专题03 四边形（期中真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

专题03 四边形 5大高频考点概览 考点01三角形的中位线 考点02平行四边形的判定 考点03特殊四边形的判定 考点04 平行四边形的性质 考点05 特殊四边形的性质 ( 地 城 考点01 三角形的中位线 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 2．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，E，F是四边形两边，的中点，G，H是对角线， 的中点，若，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少?（） A．20m B．30m C．40m D．50m 4．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2、 填空题 5．（24-25八下·北京朝阳区·期中）（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为10m，则A、B间的距离为______________． 6．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，是的边的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接交于． (1)若四边形是菱形，试证明是直角三角形； (2)， 求长． 8.（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京西城区·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 2．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八下·北京朝阳区·期中）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题 4．（24-25八下·北京东城区·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有______(只写序号即可)． 3、 解答题 5．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．求证：．    6．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在中，，点是边的中点． 求作：矩形，且点在边上，点在边上． (1)根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）． ①作线段的垂直平分线，垂足为点； ②连接； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ④连接． 则四边形是所求作的矩形． (2)完成下面的证明过程． 证明： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴___________． ∵， ∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）． 又∵， ∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）． 7．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，延长对角线至点，延长至点，且．求证：四边形是平行四边形． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． ( 地 城 考点0 3 特殊四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，过点E作交于点G，过点F作交于点H，与交于点O．当四边形与四边形的周长之差为12时，的值为（　　）    A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 2、 填空题 2．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为________． 3、 解答题 3．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，在中，，D为中点．过点D作的平行线，过点B作的平行线，两平行线相交于点E，交于点F，连接．求证： (1)四边形是矩形； (2)取的中点M，连接，若，，直接写出矩形的面积． 4．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在平行四边形中，，作，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE． (1)求证：四边形ACBE是矩形； (2)连接OD．若，，求OD的长． 5．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 6．（24-25八下·北京西城区·期中）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°， 求作：矩形ABCD， 作法：如图， ①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：∵OA＝OC，OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（    ）．（填推理的依据） ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（    ）．（填推理的依据） 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； 画射线． 射线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． 由作法可知． ∴四边形是___________．（___________）（填推理的依据） ∴平分（___________）（填推理的依据）． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF． ( 地 城 考点0 4 平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京大兴区·期中）四边形是平行四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是____． 5．（24-25八下·北京朝阳区·期中）平行四边形ABCD中，∠A +∠C =200°，则∠B =_______ . 3、 解答题 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在中，点分别在，上，且．求证：． 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号) 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． ( 地 城 考点0 5 特殊四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 2．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（          ） A． B． C． D． 3．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 2、 填空题 4．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在矩形 ABCD 中， E，F 分别是 AD，BC 边上的点，AE=CF，∠EFB=45°，若 AB=6，BC=14， 则 AE 的长为_____． 5．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 6．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为______． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 3、 解答题 9．（24-25八下·北京海淀区·期中） 如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接．    (1)如图1，若点P是的中点，求的长； (2)如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：； 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 5大高频考点概览 考点01三角形的中位线 考点02平行四边形的判定 考点03特殊四边形的判定 考点04 平行四边形的性质 考点05 特殊四边形的性质 ( 地 城 考点01 三角形的中位线 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，E分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，E是AC的中点， ， 故选：C． 2．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，E，F是四边形两边，的中点，G，H是对角线， 的中点，若，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理．由三角形中位线定理可得，，，，可得，，，利用排除法可求解． 【详解】解：∵E、F是，的中点，G，H是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，，， 没有理由能说明， 故选：D． 3．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少?（） A．20m B．30m C．40m D．50m 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理知AB=2MN． 【详解】解：如图，∵AC和BC的中点是M，N， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AB=2MN=40m．即A、B两点间的距离是40m． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 4．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选C． 2、 填空题 5．（24-25八下·北京朝阳区·期中）（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为10m，则A、B间的距离为______________． 【答案】20m 【详解】∵AC、BC的中点D、E， ∴DE为三角形ABC的中位线， ∴DE=AB, ∵DE=10m, ∴AB=20m. 故答案为20m 6．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______． 【答案】3 【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，进而求得答案． 【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5， ∴AC=2OB=10， ∴CD=AB=， ∵M是AD的中点， ∴OM=CD=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，是的边的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接交于． (1)若四边形是菱形，试证明是直角三角形； (2)， 求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形性质、是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，进而得到，再由三角形全等的判定与性质即可求得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ， ， 是的中点， ， 在和中， ，    ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及菱形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定义、直角三角形的判定、三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 8.（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京西城区·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意； D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 2．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（24-25八下·北京朝阳区·期中）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图： A、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形；故B选项不符合题意； C、，无法判断四边形是平行四边形；故C选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京东城区·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有______(只写序号即可)． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 3、 解答题 5．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，，结合可得出，利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，即可得出． 【详解】证明：连接交于点O，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理并灵活运用是解题的关键． 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在中，，点是边的中点． 求作：矩形，且点在边上，点在边上． (1)根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）． ①作线段的垂直平分线，垂足为点； ②连接； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ④连接． 则四边形是所求作的矩形． (2)完成下面的证明过程． 证明： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴___________． ∵， ∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）． 又∵， ∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）． 【答案】(1)图见解析 (2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理．熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据所给步骤，逐步作图即可求解； （2）根据平行四边形和矩形的判定定理，结合证明过程，即可写出依据． 【详解】（1）解：如图： （2）解：补充后的证明过程如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 又∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 7．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，延长对角线至点，延长至点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明． 【详解】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明为的中位线，则，且，又，则，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据已知的，可得，则四边形是菱形，可得，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线，交于点， ∴， 又， ∴为的中位线， ∴，且， 又为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． ( 地 城 考点0 3 特殊四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，过点E作交于点G，过点F作交于点H，与交于点O．当四边形与四边形的周长之差为12时，的值为（　　）    A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】C 【分析】根据题意可得四边形和四边形为菱形，且，设，则，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴四边形与四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形与四边形是菱形， ∵四边形与四边形的周长之差为12， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形与四边形是菱形． 2、 填空题 2．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为________． 【答案】 【分析】根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】解：添加的条件是：AB=BC． 理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB=BC． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 3、 解答题 3．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，在中，，D为中点．过点D作的平行线，过点B作的平行线，两平行线相交于点E，交于点F，连接．求证： (1)四边形是矩形； (2)取的中点M，连接，若，，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，则，，由得到证明四边形是平行四边形；又由即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵过点D作的平行线，过点B作的平行线，两平行线相交于点E， ∴四边形是平行四边形； ∴，， ∵，D为中点． ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是矩形； （2）如图， ∵是直角三角形，的中点为M， ∴， ∵，D为中点． ∴， ∴矩形的面积为． 4．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在平行四边形中，，作，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE． (1)求证：四边形ACBE是矩形； (2)连接OD．若，，求OD的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）先证明四边形ACBE是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）先证明∆AOC为等边三角形，由各角之间的关系得出∠FAO=90°-60°=30°，根据含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AC⊥AD， ∴∠EAC=∠DAC=90°， ∵∠ECA=∠ACD， ∴∠AEC=∠ADC， ∴CE=CD， ∴AE=AD=BC， ∵AE∥BC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵∠EAC=90°， ∴四边形ACBE为矩形； （2）如图，过点O作OF⊥DE于F， 由（1）可知，四边形ACBE为矩形， ∴对角线AB与CE相等且互相平分，AO=， ∴OA=OC， ∵∠ACD=∠ACO=60°， ∴∆AOC为等边三角形， ∴∠OAC=60°， ∵∠EAC=90°， ∴∠FAO=90°-60°=30°， 在Rt∆AFO中， OF=，， 在Rt∆AEB中，， AD=AE=， ∴DF=AF+AD=， ∴OD=． 5．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 6．（24-25八下·北京西城区·期中）下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°， 求作：矩形ABCD， 作法：如图， ①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：∵OA＝OC，OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（    ）．（填推理的依据） ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（    ）．（填推理的依据） 【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）证明：∵OA=OC，OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； 画射线． 射线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． 由作法可知． ∴四边形是___________．（___________）（填推理的依据） ∴平分（___________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角． 【分析】本题考查作图，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． （1）按照题目描述的作法作图即可； （2）根据菱形的判定和性质补全证明过程即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2）证明：连接，． 由作法可知． ∴四边形是菱形．（四条边相等的四边形是菱形） ∴平分（菱形的每一条对角线平分一组对角）． 故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF． 【答案】见解析. 【分析】由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可得证． 【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠CDE+∠DEB＝180°， ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°， 则四边形BFDE为矩形， ∴BE＝DF． 【点睛】此题考查了矩形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键． ( 地 城 考点0 4 平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京大兴区·期中）四边形是平行四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项A、B、D结论成立，选项C结论不一定成立， 故选：C． 3．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是____． 【答案】100°. 【分析】根据直角三角形两锐角互余，平行四边形的性质即可解决问题. 【详解】∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°， ∵∠DAF＝50°， ∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADF＝80°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°， ∴∠C＝100° 故答案为100°. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（24-25八下·北京朝阳区·期中）平行四边形ABCD中，∠A +∠C =200°，则∠B =_______ . 【答案】80°/80度 【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对角相等，对边平行）可得，又由 ，可得． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3、 解答题 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在中，点分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形是平行四边形，得出，，由，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形 ． 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号) 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行四边形的性质．①根据，得，，进而得，由此可对结论①进行判断；②证明是等腰直角三角形得，进而可判定和全等，则，，再根据即可对结论②进行判断；③假设，根据，得，则点H是线段的中点，根据已知条件无法判定点H是线段的中点，由此可对结论③进行判断；④证明得是等腰直角三角形，则，再证明是等腰直角三角形，则，根据是等腰直角三角形得，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，， ，， ，故结论①正确； ②，， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ，故结论②正确； ③假设， ， ， ， ， 点H是线段的中点， 根据已知条件无法判定点H是线段的中点，故结论③不正确； ④，， ， 在中，， ，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据四边形是平行四边形，得，，再证明，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ( 地 城 考点0 5 特殊四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 2．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可推得，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得垂直平分，得出③结论正确；根据等边三角形的性质得出，平分，根据全等三角形的判定和性质得出，得出②结论正确；根据度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出，结合垂直平分线的判定和性质得出，即可得出④结论正确． 【详解】解：在矩形中，，， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， 故， 即，①结论正确； ∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，③结论正确； ∵和是等边三角形， ∴，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，②结论正确； 在中，， ∴， 故， 又∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分， ∴， 即，④结论正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 因为四边形是矩形，，由可证明，从而可得是等边三角形，由此推出 【详解】解：四边形是矩形， ， ∴ ， 是等边三角形， ∴， 故选：B． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在矩形 ABCD 中， E，F 分别是 AD，BC 边上的点，AE=CF，∠EFB=45°，若 AB=6，BC=14， 则 AE 的长为_____． 【答案】4 【分析】过E点作EH⊥BC于H点，可证四边形ABHE是矩形，得BH＝AE，AB＝EH＝6，再证△EFH是等腰直角三角形，得到FH＝EH＝AB＝6．设AE＝CF=a，则BH＝FC＝a，由BC＝14可列方程，即可求得答案． 根据BC＝14可构造关于AE的方程求解． 【详解】解：过E点作EH⊥BC于H点，则∠EHF＝∠BHE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABHE是矩形， ∴BH＝AE，AB＝EH＝6， ∵∠EFB＝45°， ∴∠FEH＝90°－∠EFB＝45°， ∴△EFH是等腰直角三角形， ∴FH＝EH＝AB＝6． 设AE＝CF=a，则BH＝FC＝a， ∵BC=14， ∴BH＋HF＋FC＝14， ∴a+6+a＝14，解得a＝4． 即AE＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元一次方程等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 5．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 由菱形的面积公式，即可计算． 【详解】解：，， 菱形的面积 故答案为：． 6．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 故答案为：5． 7．（24-25八下·北京大兴区·期中）已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积公式是求解的关键．直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案是：． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质找到F的对称点，再根据垂线段最短找出最短路径，最后根据正方形的面积公式求解． 本题考查了轴对称最短路径问题，掌握正方形的面积公式和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵在正方形中，为对角线， ∴正方形关于对称，，， 如图，设F的对称点为Q，过Q作于E，交于P， 则四边形为矩形，， ∴的最小值为的长度， ． 故答案为：． 3、 解答题 9．（24-25八下·北京海淀区·期中） 如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接．    (1)如图1，若点P是的中点，求的长； (2)如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理求出的值，再根据三角形的面积求出，然后证明，即可得出的值； （2）在上取一点F，使，连接，先证明，可得，再根据等量代换得，最后根据等腰三角形和勾股定理求出解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵P是的中点， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上取一点F，使，连接，    ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $