专题07 期中复习解答压轴题（25题）（期中真题汇编，上海专用）七年级数学下学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题07期中复习解答压轴题(25题) 1.(1)40° (2)6 2.1D40(2)∠A=45(3)∠A--90 3.(1)证明：∠1+∠2+∠PAB=180°，∠3+∠4+∠ABC=180°， .∠1+∠2+∠3+∠4+∠PAB+∠ABC=360°， .∠1=∠2，∠3=∠4， :.2(Z2+23)+∠PAB+∠ABC=360° 桌角DD=90°， .∠2+∠3=180°-∠D=90° ∴.2×90°+∠PAB+∠ABC=360°， ∴.∠PAB+∠ABC=180°， BCIPA (2)解：，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， 画出球经过的路径如下： AL 所以球Q会进入B球袋 4.(1)120,90 (2)36 (3)存在，t=20或80 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(1)如图，线段 即为所求 AM B M (2)MB (3)如图，线段BH即为所求： (4)CH 6.对顶角相等，∠2，DE,同位角相等，两直线平行：∠CDE,∠C,两直线平行，内错角相等 7.AB;FD；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠2，内错角相等，两直线 平行. 8.(I)证明：，AC∥FE, .∠1+∠FAC=180°， .∠1+∠2=180°， ∠2=∠FAC, ∴.FA∥CD, .∠FAB=∠BDC; (2)50° 9.任务一：画图如下： C G! H CD∥AB, .∠BCD=∠ABC=100°： 任务二：94°；任务三：需要5秒 10.任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改 变符号： 任务二： 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x+1-1>x 3 6· 解：22x+-6>x-1 4x+2-6>x-1, 4x-x>-1-2+6, 3x>3, x>1. 11.87分 12.不等式的最小整数解为-14 13. 14.(1)60,80: (2)430 (3)0<t<300或t>550 15.(1)∠MAB+∠D=90°； 解：如图①，过点M作MNIIAB, ------W B .AB∥CD, D 图① .MN∥AB∥CD(如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行)· ∴.∠D=∠NMD. .MN∥AB, ∴.∠MAB+∠NMA=180°. ,.∠MAB+∠AMD+∠DMN=180°. .∠AMD=90°， .∠MAB+∠DMN=90°. ∴.∠MAB+∠D=90°： 3/6 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)∠MAB-∠D=90° (3)LMAB=∠EMD:45 16.(1)①60°：②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 17.(1)60° (2)不变，2：1 (3)30° 18.(1)∠EDC的度数为50° (2)∠EDC的度数为10°或40°或25° 130 80 (3)4B的度数为50°或(3)或(3)· 19.(1)AB∥CD, 解：AB∥CD」 理由：∠DCF=70°， ∴.∠ACD=180°-∠DCF110°， .∠BAF=110°， .∠BAF=∠ACD, .AB∥CD: (2)存在，2秒或38秒 20.(1)证明：，∠AGH+∠DHF=180°， 又.∠DHF=∠EHC, ∴.∠AGH+∠EHC=180°， .AB∥CD: (2)证明：如图，由(1)知，AB∥CD, M P A B K -0 H D 过K作KO∥AB, AB∥CD, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .KO∥CD, KO∥AB, ∴.∠MPG=∠MKO, .KO∥CD, :<NOH=∠MO .∠MPG+∠NQH=90° ∴.∠MKO+∠NKO=90°， 则∠MKN=90°， 即MK⊥NK. (3)60° 21.(1)90° (2)∠BFP=50° (3)20°或100° 22.(1)∠C=45° (2)证明：由(1)，可知AC∥DE, ∴.∠E=∠ABE 又∠C=∠E, .∠C=∠ABE, .BE∥CD 23.(1)8:2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 24.(1)垂直：90°：平行 2020+0°：②70 (3)10或85或130：55或107.5或145 25(1)∠MEN=∠AEF+∠CNE 理由：过点E作EF∥AB, 5/6 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 M A 一B E ------F N (1) ·AB∥CD .AB∥EF∥CD ·∠AEM=∠MEF,∠CNE=∠NEF, ∠AEF+∠CNE=∠MEF+∠NEF=∠MEN, 即∠MEN=∠AEF+∠CNE: (2)9∠AME+10∠CNE=540°(3)2或10或14 专题07 期中复习解答压轴题（25题） 1．(24-25七下·上海长宁区·期中)如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 2．(24-25七下·上海市西初级中学·期中)【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1），是的“三分线”， ， ． （2） ． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ； （3）． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ． 3．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【答案】(1)证明见解析 (2)球袋，见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行性的判定等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）结合网格特点，根据球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等画图即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 4．(24-25·七下·上海黄浦·期中)如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 5．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【答案】(1)见解析 (2)MB (3)见解析 (4)CH 【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）根据三角形的高的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）如图，线段即为所求； （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：．    【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 6．(24-25七下·上海嘉定·期中)如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若． 求证： 证明：∵（已知），且（   ）， ∴______（等量代换），∴______（____________）， ∴______（____________）， 又∵（已知）， ∴______（____________）， ∴． 【答案】对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得到，证明，利用等量代换即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 故答案为：对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等 7．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图，已知在中，点D、G分别在边上，且，点F在线段的延长线上，点E在边上，如果，说明的理由． 解：∵（已知）， ∴________（       ）． ∴______（       ）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∴（      ）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，先得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；； 同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行． 8．(24-25七下·上海嘉定·期中)如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25七下·上海浦东新区·期中)根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【答案】任务一：图见解析，；任务二：；任务三：需要秒 【分析】本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： 任务一：根据题意画出平行线，根据平行线的性质求出，即可； 任务二：过点作，得到，根据平行线的性质求出角的度数即可； 任务三：根据，得到，据此列出方程进行求解即可． 【详解】任务一：画图如下： ∵， ∴； 任务二：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴； 任务三：设需要； 当时，， ∴， 解得：； 答：需要秒． 10．(24-25七下·上海闵行区明星学校·月考)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析 【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三步开始出现错误； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号； 任务二： ． 解：， ， ， ， ． 11．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 【答案】87分 【分析】根据题意列出不等式并解不等式即可． 【详解】解：设第三次得分，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，第三次至少得87分，才能使三次的平均分不低于80分． 12．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 13．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知不等式的解集，求出的范围和关系，再进行求解即可. 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴关于的不等式可化为， ∴. 14．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)下表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元／分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需______元，按方式二计费需______元； (2)王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为______分钟； (3)当月主叫通话分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱． 【答案】(1)60，80； (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟， （2）根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元． （2）设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴． （3）当时，方式一费用为50元，方式二费用为80元，因此方式一省钱； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 15．(24-25七下·上海宝山区罗南中学·期中)已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°． (1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）； (2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）； (3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度． 【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析 (2)∠MAB﹣∠D＝90° (3)∠MAB＝∠EMD；45 【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论； （2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论； （3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ∴∠D＝∠NMD． ∵MN∥AB， ∴∠MAB+∠NMA＝180°． ∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°． ∵∠AMD＝90°， ∴∠MAB+∠DMN＝90°． ∴∠MAB+∠D＝90°； （2）解：如图②，过点M作MN∥AB， ∵MN∥AB， ∴∠MAB+∠AMN＝180°． ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD． ∴∠D＝∠NMD． ∵∠AMD＝90°， ∴∠AMN＝90°﹣∠NMD． ∴∠AMN＝90°﹣∠D． ∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°． ∴∠MAB﹣∠D＝90°． 即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°． 故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°． （3）解：如图③， ∵ME⊥AB， ∴∠E＝90°． ∴∠MAE+∠AME＝90° ∵∠MAB+∠MAE＝180°， ∴∠MAB﹣∠AME＝90°． 即∠MAB＝90°+∠AME． ∵∠AMD＝90°， ∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD． ∵MF平分∠EMA， ∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA． ∵MG平分∠EMD， ∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD． ∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF， ∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）． ∵∠EMD﹣∠EMA＝90°， ∴∠FMG＝45°． 故答案为：∠MAB＝∠EMD；45． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键． 16．(24-25七下·上海闵行区·期中)在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 【答案】(1)①；②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 【分析】（1）①先由平角的意义求出，再对由三角形内角和定理即可求解； ②分两种情况讨论：当和，作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性质进行角度和差计算求出旋转角即可； （2）设旋转时间为秒，由题意得，，，然后分四种情况讨论，当当时，得到；当时，得到；当时，得到；当时，得到，分别建立起关于时间的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴（秒）； 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴（秒）， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； （2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，， 当时， 则， ∵， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∵ ∴， 解得：； 当时， 则， ∵， ∴， 解得：； 当时， 则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差计算，以及一元一次方程的应用，难度较大，注意分类讨论思想的应用， 17．(24-25七下·上海民一中学·期中)如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 18．(24-25七下·上海外国语实验学校·期中)在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，∠BAD＝50°（如图1）． (1)若E在△ABC的AC边上，且∠ADE＝∠B，求∠EDC的度数； (2)若∠B＝30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即可）； (3)若AD将△ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数．（直接写出答案）． 【答案】(1)∠EDC的度数为50° (2)∠EDC的度数为10°或40°或25° (3)∠B的度数为50°或（）°或（）° 【分析】（1）由三角形外角的性质及已知即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，∠BAC=120°．所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°，由三角形的外角的性质可知，∠ADC=∠B+∠BAD=80°，由等腰三角形的性质可知，需要分类讨论，分三种情况，再利用等腰三角形的性质可得出结论； （3）若△ABD为等腰三角形，则只能AD=BD，所以∠B=∠BAD=50°．若△ACD为等腰三角形，则只能AD=CD或AC=DC，根据等腰三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，且∠ADE=∠B，∠BAD=50°， ∴∠EDC=∠BAD=50°． 即∠EDC的度数为50°； （2）解：∵∠B=∠C=30°， ∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=120°． ∵∠BAD=50°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°， ∵△ADE是等腰三角形， 若AE=DE，则∠ADE=∠DAC=70°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=10°． 若AD=DE，则∠AED=∠DAC， ∴∠ADE=180°-2∠DAC=40°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=40°． 若AE=AD，则， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°． 即∠EDC的度数为10°或40°或25°； （3）解：若△ABD为等腰三角形，则只能AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝50°． 若△ACD为等腰三角形，则只能AD＝CD或AC＝DC， ∴∠B＝∠C＝∠CAD＝＝（）°或∠B＝∠C＝＝（）°， ∴∠B的度数为50°或（）°或（）°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想等内容，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 19．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧． (1)若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)，理由见解析 (2)存在，2秒或38秒 【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， 理由：∵∠DCF＝70°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°， ∵∠BAF＝110°， ∴∠BAF＝∠ACD， ∴； （2）解：存在．分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使，则∠ACD＝∠BAF， 即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝2； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20；所以t＝2符合题意， ②如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝38， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50；所以t＝38符合题意， ③如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝38， 此时t＞50， ∵38＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，t为2秒或38秒时，CD与AB平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 20．(24-25七下·上海普陀区·期中)已知：直线分别交直线，于点G，H，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2）过K作，则，推出，即，即可得证； （3）过M作，过K作，易得，设，，推出，求出x的值，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）知，，    过K作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 即． （3）解：如图，过M作，过K作，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义，垂直的定义，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角． 21．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，直线，A，B为直线a上不重合的两点（点B在A的右侧），直线，分别与b相交于点C，D，，．P为直线上一点，且满足．将线段沿直线平移，得到线段，点E在直线上，连接，，直线与直线交于点G． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)在线段平移的过程中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据可得，，然后利用角的和差解题即可； （2）过点P作，则有，即可得到，然后利用垂直的定义解题即可； （3）过点G作，即可得到得到，，然后根据交的和差解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 解得， ， ， 由平移知，， ， ， ， ； （3）解：过点G作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴ ∴，， 又∵， ∴ 如图，：过点G作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴ ∴，， 又∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 22．(24-25七下·上海松江区·期中）如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． （1）结合平行线判定和性质和角的关系求得，，从而求解； （2）根据平行线的性质和判定进行推理论证． 【详解】（1）解：， ， ． ， ，即． （2）证明：由（1），可知， ． 又， ， 23．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 24．(24-25七下·上海宝山区至德实验中学·期中)在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 25．(24-25七下·上海闵行区莘松中学·期中)【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中复习解答压轴题（25题） 1．(24-25七下·上海长宁区·期中)如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 2．(24-25七下·上海市西初级中学·期中)【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 3．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 4．(24-25·七下·上海黄浦·期中)如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 6．(24-25七下·上海嘉定·期中)如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若． 求证： 证明：∵（已知），且（   ）， ∴______（等量代换），∴______（____________）， ∴______（____________）， 又∵（已知）， ∴______（____________）， ∴． 7．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图，已知在中，点D、G分别在边上，且，点F在线段的延长线上，点E在边上，如果，说明的理由． 解：∵（已知）， ∴________（       ）． ∴______（       ）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∴（      ）． 8．(24-25七下·上海嘉定·期中)如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 9．(24-25七下·上海浦东新区·期中)根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 10．(24-25七下·上海闵行区明星学校·月考)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 11．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 12．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)求不等式的最小整数解． 13．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 14．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)下表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元／分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需______元，按方式二计费需______元； (2)王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为______分钟； (3)当月主叫通话分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱． 15．(24-25七下·上海宝山区罗南中学·期中)已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°． (1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）； (2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）； (3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度． 16．(24-25七下·上海闵行区·期中)在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 17．(24-25七下·上海民一中学·期中)如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 18．(24-25七下·上海外国语实验学校·期中)在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，∠BAD＝50°（如图1）． (1)若E在△ABC的AC边上，且∠ADE＝∠B，求∠EDC的度数； (2)若∠B＝30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即可）； (3)若AD将△ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数．（直接写出答案）． 19．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧． (1)若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 20．(24-25七下·上海普陀区·期中)已知：直线分别交直线，于点G，H，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 21．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，直线，A，B为直线a上不重合的两点（点B在A的右侧），直线，分别与b相交于点C，D，，．P为直线上一点，且满足．将线段沿直线平移，得到线段，点E在直线上，连接，，直线与直线交于点G． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)在线段平移的过程中，若，求的度数． 22．(24-25七下·上海松江区·期中）如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 23．(24-25七下·上海杨浦双语学校·期中)如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 24．(24-25七下·上海宝山区至德实验中学·期中)在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 25．(24-25七下·上海闵行区莘松中学·期中)【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $