专题01 相交线与平行线（期中真题汇编，北京专用人教版）七年级数学下学期

专题01 相交线与平行线 5大高频考点概览 考点01邻补角与对顶角 考点02命题与定理 考点03平行线的判定 考点04 平行线的性质 考点05 尺规作图 ( 地 城 考点01 邻补角与对顶角 ) 1、 选择题 1．24-25七下·北京丰台区·期中）如图，直线相交于点平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是邻补角的含义，角平分线的含义，求解 证明是解本题的关键． 利用邻补角的含义求解 再利用角平分线的含义求解即可． 【详解】解： ， 平分， 故选C 2．24-25七下·北京朝阳区·期中）如图，直线a，b相交于点O，若等于，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，根据邻补角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵和是邻补角， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．24-25七下·北京门头沟区·期中）如图，直线相交于点O，射线平分，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义求出，再由对顶角相等即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：C． 4．（24-25七下·北京西城区·期中）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意； B．与是邻补角，故选项符合题意； C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意； D．与是同旁内角，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键． 5．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE=50°，则∠AOC等于（  ） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】根据题意求出∠BOD=40°，然后利用对顶角性质得出∠AOC度数即可. 【详解】∵OE⊥AB，且∠DOE=50°， ∴∠BOD=40°， ∵∠AOC与∠BOD为对顶角， ∴∠AOC=40°， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握相关概念是解题关键. 6．（24-25七下·北京大兴区·期中）下列语句中，是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理的相关内容，解题的关键是了解有关的定义及定理．本题分别利用锐角和钝角的定义、平行线的性质、命题的定义及互余的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、过一点作直线的垂线，不是命题，不符合题意； D、同角的余角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 7．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，直线，相交于点O，如果，那么的度数为（  ）    A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】根据对顶角相等得出，进而求出，再根据邻补角求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角，正确理解题意是解题的关键． 2、 填空题 8．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，直线 AB ，CD  相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE=___________．    【答案】140° 【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案． 【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5， ∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x， 故4x+5x=180°， 解得：x=20°， 可得：∠COE=80°，∠EOD=100°， ∵OA平分∠EOC， ∴∠COA=∠AOE=40°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=140°． 故答案为140°. 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键. 3、 解答题 9．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，已知直线，相交于点，射线平分，于点，    (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可． （2）平分．分别求出，即可判断． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：平分． 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ( 地 城 考点02 命题与定理 ) 一、选择题 1．（24-25七下·北京东城区·期中）下列命题中为假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题； B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题； C、在同一平面内，垂直于同条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题； D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题， 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识，难度不大． 2．（24-25七下·北京大兴区·期中）下列语句中，是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理的相关内容，解题的关键是了解有关的定义及定理．本题分别利用锐角和钝角的定义、平行线的性质、命题的定义及互余的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、过一点作直线的垂线，不是命题，不符合题意； D、同角的余角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七下·北京海淀区·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两个无理数相加，结果仍然是无理数 C．同位角相等 D．等角的余角相等 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假，熟记相关定理及性质是解题的关键．根据对顶角的定义、无理数的性质、平行线的性质、余角的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项是假命题，不符合题意； B、两个无理数相加，结果不一定是无理数，故此选项是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故此选项是假命题，不符合题意； D、等角的余角相等，故此选项是真命题，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七下·北京西城区·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．如果，那么 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可． 【详解】解：A、如果两个角是对顶角，那么它们相等，是真命题，不符合题意； B、两直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行，若两直线不平行，同旁内角不互补，因此该命题不成立，是假命题，符合题意； C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意； D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意； 故选：B． 2、 填空题 5．（24-25七下·北京西城区·期中）下列命题： ①某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0； ②两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离； ④同旁内角互补． 以上是假命题的是________．（填序号） 【答案】③/④ 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定和性质，算术平方根的性质，点到直线的距离的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0；故①为真命题； 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行，故同位角必相等；故②为真命题； 直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫点到直线的距离；故③为假命题； 当两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，当两直线不平行，两条直线被第三条直线所截，同旁内角就不互补；故④为假命题； 故答案为：③④ 6．（24-25七下·北京海淀区·期中）能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果．．．，那么．．．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 选取的的值不满足“若，则”即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， ∴可以作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例， 故答案为：（答案不唯一）． 3、 解答题 7．（24-25七下·北京西城区·期中）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程． 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴______//______(______)． ∵（已知）， ∴//(______)． ∴//______(______)． ∴(______)． 【答案】；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用． 8．（24-25七下·北京海淀区·期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，把代入求出、即可；②把代入，求出的值，再根据判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④根据和求出，再求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ①当时，，， 所以、互为相反数，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ， 此时符合，故②正确； ③当时， ，， 方程组的解是， 把，代入方程得：左边右边， 即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确； ④∵， ， 即， ∵， ∴， ， ， ，故④正确； 故选：D． ( 地 城 考点0 3 平行线的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质与判定．先运用角平分线的定义和平行线的判定推导出，再运用平行线的性质推导出．再由， ，可推导出，继而可求证． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， 故选项A正确． ∴， ∴． 故选项B正确． ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项C正确． 而从已知条件无法判定． 故选D． 2．（24-25七下·北京海淀区·期中）下列图形中，由，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、如图， ，， ， ，符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，能得到，不能得到，不符合题意； D、由，不能得到，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，下列条件中能判断的是（  ） ①；②；③；④．    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故①能判断； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故②能判断； ∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故③不能判断； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④能判断； 判断的是①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 4．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，，下列条件可以证明的是（    ）． ①；②；③；④． A．②③④ B．①② C．②④ D．② 【答案】C 【分析】根据两直线平行的判定定理，对条件依次进行判断即可． 【详解】解：①③不能判定； ②，可以根据同位角相等，两直线平行可以判定； ④，可以根据同旁内角互补，两直线平行可以判定；选项C符合题意． 故选C． 2、 填空题 5．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件______，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（任填一个即可）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，，，证明：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：（已知）， __________（__________）． （已知）， __________（__________）． （__________）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．由题意根据平行线的判定定理与性质定理并结合前后逻辑进行填空即可． 【详解】证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （平行于同一直线的两直线互相平行）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行． 7．（24-25七下·北京西城区·期中）已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质． （1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ， ∴． ∵， ∴． 8．（24-25七下·北京海淀区·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 9．（24-25七下·北京海淀区·期中）完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴____________=____________．（____________） ∵，（已知） ∴____________．（同角的补角相等） ∴．（____________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，根据题意，则，根据，等量代换，则，再根据平行线的判定，即可． 【详解】证明，如下： ∵，（已知） ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵，（已知） ∴．（同角的补角相等）    ∴．（内错角相等，两直线平行） ( 地 城 考点0 4 平行线的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图所示，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平角的定义得到，求出的度数，再利用两直线平行，内错角相等即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C． 2、 填空题 2．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，AB∥CD，，，则________． 【答案】40 【分析】由得到，再利用三角形的外角定理可以求出． 【详解】∵，∠C＝70°， ∴， 又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°， ∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到＝∠FEB－∠A是解题关键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．（24-25七下·北京海淀区·期中）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度． 【答案】75 【分析】首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：75． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并能灵活应用是解题关键． 3、 解答题 4．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，平行直线，与直线相交，交点分别为，，平分，平分，猜想和的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，并能够灵活运用这些知识来解决问题．本题通过平行线的性质和角平分线的定义即可推导出和的位置关系． 【详解】解：，证明如下： 平分，平分， ，， 又， ， ， ． 5．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，已知，．    (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判断得出； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直定义得出，根据平行线的性质得出，最后求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 6．（24-25七下·北京西城区·期中）将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上．          (1)将图1中的三角形绕点B及逆时针旋转，且点A在直线的下方． ①如图2，当时，求证：； ②当时，直接写出的度数； (2)将图1中的三角形绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边上时，过点E作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析， 【分析】（1）利用平行线的性质，运用，，得出结论即可； （2）设，因为DM平分，EN平分，得出的度数. 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ②,理由如下： 过点作,如下图所示，      ∵， ∴, ∴，， ∴. （2）解：补全图形，如图．      过点N作，设． ∵， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查平行线和角平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键. 7．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． ( 地 城 考点0 5 尺规作图 ) 1、 解答题 1．（24-25七下·北京朝阳区·期中）如图，直线，E为直线CD上一点，射线EH交直线AB于点F． (1)按要求画图： ①利用量角器及直尺，画∠FED的角平分线EM，交直线AB于点N； ②过点N作NP⊥CD，垂足为P． (2)完成下列填空： 比较线段NE和NP的大小，可以得到NE____________NP；（填“＞”、“＝”或“＜”）理由是____________． 【答案】(1)见解析 (2)＞；垂线段最短 【分析】（1）①利用量角器及直尺可直接进行作图；②根据垂线可进行作图； （2）根据垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：比较线段NE和NP的大小，可以得到NE＞NP；理由是垂线段最短； 故答案为＞，垂线段最短． 【点睛】本题主要考查尺规作图及垂线段最短，熟练掌握垂线的作图及垂线段最短是解题的关键． 2．（24-25七下·北京门头沟区·期中）在如图所示的正方形网格中，，，都在格点上．在给定的六个格点（网格中加点处）中找一个点，并满足下列条件． (1)平移图1中的三角形，使得给定的六个格点只有一个格点在其内部（不包括边上），画出平移后的格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）： (2)在图中找一个格点，画和，使得． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【分析】（1）根据平移的性质：将的三个顶点，，，向上平移2个单位长度，得，，，依次连接，，，据此画出平移的图形，此时三角形中给定的六个格点只有一个格点在其内部； （2）根据两直线平行，内错角相等，过点作，连接，则，利用网格的特点作出即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求： （2）解：如图2，点D、和即为所求： 3．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，点是的边上一点．按照要求回答下列问题： (1)过点分别画出射线的垂线和射线的垂线段，点是垂足； (2)线段（填“”“”“”）的理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题考查画垂线，垂线段最短，熟练掌握相关知识，能利用直尺与三角板准确作图是解题的关键； （1）借助三角板画垂线即可； （2）根据垂线段最短，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， （2）解：线段, 的理由是垂线段最短; 故答案为：；垂线段最短． 4．（24-25七下·北京东城区·期中）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答． （1）过点P作PQCD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R； （3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠PQC=60°，理由见解析 【详解】解：如图所示： （1）画出如图直线PQ （2）画出如图直线PR （3）∠PQC=60°   理由是：因为PQCD 所以∠DCB+∠PQC=180° 又因为∠DCB=120° 所以∠PQC=180°－120°=60° 5．（24-25七下·北京海淀区·期中）已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求： ②如图所示，直线即为所求： （2）解：根据垂线段最短可知，． 故答案为：；垂线段最短． 6．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，点A在的一边上，按要求画图并填空． （1）过点画直线于点，与的另一边相交于点． （2）过点画的垂线段，垂足为点． （3）过点画直线，交直线于点． （4）__________． （5）如果，，，则点A到直线的距离为__________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（3）90；（5）． 【分析】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B； （2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C； （3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； （4）利用两直线平行同位角相等即可确定答案； （5）利用等积法即可求得线段AC的长． 【详解】解：（1）如图； （2）如图； （3）如图； （4）∵CD∥OA， ∴∠CDB=∠OAB=90°； 故答案为：90； （5）∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图的知识，正确的根据题意作出图形是解答本题的关键，难度不大． 7．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，四边形中，AD∥BC (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到1cm）；测得点到的距离为________（精确到1cm）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“＞”或“＜”或“=”填空）依据是________． 【答案】(1)22，10； (2)<，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可，利用直尺测量线段CE、CF的长度可得对应的距离； （2）根据垂线段最短可得CE<CA． 【详解】（1）解：如图，垂线段CE，CF即为所求， 经测量CE=22cm，CF=10cm， ∴测得点到的距离为22；测得点到的距离为10cm， 故答案为：22，10； （2）∵CE⊥AB， ∵根据垂线段最短可知CE<CA， 故答案为：<，垂线段最短． 【点睛】此题考查了作垂线，垂线段最短的性质的应用，点到直线的距离，正确作出图形理解点到直线的距离是解题的关键． 8．（24-25七下·北京西城区·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到，画出平移后的；并求的面积； (2)已知点在轴上，且的面积为3，直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见详解，6 (2)或 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键． （1）根据点的坐标，即可确定原点位置，从而画出坐标系；根据平移的性质可画出；将作为底，可直接代入三角形的面积公式得出答案； （2）根据的面积为3，可得的长度，从而得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求坐标系；即为所求； 的面积为， 故答案为：6； （2）∵的面积为3， ∴， ∴或， 故答案为：或． 9．（24-25七下·北京大兴区·期中）通过小学数学课的学习，同学们知道：三角形的内角和是，并且通过折纸、度量角度等方法进行了验证，那么如何运用平行线的知识进行推理证明呢？ 已知：三角形，求证：． 小华同学首先独立思考，尝试添加辅助线，然后与同学交流、讨论，形成证明的两种想法如下： 想法1：过点作直线． 想法2：作射线． 请你选择上面的一种想法，先补全图形，再帮助小华完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，涉及到平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．本题任意选择一种想法并补全图形，再结合平行线的判定与性质进行证明． 【详解】解：想法1，补全图形如图所示： 证明：， ，， ， ． 即证三角形中，． 想法2，补全图形如图所示： 证明：， ，， ， ， 即证三角形中，． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 5大高频考点概览 考点01邻补角与对顶角 考点02命题与定理 考点03平行线的判定 考点04 平行线的性质 考点05 尺规作图 ( 地 城 考点01 邻补角与对顶角 ) 1、 选择题 1．24-25七下·北京丰台区·期中）如图，直线相交于点平分，若，则（    ） A． B． C． D． 2．24-25七下·北京朝阳区·期中）如图，直线a，b相交于点O，若等于，则等于（　　） A． B． C． D． 3．24-25七下·北京门头沟区·期中）如图，直线相交于点O，射线平分，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七下·北京西城区·期中）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B．   C．   D．   5．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE=50°，则∠AOC等于（  ） A．40° B．45° C．50° D．60° 6．（24-25七下·北京大兴区·期中）下列语句中，是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的余角相等 7．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，直线，相交于点O，如果，那么的度数为（  ）    A．150° B．120° C．60° D．30° 2、 填空题 8．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，直线 AB ，CD  相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE=___________．    3、 解答题 9．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，已知直线，相交于点，射线平分，于点，    (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分，并说明理由． ( 地 城 考点02 命题与定理 ) 一、选择题 1．（24-25七下·北京东城区·期中）下列命题中为假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．（24-25七下·北京大兴区·期中）下列语句中，是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的余角相等 3．（24-25七下·北京海淀区·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两个无理数相加，结果仍然是无理数 C．同位角相等 D．等角的余角相等 4．（24-25七下·北京西城区·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．如果，那么 D．负数没有平方根 2、 填空题 5．（24-25七下·北京西城区·期中）下列命题： ①某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0； ②两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离； ④同旁内角互补． 以上是假命题的是________．（填序号） 6．（24-25七下·北京海淀区·期中）能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________． 3、 解答题 7．（24-25七下·北京西城区·期中）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程． 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴______//______(______)． ∵（已知）， ∴//(______)． ∴//______(______)． ∴(______)． 8．（24-25七下·北京海淀区·期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( 地 城 考点0 3 平行线的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 2．（24-25七下·北京海淀区·期中）下列图形中，由，能得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，下列条件中能判断的是（  ） ①；②；③；④．    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 4．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，，下列条件可以证明的是（    ）． ①；②；③；④． A．②③④ B．①② C．②④ D．② 2、 填空题 5．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件______，使． 3、 解答题 6．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，，，证明：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：（已知）， __________（__________）． （已知）， __________（__________）． （__________）． 7．（24-25七下·北京西城区·期中）已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 8．（24-25七下·北京海淀区·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 9．（24-25七下·北京海淀区·期中）完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴____________=____________．（____________） ∵，（已知） ∴____________．（同角的补角相等） ∴．（____________） ( 地 城 考点0 4 平行线的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图所示，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，AB∥CD，，，则________． 3．（24-25七下·北京海淀区·期中）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度． 3、 解答题 4．（24-25七下·北京大兴区·期中）如图，平行直线，与直线相交，交点分别为，，平分，平分，猜想和的位置关系，并证明． 5．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图，已知，．    (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 6．（24-25七下·北京西城区·期中）将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上．          (1)将图1中的三角形绕点B及逆时针旋转，且点A在直线的下方． ①如图2，当时，求证：； ②当时，直接写出的度数； (2)将图1中的三角形绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边上时，过点E作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数． 7．（24-25七下·北京海淀区·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． ( 地 城 考点0 5 尺规作图 ) 1、 解答题 1．（24-25七下·北京朝阳区·期中）如图，直线，E为直线CD上一点，射线EH交直线AB于点F． (1)按要求画图： ①利用量角器及直尺，画∠FED的角平分线EM，交直线AB于点N； ②过点N作NP⊥CD，垂足为P． (2)完成下列填空： 比较线段NE和NP的大小，可以得到NE____________NP；（填“＞”、“＝”或“＜”）理由是____________． 2．（24-25七下·北京门头沟区·期中）在如图所示的正方形网格中，，，都在格点上．在给定的六个格点（网格中加点处）中找一个点，并满足下列条件． (1)平移图1中的三角形，使得给定的六个格点只有一个格点在其内部（不包括边上），画出平移后的格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）： (2)在图中找一个格点，画和，使得． 3．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，点是的边上一点．按照要求回答下列问题： (1)过点分别画出射线的垂线和射线的垂线段，点是垂足； (2)线段（填“”“”“”）的理由是______． 4．（24-25七下·北京东城区·期中）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答． （1）过点P作PQCD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R； （3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由 5．（24-25七下·北京海淀区·期中）已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 6．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，点A在的一边上，按要求画图并填空． （1）过点画直线于点，与的另一边相交于点． （2）过点画的垂线段，垂足为点． （3）过点画直线，交直线于点． （4）__________． （5）如果，，，则点A到直线的距离为__________． 7．（24-25七下·北京西城区·期中）如图，四边形中，AD∥BC (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到1cm）；测得点到的距离为________（精确到1cm）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“＞”或“＜”或“=”填空）依据是________． 8．（24-25七下·北京西城区·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到，画出平移后的；并求的面积； (2)已知点在轴上，且的面积为3，直接写出点的坐标． 9．（24-25七下·北京大兴区·期中）通过小学数学课的学习，同学们知道：三角形的内角和是，并且通过折纸、度量角度等方法进行了验证，那么如何运用平行线的知识进行推理证明呢？ 已知：三角形，求证：． 小华同学首先独立思考，尝试添加辅助线，然后与同学交流、讨论，形成证明的两种想法如下： 想法1：过点作直线． 想法2：作射线． 请你选择上面的一种想法，先补全图形，再帮助小华完成证明． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $