专题06 三角形的有关概念及内角和（四大题型，53题）（期中真题汇编，上海专用）七年级数学下学期

专题06 三角形的有关概念及内角和（四大题型，53题） 4大高频考点概览 考点01三角形的有关概念 考点02与平分线有关的三角形内角和问题 考点03三角形内角和定理的应用 考点04 三角形的外角的定义及性质 地 城 考点01 三角形的有关概念 一、单选题 1．(24-25七下·上海普陀区·期中)已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 2．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 3．(24-25七下·上海松江区·期中)下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 4．(24-25七下·上海杨浦区·期中)下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 5．(24-25七下·上海浦东新区·期中)若的两边长分别为2和9，则第三边的长可能是（   ） A．14 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； ∴第三边的长可能是9； 故选C． 6．(24-25七下·上海·期中)如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由得出，，求出，再由计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．(24-25七下·上海闵行区·期中)下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 8．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 9．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 10．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，再解不等式即可．解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 11．(24-25七下·上海西延安中学·期中)已知的三边长分别是、、，化简：______． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 12．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是________ 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，，，从而求出，即可得解． 【详解】解：∵，的面积为2， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(24-25七下·上海杨浦区·期中)在中，，，则长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 15．(24-25七下·上海宝山区教育学院附属中学·期中)a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 16．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 17．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 18．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 地 城 考点02 与平分线有关的三角形内角和问题 一、单选题 19．(24-25七下·上海市西延安中学·期中)如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④． 【详解】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 20．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 21．(24-25七下·上海莘松中学·期中)如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 22．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 23．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学·期中)如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．角平分线的定义求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 24．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再求出的度数即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 26．(24-25七下·上海静安区·期中)如图，已知，分别是的内角，的平分线，如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义可得，，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别是的内角，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么________． 【答案】15 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 故答案为：15． 三、解答题 28．(24-25七下·上海奉贤区·期中)综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 29．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理； 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线定义等知识，根据垂线的定义得出，根据三角形外角的性质并结合已知求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，（垂线的定义） ，（三角形外角的性质）， ， 是的角平分线， ， （三角形内角和定理）， ． 故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；． 30．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 地 城 考点03 三角形内角和定理的应用 一、单选题 31．(24-25七下·上海普陀区·期中)下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的内角和定理；三角形的分类．分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：任意三角形的内角和都是，故①正确； 等边三角形是特殊的等腰三角形，故②错误； 三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确； 只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误； 故选：B． 32．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·期中)满足下列条件的中，不可能是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理逐项分析即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，， ∴，，，故是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴，，故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 33．（24-25七下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的高的概念，三角形内角和定理，外角性质分别判断即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意； B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意； C、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的内角和与三角形形状无关，因为始终为180度，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 34．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图，在中，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 先由三角形内角和定理得到，由平行得到，而，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 二、填空题 35．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和为． 利用三角形内角和定理，用减去已知的两个内角的度数，即可求出第三个内角的度数． 【详解】第三个内角， 故答案为：． 36．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 【答案】/36度 【分析】本题考查三角形内角和定理、邻补角的性质、平行线的判定与性质等知识点，理解“优美三角形”的定义是解题的关键． 根据邻补角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出得到，根据角平分线的定义得到求得，再根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 37．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 【答案】62、70、110、118 【分析】本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，三角形内角和定理，熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．根据旋转后的一边与原三角形的一边进行分类讨论，并画出图形，再结合平行线的性质求解． 【详解】解：令绕点A逆时针旋转后的对应三角形为（其中点B对应点为M，点C对应点为N）， 当时， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， 在中，∵，， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为， 综上所述，旋转角或或或． 故答案为：或或或． 38．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 三、解答题 39．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学·期中)已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、，    由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ，                 所以是等腰直角三角形，, 则 40．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 41．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线．熟练掌握三角形内角和定理，平行线性质，“平面镜反射光线规律”，是解题的关键． （1）利用平面镜反射光线的规律知，，根据平行线性质得，得，由三角形的内角和可知，； （2）根据平行线性质得，根据光反射性质得，得，由三角形的内角和得，； （3）根据，，，得 ，即得． 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 42．(24-25七下·上海松江区·期中)如图所示，已知：是的外角，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和以及三角形内角和等于是解题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】证明：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 43．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角． （1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数； （2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小． 【详解】（1）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 地 城 考点04 三角形的外角的定义及性质 一、单选题 44．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 45．(24-25七下·上海闵行区文琦中学·期中)如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义及三角形外角性质，数形结合表示出角度即可得到答案． 【详解】解：连接并延长，如图所示：    由三角形外角性质可知；； 分别平分， ；； ， ， ， 连接并延长，如图所示：    ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及角平分线定义及外角性质，数形结合，准确表示各个角的和差倍分关系是解决问题的关键． 二、填空题 46．(24-25七下·上海普陀区·期中)一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 47．(23-24七下·上海崇明区·期中)将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，那么 ___________． 【答案】150 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 48．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 49．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，已知，如果的一边与的一边互相平行，且的另一边与的另一边互相垂直，那么的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，三角形的内角和定理和外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分两种情况讨论，利用平行线的性质以及三角形的内角和定理和外角定理即可求解． 【详解】解：①如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴； ②如图： 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 50．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，分两种情况讨论，由平行线的性质可求解． 【详解】解：由已知可得，，， 分以下两种情况讨论： 当与相交于点E时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与相交于点F时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 51．(24-25七下·上海·期中)如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)直线与的位置关系是垂直．理由见解析 (2)当时，使得． (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识点，是掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题中条件，求得，由此可求得，即即可解答； （2）先根据画出图形，根据平行线的性质、旋转的性质解答即可； （3）分和两种情况，分别根据三角形内角和定理、旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是垂直．理由如下： 如图所示，与交于点O，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是垂直． （2）解：如图，延长交于点G，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上分析可知：时，使得． （3）解：由题意可知，， ①如图：当， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即当旋转时，中有两个角相等．    ②当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即当旋转时，中有两个角相等；    综上所述：中有两个内角相等，此时旋转角的度数为或． 52．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形中，一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此先求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵． ∴， ∵， ∴． 53．（24-25七下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据推理过程结合图形解答即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出，由（1）知，即可证明． 【详解】（1）证明：（已知）， 又（平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形的有关概念及内角和（四大题型，53题） 4大高频考点概览 考点01三角形的有关概念 考点02与平分线有关的三角形内角和问题 考点03三角形内角和定理的应用 考点04 三角形的外角的定义及性质 地 城 考点01 三角形的有关概念 一、单选题 1．(24-25七下·上海普陀区·期中)已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 3．(24-25七下·上海松江区·期中)下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 4．(24-25七下·上海杨浦区·期中)下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 5．(24-25七下·上海浦东新区·期中)若的两边长分别为2和9，则第三边的长可能是（   ） A．14 B．11 C．9 D．7 6．(24-25七下·上海·期中)如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 7．(24-25七下·上海闵行区·期中)下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 二、填空题 8．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 9．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 10．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 11．(24-25七下·上海西延安中学·期中)已知的三边长分别是、、，化简：______． 12．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是________ 13．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 14．(24-25七下·上海杨浦区·期中)在中，，，则长度的取值范围是________． 三、解答题 15．(24-25七下·上海宝山区教育学院附属中学·期中)a、b、c为三角形的三边，化简： 16．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 17．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 18．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 地 城 考点02 与平分线有关的三角形内角和问题 一、单选题 19．(24-25七下·上海市西延安中学·期中)如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 21．(24-25七下·上海莘松中学·期中)如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 22．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 23．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学·期中)如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 24．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是______． 25．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则________． 26．(24-25七下·上海静安区·期中)如图，已知，分别是的内角，的平分线，如果，那么___________． 27．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么________． 三、解答题 28．(24-25七下·上海奉贤区·期中)综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 29．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 30．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 地 城 考点03 三角形内角和定理的应用 一、单选题 31．(24-25七下·上海普陀区·期中)下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 32．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·期中)满足下列条件的中，不可能是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 33．（24-25七下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 34．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图，在中，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 35．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为______． 36．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 37．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 38．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 三、解答题 39．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学·期中)已知△中，，，求、、的度数及的面积． 40．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，已知，，，，求的度数． 41．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 42．(24-25七下·上海松江区·期中)如图所示，已知：是的外角，求证：． 43．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 地 城 考点04 三角形的外角的定义及性质 一、单选题 44．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 45．(24-25七下·上海闵行区文琦中学·期中)如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 46．(24-25七下·上海普陀区·期中)一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 47．(23-24七下·上海崇明区·期中)将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，那么 ___________． 48．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 49．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，已知，如果的一边与的一边互相平行，且的另一边与的另一边互相垂直，那么的度数为________． 50．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 三、解答题 51．(24-25七下·上海·期中)如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 52．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 53．（24-25七下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 专题06三角形的有关概念及内角和 目目 考点01 三角形的有关概念 1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.B 7.C 8号 9.2<c<8 10.2<x<12 11.2b-2c/-2c+2b 12.12 13.24 14.1<BC<7 15.2c 16.(1)解：如下图所示， 线段CD即为AB边上的高； 刀 B (2)解：如下图所示， D B (3)BD; (4)C,DE; 1/5 让教与学更高效 <四大题型，53题) 学科网 17.(1)解：如图，过点C作CE1AB (2)解：如图，直线DF即为所求： (3)AD (4)△4DC和△DCB 18.(1)解：如图，AD即为所求， 4 B D (2)AD (3)中线 (4)30 19.D 20.D 21.C 22.131 23.30 24.15°/15度 25.46° 26.125° 27.15 28.(1)115° Q40=90-4 (3)36°或45°或135°或144° www.zxxk.com 让教与学更高效 AB延长线于点E,则CE即为所求： 扇学科网 www.zxxk.com 29.垂线的定义；三角形外角的性质；30°；DAE;60°；三角形内角和定理； 30.(1)④；改正：∠GED和∠DCB不是同位角， .由∠GED=∠DCB无法证明出GE∥CD 第④步有问题： 改正：DE∥BC .∠EDC=∠DCB .LGED=∠EDC :GE∥CD(内错角相等，两直线平行). (2)116° 目目 考点03 三角形内角和定理的应用 31.B 32.D 33.D 34.B 35.90° 36.36°/36度 37.62、70、110、118 38.96°或88°或48° 39.∠A=∠B=45°，∠C=90°，S。4Bc=18 40.∠B=30° 41.(1)110°，90° (2)∠3=90° (3)45° 42.证明：：∠1，∠2，∠3是ABC的外角， :∠I=∠ABC+∠ACB,∠2=∠ACB+∠BAC,∠3=∠ABC+∠BAC. ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， .∠1+∠2+∠3=2∠ABC+2∠ACB+2∠BAC=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180 315 让教与学更高效 80° =360°. 学科网 www.zxxk.com 43.(1)20° (2)20° 目目 考点04 三角形的外角的定义及性质 44.B 45.C 46.直角 47.150 48.15°/15度 49.140°或40° 50.15°或150° 51.(I)直线EF与AD的位置关系是垂直.(1)解：直线EF与AD的位置关系 如图所示，EF与AC交于点O, A E」 D B ∠ACB=90°，∠B=30°， ∴.∠BAC=60°， :AD平分∠CAB, :∠CAD=∠BAC=30°， 2 当t=15时，根据由旋转可知：∠ECA=75°， .LE0C=180°-∠ECA-∠FEC=180°-75°-45°=60°， .∠A0M=∠E0C=60°， :∠CAD=30°， .LAME=90°， 直线EF与AD的位置关系是垂直. (2)当t=33时，使得EF∥AD. (3)45°或90° 52.∠BDC=85°，∠B0C=120° 53.(1)证明：：∠1+∠2=180°（已知）， 让教与学更高效 是垂直，理由如下： 函学科网 www.zxxk.com 又：∠DEF+∠2=180°（平角的定义）， .∠DEF=∠1（同角的补角相等）. .EF‖CD(内错角相等，两直线平行) ·∠DFE=∠FDB(两直线平行，内错角相等) (2)证明：：DF平分∠ADB, :∠ADF=∠BDF=I∠ADB, 2 :∠CAD=∠C,∠ADB=∠C+∠CAD, :∠CAD=∠C=1∠ADB, 2 .∠C=∠FDB, ∠DFE=∠FDB, .ZDFE ZC. 5/5 让教与学更高效