专题02 勾股定理（期中真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

专题02 勾股定理 5大高频考点概览 考点01 勾股数（树）问题 考点02勾股定理与无理数 考点03 用勾股定理理解三角形 考点04 勾股定理的逆定理 考点05 勾股定理的应用 ( 地 城 考点01 勾股数（树）问题 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京朝阳区·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 3．（24-25八下·北京西城区·期中）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 4．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 5．（24-25八下·北京西城区·期中）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 2、 填空题 6．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，直角三角形的两直角边长分别为和，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为______． 7．（24-25八下·北京门头沟区·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 3、 解答题 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． ( 地 城 考点02 勾股定理与无理数 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ） A． B．3 C．4 D． 4．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，数轴上点A表示的数为1，，且．以原点O为圆心，为半径画弧．交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的数为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八下·北京东城区·期中）如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是___________． 6．（24-25八下·北京门头沟区·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为_____． 7．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，数轴上点表示的数为______． ( 地 城 考点0 3 用勾股定理理解三角形 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京门头沟区·期中）已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 3．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，，，，，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为___________． 6．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则线段的长为______． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，．点是延长线上的点，连接． (1)若，，．求的长； (2)若平分，，，直接写出的长． 8．（24-25八下·北京东城区·期中）如图，在四边形中，．求的长． ( 地 城 考点0 4 勾股定理的逆定理 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（    ）． A．3，4，6 B．6，8，10 C．1，2， D．5，12，15 2．（24-25八下·北京朝阳区·期中）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（     ） A．1，2， B．6，8，9 C．1，2， D．5，12，14 3．（24-25八下·北京西城区·期中）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八下·北京海淀区·期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．1，2，3 C．3，3，3 D．4，5，6 5．（24-25八下·北京大兴区·期中）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 2、 填空题 6．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)___________； (2)求证：． ( 地 城 考点0 5 勾股定理的应用 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（   ） A．8m B．10m C．12m D．15m 2．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，一棵高为9的大树被折断后，大树顶端恰好落在离底端3处，则折断处离地面的高度是_______． 4．（24-25八下·北京大兴区·期中）折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则的长是_______cm．    3、 解答题 5．（24-25八下·北京西城区·期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送2m（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋干的绳索始终拉得很直，    (1)求绳索的长 (2)直接写出将它往前推送1.5m（水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度___________m， 6．（24-25八下·北京门头沟区·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 7．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 5大高频考点概览 考点01 勾股数（树）问题 考点02勾股定理与无理数 考点03 用勾股定理理解三角形 考点04 勾股定理的逆定理 考点05 勾股定理的应用 ( 地 城 考点01 勾股数（树）问题 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 2．（24-25八下·北京朝阳区·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 3．（24-25八下·北京西城区·期中）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 4．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 5．（24-25八下·北京西城区·期中）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为， 故选：B． 2、 填空题 6．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，直角三角形的两直角边长分别为和，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】分别求出以为直径的半圆及的面积，再根据，即可得出结论． 【详解】如图所示： ∵， ∴， ∴以为直径的半圆的面积（）； 以为直径的半圆的面积（）； 以为直径的半圆的面积（）； （）； ∴（）； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 7．（24-25八下·北京门头沟区·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 3、 解答题 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． ( 地 城 考点02 勾股定理与无理数 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论． 【详解】解：∵点A坐标为（2，3）， ∴OA==， ∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上， ∴OA=OB=， ∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上， ∴点B的横坐标介于3和4之间． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键． 2．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到的长，再根据，可以得到的长，然后根据数据，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ，， ， ∵， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 3．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出可得结论． 本题考查作图复杂作图，勾股定理，实数与数轴，解题的关键是理解题意，正确计算． 【详解】解：在中，， ， 点C表示的数为． 故选：D． 4．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，数轴上点A表示的数为1，，且．以原点O为圆心，为半径画弧．交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】解：由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 2、 填空题 5．（24-25八下·北京东城区·期中）如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，即点与点之间的距离，再确定点对应的实数即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 故， 即， 当点在点的左侧时，点对应的实数为； 当点在点的右侧时，点对应的实数为； 故答案为：或． 6．（24-25八下·北京门头沟区·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 7．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，数轴上点表示的数为______． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． ( 地 城 考点0 3 用勾股定理理解三角形 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作于点，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，，设，则，，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 点的坐标为， ，， 根据折叠可知：， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 的长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，坐标与图形变化—对称，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（24-25八下·北京门头沟区·期中）已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】C 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 3．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，，，，，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ∵ ∴ ∴， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 4．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作于点，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，，设，则，，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 点的坐标为， ，， 根据折叠可知：， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 的长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，坐标与图形变化—对称，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2、 填空题 5．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 6．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．作于，于，根据求出刻度尺的宽，得到，然后根据含直角三角形的性质和勾股定理计算出，进而求出即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中， 故答案为：． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，．点是延长线上的点，连接． (1)若，，．求的长； (2)若平分，，，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)18 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质等．掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，，即可求解； （2）过作交于，由角平分线的性质得，由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：过作交于， ， ，， ， 平分，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 解得：． 故的长为． 8．（24-25八下·北京东城区·期中）如图，在四边形中，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形和勾股定理．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，平行线性质，是解题的关键． 延长，交于点．证明，，得，由勾股定理得，得，即得 【详解】证明：延长，交于点． ， 在Rt中， 在Rt中，， 在Rt中，且， ( 地 城 考点0 4 勾股定理的逆定理 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（    ）． A．3，4，6 B．6，8，10 C．1，2， D．5，12，15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，先求两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，即可判断． 【详解】解：A．∵， ∴以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； C．∵， ∴以1，2，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴以5，12，15为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八下·北京朝阳区·期中）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（     ） A．1，2， B．6，8，9 C．1，2， D．5，12，14 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能作为直角三角形三条边，符合题意； B、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； C、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； D、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意； 故选A． 3．（24-25八下·北京西城区·期中）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，正确区分边长的大小，熟记勾股定理的逆定理的计算公式是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理即三角形内角和定理解答，验证较小的两边平方和是否等于最大边的平方即可． 【详解】A、∵， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴该三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八下·北京海淀区·期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．5，12，13 B．1，2，3 C．3，3，3 D．4，5，6 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】A、，可以构成直角三角形，则此项符合题意； B、，不可以构成三角形，则此项不符题意； C、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意； D、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 5．（24-25八下·北京大兴区·期中）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2、 填空题 6．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 3、 解答题 7．（24-25八下·北京大兴区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)___________； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式进行计算即可； （2）先利用勾股定理求出，进而得到，然后根据勾股定理逆定理证明为直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴； （2）解：， 由勾股定理同理可得， ， ， ， ． ( 地 城 考点0 5 勾股定理的应用 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京朝阳区·期中）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（   ） A．8m B．10m C．12m D．15m 【答案】C 【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， ∴旗杆的高度为12m． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 2．（24-25八下·北京海淀区·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度．首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时最大，此时最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时最小，在中，运用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 2、 填空题 3．（24-25八下·北京西城区·期中）如图，一棵高为9的大树被折断后，大树顶端恰好落在离底端3处，则折断处离地面的高度是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程．本题设折断处离地面的高度是，即可列出方程求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是， 则， ∴， 答：折断处离地面的高度是 ． 故答案为：4 4．（24-25八下·北京大兴区·期中）折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则的长是_______cm．    【答案】3 【分析】由折叠的性质可得，，设的长为，则，由勾股定理可求的长，的长． 【详解】解：设的长为，则， 折叠后的图形是， ，，， ∵矩形， ∴， ， 又， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得：， ， 即， 化简，得， ． 即的长为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握勾股定理的运用与方程思想是解题的关键． 3、 解答题 5．（24-25八下·北京西城区·期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送2m（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋干的绳索始终拉得很直，    (1)求绳索的长 (2)直接写出将它往前推送1.5m（水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度___________m， 【答案】(1)2.5m (2)1m 【分析】（1）由题意得，，在Rt中根据勾股定理求解； （2）在Rt中,根据勾股定理求解得，进而求得，． 【详解】（1）解：由题意得， ∵         ∴ 设      则 ∵     ∴ 在Rt中根据勾股定理得 ∴ 解得 答：绳索的长是2.5米 （2）在Rt中,根据勾股定理得 ∴，解得 ∴ ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，理解直角三角形、扇形、矩形的组合图形中线段的数量关系解题的关键． 6．（24-25八下·北京门头沟区·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 7．（24-25八下·北京丰台区·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，得到，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 8．（24-25八下·北京海淀区·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $