专题02 二元一次方程组（期中真题汇编，北京专用北京版）七年级数学下学期

专题02 二元一次方程组 6大高频考点概览 考点01二元一次方程的定义 考点02二元一次方程/组的解 考点03已知二元一次方程组的解求参数 考点04 解方程组 考点05 二元一次方程组与实际问题 考点06 二元一次方程组的其它应用 ( 地 城 考点01 二元一次方程的定义 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京昌平区·期中）如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 2．（24-25七下·北京怀柔区·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，逐个选项判断． 【详解】解：二元一次方程需满足：①含有两个未知数；②未知数的次数为1；③整式方程． A. 只含一个未知数，且项次数为2，此选项不符合题意； B. 含两个未知数x和y，次数均为1，是整式，此选项符合题意； C. 含两个未知数，但项次数为2，此选项不符合题意； D. 含两个未知数，但不是整式，此选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七下·北京密云区·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程， 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断． 【详解】解：A：，含，次数为2，不符合题意； B：，含x和y两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合题意； C：，分母含x，不是整式方程，不符合题意； D：，只含一个未知数，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，方程是二元一次方程，需满足两个条件：有两个未知数，且每个未知项的次数均为． 【详解】解：∵ 方程 是二元一次方程， 方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为 A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意； B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意； C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 2、 填空题 5．（24-25七下·北京房山区·期中）已知是二元一次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得． 故答案为 ：2． 6．（24-25七下·北京延庆区·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________． 【答案】 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：由方程是关于x，y的二元一次方程， 得|n|＝1且n﹣1≠0； 解得n＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 7．（24-25七下·北京通州区·期中）写出一个解为的二元一次方程组________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】先围绕列一组算式 如1+2=3，1-2=-1 然后用x，y代换 得等． 8．（24-25七下·北京昌平区·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须为1，且y的系数不能为零． 【详解】解：∵是一个二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． ( 地 城 考点02 二元一次方程 /组 的解 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京房山区·期中）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加减消元法即可求解． 【详解】解 ②-①得x=2 把x=2代入①得y=3 ∴方程组的解为 故选A． 【点睛】此题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟知加减消元法的运用． 2．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解，由题意求解即可得到答案，理解二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得二元一次方程组， 结合二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解， 是方程的三个解；是方程的三个解， 元一次方程组的解是， 故选：C． 3．（24-25七下·北京延庆区·期中）下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将选项中的各组数值代入验证等式是否成立即可得到答案．理解二元一次方程的解是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； B、将代入二元一次方程， 则，故该选项符合题意； C、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； D、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七下·北京通州区·期中）小明用表格求代数式和代数式的值，观察表格里面的数据．其中既是方程的解，也是方程的解的是（   ） x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 1 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，对照数据，找出当时，两代数式的值相等是解题的关键． 观察表格中的数据，即可得出结论． 【详解】解：观察表格中的数据，可得出：当时，，此时， ∴既是方程的解，也是方程的解的是． 故选：B． 5．（24-25七下·北京通州区·期中）已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把个选项的值代入方程中计算即可判断求解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 、把代入方程得，， ∴是方程的解，该选项符合题意； 、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 故选：． 6．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，那么a的值为（    ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义：使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值是解决本题的关键． 把代入，得关于a的方程，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． ． 故选：A． 2、 填空题 7．（24-25七下·北京昌平区·期中）写出一个解为的二元一次方程______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．取方程，将x，y的值相加，即可得出结论． 【详解】解：， ， 是二元一次方程的一个解． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25七下·北京顺义区·期中）如果是关于x，y的方程的解，那么 ______． 【答案】2 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的方程的解， ∴，解得：a=2， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键． 9．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知关于的方程组的解是，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由题意得，解得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 10．（24-25七下·北京顺义区·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 11．（24-25七下·北京通州区·期中）已知关于x、y的二元一次方程的解如下表 x … 0 1 2 … … 2 5 … (1)求k、b的值； (2)求当时x的值． (3)直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程的解得问题，解一元一次不等式，解题的关键是方程的解满足方程代入左右两边相等． （1）将方程的解代入方程组解方程组即可得到答案； （2）根据（1）将代入即可得到答案； （3）由（1）知k、b的值，建立一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：当时， ，当时， ， 则， 解得：； （2）解：由（1）知二元一次方程原式为， 令， 解得：； （3）解：由（1）知， 则， 解得：． ( 地 城 考点0 3 已知二元一次方程组的解求参数 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京顺义区·期中）方程组的解满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两式相加得到x，代入②得到方程组的解，即可得到答案； 【详解】解：两式相加得， ，解得， 将代入②得， ， ∴，，， 故选B； 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确解出方程组的解在代入代数式判断 2．（24-25七下·北京昌平区·期中）关于，的方程组的解为则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将方程组的解代入方程组即可求出m与n的值． 【详解】解：将x＝2，y＝n代入方程组得： ， 解得：，， 故选：C. 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 2、 填空题 3．（24-25七下·北京房山区·期中）若二元一次方程组的解为，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的定义得出，然后求出的值，进而即可得出结果． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， ∴，得， ∴， 故答案为∶3． 4．（24-25七下·北京怀柔区·期中）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解∶∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶0． 5．（24-25七下·北京延庆区·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集求参数范围，涉及不等式组的解法，先解不等式组中的不等式，再由不等式组解集即可得到答案．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得； 由②得； 关于的不等式组的解集为， ， 故答案为：． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围. 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．先解方程组可得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ， ， 解得：． 7．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查由二元一次方程组解的情况求参数，先解二元一次方程组，再将解代入不等式得到关于不等式，即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组， ∴由①，得③， ∴由②③，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∵原方程组的解满足， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 8．（24-25七下·北京房山区·期中）已知方程组的解x，y满足，且m为非负数，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出的取值范围． 根据消元法，得出的值，再根据，且为非负数，可得答案． 【详解】解：， ，得：， ， ， ∴， 解得，， 又 ∵， ． ( 地 城 考点0 4 解方程组 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京通州区·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论取什么有理数，的值始终不变；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平方差公式的应用，根据题意把各选项条件代入方程组解答可判断①②③⑤，解方程组，再把方程组的解代入代数式可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程可化为， ∴方程组的解不是方程的解，故①错误； ②当时，方程可化为， ∴，故②正确； ③当时，方程组可化为， ∴， 解得，故③错误； ④解方程组，得， ∴， ∴不论取什么有理数，的值始终不变，故④正确； ⑤当时，，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论有②④⑤， 故选：． 2、 填空题 2．（24-25七下·北京房山区·期中）学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了下图： 请问图中①处应填______． 【答案】方程两边分别相加 【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组的步骤，根据加减法的步骤进行解答即可． 【详解】解：根据加减法解二元一次方程组的步骤可知，相同未知数系数的绝对值相同，系数的符号不同，则方程两边分别相加， 故答案为：方程两边分别相加 3、 解答题 3．（24-25七下·北京通州区·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 4．（24-25七下·北京延庆区·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解三元一次方程组等知识点，掌握加减消元法成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）①可得③，然后运用加减消元法求解即可； （3）①②可得④，③④得，解得：．进而求得x、y的值即可解答． 【详解】（1）解： ①②，得，解得． 把带入①，得，解得：． ∴原方程组的解为：． （2）解： ①得，③． ②-③可得：，解得：， 把代入，解得：． ∴原方程组的解为： （3）解： ①②，得，即④   ③④，得，解得：． 把代入③可得：，解得：． 把代入①，得，解得：． ∴原方程组的解为： 5．（24-25七下·北京昌平区·期中）解方程组：. 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①，得③， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． 6．（24-25七下·北京顺义区·期中）解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】； 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可． 【详解】解： ∵由①，得， 由②，得， ∴原不等式组的解集为：， ∴原不等式组的所有整数解为：0，1，2． 【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组及求其整数解，解决此类问题的关键是正确解得一元一次不等式组的解集． 7．（24-25七下·北京顺义区·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可． 【详解】， ①×4+②得：11x＝22， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝1， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法与代入消元法是求解的关键. 8．（24-25七下·北京房山区·期中）用代入消元法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由②，得， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为． ( 地 城 考点0 5 二元一次方程组与实际问题 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京房山区·期中）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设有x人，y辆车，根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， ∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车， ∴3（y−2）＝x； ∵每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， ∴x−9＝2y； ∴可列方程组， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（24-25七下·北京延庆区·期中）如图，用8个大小相同的小长方形拼成一个宽为的大长方形，则大长方形的面积为（   ） A．5400 B．864 C．675 D．45 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则：由图可知： ，解得：， ∴大长方形的面积为； 故选A． 3．（24-25七下·北京延庆区·期中）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，是解题的关键．设共有人，有辆车，根据每3人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，列出方程组即可． 【详解】解：设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为： ， 故选：B． 4．（24-25七下·北京顺义区·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？ 如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】买优质酒斗，买普通酒斗，根据今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱的题意，列出方程组． 【详解】解：设买优质酒斗，买普通酒斗， 依据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，解题的关键是：读懂题意，设出未知数、找出合适的等量关系、列出方程组． 2、 填空题 5．（24-25七下·北京通州区·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个小长方形的长为，宽为，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每个小长方形的长为，宽为， ∴每个小长方形的面积为． 故答案为：． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京通州区·期中）小辰同学开学初购买了一些学习用品，数据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表中可以看清的数据，完成下面的问题． 商品名 单价/元 数量 金额/元 碳素笔 7 铅笔 3 转笔刀 5 1 5 笔记本 2本 16 量角器 6 2个 合计 13件 77 (1)笔记本的单价：__________元；购买量角器的总金额__________元； (2)求购买碳素笔和铅笔各多少支？ 【答案】(1)8；12 (2)购买碳素笔5支，购买铅笔3支． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘除法的实际应用，正确读懂表格是解题的关键． （1）用笔记本的购买金额除以其购买数量即可求出笔记本的单价；用购买量角器的数量乘以单价可以求出其购买金额； （2）设购买碳素笔x支，购买铅笔y支，根据所有文件数量为13件，总金额为77元建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴笔记本的单价为8元， 元， ∴购买量角器的总金额为12元； （2）解：设购买碳素笔x支，购买铅笔y支， 由题意得，， 解得， 答：购买碳素笔5支，购买铅笔3支． 7.（24-25七下·北京延庆区·期中）．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车出租公司计划购进一批新能源汽车，据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元． (1)问、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用1000万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且计划投入的资金正好用完，问共有几种购买方案？ 【答案】(1)种型号的汽车每辆进价为16万元，种型号的汽车每辆进价为25万元 (2)①种型号的汽车25辆，种型号的汽车24辆；②种型号的汽车50辆，种型号的汽车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．根据2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元建立方程组求解即可； （2）设购买种型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据购买费用为1000万建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． 由题意，得  解此方程组，得 经检验，是原方程组的解，也符合实际情况． 答：种型号的汽车每辆进价为16万元，种型号的汽车每辆进价为25万元． （2）解：设购买种型号的汽车辆，种型号的汽车辆． ∴． ∴． 根据实际意义，则均为非负整数． ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； ∵两种型号的汽车均购买， ∴舍去． 答：所有的租车方案为：①种型号的汽车25辆，种型号的汽车24辆；②种型号的汽车50辆，种型号的汽车8辆． 8．（24-25七下·北京顺义区·期中）每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入，两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买种书柜3个，种书柜2个，共需资金1020元；若购买种书柜1个，种书柜3个，共需资金900元． (1)、两种规格的书柜的单价分别是多少？ (2)若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投入4350元的资金购买书柜，则种书柜最多可以购买多少个？ 【答案】(1)A种书柜的单价熟练掌握180元，B种书柜的单价是240元 (2)B种书柜最多可以买12个 【分析】（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个、B种书柜2个，共需资金1020元；购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，根据学校至多有4350元的资金，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解． 【详解】（1）解：设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得： ， 解得， 答：A种书柜的单价是180元，B种书柜的单价是240元； （2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，依题意得： 180m+240（20﹣m）≤4350， 解得：m≥7.5， 则20﹣m≤12.5， ∵m为整数， ∴B种书柜最多可以买12个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 9．（24-25七下·北京房山区·期中）2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元． (1)A，B两种规格的书架单价分别是多少元？ (2)若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？ 【答案】(1)A种规格的书架单价是元，B种规格的书架单价是元 (2)B种规格的书架最多可以购买个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买B种书架m个，则购买A种书架个，根据总费用不能超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解． 【详解】（1）解：设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种规格的书架单价是元，B种规格的书架单价是元； （2）解：设购买B种书架m个，则购买A种书架个，根据题意： ， 解得：， 答：B种规格的书架最多可以购买个． ( 地 城 考点0 6 二元一次方程组的其它应用 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京房山区·期中）若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键． 将已知解代入方程求出y，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， 故和分别为5和2． 故选A． 2．（24-25七下·北京怀柔区·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 3．（24-25七下·北京平谷区·期中）方程组的解与的值互为相反数，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题的关键； 利用加减消元法得，，再根据相反数的定义，即可得到答案． 【详解】 ，得 ， 把代入得， ， 与的值互为相反数， ， 解得． 故选：B． 2、 填空题 4．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知，满足，则_______． 【答案】 【分析】观察方程组及所求式的特点，①+②即可求解． 【详解】， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组及代数式的求值，熟知加减消元法解二元一次方程组是解答此题的关键． 5．（24-25七下·北京延庆区·期中）解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．通过解方程组得到 x 和 y 用 k 表示的表达式，再代入方程 ，即可求解k． 【详解】解：解方程组， 两式相加得：， 所以； 两式相减得， 所以． 将和代入，得： ， 解得． 故答案为：1 3、 解答题 6．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知x，y是有理数，求满足的x，y的值. 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性可得：，然后解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵， ， 解得：． 7．（24-25七下·北京顺义区·期中）某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________． 【答案】 3 1，1，3 【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，根据题意推出，再由使用乙种原料最多，则A、C的个数要尽可能的多，B的个数要尽可能的少，即可得到． 【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得，， 解得， ∴制作型工艺品的个数为3个， 故答案为：3； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得，， ∴， ∴， ∴ ∵使用乙种原料最多， ∴A、B的个数要尽可能的少，B的个数要尽可能的多， ∴， 故答案为：1，1，3． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，不等式和方程相结合的问题，正确理解题意列出对应的方程和不等式是解题的关键． 8．（24-25七下·北京昌平区·期中）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ． ， 解得； （2）解：由（1）得，， ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 6大高频考点概览 考点01二元一次方程的定义 考点02二元一次方程/组的解 考点03已知二元一次方程组的解求参数 考点04 解方程组 考点05 二元一次方程组与实际问题 考点06 二元一次方程组的其它应用 ( 地 城 考点01 二元一次方程的定义 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京昌平区·期中）如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 2．（24-25七下·北京怀柔区·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七下·北京密云区·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25七下·北京房山区·期中）已知是二元一次方程，则a的值为_______． 6．（24-25七下·北京延庆区·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________． 7．（24-25七下·北京通州区·期中）写出一个解为的二元一次方程组________. 8．（24-25七下·北京昌平区·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是___________． ( 地 城 考点02 二元一次方程 /组 的解 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京房山区·期中）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七下·北京延庆区·期中）下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七下·北京通州区·期中）小明用表格求代数式和代数式的值，观察表格里面的数据．其中既是方程的解，也是方程的解的是（   ） x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 1 0 … A． B． C． D． 5．（24-25七下·北京通州区·期中）已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，那么a的值为（    ） A． B．1 C．0 D．3 2、 填空题 7．（24-25七下·北京昌平区·期中）写出一个解为的二元一次方程______. 8．（24-25七下·北京顺义区·期中）如果是关于x，y的方程的解，那么 ______． 9．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知关于的方程组的解是，则的值为___________． 3、 解答题 10．（24-25七下·北京顺义区·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 11．（24-25七下·北京通州区·期中）已知关于x、y的二元一次方程的解如下表 x … 0 1 2 … … 2 5 … (1)求k、b的值； (2)求当时x的值． (3)直接写出的解集． ( 地 城 考点0 3 已知二元一次方程组的解求参数 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京顺义区·期中）方程组的解满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七下·北京昌平区·期中）关于，的方程组的解为则（    ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题 3．（24-25七下·北京房山区·期中）若二元一次方程组的解为，则的值是______． 4．（24-25七下·北京怀柔区·期中）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 5．（24-25七下·北京延庆区·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是___________． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围. 7．（24-25七下·北京延庆区·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 8．（24-25七下·北京房山区·期中）已知方程组的解x，y满足，且m为非负数，求m的取值范围． ( 地 城 考点0 4 解方程组 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京通州区·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论取什么有理数，的值始终不变；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 2、 填空题 2．（24-25七下·北京房山区·期中）学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了下图： 请问图中①处应填______． 3、 解答题 3．（24-25七下·北京通州区·期中）解下列方程组 (1) (2) 4．（24-25七下·北京延庆区·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) 5．（24-25七下·北京昌平区·期中）解方程组：. 6．（24-25七下·北京顺义区·期中）解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解． 7．（24-25七下·北京顺义区·期中）解方程组：． 8．（24-25七下·北京房山区·期中）用代入消元法解方程组 ( 地 城 考点0 5 二元一次方程组与实际问题 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京房山区·期中）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七下·北京延庆区·期中）如图，用8个大小相同的小长方形拼成一个宽为的大长方形，则大长方形的面积为（   ） A．5400 B．864 C．675 D．45 3．（24-25七下·北京延庆区·期中）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七下·北京顺义区·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？ 如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25七下·北京通州区·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是__________． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京通州区·期中）小辰同学开学初购买了一些学习用品，数据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表中可以看清的数据，完成下面的问题． 商品名 单价/元 数量 金额/元 碳素笔 7 铅笔 3 转笔刀 5 1 5 笔记本 2本 16 量角器 6 2个 合计 13件 77 (1)笔记本的单价：__________元；购买量角器的总金额__________元； (2)求购买碳素笔和铅笔各多少支？ 7.（24-25七下·北京延庆区·期中）．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车出租公司计划购进一批新能源汽车，据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元． (1)问、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用1000万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且计划投入的资金正好用完，问共有几种购买方案？ 8．（24-25七下·北京顺义区·期中）每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入，两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买种书柜3个，种书柜2个，共需资金1020元；若购买种书柜1个，种书柜3个，共需资金900元． (1)、两种规格的书柜的单价分别是多少？ (2)若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投入4350元的资金购买书柜，则种书柜最多可以购买多少个？ 9．（24-25七下·北京房山区·期中）2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元． (1)A，B两种规格的书架单价分别是多少元？ (2)若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？ ( 地 城 考点0 6 二元一次方程组的其它应用 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京房山区·期中）若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 2．（24-25七下·北京怀柔区·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 3．（24-25七下·北京平谷区·期中）方程组的解与的值互为相反数，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 4．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知，满足，则_______． 5．（24-25七下·北京延庆区·期中）解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为______． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京昌平区·期中）已知x，y是有理数，求满足的x，y的值. 7．（24-25七下·北京顺义区·期中）某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________． 8．（24-25七下·北京昌平区·期中）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $