专题02 四边形（期中真题汇编，北京专用北京版）八年级数学下学期

专题02 四边形 5大高频考点概览 考点01多边形内角和与外角和综合 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04 特殊平行四边形的判定 考点05 特殊平行四边形的性质 ( 地 城 考点01 多边形内角和与外角和综合 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京平谷区·期中）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于求解即可； 【详解】解：多边形的外角和等于不变； A、三角形的内角和为： ，不符合题意； B、四边形的内角和为：，符合题意； C、五边形的内角和为： ，不符合题意； D、六边形的内角和为： ，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、多边形的外角和；熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 2．（24-25八下·北京通州区·期中）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形的边数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的边数和内角和的关系列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n． 根据题意可得：， 解得：n=5． 所以该多边形的边数为5． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的边数与内角和的关系，熟练掌握该知识点是解题关键． 3．（24-25八下·北京怀柔区·期中）一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 4．（24-25八下·北京延庆区·期中）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 5．（24-25八下·北京昌平区·期中）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可． 【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°， 根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°． 解得n=6. 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 2、 填空题 6．（24-25八下·北京房山区·期中）如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______． 【答案】135° 【分析】根据正多边形的内角和公式计算即可． 【详解】∵八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°， ∴正八边形的每个内角为1080°÷8=135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，掌握知识点是解题关键． 7．（24-25八下·北京昌平区·期中）如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于，那么这个多边形的边数最少为______． 【答案】7 【分析】利用多边形外角和定理，结合内角与相邻外角的互补关系列不等式求解，即可得到边数的最小值． 【详解】解：设该多边形的边数为，为不小于的正整数， 因为多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于，多边形的内角与相邻外角互为邻补角，因此每个外角都小于， 根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为，可得不等式， ， 解得， 因为为正整数，所以的最小值为． 8．（24-25八下·北京密云区·期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． ( 地 城 考点02 平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京怀柔区·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 2、 填空题 2．（24-25八下·北京房山区·期中）在中，，则为______________，为_____________． 【答案】 50 130 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50，130． 3．（24-25八下·北京通州区·期中）在平行四边形中，如果，那么______，______． 【答案】 /度 /度 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，邻角互补进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 4．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 5．（24-25八下·北京房山区·期中）如图，在中，，交于点，点是边上一点（不与端点重合），过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，连接，．判断，的数量关系，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，延长交于点，根据平行四边形的性质证明，推出，再根据直角三角形的性质得到，即可得证． 【详解】解：，证明如下： 延长交于点， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 6．（24-25八下·北京平谷区·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线，，垂足为E， ，垂足为F，求证． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用全等的知识证明线段的相等，根据平行四边形的对边相等得出，再由两直线平行内错角相等可得出，从而可判断出，利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴， ∵，． ∴． ∴ ∴． 7．（24-25八下·北京房山区·期中）已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．    【答案】见解析 【分析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，证得BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】在平行四边形ABCD中， AB∥CD，AB=CD， ∵AE=CF， ∴BE=DF，BE∥DF． ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE=BF． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明线段相等是解题的关键． 8．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． ( 地 城 考点0 3 平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京延庆区·期中）如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意． 2．（24-25八下·北京怀柔区·期中）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是： 即这条线段为a． 故选：A 3．（24-25八下·北京昌平区·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 二、解答题 5．（24-25八下·北京房山区·期中）如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了图形与折叠，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①当时，，，但没有足够理由证明点是中点，故不一定成立；②根据折叠，可知垂直平分和，，，，可证明四边形是平行四边形，从而推出，，从而得到，，从而证明出四边形是平行四边形，接着证明即可；③根据折叠，，，，然后利用平行四边形的性质，可证，从而得到四边相等；④根据折叠，可知 ，由，可证为定值，故得出答案． 【详解】解：①不一定成立，当时，如图所示： 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ， 但没有足够理由证明点是中点 不一定等于 四边形不一定是平行四边形； ②当时， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， 垂直平分和，，， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 又 四边形是平行四边形 ， 四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，如图所示， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ，， 四边形是平行四边形 四边形是菱形； ④根据折叠的性质可知，， ， ， 点固定，即为定值，且以为底边时，高为平行四边形的高， 的面积不变， 四边形的面积不变，故④正确． 故答案为：②③④． 6．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】证明：是平行四边形， ，， ∴, 又， ∴，即， 四边形是平行四边形． 7．（24-25八下·北京平谷区·期中）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求和的长． 【答案】(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等，熟练掌握判定方法和性质是解题的关键． （1）由，可得，又，可证结论； （2）由角平分线的性质可得，由四边形是平行四边形可得，故， 在中，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（）已知，四边形是平行四边形 ∴， ∵平分且，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 8．（24-25八下·北京平谷区·期中）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．同学们在探究学习中发现：任意一个四边形的中点四边形都是平行四边形．下面是证明一个四边形的中点四边形是平行四边形的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 已知：如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．   求证：四边形是平行四边形． 方法一： 证明：如图，连接．    方法二： 证明：如图，连接．    方法三： 证明：如图，连接，．    【答案】见解析 【分析】利用三角形中位线定理即可证明． 【详解】方法一 证明：如图，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； 方法二 证明：如图，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； 方法三 证明：如图，连接，， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查三角形中位线定理和平行四边形的判定定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理． ( 地 城 考点0 4 特殊平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京房山区·期中）下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； D. 先判定四边形的对角线互相平分且相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直，故该选项不符合题意； 故选：D． 2、 解答题 2．（24-25八下·北京平谷区·期中）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形． 小明的思考过程是： （1）由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定： 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形； 矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形． （2）条件给出了，可以选矩形的定义或者矩形判定2；经过思考，小明选择了“矩形定义”． （3）小明决定通过作线段AC的垂直平分线，作出线段的中点O，再倍长线段，从而确定点D的位置． 小明的作法如下： 作法：（1）分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点E，F； （2）作直线，直线交于点O； （3）作射线，在上截取，使得； （4）连接，． ∴ 四边形就是所求作的矩形． 请你根据小明同学设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（ ① ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是矩形（ ② ）（填推理的依据）． (3)参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成． （温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明） 【答案】(1)见解析 (2)①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (3)见解析（方法不唯一） 【分析】（1）根据小明同学设计的尺规作图过程作图即可； （2）根据平行四边形、矩形的判定定理，结合所给证明过程，即可写出依据； （3）利用直尺和圆规作，，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知四边形是平行四边形，结合可知四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图： （2）解：补充后的证明过程如下： 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）． 故答案为：①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． （3）解：作图如下： 作图方法： 以C点为圆心，AB长为半径作弧，以A点为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于D点，连接AD，CD即可； 证明：由作图方法可知，，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）． 【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，熟练掌握几种基本的尺规作图方法是解题的关键． 3．（24-25八下·北京房山区·期中）如图，在中，，交于点，点，在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，掌握相关定理是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，，进而得到，即可得证； （2）由得到，即可得到，从而推出，即可得到，证得是菱形，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴，即， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形， ， ∴是菱形． 4．（24-25八下·北京房山区·期中）下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． (1)使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； (2)补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 【答案】(1)见解析 (2)菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识． （1）根据作法补全图形即可； （2）证明四边形是菱形，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： （2）证明：连接， ， 四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 平分（菱形的每条对角线平分一组对角）． 5．（24-25八下·北京昌平区·期中）下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程： 已知：在中，∠ABC＝90°． 求作：矩形ABCD． 作法：如图， ①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点； ②作直线EF，交AC于点P； ③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP； ④连接AD，CD． 则四边形ABCD是矩形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝______． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形． 【详解】（1）解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图， （2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定、基本尺规作图—垂直平分线的作法、平行四边形的判定等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6．（24-25八下·北京通州区·期中）已知：如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，点是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是菱形．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质和菱形的判定，由四边形是平行四边形，则，再由等腰三角形的“三线合一”性质即可证得，最后由菱形的判定即可，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线相交于点， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形. ∴是菱形． 7．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在平行四边形中，于点E，，的平分线交于F，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定判定，平行四边形的性质，勾股定理， 对于（1），先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，进而得出，即可说明四边形是平行四边形，然后根据得出答案； 对于（2），根据平行四边形的性质得，再求出，可得，然后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明： ， ． 的角平分线交于F， ， ， ． ． ∵， ∴四边形是平行四边形. ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在中， ． ， ． ∵四边形是矩形， ， ． ∴在中，， ． 8．（24-25八下·北京通州区·期中）李老师买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点O，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）通过为菱形得到，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）根据题意知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点O， ， ， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，F为的中点， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵菱形中， ， ∴在中，， ∴， ∴四边形的周长为16． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． ( 地 城 考点0 5 特殊平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京昌平区·期中）菱形的对角线，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．25 D．48 【答案】B 【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”直接计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴菱形的面积等于 故选B 【点睛】本题考查菱形的性质，熟记菱形的性质即菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 2．（24-25八下·北京通州区·期中）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 3．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则点D的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定， 作轴，根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点D作轴，交x轴于点E， ∴． ∵点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故答案为：． 5．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，若，，则菱形的面积为______． 【答案】24 【分析】此题考查了菱形的性质．根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线交于点O，，， ∴，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 6．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解． 【详解】解：连接交于M，连接，如图， ∵正方形 ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于， ∵正方形 ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． (1)在图1中补全图形； (2)求的度数，写出求解过程． (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补图见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先证明得到，再由三角形外角的性质结合即可得到结论； （3）如图，过点A作，与射线交于点Q，证明为等腰直角三角形，得到，．再证明，再由全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）解：，证明如下： ∵点D、F关于对称， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点A作，与射线交于点Q．    ∵， ∴， 由对称性可知， 又∵， ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∵， ∴， ∵，   ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 8．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在正方形中，E是射线上的一个动点（不与点B，C重合），作射线，过点B作于点F，连结． (1)如图1，当点E在上时，如果，那么______°； (2)如图2，当点E在的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)20 (2)①见详解②，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． （2）①依题意补全图2即可． ②在上取点M，使得，连结，由正方形的性质证明，再证明，由全等三角形的性质进一步证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是正方形， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：20 （2）解：①根据题意补全图如下： ②，证明如下： 证明：如下图：在上取点M，使得，连结， ∵， 在中， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， 在和中 ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形 5大高频考点概览 考点01多边形内角和与外角和综合 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04 特殊平行四边形的判定 考点05 特殊平行四边形的性质 ( 地 城 考点01 多边形内角和与外角和综合 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京平谷区·期中）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京通州区·期中）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形的边数是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八下·北京怀柔区·期中）一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 4．（24-25八下·北京延庆区·期中）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25八下·北京昌平区·期中）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 2、 填空题 6．（24-25八下·北京房山区·期中）如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______． 7．（24-25八下·北京昌平区·期中）如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于，那么这个多边形的边数最少为______． 8．（24-25八下·北京密云区·期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ ( 地 城 考点02 平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京怀柔区·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2、 填空题 2．（24-25八下·北京房山区·期中）在中，，则为______________，为_____________． 3．（24-25八下·北京通州区·期中）在平行四边形中，如果，那么______，______． 4．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于______． 3、 解答题 5．（24-25八下·北京房山区·期中）如图，在中，，交于点，点是边上一点（不与端点重合），过作交的延长线于点，过作交的延长线于点，连接，．判断，的数量关系，并加以证明． 6．（24-25八下·北京平谷区·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线，，垂足为E， ，垂足为F，求证． 7．（24-25八下·北京房山区·期中）已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．    8．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． ( 地 城 考点0 3 平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京延庆区·期中）如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京怀柔区·期中）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 3．（24-25八下·北京昌平区·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 二、解答题 5．（24-25八下·北京房山区·期中）如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________________． 6．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 7．（24-25八下·北京平谷区·期中）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求和的长． 8．（24-25八下·北京平谷区·期中）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．同学们在探究学习中发现：任意一个四边形的中点四边形都是平行四边形．下面是证明一个四边形的中点四边形是平行四边形的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 已知：如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．   求证：四边形是平行四边形． 方法一： 证明：如图，连接．    方法二： 证明：如图，连接．    方法三： 证明：如图，连接，．    ( 地 城 考点0 4 特殊平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京房山区·期中）下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 2、 解答题 2．（24-25八下·北京平谷区·期中）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形． 小明的思考过程是： （1）由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定： 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形； 矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形． （2）条件给出了，可以选矩形的定义或者矩形判定2；经过思考，小明选择了“矩形定义”． （3）小明决定通过作线段AC的垂直平分线，作出线段的中点O，再倍长线段，从而确定点D的位置． 小明的作法如下： 作法：（1）分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点E，F； （2）作直线，直线交于点O； （3）作射线，在上截取，使得； （4）连接，． ∴ 四边形就是所求作的矩形． 请你根据小明同学设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（ ① ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是矩形（ ② ）（填推理的依据）． (3)参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成． （温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明） 3．（24-25八下·北京房山区·期中）如图，在中，，交于点，点，在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求证：四边形是菱形． 4．（24-25八下·北京房山区·期中）下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． (1)使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； (2)补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 5．（24-25八下·北京昌平区·期中）下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程： 已知：在中，∠ABC＝90°． 求作：矩形ABCD． 作法：如图， ①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点； ②作直线EF，交AC于点P； ③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP； ④连接AD，CD． 则四边形ABCD是矩形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝______． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）． 6．（24-25八下·北京通州区·期中）已知：如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，点是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是菱形．    7．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在平行四边形中，于点E，，的平分线交于F，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，求的长． 8．（24-25八下·北京通州区·期中）李老师买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点O，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． ( 地 城 考点0 5 特殊平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京昌平区·期中）菱形的对角线，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．25 D．48 2．（24-25八下·北京通州区·期中）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（    ） A．4 B．8 C． D． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则点D的坐标是______． 5．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，若，，则菱形的面积为______． 6．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京昌平区·期中）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． (1)在图1中补全图形； (2)求的度数，写出求解过程． (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 8．（24-25八下·北京通州区·期中）如图，在正方形中，E是射线上的一个动点（不与点B，C重合），作射线，过点B作于点F，连结． (1)如图1，当点E在上时，如果，那么______°； (2)如图2，当点E在的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $