河南洛阳市第三高级中学2026届高三下学期适应性模拟测试卷数学试题（三）

2026届高三适应性模拟测试卷 数学（三） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 L若=1+i,则： A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 2.已知集合A={x∈Z1x2-3x-4≤0}，B=x|x>2},则A∩B= A.2,3,4 B.2,3 C.3 D.3,4 3.曲线y=sin3x与y= 3t的交点的个数为 A.3个 B.5个 C.7个 D.9个 4.气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过22°C 时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气 温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26. 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10.4. 丙地：中位数是24，众数是22. 则由此判断一定进人夏季的地区是 A.乙地 B.丙地 C.甲地，乙地 D.乙地，丙地 5.在数列{an}中，a1=1,若数列{anan+1}是以3为公比的等比数列，则logsam= A.49 B.50 C.99 D.100 高三数学（三）第1页（共4页） 6.设P为空间一点，l,m为空间中两条不同的直线，，B是空间中两个不同的平面，则下列 说法正确的是 A.若P∈1，P∈B,lCa,则a∩B=l B.若P∈α，P∈l,l∥m,则m与x必有公共点 C.若l⊥，m⊥B,∥B,则l∥m D.若l与m异面，lCa,mCB,则a∥B 7.已知函数f(x)=ln(e2r+e2)-x,实数m满足f(m)>f(2m+2),则m的取值范围是 A.( B.(0,2) c(-30) D.(-2,0) 8.双曲线C:。京=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F1,,以E为焦点的抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线C在第一象限的交点为P,若1PFI+1PF2I=21F,F,1,则 双曲线C的离心率为 A.3 B.2 C1+5 D.6 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a=(cosa,sina),b=(cos3,sinB),a,B∈(0，π），且a上b,则下列结论正确的是 A.I al =bl B.a=B+ 2 C.(a+b)⊥(a-b) D.存在和B,使得1a-b1=u1+1b1 10.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC=BC=CC,=2,AC⊥BC,E、F分别为BB1,AC 的中点，过点A,E,F作三棱柱的截面α，则下列结论中正确的是 A.BC1∥a B.三棱柱ABC-A,B,C,外接球的半径为3 C.若a交BC,于M,则M为BC,中点 D.α将三棱柱ABC-AB,C,分成两部分，体积较大部分的体 积为号 高三数学（三）第2页（共4页） 11.下列选项中说法正确的是 A.函数f(x)=log2(x2-2x)的单调减区间为(-0,1) B蒂画数动=心过点（兮资）.则m+a是 C函数)=x)的定义域为[1,2]，则函数y=2x)的定义域为[7,1刂 25 D.若函数f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域为R,则实数a的取值范围是[0， 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知P(m,n)是圆C:(x-6)2+(y+25)2=12上的一个动点，则√m2+n2的取值 范围为 13.若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= 14.在△ABC中，D为AC中点，且BD=2,若AB=AC,则当BC·CD取得最大值时，cosA= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4，现采用有 放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为i,第二次摸到的小 球号码为： (1)记“i+j>i·”为事件A,求P(A); (2)完成两次摸球后，再将与前面4个球规格相同的5号球放入盒中，并进行第三次摸 球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码i,j,k中出现偶数的个数记为X,求X的分布列及 数学期望 16.(15分) 如图，已知四棱台ABCD-AB,C,D,的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面 AAD,D⊥平面ABCD,A,A=D,D=√I7,点P是棱DD1的中点，点 Q在棱BC上. (1)若BQ=3QC,证明：PQ∥平面ABBA; (2)若平面P0D与平面QDC的夹角的余弦值为 2,求BQ的张 高三数学（三）第3页（共4页）》 17.(15分) 某新能源园区有一块不规则空地如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为 此圆弧的中点)和线段MW构成.已知圆O的半径为4米，点P到MN的距离为5米.现规 划在空地内修建两块太阳能光伏板，光伏板I形状为矩形ABCD,光伏板Ⅱ形状为 △CDP,要求A,B均在线段MN上C,D均在圆弧上.设OC 与MN所成的角为0. (1)用0分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确 定sind的取值范围； (2)若光伏板I和光伏板Ⅱ的单位面积年产电值之 比为4：3，求当0为何值时，能使两块光伏板的年产电总值最大 18.(17分) 已知据圆c号+去-1(a>6>0)的青心率为号 其四个顶点构成的四边形面积为 22. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P是C上异于A,B的一点，不垂直于x轴的直线 1交椭圆C于M,N两点，AP∥OM,BP∥ON ①证明：koukoN为定值； ②△OMW的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由， 19.(17分) 已知函数)=分 -axlnx(a∈R). ()当a=1时，求函数x)在[，+0)上的最小值； (2)已知g(x)=ax-lnx,h(x)=∫'(x)+g'(x),若函数h(x)有三个零点x1,2,x3, 且x1<x2<X3: （i)求a的取值范围； (iⅱ)证明：x1+x3+5xx3>3a+1. 高三数学（三）第4页（共4页）2026届高三适应性模拟测试卷 数学（三）参考答案 一、单项选择题 题号 1 3 4 5 6 答案 D C C D A 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AC BD BCD 三、填空题 12.[25,65] 13.ln2 4子 四、解答题 15.解：(1)两次摸球，摸出的小球号码i,的所有情况共C!·C4=16种， …2分 其中，满足i+j>i·j的情形有： i=1时，j=1,2,3,4, i=2时，j=1, i=3时，j=1, i=3时，j=1,共7种情况， 则PA)-名 .…5分 (2)X可能的取值为0,1,2,3， P(X=0)= CCC_12_3 C4c4C580=201 CC2C3×2+C2C2C2 P(X=1)= =322 CICIC 80-5, P(X=2)= C2C2C2×2+C2C2C3287 CiCIC 80-201 P(X=3)= CCC:81 …9分 C4C4C80-10 所以X的分布列为： 高三数学（三）答案第1页（共7页） X 0 1 2 3 3 2 个 20 5 20 10 3 7 7 E(X)=0× +1× +2× 5 +3× 1051 …13分 20 20 16.（1)证明：取AA的中点M,连接MP,MB, 在四棱台ABCD一A,B,C,D,中，四边形A,ADD,是梯形，AD =2,AD=4, 又点M,P分别是棱AA,DD的中点， 所以MP∥AD,且MP=4D,+AD 2 =3, 在正方形ABCD中，BC∥AD,BC=4, 又BQ=3QC,所以BQ=3, 从而MP∥BQ,且MP=BQ, 所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ∥MB, 又因为MBC平面ABBA1,PQ￠平面ABBA, 所以PQ∥平面ABB,A …4分 (2)在平面AADD1中，作A,0⊥AD于0， 因为平面A,ADD,⊥平面ABCD,平面A,ADD1∩平面ABCD=AD, A,0⊥AD,AOC平面AAD,D,所以A,O⊥平面ABCD, 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N, 因为OD⊥AB,ON∥AB所以ON⊥OD, 又因为ON,ODC平面ABCD,A,0⊥平面ABCD,所以OA1,ON,OD两两垂直 …6分 以ON为x轴，OD为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系， 2 因为四边形AAD,D是等腰梯形，AD1=2,AD=4, B. 所以A0=1,又AA=D,D=√7，由勾股定理可得A,0=4, 故各点坐标为B(4,-1,0),D(0,3,0),C(4,3,0), n0.2,4yr02 AL- 所以元=(40.0)，币=(0，-72)，示=(0，-4.0， …8分 设C0=ACB=(0,-4入，0)(0≤入≤1)， 高三数学（三）答案第2页（共7页） 所以D0=D元+C0=(4,-4入，0)， 设平面PDQ的法向量为m=(x,y,z), m·Dp=0 「1 由 m…D0=0 得7+2=0，令：=1，可得m=(44,1) 4x-4入y=0 而平面DCQ为xoy平面，故z轴与平面DCQ垂直，可取平面DCQ的一个法向量为n =(0,0,1). 设平面PQD与平面QDC的夹角为0，则cos0=Im·n1 1 1m1ln1√(4)2+17 1 1 所以 …13分 (4A)2+17√2I 解得A=±7（由于Q点在CB之间故含去X为负的情况），因此C0=?×4=2.B0 =2, 所以当平面P0D与平面QDC的夹角的余弦值为，2时，Q的长为2 .…15分 17.(1)连接PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=1 过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=0, 故0E=4cos0,EC=4sin0, 则矩形ABCD的面积为2×4cos0(4sin0+1)=8(4sin0cos0+cos0), …2分 △CDP的面积为7×2×4eos0(4-4sin0)=16(cos0-sin0cos0). …4分 过N作GW⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=1. 令∠c0k=0则sn9,=a,e(0,g 当0∈[8,7)时，才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以in0的取值范固是子)， 所以矩形ABCD的面积为8(4sin0cos0+cos0)平方米，△CDP的面积为16(cos0- sin0cw0).sin0的取值范国是子1)。 …6分 (2)因为光伏板I和光伏板Ⅱ的单位面积年产电值之比为4：3， 设光伏板I的单位面积的年产电值为4，光伏板Ⅱ的单位面积的年产电值为3(k>0), 年产电总值为4h×8(4sin0cos0+cos0)+3k×16(cos0-sin0cos0)=80k(sin0cos0+cos0) …8分 高三数学（三）答案第3页（共7页） =sin0co +co0) 则f'(0)=cos20-sin20-sin0=-(2sin20+sin0-1)=-(2sin0-1)(sin0+1). …11分 令f'()=0,得0= 6 当8e(a石)时./0)>0，所0)为增函数： 当0c(石，受)时，/'《0)<0.所以0)为减函数 因此当0=君时，九0)到最大值 答：当0=石时，能使两块光优板的年产电总值最大 …15分 8(0)由题意可知，椭圆的四个顶点构成的四边形面积为·2a·2h=2M7,且e=片 2 所以a=V2,6=c=1,椭圆的方程是 +y2=1. …4分 2①由题意可得4-2,052,0)，设代0.可得+行2=1， 即，2+22=2，则kk=力·方三62 1 ，2+22-22 因为AP.P7ON,则kr=kdn=- …8分 ②易知直线l的斜率存在，设直线l:y=x+n,M(x1y),N(名22)， 联立直线y=kx+n和x2+2y2=2,可得(1+22)x2+4x+2n2-2=0, 4kn 2m2-2 可得+1+2派 1+2k21 yy2=(x1+n)(kx2+n)=x2+nh(x+x2)+n2, …11分 由aw·ho=沙=2+4t+n2P+1)。1 xX2 2n2-22m2-2 =-2’ 可得2=2+2， 1 …3分 由弦长公式可得： 高三数学（三）答案第4页（共7页） |MWN1=√1+Ex1-x,1=√1+E·√(x,+2)2-4x2 0》2-42m-3 =+歌·-1+2亚 1+22 √1+ ·√162m2-8(n2-1)(2k2+1)= 2√1+ 1+22 √2h2+1 1 点(0,0)到直线！的矩离为d:n1。√分+公 √+1√+1 所拟Sm=daMN1= 2 上可知，△0MN的画积为定值 …17分 19.解：(1)当a=1时，f'(x)=x-1-lnx(x>0), 令m(x)=f'(x)=x-1-lx(x>0),则m(x)=1-1=x-1 …2分 即函数m(x)=f'(x)在[，1)上单调递减，在(1，+0）上单调递增， 故函数f'(x)≥∫'(1)=0， 所以)在。，+如)上单调递增， 则)有子+)山摄道时-之 …4分 (2)(i)f)=x-alnx -a.g'(a)=a- 1 h(x)=f()+g'()=x-I-alnx(x >0), 1 则h'(x)= ax+1 x+-a 1=x—(x>0), 因为+1≥2，当组仅当x=1时取等号， 所以当a≤2时，h'(x)≥0， 所以函数h(x)在(0，+∞)上单调递增， 此时至多有一个零点，不符合题意； …6分 当a>2时，令-ar+1=0得r=a±-4 2 高三数学（三）答案第5页（共7页） 当xe0.4-厅-马)或+-，+0)时)>0， 2 2 当∈-后-4，a+-4)时e)<0, 2 2 所以函数（日在0，-v区一马上单满违增，在-v合44+v合-马）上单调递减， 2 2 2 在+4，+0)上单调递增，注言到h1)=0, 2 当>2le(-9+jma-分，>0a+ 2， 2 2 0, 8分 h(a3)=a3-a3 3alna,h(a)=a-a3-3alna, 令Hx)=lnx-x+1(x>0),则H(x)=1-x 当0<x<1时，H'(x)>0,当x>1时，H'(x)<0,所以H(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+ 0)上单调递减， 故H(x)≤H(1)=0,所以lnx≤x-1,因为a>2,所以lna<a-1,且a3<1,a3>1, 则h(a3)<a3-a3+3a(a-1)<-a3+3a2-3a+1=-(a-1)3<0, h(a)>a3-a-3-3a(a-1)=a3-3a2+3a-1+1-a3=(a-1)3+1-a3>0, 所以在a,9内恰有个零点（每在0二后三 )有一个零 2 2 点)， 在(4+马)内有-个零点，即：1，在+合-4，肉有 2 2 个零点， 故h(x)有三个零点，则a的取值范围为(2，+∞)； …10分 (i)证明：由题意知0<名，<，=1<，又注意到()=-h(x), 所以h()=-h(x)=0=h(x,),即x,=1, …12分 1 因为是M的零点所以a=,要证+名+56当>如+ 3 1 3-) 即证x,+>lnx 3X3 --4,即证(x32+4x3+1)lnx>3(x32-1), 高三数学（三）答案第6页（共7页） 令p(x)=(x2+4x+1)lnx-3(x2-1)(x>1),即证p(x)>0, .…14分 则p'(x)=(2x+4lne+(+4-5),令n(x)=p'(x), 则n'()=2nv-3+年-之，令9()=n'(x月 则克层 3 当x>1时，q'(x)>0,所以n'(x)在(1，+∞)上单调递增，而n'(1)=0,则n'(x)>0在 (1,+0)上恒成立， 所以p'(x)在(1，+∞)上单调递增，而p'(1)=0,则p'(x)>0在(1，+∞)上恒成立， 所以p(x)在(1，+0）上单调递增，而p(1)=0,则p(x)>0在(1，+∞)上恒成立， 则原不等式成立； …17分 高三数学（三）答案第7页（共7页）