专题01 二次根式（期中真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

专题01 二次根式 5大高频考点概览 考点01二次根式有意义 考点02最简二次根式的识别 考点03分母有理化 考点04 二次根式的运算 考点05 由不等式组解集的情况求参数 考点06 一元一次不等式解决实际问题 ( 地 城 考点01 二次根式有意义 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京门头沟区·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 2．（24-25八下·北京朝阳·期中）若式子有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 3（24-25八下·北京丰台区·期中）使二次根式有意义的的取值范围是______． 4．（24-25八下·北京门头沟区·期中）若实数满足，则代数式的值是_______． 5．（24-25八下·北京西城区·期中）已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为______． 6．（24-25八下·北京东城区·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是______． 7．（24-25八下·北京西城区·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）若有意义，则的取值范围是________． ( 地 城 考点02 最简二次根式的识别 ) 1、 选择题 1．24-25八下·北京朝阳区·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 3．24-25八下·北京门头沟区·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．24-25八下·北京西城区·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25八下·北京西城区·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）下列各式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 3 分母有理化 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京西城区·期中）已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25八下·北京丰台区·期中）化简（且），得______． 3、 解答题 3．（24-25八下·北京门头沟区·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八下·北京朝阳区·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 5．（24-25八下·北京海淀区·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 6．（24-25八下·北京西城区·期中）计算： 7．（24-25八下·北京丰台区·期中）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： (1) ， 为正整数） (2)若，则 (3)求的值. 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． ( 地 城 考点0 4 二次根式的运算 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京西城区·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京海淀区·期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八下·北京大兴区·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：_____． 5．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算______． 3、 解答题 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：． 7．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：． 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：． 9．（24-25八下·北京海淀区·期中）计算： (1)． (2)． ( 地 城 考点0 5 二次根式的性质与化简 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八下·北京大兴区·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25八下·北京西城区·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简________．    4．（24-25八下·北京丰台区·期中）如果，那么m的值是__________． 5．（24-25八下·北京大兴区·期中）化简：=_______. 三、解答题 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）已知，求代数式的值． 7．（24-25八下·北京朝阳区·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 8．（24-25八下·北京门头沟区·期中）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 5大高频考点概览 考点01二次根式有意义 考点02最简二次根式的识别 考点03分母有理化 考点04 二次根式的运算 考点05 由不等式组解集的情况求参数 ( 地 城 考点01 二次根式有意义 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京门头沟区·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，则且， ∴且， 故选：． 2．（24-25八下·北京朝阳·期中）若式子有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，是解题的关键． 2、 填空题 3（24-25八下·北京丰台区·期中）使二次根式有意义的的取值范围是______． 【答案】x-5 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零的条件得到x+50，解之即得． 【详解】解：由题意得x+50， 解得x-5， 故答案为：x-5． 【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件：被开方数大于等于零． 4．（24-25八下·北京门头沟区·期中）若实数满足，则代数式的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，则，，求出，，进行计算，即可． 【详解】∵实数满足且，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八下·北京西城区·期中）已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 6．（24-25八下·北京东城区·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】// 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 7．（24-25八下·北京西城区·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）若有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于得出一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． ( 地 城 考点02 最简二次根式的识别 ) 1、 选择题 1．24-25八下·北京朝阳区·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，准确判断是解题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】选项中， = ，被开方数含分母，不是最简； 选项中，，可化简为整数，不是最简； 选项中，，可化简，不是最简； 选项中，，被开方数7是质数，无平方因数，是最简二次根式； 故选． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或式子；②被开方数不含分母，据此求解即可． 【详解】选项A：，被开方数7是质数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 选项B：，即，被开方数含分母10，故不是最简二次根式． 选项C：，被开方数12可分解为，其中4是平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式． 选项D：，被开方数为完全平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故不符合条件． 故选：A． 3．24-25八下·北京门头沟区·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、 是最简二次根式，故此选项符合题意； C、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．24-25八下·北京西城区·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中是小数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、的被开方数是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. 符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选B． 6．（24-25八下·北京西城区·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式；根据最简二次根式的定义及二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B． 是最简二次根式，符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八下·北京海淀区·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）下列各式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式 ，不符合题意； C.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意； D.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意； 故选：A． ( 地 城 考点0 3 分母有理化 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京西城区·期中）已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先把分子分母因式分解，再约分化简，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2、 填空题 2．（24-25八下·北京丰台区·期中）化简（且），得______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3、 解答题 3．（24-25八下·北京门头沟区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25八下·北京朝阳区·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ，即， ， ． 5．（24-25八下·北京海淀区·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3)1，大，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答． 【详解】（1）解：① ； ②． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 由， ， 又∵， ∴． ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值． 故答案为：1，大，． 6．（24-25八下·北京西城区·期中）计算： 【答案】当 时，；当 时，． 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴同号，且， ， ， ， ， ； ∴当 时，原式；当 时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及乘除运算．熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键． 7．（24-25八下·北京丰台区·期中）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： (1) ， 为正整数） (2)若，则 (3)求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键. 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． ( 地 城 考点0 4 二次根式的运算 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京西城区·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的加减，根据二次根式的加减法则：把二次根式化简后，把被开数相同的二次根式进行合并可得答案．关键是掌握二次根式的加减计算法则． 【详解】解：A、和无法合并，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 2．（24-25八下·北京海淀区·期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 3．（24-25八下·北京大兴区·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C，D进行判断． 【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算正确，故C符合题意； D、，原计算错误，故D不符合题意； 故选：C． 2、 填空题 4．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：_____． 【答案】18 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可. 【详解】解：9×2=18. 故答案为：18. 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是理解二次根式的加减法则． 先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：． 故答案为： ． 3、 解答题 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的加减混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质、二次根式的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 7．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 8．（24-25八下·北京大兴区·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，根据二次根式的运算法则以及完全平方公式、平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 9．（24-25八下·北京海淀区·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的乘法与减法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． ( 地 城 考点0 5 二次根式的性质与化简 ) 1、 选择题 1．（24-25八下·北京丰台区·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算错误，不符合题意； C、，此选项计算正确，符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，解题的关键是准确利用公式计算． 2．（24-25八下·北京大兴区·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意； B、，B选项运算正确，不符合题意； C、，C选项运算正确，不符合题意； D、，D选项运算错误，符合题意； 故选：D． 2、 填空题 3．（24-25八下·北京西城区·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简________．    【答案】 【分析】利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果． 【详解】解：由数轴可知：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．（24-25八下·北京丰台区·期中）如果，那么m的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，将化为，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 5．（24-25八下·北京大兴区·期中）化简：=_______. 【答案】 【分析】根据化简二次根式的法则计算即可. 【详解】解：= 故答案为． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握化简二次根式的法则是解题的关键. 三、解答题 6．（24-25八下·北京大兴区·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题的关键．先根据完全平方公式将原式整理得出，再将的值代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时， 原式 ． 7．（24-25八下·北京朝阳区·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 8．（24-25八下·北京门头沟区·期中）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质； （1）根据化简即可； （2）根据可知，解不等式即可； （3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：，， 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴得：， ∴，， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $