第5单元 分数的意义和性质 A卷 母子题培优专项卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年四年级数学下册同步单元卷（冀教版2012）

培优100分数学四年级下册JJ版 【答案见P61】 第五单元分数的意义和性质 A卷母子题培优专项卷 拍照批改+错题本 本单元分数的意义和性质在小学数学试卷占22分左右，常考考点中，用抓不变量法解决分子 和分母同时加（或减）同一个数的问题、运用画图法解决单位“1”的变换问题、解决重叠问题等是试 卷中的重难点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓重难失分点，是期末冲满分、进阶培 麻 优的关键。请同学们先做母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子题。加油吧！ ≈重难点1用抓不变量法解决分子和分母同时加（或减）同一个数的问题 母题 分 的分子、分母同时加上同一个数，约分 弥 后得 加上的这个数是( 母题视频讲解 封 “培优攻略 内 子题1 的分子和分母同时减去同一个数后得到一个新 分数的分子、分母同时减 要答 去一个相同的数后，虽然 分数，新分数约分后得，减去的数是( 分数的分子、分母发生了 变化，分数的大小也发生 命 子题2一个分数的分子加上1，这个分数就等于 分 了变化，但分子和分母的 。原分数是( 差是不变的，所以可以从 减去1，这个分数就等于 )。 这个不变量入手解决问题。 ≈重难点2运用画图法解决单位“1”的变换问题 母题 妈妈买来一箱苹果，她把这箱苹果的2送给了 奶奶，把剩下苹果的2送给了隔壁的张阿姨。送给谁的 母题视频讲解 苹果多？为什么？ “培优攻略 解决这类问题的关键是 找准每一部分对应的单 位“1”，单位“1”不同，相同 子题1妈妈买来一个蛋糕，晓晓第一次吃了这个蛋糕 分数对应的具体数量也 的第二次又吃了下蛋糕的。路晓两次吃的蛋楫 不同。 样多吗？为什么？ 子题2小丽看一本书，第一天看了全书的2，第二天看 了利下的2，第三天看了第二天剩下的分，还剩12页没 有看。这本书共有多少页？ 之重难点3解决重叠问题 母题如图，两个正方形有一部分重叠了，重叠部分占 大正方形的2，占小正方形的号。已知小正方形的面积 母题视频讲解 一培优小贴士” 是54平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？ 本题可以先求出重叠部 分的面积，再求大正方 形的面积。 子题1如图所示，一个长方形和一个正方形重叠部分 的面积占长方形的。，占正方形的是。已知重叠部分的 面积是13平方厘米，求组合图形的面积。 子题2如图，两个三角形重叠部分的面积占大三角形 “培优小贴士 的月，占小三角形的，若重叠部分的面积是5平方厘 根据重叠部分的面积先 求出两个三角形的面积 米，则不重叠部分的面积是多少平方厘米？ 分别是多少，再求不重叠 部分的面积。 培优100分数学四年级下册J刀版 23 ≈重难点4运用推理法解决复杂的分数问题 母题一个分数，分子与分母的和是30，分子增加8 后，分数值就等于1。原分数是多少？ 母题视频讲解 一培优攻略 解决此题可以运用推理 法，从分子与分母相等这 子题1一个分数的分子与分母的和是16，且分母减少4 一数量关系入手，求出原 分数。 后，这个分数值等于1。你知道原分数是多少吗？ 子题 2一个与相等的分数，如果分子加3，分数值是1。 培优小贴士 求这个分数是多少。 与相等的分效，分母是 分子的2倍。 ≈重难点5运用转化法解决有关最大公因数的实际问题 母题把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给几个小 朋友，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。最多有多少个小 母题视频讲解 朋友？ “培优攻略 解答此类题时，一般先将 剩余的数减去，把不能平 均分的问题转化成能平 均分的问题（即转化为求 子题1把33支钢笔和38本笔记本分别平均分给一些 两个数的最大公因数的 学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出1支，笔记本还缺 实际问题)来思考。 2本。求最多有多少名成绩优秀的学生。 24 培优100分数学四年级下册J刀版 子题2张老师给全班同学带来一些糖果。若把110块 糖果平均分给全班同学，则多5块；若把210块糖果平均 分给全班同学，则正好分完；若把240块糖果平均分给全 班同学，则少5块。张老师的班级最多有多少名同学？ 弥 ≈重难点6运用最大公因数解决植树问题 封 母题为了迎接省运会，工作人员要在某大道的一边 等距离安装路灯，而且要在A、B、C三个点上各安装一盏 母题视频讲解 路灯，如图所示，则相邻两盏路灯之间的最大距离是多 “培优攻略 线 少米？此时需要安装多少盏路灯？ 类似植树问题中两端都 栽的情况，盏数=间隔数 A 640m 720mB +1。求两盏灯之间的最 大距离就是求最大公因 数是多少。 子题1某公园有一个三角形喷水池（如图），为了迎接 国庆节，设计师想在喷水池的三条边上等距离地插红旗 不 (三个顶点必须各插一面)，至少应该准备多少面红旗？ 48 dm 72 dm 要 B >C 56 dm 子题2一条路由甲村经乙村到丙村，甲、乙两村相距 450米，乙、丙两村相距630米。现在准备在道路一旁栽 答 树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在甲、乙两村 中点和乙、丙两村中点都要栽树。那么相邻两棵树之间 的距离最大是多少米？ 题2.大正方形的边长是8分米，小正方形的边 125×32×15 长是2分米。 =125×8×4×15 (8+2)÷2=5(分米) =(125×8)×(4×15) 5-2=3(分米) =1000×60 答：长方形的长是5分米，宽是3分米。 =60000 【解析】根据大正方形和小正方形的面积 24×186+12×28 可以求出大正方形和小正方形的边长，由 =24×186+24×14 =24×(186+14) 图可知，大正方形的边长=长方形的长十 =24×200 长方形的宽；小正方形的边长=长方形的 =4800 长一长方形的宽，所以长方形的长=（大 四、1 正方形的边长十小正方形的边长)÷2，进 而求出长方形的宽。 前面 左面 上面 期中检测B卷培优验收综合卷（二） 2.（1)(2)如下图所示。 -、1.a+43a+6 2.160350056000 3.2(x+y)y24y (画法不唯一) 4.4090 五、1.198≈200 5.70405555锐角 200×25=5000(元) 6.277.486 198×25<5000够 8.609.75 答：用5000元买门票，够。 10.56【解析】平行四边形的周长是22 2.40×6×125=30000(元) 厘米，相当于等腰三角形的两条腰长和 答：6个年级购买这些服装需要30000元。 四条底边长之和，因为等腰三角形的周 3.方法一：156×12+144×12=3600（张） 长是13厘米，即两条腰长和一条底边长 方法二：(156+144)×12=3600（张） 之和是13厘米，22一13=9（厘米），所以 答：这两个年级一共需要清除3600张广告 底边长是9÷(4一1)=3（厘米），腰长是 贴纸。 (13一3)÷2=5（厘米），所以这个平行四 4.179×80=14320(元) 80-60=20(套) 边形的两条相邻边分别长5厘米和3×2 249×60=14940(元) =6(厘米)。 149×20=2980(元) 二、1.C2.C3.D4.C5.B 14940+2980=17920(元) 三、1.28008400100005500 14320<17920赚了 2a 4n2 3b m2 17920-14320=3600(元) 2.12650305405684220800 答：赚了，赚了3600元。 3.102×35 附加题 =(100+2)×35 1.(1)32(2)41 =100×35+2×35 【解析】(1)15千克物品的费用是33元，因 =3500+70 为15<16，所以b=33一30=3，因为18千 =3570 克物品的费用是37元，除去基础费和保 险费的33元外，还付了37-33=4（元）， 子题15 超出部分是18-16=2（千克），所以c= 子题2 41 4÷2=2。(2)20千克的物品需要支付超重 16 费2×(20-16)=8（元），一共需要支付 重难点2 33+8=41(元)。 母题 送给奶奶的苹果多。因为送给奶奶的是 2.上午7时到上午9时经过了2小时 ①上午9时若两车还未相遇： 整箱苹果的，送给张阿姨的是半箱苹 (110+90)×2=400(千米) 400+50=450(千米) 府头 【解析】 ②上午9时若两车已经相遇： (110+90)×2=400(千米) 整箱苹果的 2 单位“1”是整箱苹果。 400-50=350(千米) 单位“1”是送给奶奶后 答：甲、乙两地相距450千米或350千米。 剩下苹果的 2 剩下的半箱苹果。 【解析】要注意考虑两种情况，一种情况是 用长方形表示整箱苹果，送给奶奶和张阿姨的苹 两车还未相遇，此时两车行驶的路程和十 果如图所示： 50千米=甲、乙两地距离；另一种情况是 两车已经相遇，此时两车行驶的路程和 整箱苹果的 剩下苹果的 2 50千米=甲、乙两地距离。根据关系式求 奶奶 张阿姨 解即可。 剩下的苹果 第五单元 A卷母子题培优专项卷 根据示意图解答即可。 子题1晓晓两次吃的蛋糕不一样多。因为第一 ≈重难点1 母题 次吃的是整个蛋糕的，第二次吃的是 【解析】 剩下蛋糕的，单位“1”不同。 找出题中的不变量一分数中分母与分子的差。 分子、分母同时加上一个相同的数后，它们 子题212×2×2×2=96（页） 的差不变。原分数中分母与分子的差为 答：这本书共有96页。 11一5=6，约分后的分数中分母与分子的 【解析】用大长方形表示这本书的总页数，如图： 差为2-1=1。 第二天 第一天 观察图形可知， 根据不变量推算约分前的分数。 第三天12页 约分前分数的分母与分子的差是约分后分 第二天看完后剩下的页数是12×2=24（页）；第 数的分母与分子的差的(6÷1)倍。根据分 一天看完后剩下的页数是24×2=48（页）；这本 数的基本性质，起号的分子和分母同时乘6 书的总页数是48×2=96（页）。 得到1×6、6 三重难点3 2×612 母题54÷3=18（平方厘米） 求出分子、分母同时加上的数。 18×12=216(平方厘米) 6-5=1或12-11=1 答：大正方形的面积是216平方厘米。 培优100分数学四年级下册J刀版 61 【解析】根据题意可知，如果把小正方形平均分 母相等。如图：原分母 原分子礼 8 30,该问题可 成3份，那么重叠部分占其中的1份，重叠部分 的面积=小正方形面积÷3，小正方形面积是54 转化为和差问题，原分母=（和十差)÷2= 平方厘米，由此可以计算出重叠部分的面积；重 (30十8)÷2=19，再用减法求出分子即可。 叠部分占大正方形的2则大正方形的面积= 子题1原分子：(16一4)÷2=6 原分母：16-6=10 重叠部分面积×12，从而可计算出大正方形的 面积。 答：原分数是0 子题113×6=78（平方厘米） 子题2分子：3÷(2-1)=3 13×4=52(平方厘米) 分母：3+3=6 78+52-13=117(平方厘米) 答：这个分数是 答：组合图形的面积是117平方厘米。 【解析】根据“分子加3，分数值是1”可知，分 【解析】因为重叠年分的面积占长方形的后所 母一分子=3：根据“这个分数与相等”可知， 以重叠部分的面积X6=长方形的面积；因为重 分母是分子的2倍，该问题可转化为差倍问题， 叠部分的面积占正方形的寻，所以重叠部分的面 所以分子=3÷(2一1)=3，分母为3+3=6（或 积×4=正方形的面积。组合图形的面积=长 3×2=6)。 方形的面积十正方形的面积一重叠部分的 ≈重难点5 面积。 母题46-1=45（块）38-3=35（块） 子题25×7=35（平方厘米） 45的因数有：1,3,5,9,15,45 5×4=20(平方厘米) 35的因数有：1,5,7,35 35+20=55(平方厘米) 所以45和35的最大公因数是5，即最多 55-5×2=45(平方厘米) 有5个小朋友。 答：不重叠部分的面积是45平方厘米。 答：最多有5个小朋友。 【解析】 【解析】因为重叠部分的面积占大三角形的7 46块水果糖平均分给 38块巧克力平均分给 所以重叠部分的面积X7=大三角形的面积；因 小朋友后，剩1块。 小朋友后，剩3块。 为重叠部分的面积占小三角形的，所以重叠部 45块水果糖正好平均 35块巧克力正好平均 分的面积×4=小三角形的面积。不重叠部分 分完。 分完。 的面积=大三角形的面积十小三角形的面积 重叠部分的面积×2。 求小朋友最多有多少个，就是求45和35 重难点4 的最大公因数是多少。 母题原分母：(30+8)÷2=19 子题133-1=32（支）38+2=40（本） 原分子：19-8=11（或30-19=11） 32的因数有：1,2,4,8,16,32 答：原分数是 40的因数有：1,2,4,5,8,10,20,40 19° 所以32和40的最大公因数是8，即最多 【解析】原分数的分子与分母的和是30，且分子 有8名成绩优秀的学生。 增加8后，分数值就等于1，也就是此时分子与分 答：最多有8名成绩优秀的学生。 62 培优100分数学四年级下册J刀版 子题2110-5=105（块）240+5=245（块） “红旗的面数=三条边的总长度÷每相邻两面红 105=3×5×7210=2×3×5×7 旗之间的距离”求解即可。 245=5×7×7 子题2450÷2=225（米）630÷2=315（米） 105、210和245的最大公因数是5×7=35， 225和315的最大公因数是45 所以张老师的班级最多有35名同学。 答：相邻两棵树之间的距离最大是45米。 答：张老师的班级最多有35名同学。 【解析】将多余的糖果减去，缺少的糖果加上，使 第五单元 B卷培优验收综合卷 其转化成能平均分的问题，再求3个数的最大公 -、1.6252120 因数即可，如下表： 2.>< 31 9 3 4. 9 原题目 转化后的题目 4 20 25 28 若把110块糖果平均 105块糖果正好能 5.4 1 分给全班同学，则多5块。 平均分给全班同学。 4 63% 3 已知 条件 210块糖果正好能平均分给全班同学。 27 8.12 9.200 若把240块糖果平均分 245块糖果正好能 3 给全班同学，则少5块。 平均分给全班同学。 10.13 21 【解析】分母减少8，则分子与分母 所求 张老师的班级最多有 105、210和245的最 问题 多少名同学？ 大公因数是多少？ 的和也减少8，变为34一8=26，此时分数 值等于1，即分子与分母相等。所以原分 三重难点6 子=26÷2=13，原分母=13+8=21。 母题 720和640的最大公因数是80 二、1.B (720+640)÷80=17(盏) 2.C【解析】分数的分子和分母同时乘或 17+1=18(盏) 除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。 答：相邻两盏路灯之间的最大距离是80 米，此时需要安装18盏路灯。 8的分母加上16，变成了8+16=24，相当 【解析】 于分母乘3，要使分数大小不变，分子也要 相邻两盏路 求出720和640的最 乘3或加上5×3-5=10。 灯之间的最 大公因数，即两盏路 求出一 3.B4.A5.D6.C 大距离 灯之间的最大距离。 共需要 三、1.1 261071062 安装的 317131211715 运用两端都栽的植树问题的求法： 盏数 盏数=路长÷每个间隔的距离十1。 2.4=,5-日1<3，所以4<5 328’40888 3240 子题148、56和72的最大公因数是8 20_-59=3 6416’4816 448 (48+56+72)÷8=22(面) 8-19=11>1 答：至少应该准备22面红旗。 162'273 2>3所以8、9 1627 【解析】要想在三条边上等距离地插红旗（三个 3. 13_2+4 1+5+5 顶，点必须各插一面)，每相邻两面红旗之间的距 151515 121212 离应该是48、56和72的公因数。要使插的红旗 = 面数最少，每相邻两面红旗之间的距离就应该最 1 大，也就是48、56和72的最大公因数8。根据 =1 Γ12