， ∴与x轴、y轴的交点坐标为，， ∴三角形的面积为， 故答案为：． 14．如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键．根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将_______． 【答案】增加 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量的变化，先利用待定系数法求出一次函数解析式为，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：把、代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， ∴， ∴当y的值增加1时，x的值将增加， 故答案为：增加． 16．某直线过点、B，则该直线解析式为__________________ 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．将点A、B的坐标分别代入直线方程列出关于m、n的二元一次方程组，通过解该方程组即可求得m、n的值． 【详解】解：设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 17．平面直角坐标系，若坐标原点到直线y＝kx﹣2（k≠0）的距离等于，则k的值等于__． 【答案】 【分析】利用一次函数图像上点的坐标特征可分别求出直线与x，y轴的交点坐标，由两交点的坐标，利用勾股定理求出两点间的距离，再利用面积法即可找出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当x＝0时，y＝kx﹣2＝﹣2， ∴直线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）； 当y＝0时，kx﹣2＝0，解得：x， ∴直线与x轴的交点坐标为（，0）． ∴两交点间的距离， ∴2， 整理，得：3k2＝1， 解得：k＝±， 经检验，k＝±是原方程的解，且符合题意． 故答案为：±． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法，找出关于k的方程是解题的关键． 18．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示： x（公里） 80 120 180 200 … y（元） 200 300 450 500 … (1)写出y（元）关于x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (2)由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (3)如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？ 【答案】(1)yA＝2.5x (2)yB＝200+0.9x (3)选择B运输队 【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以yA＝2.5x； （2）根据题意得：yB＝200+0.9x； （3）当x＝500时，yA＝2.5×500＝1250，yB＝2000+0.9×500＝2450，因为yA＞yB，所以选择B运输队． 【详解】（1）解：根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元， ∴每公里收费为2.5元， ∴yA＝2.5x． 故答案为：yA＝2.5x； （2）解：根据题意得：yB＝200+0.9x． 故答案为：yB＝200+0.9x； （3）解：当x＝500时，yA＝2.5×500＝1250，yB＝200+0.9×500＝650， ∴yA＞yB， ∴选择B运输队． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式． 20．若正比例函数的图象经过点．    (1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象； (2)点B的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标． 【答案】(1)，图象见解析 (2)或 【分析】（1）将点A代入函数解析式，求出k值，可得解析式，再根据正比例函数的特征画图即可； （2）设，分点P在点A右侧，点P在点A左侧两种情况，根据点的坐标和三角形面积公式列出方程，求出a值即可得解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴， 画图如下：    （2）由题意可设：， 当点P在点A右侧时， ， 解得：； 此时； 当点P在点A左侧时， 解得：； 此时； 综上：点P的坐标为或．    【点睛】本题考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形面积的计算方法，分情况讨论问题． 21．甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地，快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地，两车之间的距离（单位：）与慢车的行驶时间（单位：）之间的部分函数图象如图所示，请结合图象解决下面问题：      (1)慢车的速度为________； (2)求线段表示的与之间的函数表达式； (3)请根据题意补全图象． 【答案】(1)0.5 (2) (3)补全图象见解析 【分析】（1）根据速度=路程÷时间解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别求出快车追上慢车时的时间，快车到达乙地的时间和两车距离，慢车到达乙地的时间即可补全图象． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.5； （2）解：设线段表示的与之间的函数表达式为， 则， 解得：， ∴线段表示的与之间的函数表达式为； （3）解：， 设快车在tmin追上慢车， 则 解得：， ∴； 设快车在amin到达乙地， 则， ∴此时， ∴； 设慢车在bmin到达乙地， 则， ∴； 故补全图象如图，   ． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握路程、速度与时间之间的关系，根据函数图象得出解题所需要的信息是关键． 22．我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图． 分类 用水量 单价（元/） 第1级 不超过300 第2级 超过300不超过480的部分 第3级 超过480的部分 根据图表信息，解答下列问题： (1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式． (2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据函数图象即可求出a的值，进而求出k的值，再求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）先推出，进而根据共缴水费元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图表可知：， ∴； ∴当用水量为时，每年应缴水费为元 ∴ 设，把，代入，得 ， 解得 ∴线段的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． ∴2023年小南家用水量为． 23．如图，已知：在中，，，，D是边上的一个动点，，垂足为E，点F在上，且，作，交线段于点P，交线段的延长线交于点G． (1)求证：； (2)设，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)若点P到的距离等于线段的长，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）求得，再求得，利用等腰三角形的性质求得，即可证明； （2）利用直角三角形的性质求得，，再证明是等边三角形，由，列式即可求解； （3）判断点在的平分线上，由等腰三角形的性质得到点为的中点，再列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ； （2）解： ． ， ． ， 是等边三角形， ，即， ； （3）解：若点到的距离等于线段的长， ∴点在的平分线上， 由（2）得是等边三角形， ∴点为的中点， ，即， 解得：， 即线段的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，如图所示，过点作轴于点，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 25．如图，点，为平面直角坐标系中的两点，其中、满足，点在第一象限内，且满足，． (1)求点的坐标； (2)如图，作直线关于轴的对称直线，在直线上找一点不同于点的点，使得的面积为，求：点的坐标； (3)在（2）的条件下，当点在轴右侧时，在直线上是否可找一点，轴上找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)存在，点或 【分析】（1）根据非负数的性质解得的值，进而确定点坐标，过点作轴于，证明，结合全等三角形的性质可得，，易知，即可获得答案； （2）首先根据轴对称的性质可得，利用待定系数法解得直线的解析式，设点，然后分点在点的上方、点在线段上、点在的下方三种情况，分别求解即可； （3）首先确定直线解析式为，可设点，点，分为边和为对角线多种情况，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 即， ∴， ∴， ，， 点，点， ，， 过点作轴于，如下图， 又∵， ， ， ， 又， ， ，， ， 点； （2）解：作直线关于轴的对称直线， 点， ∴， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设点， 如图，当点在点的上方时， ， ， 解得， 点； 当点在线段上时， ， 点不在线段上； 当点在的下方时，如图所示， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为或； （3）解：当点在轴右侧， 点， 点，点， 设直线解析式为，将点代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 设点，点， 当为边时， 若四边形是平行四边形， 与互相平分， ， ， 点； 若四边形是平行四边形， 与互相平分， ， ， 点； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ， ， 点； 综上所述：点或． 【点睛】本题综合性强，有一定难度，分情况讨论是解题关键，避免遗漏． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $