专题05 平行线性质的应用（四大题型，47题）（期中真题汇编，上海专用）七年级数学下学期

学科网 www.zxxk.com 专题05平行线性质的应用（四大题型， 目目 考点01 根据平行线的性质探究角的关系 1.10°或50° 2.∠3=∠4 3.∠CAB,∠DCG,LAGE 4.(1)证明：如图1，延长DE交AB于点F, D E :∠ACB+∠BED=180°，∠CED+∠BED=I80°， F 图1 LACB=∠CED, AC∥DF, ∴.∠A=∠DFB, ∠A=∠D, .∠DFB=∠D, AB∥CD; (2)100° (3)不变，解：∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD,设直线DF和直线BP相交于点G, D F G E P :BM平分∠EBK,DN平 A B K 图3 ∴∠EBM=∠MBK=)∠EBK, ∠CDN=LEDN=2 CDE, 1/8 让教与学更高效 47题) 分∠CDE, 扇学科网 www.zxxk.com :ES∥CD,AB∥CD, .ES∥AB∥CD, ∠DES=LCDE, ∠BES=∠ABE=180°-∠EBK, ∠G=∠PBK, 由(2)可知：∠DEB=100°， .∠CDE+180°-∠EBK=100°， ∠EBK-∠CDE=80°， :BP∥DN, .∠CDN=∠G, CDE, A∠PBK=∠G=∠CDN=2 .∠PBM=∠MBK-∠PBK <EBR-)∠cDE = 2 =2(∠EBK-∠CDE) 1 =×80% 2 =40°. 5.(1)3 (2)15 (3)垂直，解：垂直，理由如下 如图，延长DF交BC于H,交AB于N,延长EF交BC于M, B N a b AB∥DE, ∠D=LBND=90°， ∠B=30°， .∠BHN=60°=∠FHM, 让教与学更高效 BC交直线a于G, 耐学科网 www.zxxk.com ∠EFD=∠HFM=45°， ∠EMG=75°， ∠EGM=180°-15°-75°=90°， BC⊥直线a, a∥b, .BC⊥直线b: 如图所示，当AB∥DE时，ABC旋转到如下位置，延长BA 4(F) B 0 A'B'O DE .∠EDA=∠DHA'=90 ∠CA'B'=∠CAB=90 :AH O A'C .∠A'CB=∠ABC=30°， ∠BCB'=30°+60°=90°， :B'C⊥b. 目目 考点02 根据平行线的性质求角的度数 6.C 7.B 8.C 9.A 10.100°/100度 11.30° 12.66 13.135 14.117.5°或72.5 3/8 让教与学更高效 交BA于点H 函学科网 www.zxxk.com 15.50° 16.72°/72度 17.20° 18.30°或150 19.解：0M⊥0B, ∴.∠M0B=90°， .∠1+∠E0B=90°. :∠1=35°， ∠E0B=55°， :OB∥AH,OE∥AC, ∴.LCBG=∠CAH,∠CBG=∠EOB=55°， .LCAH=55°. 20.(1)∠MEN=∠AME+∠CNE,理由(1)∠MEN=∠AME+LCNE 如图，过E点作EF∥AB, M A -B N 一D :AB∥CD, .AB∥CD∥EF, .∠AME=∠MEF,∠CNE=∠NEF, .∠MEN=∠MEF+∠NEF=∠AME+∠CNE. (2)165°；(3)3秒或9秒 21.(1)75 (2)15 (3)9秒或27秒或36秒或45秒或63 22.(1)90 (2)①30°；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，CP与△EFG的 23.(1)解：如图所示，直线BM和射线DN即为所求； 让教与学更高效 ,理由如下： 边平行. 学科网 www.zxxk.com M N ! D B C (2)66° 目目 考点03 根据平行线的判定与性质求角度 24.126°/126度 25.南偏西75 26.96° 27.50 28.28°/28度 29.100°/100度 30.120 31.144°/144度 32.30° 33.(1)①证明：：∠CDF+∠DFE=180°， .AE∥DC, LAEB=∠C .∠C=∠DAE ·LAEB=LDAE .AD∥BC; ②∠DFE=∠ADF+∠AEB,理由如下， 如图所示，过点F作FG∥AD D .∠DFG=∠ADF E 图1 :AD∥BC 5/8 让教与学更高效 6学科网 www.zxxk.com .FG‖BC .LGFE=∠AEB .LDFE=LDFG+∠EFG=LADF+∠AEB; (2)104° 34.(1)30° (2075°或30°；②3.6或90 ×13 35.(1)证明：：∠1+∠CFE=180°，∠1=∠ACF, .∠CFE+∠ACF=180°. AC EF (2)∠EDF=75°. 36.C 37.C 38.D 39.D 40.AB;DE;同旁内角互补，两直线平行；DEC;两直线平行 41.:EF⊥BC,AD1BC(已知)， :.∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义）， .EF∥AD(同位角相等，两直线平行)， .∠2=∠3（两直线平行，同位角相等)， :∠1=∠2（己知)， .∠1=∠3（等量代换）， .DG∥AB(内错角相等，两直线平行). 42.证明：：∠E0F+∠0FC=180°， OE‖CF(同旁内角互补，两直线平行)， ∠E0C=∠OCF(两直线平行，内错角相等)， :OE平分∠AOC,CF平分∠0CD, .LA0C=2LE0C,∠0CD=2∠0CF, .∠A0C=∠0CD, AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 让教与学更高效 ,同位角相等；DEC 函学科网 www zxxk.com 43.(1)证明：：∠AFE=50°， .∠DFG=∠AFE=50° :∠FGC=130°， ∠DFG+∠FGC=50°+130°=180°， :AD∥BC; (2)解：AB∥CD. 理由如下：：AD∥BC, .∠D+∠DCB=180°. ,∠B=∠D, ∠B+∠DCB=180°， .AB∥CD. 44.两直线平行，同旁内角互补；己知；180；等量代换；同旁内角互补， 的两条直线平行 45.(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)证明：因为∠1=∠C, 所以GD∥AC（同位角相等，两直线平行)， 所以∠CAD=∠2（两直线平行，内错角相等）， 因为∠2+∠3=180°， 所以∠CAD+∠3=180°（等量代换）， 所以AD‖EF(同旁内角互补，两直线平行)， 因为EF⊥BC,即∠EFC=90°， 所以∠ADC=∠EFC=90°（两直线平行，同位角相等）， 所以AD⊥BC(垂直的定义)， 46.CD；内错角相等，两直线平行；∠B;两直线平行，同位角相等； 平行；平行于同一直线的两直线平行 47.证明：EFDC, .∠2+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）. .∠1+∠2=180°， .∠1=∠DCF. 7/8 让教与学更高效 两直线平行；平行于同一条直线 3;BG;同旁内角互补，两直线 丽学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 :AC∥DH（内错角相等，两直线平行). :∠A=∠BDH(两直线平行，同位角相等). 专题05 平行线性质的应用（四大题型，47题） 4大高频考点概览 考点01根据平行线的性质探究角的关系 考点02根据平行线的性质求角的度数 考点03根据平行线的判定与性质求角度 考点04 根据平行线判定与性质证明 地 城 考点01 根据平行线的性质探究角的关系 一、填空题 1．(24-25七下·上海浦东新区·期中)同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么________ 2．（24-25七下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________． 3．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 二、解答题 4．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 5．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属中学·期中)在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 地 城 考点02 根据平行线的性质求角的度数 一、单选题 6．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．(24-25七下·上海浦东新区·期中)一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25七下·上海市曹杨第二中学附属·期中)平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图，直线a，b被直线c所截，，如果，那么的大小为______． 11．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)如图，平分，且．如果，那么______． 12．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 13．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，直线，若，则________度． 14．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 15．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图所示，平面镜与平面镜平行，光线射向平面镜后，光的传播路线为，已知，，，那么________． 16．(24-25七下·上海静安区·期中)如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么___________． 17．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 18．(24-25七下·上海闵行区·期中)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为______． 三、解答题 19．(24-25七下·上海普陀区·期中)我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 20．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 21．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 22．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 23．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 地 城 考点03 根据平行线的判定与性质求角度 一、填空题 24．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 25．(24-25七下·上海张江集团中学·期中)如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按______方向开工，才能使隧道准确接通． 26．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，平分，平分，的反向延长线交于点M，若，则_________． 27．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，已知，平分，如果，那么_________°． 28．(24-25七下·上海奉贤区·期中)如图，已知，交于点，，，那么___________ ∵， ∴， 29．(23-24七下·上海宝山区·期中)如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 30．(24-25七下·上海奉贤区·期中)如图，直线，直线d与直线a，b相交，若，则的度数是_______． 31．(24-25七下·上海闵行区七宝民办文来学校·期中)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 二、解答题 32．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 33．(24-25七下·上海奉贤区·期中)在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 34．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 35．(24-24七下·上海黄浦区·期中)如图，已知， (1)求证：； (2)求． 地 城 考点04 根据平行线判定与性质证明 一、单选题 36．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 37．(24-25七下·上海第四教育署·期中)如图，在下列给出的条件中，能判定的是（   ）      A．； B．； C．； D．. 38．(24-25七下·上海静安区教育学院附属学校·期中)如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 39．(24-25七下·上海静安区教育学院附属学校·期中)如果两条直线被第三条所截，那么一组内错角的平分线（    ） A．互相垂直； B．相交； C．互相平行； D．关系不能确定． 二、解答题 40．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 41．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 42．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 43．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 44．(24-25七下·上海松江区·期中)如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 45．(24-25七下·上海奉贤区·期中)阅读： 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（依据1）， 所以（依据2）， ．．．．．． 完成任务： (1)上述的证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1 依据2 (2)请继续完成本题的证明过程． 46．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，点在射线上，，， 求证： 请你补全下面的证明过程： 证明： （已知） ________（   ） ________（   ） （已知） ________（等量代换） ________（   ） 又（已知） （   ） 47．(24-25七下·上海嘉定区·期中)如图，已知：、是线段上的点，是线段上的点，，是线段上的点，且．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：∵， ___________（___________）． ∵， ___________． ______________________（___________）． （___________）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线性质的应用（四大题型，47题） 4大高频考点概览 考点01根据平行线的性质探究角的关系 考点02根据平行线的性质求角的度数 考点03根据平行线的判定与性质求角度 考点04 根据平行线判定与性质证明 地 城 考点01 根据平行线的性质探究角的关系 一、填空题 1．(24-25七下·上海浦东新区·期中)同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么________ 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角度的关系，由题意可得，根据的两边与的两边分别平行，得出或，分别求解即可． 【详解】解：∵比的3倍少， ∴， ∵的两边与的两边分别平行， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 2．（24-25七下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 3．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 二、解答题 4．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 5．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属中学·期中)在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)15 (3)垂直，理由见解析 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； （2）解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； （3）解：垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ． 地 城 考点02 根据平行线的性质求角的度数 一、单选题 6．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 7．(24-25七下·上海浦东新区·期中)一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，进而得到，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意，得：， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 8．(24-25七下·上海市曹杨第二中学附属·期中)平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定即性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 假设时，得到的度数，再对比原来的度数即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，即， ∴此时， 又∵， ∴则需转动的最小角度为：， 故选：A． 二、填空题 10．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图，直线a，b被直线c所截，，如果，那么的大小为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了平行线的性质． 先根据平角的定义得到，再根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：如图所示， ，， ． 又， ， 故答案为：． 11．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)如图，平分，且．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】66 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，直线，若，则________度． 【答案】135 【分析】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由直线，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：135 14．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 15．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图所示，平面镜与平面镜平行，光线射向平面镜后，光的传播路线为，已知，，，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，由平行线的性质可得，结合题意即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．(24-25七下·上海静安区·期中)如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么___________． 【答案】/72度 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，设，则，，由折叠的性质可得，，求出，由平行线的性质可得，，计算即可得解． 【详解】解：设，则， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠的性质可得，，再由平行的性质得，再利用平角的性质得，则求得，再根据可得答案． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．(24-25七下·上海闵行区·期中)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：已知，，交于点O．求的度数． ①如图1，∵， ∴； ∵， ∴； ②如图2，∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 综上，另一个角的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 19．(24-25七下·上海普陀区·期中)我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线，平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 由垂直的定义得，可得，根据平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 20．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 21．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 22．(24-25七下·上海蒙山中学·期中)如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 23．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，画垂线和画平行线，熟知垂线的定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂线和平行线的画法画图即可； （2）由平行线的性质得到，由垂线的定义得到，再根据已知条件得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线和射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵比的4倍少， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 根据平行线的判定与性质求角度 一、填空题 24．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 25．(24-25七下·上海张江集团中学·期中)如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按______方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 26．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，平分，平分，的反向延长线交于点M，若，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义．过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 28．(24-25七下·上海奉贤区·期中)如图，已知，交于点，，，那么___________ 【答案】/28度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 29．(23-24七下·上海宝山区·期中)如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【答案】/100度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 30．(24-25七下·上海奉贤区·期中)如图，直线，直线d与直线a，b相交，若，则的度数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线判定和性质，熟记性质是解题的关键． 根据得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 31．(24-25七下·上海闵行区七宝民办文来学校·期中)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 32．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 33．(24-25七下·上海奉贤区·期中)在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 34．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 35．(24-24七下·上海黄浦区·期中)如图，已知， (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键； （1）及，得，由平行线的判定即可证明； （2）由及已知得，即可得，从而有，由已知即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ； （2）解：， ， ， ． ． ． ， ． 地 城 考点04 根据平行线判定与性质证明 一、单选题 36．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，由可得，进而根据平行线的性质以及对顶角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与是对顶角，与是对顶角， ∴， ∴与相等的角共有个， 故选：． 37．(24-25七下·上海第四教育署·期中)如图，在下列给出的条件中，能判定的是（   ）      A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； B、∵， ∴是的平分线，故该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，故该选项正确，符合题意； D、∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 38．(24-25七下·上海静安区教育学院附属学校·期中)如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，①根据内错角相等，判定两直线平行；②根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；③根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；④根据两直线平行，内错角相等判定． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以①正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故②正确； ∵，（已证）， ∴，， ∴（同角的补角相等）， 所以③正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 所以④正确． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 39．(24-25七下·上海静安区教育学院附属学校·期中)如果两条直线被第三条所截，那么一组内错角的平分线（    ） A．互相垂直； B．相交； C．互相平行； D．关系不能确定． 【答案】D 【分析】本题考查内错角平分线的位置关系，根据此题中的两直线不一定平行，故内错角之间的大小关系不能确定，所以内错角的平分线的位置关系不能确定． 【详解】解：分两种情况： ①若原两直线平行，则内错角相等， 内错角的平分线将原角均分，形成两个相等的半角。此时，平分线形成的角仍为内错角且相等，根据平行线的判定定理（内错角相等则两直线平行），平分线互相平行； ②若原两直线不平行，则内错角不相等， 平分线形成的半角也不相等，此时平分线不满足平行条件，必然相交． 综上，题目未明确原两直线是否平行，因此内错角平分线的位置关系（平行或相交）无法确定． 故选：D． 二、解答题 40．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 41．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的判定和性质，根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 42．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据题意易证，进而推出，得到，由角平分线的定义可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）． 43．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了同旁内角互补，两直线平行，对顶角相等，等量代换，理解相关知识是解答关键． （1）根据对顶角相等得到，再利用同旁内角互补，两直线平行即可求解； （2）根据两直线平行同旁同角互补得到，结合已知用等量代换和同旁内角互补，两直线平行求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ． ， ， ． 44．(24-25七下·上海松江区·期中)如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点E作，可得，再由，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） 即 ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 45．(24-25七下·上海奉贤区·期中)阅读： 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（依据1）， 所以（依据2）， ．．．．．． 完成任务： (1)上述的证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1 依据2 (2)请继续完成本题的证明过程． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质回答即可； （2）由，等量代换推出，推出，再根据，即可证明结论． 【详解】（1）解：依据1：同位角相等，两直线平行； 依据2：两直线平行，内错角相等； （2）证明：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 因为，即， 所以（两直线平行，同位角相等）， 所以（垂直的定义）． 46．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，点在射线上，，， 求证： 请你补全下面的证明过程： 证明： （已知） ________（   ） ________（   ） （已知） ________（等量代换） ________（   ） 又（已知） （   ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，则可推出，据此可证明，进而可证明结论． 【详解】证明：（已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知） （平行于同一直线的两直线平行） 47．(24-25七下·上海嘉定区·期中)如图，已知：、是线段上的点，是线段上的点，，是线段上的点，且．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：∵， ___________（___________）． ∵， ___________． ______________________（___________）． （___________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由两直线平行，同旁内角互补结合题意得出，从而推出，再由平行线的性质即可得解． 【详解】证明：∵， （两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $