专题02 分数的意义和性质（专项训练）四升五数学暑假专项提升（冀教版）

**基本信息** 以分数意义为核心，通过“概念-性质-应用”逻辑链系统梳理，结合生活情境题实现方法迁移与素养落地。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|7大知识点|分数比较大小法则、分数与除法关系、短除法求最大公因数、约分步骤|从具体平均分到抽象分数意义，经分数基本性质推导，延伸至加减法与实际应用| |综合提升练|6类题型（填空/选择/判断/计算/作图/解答）|“部分占整体用除法”“最大公因数解决分割问题”|生活情境题（春联/粽子/跑步）承载分数意义理解与运算能力，体现数学眼光与应用意识|

四年级下册数学暑假专项提升 专题二 分数的意义和性质 【知识点梳理】 一、平均分一组物品 1、一个物体或一些物体都可以看作一个整体，用“1”描述。 2、把一个物品、一个图形平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示。 3、同一个整体，平均分成的份数不同，每份对应的物品的个数也不同。 4、把一组物品平均分成若干份，其中的1份或几份也可以用分数表示。 5、把一组物品平均分成几份，其中的1份就可以用几分之一表示，其中的几份就可以用几分之几表示。每份的数量=一组物品的数量÷平均分成的份数。 6、当被平均分的“整体”不同时，分数所代表的具体数量也不同，因此，当“一个整体”代表的具体数量不确定时，不能根据分数的大小比较具体数量的大小。 二、分数的意义 1、分数可以表示整体的几分之几，还可以表示具体的量。 2、单位“1”的意义：一个物体、一些物体都可以看作一个整体，用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。 3、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 4、把单位“1”平均分成几份，分数单位就是几分之一。 5、用分数解决问题时，要找准单位“1”,先确定要把单位“1”平均分成的份数，再确定其中的1份或几份是总量的几分之几。 三、用分数表示整体的一部分、用直线上的点表示分数 1、求部分占整体的几分之几，所求分数就是部分/整体。 2、一个分数的分母是几，表示把单位“1”平均分成了几份，分子是几，表示取了这样的几份。 3、用直线上的点表示分数，体现了数形结合的思想。 四、分数比较大小 比较两个分数的大小，首先要看是分母相同还是分子相同。如果分母相同分子大的分数比较大；如果分子相同，分母小的分数比较大。 五、分数与除法 被除数÷除数=(除数≠0),用字母表示：a÷b=),反过来分数也可以看作两个数相除，分数的分子相当被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 注意：求一个数的是另一个数的几倍和求一个数是另一个数的几分之几，都用除法计算，计算结果都要化为最简分数。 六、分数的基本性质 1.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(零除外)分数的大小不变。 2.分数的基本性质的应用：可以把一个分数化成分母不同而大小相等的分数。也可以把一个分数化成指定分母的分数， 3.约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。 4.最简分数：分子分母是互质数的分数，叫做最简分数， 5、公因数中最大的一个，叫做最大公因数。 6、用短除法找两个数的最大公因数，必须除到两个商只有公因数1为止。例如： 24、36的最大公因数是2×3×2=12 35、80的最大公因数是5 注意：两个数如果存在倍数关系，最大公因数就是较小的那个数。 例：15和30的最大公因数是15,7和21的最大公因数是7。 七、分数加减法 同分母分数相加减：分母不变，只把分子相加减。 【综合提升练】 一、填空题 1．春联作为春节的标志性习俗，春联承载着阖家团圆、辞旧迎新的美好愿望，是维系家族情感、传承年俗文化的重要纽带。回文联是一种用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读。“春传竹苑竹传春”这个回文联中“春”的个数占总字数的。 2．是6个，4个是（    ），2里面有（    ）个。 3．一块蛋糕，姐姐吃了，弟弟吃了，他们一共吃了这块蛋糕的，姐姐比弟弟多吃了这块蛋糕的。 4．＝（    ）÷12＝＝。 5．5吨89千克＝（    ）吨        15分＝时 1500毫升＝（    ）升        平方千米＝72公顷 6．王老师买了一张长120厘米，宽45厘米的长方形软磁贴，要把它分割成若干个同样大小的正方形磁贴且没有剩余，分割成的小正方形边长最大是( )厘米。 7．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 8．五（1）班有男生23人，比女生的人数多5人。那么女生的人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 9．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉的故事，其中女性有3位。108和3的最大公因数是（    ），女性人数是男性的。 10．把4m长的绳子平均分成7段，每段长（    ）m，每段绳子占全长的。 11．一辆汽车15分钟行驶24千米。这辆汽车平均每分钟行驶( )千米；这辆汽车行驶1千米需要( )分钟。 二、选择题 12．把一张纸对折再对折，得到的面积是原来的（    ）。 A． B． C． 13．四（2）班男生人数占全班人数的，女生人数占全班人数的（   ）。 A． B． C． 14．的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加上6 B．加上2 C．扩大到原来的3倍 15．如果a和b都是非零自然数，且a＋1＝b，那么a，b的最大公因数是（    ）。 A．1 B．ab C．a 16．甲、乙两人跑一段相同的路，甲用小时，乙用小时，他们两人的速度相比，（    ）。 A．甲快一些 B．乙快一些 C．一样快 17．两根木条的长度是84厘米和60厘米，把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每小段最长是（    ）厘米。 A．12 B．4 C．14 18．小方和小梅买了两瓶同样的饮料，小方喝了其中一瓶的，小梅喝了其中一瓶的剩下的饮料比较，（    ）。 A．小方剩下的多 B．小梅剩下的多 C．无法确定 19．如图，用一张纸盖住3根纸条的一部分，漏出的部分分别占整根纸条的，和，拿去这张纸后最长的纸条应该是（    ）。 A． B． C． 20．把3米长的彩带平均分成10段，针对每段的长度，说法不正确的是（    ）。 A．1米的 B．1米的 C．3米的 三、判断题 21．分子和分母同时乘5，分数的大小不变。( ) 22．、、都是最简分数。( ) 23．甲数是乙数的，这里把乙数看作单位“1”。( ) 24．把一张正方形纸对折2次，每份占这张正方形纸的。( ) 25．一辆汽车在一段路上行驶了干米和行驶了这段路的是同样长的。( ) 26．2个米是米；把1米平均分成3份，2份的长度也是米。( ) 四、计算题 27．直接写得数。 8÷12＝        15÷20＝                    4÷18＝       24÷36＝                    28．计算。                                                 五、作图题 29．按分数圈一圈。 30．用直线上的点表示下面各分数。              六、解答题 31．“龟兔赛跑”是我们非常熟悉的故事，大意是乌龟和兔子赛跑，开跑不久兔子就超过乌龟很远，于是兔子就在路边睡了一觉，而乌龟一直往目的地奔跑，最终乌龟获得了胜利。如果兔子跑完全程用了12分钟，乌龟跑完全程用了10分钟，那么乌龟所用时间是兔子的几分之几？ 32．有下面的两根木棍，要锯成相等的小段没有剩余，小段的长度尽可能长。一共可以锯成几段？每段长多少？ 33．端午节是我国的传统节日，被列入国家级非物质文化遗产名录。在端午节，红红和奶奶包了45个红枣粽和37个肉粽，并把它们分别分给了几个亲戚，结果红枣粽正好分完，肉粽还剩1个。红红和奶奶把粽子最多平均分给了几个亲戚？ 34．为了解中国人工智能的发展历程，小刚买了《中国人工智能简史：从1979到1993》，第一周看了全书的，第二周看了全书的。两周一共看了这本书的几分之几？还剩下几分之几没看？ 35．为了锻炼自己的身体，亮亮计划每天跑步2千米。早上亮亮跑了整个计划的，下午跑了整个计划的，如果亮亮要完成今天的跑步计划，晚上还需要再跑整个计划的几分之几？ 36．妈妈从超市买了一箱果汁，姐姐和妹妹各拿一瓶。姐姐第一次喝了整瓶果汁的，第二次喝了整瓶果汁的；妹妹第一次喝了整瓶果汁的，第二次喝了剩下的。姐姐和妹妹谁喝的果汁多，你是如何判断的？ 试卷第1页，共3页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】“春传竹苑竹传春”中一共有7个字，其中“春”字有2个，用“春”字的个数除以总字数，即等于“春传竹苑竹传春”这个回文联中“春”的个数占总字数的几分之几。 【详解】2÷7＝ “春传竹苑竹传春”这个回文联中“春”的个数占总字数的。 2．；；12 【分析】把整体平均分成若干份，表示其中1份的数，就是这个分数的分数单位。 求几个分数单位组成的数看有几个几分之一，就是几分之几。 求一个数里有几个分数单位：看这个数里包含多少个“1份”。 【详解】把1个整体平均分成17份，1份就是，所以是6个。 4个就是把1个整体平均分成13份，4份就是。 把1个整体平均分成6份，1份是，所以1里面有6个，那么2里面有，所以2里面有12个。 3．； 【分析】根据题意，姐姐吃了，弟弟吃了，求他们一共吃了这块蛋糕的几分之几，把两个分数相加即可，分母相同，直接将分子相加。姐姐比弟弟多吃了多少，用姐姐吃的减去弟弟吃的，把两个分数相减即可，分母相同，直接将分子相减。 【详解】＋＝ －＝ 一块蛋糕，姐姐吃了，弟弟吃了，他们一共吃了这块蛋糕的，姐姐比弟弟多吃了这块蛋糕的。 4．20；9；27 【分析】第一个空：利用分数的基本性质，分子分母同时乘5； 第二个空：利用分数的基本性质，分子分母同时乘3，再根据分数和除法的关系，分子等于被除数，分母等于除数； 第三个空：利用分数的基本性质，分子分母同时乘9。 【详解】 5．5.089；； 1.5 ； 【分析】1吨＝1000千克，1时＝60分，1升＝1000毫升，1平方千米＝100公顷，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。结果是分数时，先根据分数与除法的关系（分子相当于被除数，分母相当于除数）写成分数形式，再根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此把结果化成最简分数。 【详解】5吨89千克＝5吨＋89千克＝5吨＋（89÷1000）吨＝5.089吨； 15分＝15÷60＝＝＝时； 1500毫升＝1500÷1000＝1.5升； 72公顷＝72÷100＝＝＝平方千米，即平方千米＝72公顷。 综上，5吨89千克＝5.089吨        15分＝时 1500毫升＝1.5升            平方千米＝72公顷 6．15 【分析】已知长方形软磁贴的长是120厘米，宽是45厘米，分割成若干个同样大小的正方形磁贴且没有剩余，求分割成的小正方形边长最大多少厘米，就是在求120和45的最大公因数，先将120和45分别分解质因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】120＝2×2×2×3×5 45＝3×3×5 120和45的最大公因数是：3×5＝15 王老师买了一张长120厘米，宽45厘米的长方形软磁贴，要把它分割成若干个同样大小的正方形磁贴且没有剩余，分割成的小正方形边长最大是15厘米。 7． ＞ ＜ ＞ 【分析】分子相同的分数，比较分母大小，分母大的分数小； 分母相同的分数，比较分子大小，分子大的分数大； 分子分母都不相同的，根据分数的基本性质，将分母换成相同的数再比较分子。 【详解】＞； ＜； ＝＝＜ 所以＞。 8．； 【分析】男生23人，比女生的人数多5人，据此用23－5求出女生的人数，再把男生人数和女生人数相加，就是全班人数；最后用女生的人数÷男生的人数；用男生人数÷全班人数即可。分数与除法的关系：被除数÷除数＝。 【详解】女生人数：23－5＝18（人） 全班人数：23＋18＝41（人） 18÷23＝ 23÷41＝ 9．3； 【分析】若大数是小数的倍数，较小数就是两个数的最大公因数；先算出男性好汉人数，再用女性人数除以男性人数得到对应分数，再化成最简分数。 【详解】108÷3＝36，108是3的倍数，因此108和3的最大公因数是3； 男性人数：108－3＝105（位） 女性人数是男性的：3÷105＝ 10．； 【分析】前一个空是求每段的具体长度，后一个空是求每段占全长的分率。每段长度＝总长度÷段数；将这根绳子全长看作单位“1”，1÷平均分成的段数，即为每段占全长的分率。 【详解】4÷7＝（m） 1÷7＝ 把4m长的绳子平均分成7段，每段长（）m，每段绳子占全长的。 11． 【分析】根据题意，15分钟行驶24千米，根据路程＝速度×时间，即速度＝路程÷时间，即用24÷15，在这里也就是24被平均分成15份，一份是多少，也可以表示为＝千米/分钟，那么根据时间＝路程÷速度，即1千米需要1÷＝分钟 【详解】24÷15＝＝（千米/分钟） 1÷＝（分钟） 即一辆汽车15分钟行驶24千米。这辆汽车平均每分钟行驶（）千米；这辆汽车行驶1千米需要（）分钟。 12．C 【分析】想象一下把一张纸对折一次，纸张变成两层，每一层是原来面积的一半，所以面积是原来的二分之一。再对折一次，每一层又变成两层，总共变成四层，每一层是原来面积的四分之一，所以面积是原来的四分之一。 【详解】对折一次，面积减半，是原来的。对折两次，面积再次减半，是的，即。 故答案为：C 13．C 【分析】把全班人数看作整体“1”，用1减去可算出女生人数占全班人数的几分之几。 【详解】1－＝ 女生人数占全班人数的。 故答案为：C 14．C 【分析】要解决这个问题，需要根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此解答。 【详解】的分子是3，分子加上6后，新的分子为3＋6＝9，用新分子除以原分子，可得到分子变化的倍数，9÷3＝3，即分子扩大到原来的3倍。根据分数的基本性质，要使分数大小不变，分母也应扩大到原来的3倍，分母扩大到原来的3倍为：3×8＝24，即分母加上16或分母扩大到原来的3倍，分数的大小都不变，答案中没有加上16，所以应选择扩大到原来的3倍。 故答案为：C 15．A 【分析】根据题意，a＋1＝b，说明a和b是两个相邻的自然数，相邻的两个自然数有且只有一个公因数1，即最大公因数是1。据此解答即可。 【详解】如果a和b都是非零自然数，且a＋1＝b，那么a、b的最大公因数是1。 故答案为：A 16．B 【分析】路程一样时，速度和时间成反比，花费时间越短，跑步速度就越快。第一步先把两个分数统一分母，对比甲、乙两人所用时间的长短，时间少的人速度更快。 【详解】 乙花费的时间更短，所以乙的速度更快。 17．A 【分析】结合两根木条的长度，截成同样长的小段，不能有剩余时要求出84和60的最大公因数，先分解质因数，把公有的质因数相乘得出最大公因数，得出答案。 【详解】，，84和60的最大公因数是，故每小段最长是12厘米。 18．B 【分析】已知两人买了同样的两瓶饮料，可以先根据分子相同的分数大小比较方法：两个分数分子相同，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大；比较两人喝了的数量，喝得多的剩下比较少，喝得少的剩下比较多。据此解答。 【详解】，说明小方比小梅喝得多，所以小梅剩下的饮料比小方多。 因此，小方和小梅买了两瓶同样的饮料，小方喝了其中一瓶的，小梅喝了其中一瓶的剩下的饮料比较，小梅剩下的多。 19．C 【分析】用一张纸盖住3根纸条的一部分，露出的部分都是一样长，只需要比较露出部分占整根纸条的分数大小，同分子分数的比较大小，分母越大，分数越小，分母越大说明分数越多，纸条越长。 【详解】＞＞ 拿去这张纸后最长的纸条应该是。 故答案为：C 20．A 【分析】用除法算出每段彩带的长度，再分别验证各选项。 【详解】每段长度： A．1米的是1米平均分成10段，每段米，不等于米，说法不正确； B．1米的是1米平均分成10段，3段是米，等于米，说法正确； C．3米的是3米平均分成10段，每段米，等于米，说法正确； 21．√ 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。题目中分子分母同时乘5（非零数），符合该性质。 【详解】原分数为，分子和分母同时乘5后得到。根据分数的基本性质，与的大小相等，因此分数的大小不变。 故答案为：√ 22．× 【分析】分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。由题意得，需要分析几个分数的分子和分母是否只有公因数1。据此解答。 【详解】在分数中，6和55的公因数只有1，所以是最简分数；在分数中，17和34的公因数有1和17，所以不是最简分数；在分数中，13和28的公因数只有1，所以是最简分数。由于不是最简分数，所以原题说法错误。 故答案为：× 23．√ 【分析】在含有分率的句子中，通常把“是”、“占”、“比”等词语后面，“的”字前面的量看作单位“1”。本题中“乙数”位于“的”字前面，符合单位“1”的特征，因此该说法正确。 【详解】在“甲数是乙数的”这句话中，根据分数的意义，表示把乙数平均分成5份，甲数相当于其中的4份。这里把乙数看作单位“1”。原题说法正确。 故答案为：√ 24．× 【分析】根据分数的意义，把这张正方形纸看作一个整体，对折一次就是把这张正方形纸平均分成2份，对折两次就是平均分成2×2＝4份，每份占其中的，据此解答即可。 【详解】一张正方形纸对折2次，是把这张纸平均分成4份，每份占这张正方形纸的。原题说法错误。 故答案为：× 25．× 【分析】千米是一个确定的长度，它表示把1千米平均分成2份，取其中的1份，其长度就是千米。 一段路的，它表示的是这段路总长度的一半。例如，如果这段路长2千米，那么它的就是1千米，与千米不相等。只有当这段路的长度是1千米时，行驶了千米和行驶了这段路的才同样长。 【详解】因为千米是具体长度，一段路的取决于路的总长度，两者不一定同样长。 原题说法错误。 故答案为：× 26．√ 【分析】根据题意，把单位“1”平均分成3份，每份是它的。两份就是它的，表示有2个。用总长除以平均分的份数等于每份的长度。据此判断即可。 【详解】1÷3＝（米） 把1米平均分成3份，每份就是它的，也是米，2份就是它的，是米，表示2个米。原题表述正确。 故答案为：√ 27．；；； ；；1； 【解析】略 28．；； 1；； 【分析】同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。 （1）（5）一个算式中只有减法，要按照从左往右的顺序依次计算。 （2）一个算式中，有小括号的，先算小括号里面的加法，再算小括号外面的减法。 （3）（4）一个算式中只有加法，要按照从左往右的顺序依次计算。 （6）一个算式中既有加法，又有减法，要按照从左往右的顺序依次计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 29．见详解 【分析】（1）表示把这些花平均分成2份，取其中的1份； （2）表示把这些五角星平均分成4份，取其中的3份； （3）表示把这些三角形平均分成7份，取其中的3份。 【详解】 30．见详解 【分析】观察数轴，0到1之间被平均分成了8个小格，每个小格代表。 表示：从0开始数1个小格的位置就是。 表示：从0开始数3个小格的位置就是。 表示：＝，所以从0开始数6个小格的位置就是。 【详解】 31． 【分析】根据题意，求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，即10÷12。 【详解】 答：那么乌龟所用时间是兔子的。 32．7段；6分米 【分析】1米＝10分米，则2.4米＝24分米，1.8米＝18分米。要把这两根木棍锯成相等的小段没有剩余，每段长度是24分米和18分米的公因数。要使小段的长度尽可能长，则小段的长度是24分米和18分米的最大公因数。用短除法求24分米和18分米的最大公因数，除数的积是小段的长度，商的和是锯成的段数。 【详解】2.4米＝24分米 1.8米＝18分米 2×3＝6（分米） 4＋3＝7（段） 答：一共可以锯成7段，每段长6分米。 33．9个 【分析】根据题意可知，几个亲戚实际分了45个红枣粽和37－1＝36（个）肉粽，求最多平均分给几个亲戚，也就是求45和36的最大公因数，据此即可解答。 【详解】37－1＝36（个） 45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 所以45和36的最大公因数是：3×3＝9，即最多平均分给9个亲戚。 答：红红和奶奶把粽子最多平均分给了9个亲戚。 34．； 【分析】用第一周看的，加上第二周看的，即可求出两周一共看了这本书的几分之几； 将这本书看作一个整体，用1表示，再用1减去两周一共看的几分之几，计算出还剩下全书的几分之几没看；同分母分数相减：分母不变，分子相减；据此解答。 【详解】＋＝ 1－ ＝－ ＝ 答：两周一共看了这本书的，还剩下没看。 35． 【分析】将整个计划看作单位“1”，将早上亮亮跑了整个计划的和下午跑了整个计划的相加，即可求出已经跑了整个计划的几分之几，然后用单位“1”减去已经跑了的整个计划的占比；即可求出还剩多少；结果要根据分数的基本性质进行约分；据此可解此题。 【详解】1－（＋） ＝1－ ＝ ＝ 答：晚上还需要再跑整个计划的。 36．姐姐（判断过程见详解） 【分析】姐姐和妹妹第一次都喝了整瓶果汁的，第一次喝的一样多，只要看第二次谁喝得多即可解答。 【详解】姐姐和妹妹第一次喝的一样多。 姐姐第二次喝了整瓶果汁的。 妹妹第二次喝了剩下的，如果把整瓶果汁平均分成8份，妹妹第一次喝了整瓶果汁的，也就是第一次喝了其中的4份，还剩下4份，第二次喝了剩下的，也就是喝了1份，所以妹妹第二次喝了整瓶果汁的。 ＞，姐姐喝的果汁多。 【点睛】分析清楚妹妹第二次喝了剩下的相当于整瓶果汁的几分之几是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 8 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $