第5单元 长方体和正方体的体积 A卷 母子题培优专项卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（冀教版2012）

(2)能通过平移或旋转使第一组和第二组拼图 都变成一个平行四边形，不能通过平移或旋转 十3，丙付的钱是四个人付的总钱数 钱数的。1 使第三组拼图变成一个平行四边形。操作过 十4所以丁付的钱是四个人付的总钱数 的、1 程如下： 的1-，1 1 第一组：将②先向右平移2格，再向上平移4 1+21+31+4 即600× 格；第二组：将③绕点0顺时针旋转90°，将④ 1 1 1 =130(元)。 先绕直角顶点逆时针旋转90°，再向上平移3 1+21+31+4 格。（答案合理即可） 2.①在顶点处挖小正方体 2.乐乐的发现正确。长方体的侧面是一个长方 表面积：8×8×6=384（平方厘米） 形，它的长等于长方体的底面周长，宽等于长 ②在某条棱的中间挖小正方体 表面积：8×8×6+2×2×2=392（平方厘米） 方体的高。因为长方形的面积=长×宽，所以 ③在某个面的中间挖小正方体 长方体的侧面积=底面周长×高。 表面积：8×8×6+2×2×4=400（平方厘米） (答案合理即可) 答：剩余部分的表面积可能是384平方厘米 五1号+是-号 392平方厘米或400平方厘米。 答：幸福精品店下午一共赠送了鲜花花束总数 第五单元 A卷母子题培优专项卷 ≈重难点1 (21-号号是 母题 表面积：5×5×4+10×10×2+10×3×4= 420(平方厘米) 答：幸福精品店还剩鲜花花束总数的没有 体积：5×5×5+10×10×3=425（立方厘米） 赠送。 【解析】由于正方体与长方体粘合在一起，所以求组 合物体的表面积时上面的正方体只求4个侧面的面 2.27×1-号引2个 积，下面的长方体求出其表面积，然后合并起来，即 答：乐乐捡了21个海螺。 5×5×4+10×10×2+10×3×4=420(平方厘米)。 3哥×2x2x1-”千地) 这个组合物体的体积等于正方体与长方体的体积和， 即5×5×5+10×10×3=425（立方厘米）。 答：妈妈一共购买了0千克的阿胶。 子题1表面积：12×12×4+(25×12+25×6+12× 21 6)×2=1620(平方厘米) 4.(1)(8×3+3×5+8×5)×2×2=316(平方厘米) 体积：25×12×6+12×12×12=3528（立 316-3×5×2=286(平方厘米) 方厘米) 答：表面积最大是286平方厘米。 子题2 表面积：(12×8+12×6+8×6)×2+4× (2)256÷(3+5)÷4=8(厘米) 4×4+2×2×2=504(平方厘米) 8×8×2+8×(8+3+5)×4=640(平方厘米) 体积：12×8×6+4×4×4+2×2×2=648 答：原来长方体雪块的表面积是640平方厘米。 (立方厘米) 附加题 三重难点2 1.600× 1+21+31+4 =130(元) 母题 108÷2=54(平方分米) 答：丁付了130元。 54×14=756(立方分米) 【解析】根据题意，可知甲付的钱是四个人付 答：原来长方体的体积是756立方分米。 的总领数的十2乙付的线是四个人什的总 【解析】把一个长方体切成两个小长方体，表面积增 加了两个横截面的面积，即横截面面积=108÷2= 54(平方分米)。可将大长方体的底面积看作54平方 ≈重难点4 分米，高看作14分米，最后根据体积公式计算即可。 母题 20×16×7=2240(立方厘米) 子题10.32÷4=0.08（平方分米） 2240÷(16×10)=14(厘米) 0.08×4.5÷3=0.12(立方分米) 答：水面高14厘米。 答：原来每个积木的体积是0.12立方分米。 【解析】长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积 子题2(440.5-4.5×4.5×2)÷2×4.5=900（立方 不变。图1平放时，水的体积=长×宽×高=20× 厘米) 16×7=2240(立方厘米)；图2竖放时的底面积= 答：原长方体的体积是900立方厘米。 16×10=160(平方厘米)，水的体积不变，高=水的 【解析】如下图，切成四块后，表面积增加的是两 体积÷底面积=2240÷160=14（厘米）。 个B面和两个A面。已知两个A面面积和=4.5X 4.5×2=40.5（平方厘米)，所以一个B面面积= 子题125×16×4÷(16×10)=10（厘米） (440.5-40.5)÷2=200(平方厘米)。长方体体积= 答：现在的水深是10厘米。 底面积×高=200×4.5=900（立方厘米）。 子题2 方法一20×50×24=24000（立方厘米） (20+40)×50=3000(平方厘米) 24000÷3000=8(厘米) 方法二24÷(40÷20+1)=8（厘米） 三重难点3 答：这两个鱼缸现在的水深是8厘米。 母题 (30-5-5)×(20-5-5)×5=1000(立方 【解析】思路一：不管怎么倒水，水的体积不变。可 厘米) 以将两个鱼缸并排放在一起，看成一个底面长60厘 答：这个纸盒的容积是1000立方厘米。 米、宽50厘米的长方体（如下图）。由“长方体的体积 【解析】如下图所示，先求出折成的纸盒的长、宽、高 各是多少，再用长方体的体积公式计算即可。 =底面积义高”，可知“长方体的高=体积÷底面 5cm 积”，从而计算出现在的水深。 20 cm 宽：20-5-5=10(cm) B 30 cm 5 cm cm 长：30-5-5=20(cm) 50 cm 20 cm 40 cm 子题1 长：60-10=50（厘米） 思路二：因为40÷20=2，且两个鱼缸的宽相等，所以 宽：40一10×2=20（厘米） B鱼缸的底面积是A鱼缸底面积的2倍。将A鱼缸 50×20×10=10000(立方厘米) 中的水平均分成2+1=3（份），A鱼缸中的水占其中 10000立方厘米=10立方分米 的一份，因此现在的水深为24÷3=8（厘米）。 答：这个盒子的体积是10立方分米。 ≈重难点5 子题2A:16-5×2=6(厘米) 母题 250毫升=0.25升=0.25立方分米 6×6×5=180(立方厘米) B:16-4×2=8(厘米) 1.5×1.2×(0.9-0.7)+0.25=0.61(立方分米) 8×8×4=256(立方厘米) 答：这块石头的体积是0.61立方分米。 C:16-3×2=10(厘米) 【解析】石头的体积=水面上升部分的体积十溢出 10×10×3=300(立方厘米) 的水的体积。水面上升部分可看作长1.5分米、宽 300>256>180 1.2分米、高0.9-0.7=0.2（分米）的长方体，根据长 容积最大的是按C方法做出来的纸盒 方体体积公式计算出水面上升部分的体积，然后加 答：容积最大的是按C方法做出来的纸盒。 上溢出的水的体积即可。 培优100分数学五年级下册JJ版 61 子题15×5×5=125（立方分米） 子题2 (4×4X4+6×6×2)÷(6×6)=(分米) 9×8×(5.5-4.5)=72(立方分米) 125>72会溢出 34<4说明铁块没有完全浸入水中 125-72=53(立方分米) 水深：6×6×2÷(6×6-4×4)=3.6（分米） 53立方分米=53升 答：水深变为3.6分米。 答：玻璃缸里的水会溢出，溢出53升。 【解析】先判断铁块是否完全浸入水中，用“（铁块的 【解析】由题可知，玻璃缸内无水部分可以看成长9 体积十水的体积)÷容器的底面积”得出水的深度， 分米、宽8分米、高5.5-4.5=1（分米）的长方体，其 再与铁块的高度相比较。若水的深度>铁块的高 体积=9X8X1=72(立方分米)。正方体铁块的体 度，则铁块完全浸入水中，此时水的深度就是所求； 积=5×5×5=125（立方分米），125>72，玻璃缸里 若水的深度≤铁块的高度，则铁块没有完全浸入水 的水会溢出，溢出部分的体积=125一72=53（立方 中，此时水的体积不变，容器中水的底面积=容器底 分米)=53（升）。 面积一铁块底面积，则水的深度=水的体积÷（容器 子题28×8×(5-2)=192（立方厘米） 底面积一铁块底面积)。 答：溢出的水的体积是192立方厘米。 第五单元B卷培优验收综合卷 【解析】要求溢出的水的体积，就是求水减少的体 积，拿出鹅卵石后，与刚开始相比，水面高度下降5一 一、1.立方米立方米平方分米 2=3(厘米)，如下图所示。涂色部分的体积为水减 升立方厘米 少的体积，即8×8×3=192（立方厘米）。 2.9000402012.03547504.75 3.>= 2 cm cm 4.464 5.虚假6×4×12=288（立方厘米），288立方 厘米=288毫升，288<300，所以包装盒上写 8 cm 的净含量虚假（理由合理即可） 8cm 6.70 ≈重难点6 7.1 母题 6×4×1.5÷(6×4-3×3)=2.4(分米) 8.27【解析】从一块长方体木料中截下一块最 2.4-1.5=0.9(分米) 大的正方体木料，则截下的正方体木料的棱长 答：这时长方体水缸的水面上升了09分米。 最长不超过长方体最短的一条棱长，即不超 【解析】将一个正方体铁块放入长方体水缸中，水没 过3分米，所以正方体木料的体积是3×3×3 有溢出水缸，这时铁块正方形的底面与水缸长方形 =27(立方分米)。 的底面合在一起，现在水缸中水的底面积就是长方 9.450【解析】把一根长36厘米的长方体木料 体水缸的底面积减去正方体铁块的底面积，而水缸 沿高的方向平均锯成6段，需要锯5下，增加了 中水的体积没有变化，所以可先求出现在水的深度， 5×2=10(个)横截面的面积。又知表面积比 即用水的体积除以现在水的底面积。求出水缸中现 原来增加了125平方厘米，所以横截面的面积 在水的深度后，再减去原来水的深度，就可求出水面 是125÷10=12.5（平方厘米），则这根木料原来 上升了多少分米。 的体积是12.5×36=450（立方厘米）。 子题18×4.5×0.8÷(8×4.5-4×1.5)=0.96（米） 10.163n+1 0.96-0.8=0.16(米) 11.(1)5.8 答：现在水池里水深增加了0.16米。 (2)140 【解析】水深5分米、棱长10分米的 62 培优100分数学 五年级下册J小版 正方体水箱中剩余的体积=10×10×(10 六、1.81立方分米=81000立方厘米 5)=500(立方分米)，铁块的体积=8×8×10 81000÷(45×20)=90(厘米) =640(立方分米)，640>500，水会溢出，溢出 90+45+20=155(厘米) 的体积=640-500=140（立方分米），140立 155<158没有超出规定 方分米=140升。 答：王叔叔所带的行李箱尺寸没有超出规定。 12.175 产品参数 二、1.× 产品名称：P70*** 2.X【解析】容积指的是容器所能容纳物体的 额定功率：700W 体积，计算容积一般要从容器的内部测量数 额定频率：50Hz 据；而体积是指物体所占空间的大小，计算体 额定电压：220V V内胆尺寸：180×300×330mm 积一般要从物体的外部测量数据，所以一个物 外观尺寸：280×450×400mm 体的容积应该小于它的体积。一个油桶最多 能装250升汽油，是指这个油桶的容积是250 180×300×330=17820000(立方毫米) 升，所以油桶的体积应该大于250升。 17820000立方毫米=17.82升 3.√ 答：这款微波炉的容积是17.82升。 4.√【解析】根据表面积计算公式，当两个正方 3.60×60×60=216000(立方厘米) 体表面积相等时，正方体的棱长相等。根据体 40×40×40=64000(立方厘米) 积计算公式，此时两个正方体的体积也相等。 20×20×20=8000(立方厘米) 5.V6.× 64000+8000=72000(立方厘米) 三、1.C2.B3.C4.D5.D 72000<216000不同意 6.B【解析】因为蓄水池的占地面积是9平方 答：不同意，因为给的箱子容积远远小于所需 米，深4米，所以蓄水池的容积是9×4=36（立 的容积。 (理由合理即可) 方米)，也就是修这个蓄水池时最少要挖出36 4.(1)(7+3)×1.6÷2=8(平方米) 立方米的土，所以A选项和C选项说法错误，B 8×15=120(立方米) 选项说法正确；蓄了号的水，总容积是36立方 答：挖出了120立方米的土。 未，所以还能蓄36×1-》24（立方未）的水， (2)3千米=3000米 8×3000÷200=120(天) D选项说法错误。所以本题选择B选项。 答：挖这段水渠要用120天。 7.D【解析】由图可知，无盖纸盒的长是(94一 5.10×8×3.5÷(8×5)=7(厘米) 12×2)厘米，宽是(74-12×2)厘米，高是12 答：水深是7厘米。 厘米，所以计算这个无盖纸盒的容积，正确的 附加题 算式是(94-12×2)×(74-12×2)×12。所以 1.450【解析】根据题意，如果把铁块竖直拉出 本题选择D选项。 水面8厘米后，水面下降4厘米，那么底面边长 8.B 为5厘米、高为8厘米的铁块体积，相当于这个 四、1.16×8×4=512（立方厘米） 容器高4厘米的体积，据此可以求出长方体水箱 2.4×4×4+9×9×9=793(立方分米) 的底面积为5×5×8÷4=50（平方厘米）。所 五、4×4×(0.4-0.1)=4.8（立方分米） 以这个长方体铁块的体积是50×9=450（立方 答：这块不规则塑料泡沫的体积是4.8立方分米。 厘米)。培优100分数学五年级下册JJ版 【答案见P61】 第五单元长方体和正方体的体积 A卷母子题培优专项卷 拍照批改+错题本 本单元长方体和正方体的体积在小学数学试卷占15分左右，常考考点中，组合物体体积的计算、用分 析法解决长（正）方体切拼求体积、用画图法解决容器制作问题等是试卷中的重难，点，也是最容易失分的地 : 方。在日常学习中，紧抓重难失分，点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请同学们先做母题，学习答题方法 麻 或策略，再完成对应的子题。加油吧！ ≈重难点1组合物体体积的计算 母题下图是由一个正方体木块和一个长方体木块粘成的物体， 求这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 弥 母题视频讲解 线 一培优攻略 内 10 若干个物体粘合在一起，体 要 积仍是若干个物体的体积 题 子题1下图是由一个长方体木块和一个正方体木块粘成的物体， 之和。计算表面积时，要注 求这个物体的表面积和体积。 意粘贴重合部分的面积，不 要重复计算。 6 cm 25cm 12 cm 子题2下图是由两个正方体木块和一个长方体木块粘成的物体， 求这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 12 之重难点2长（正）方体切拼求体积 —一分析法 母题一个长14分米、高6分米的长方体，如果按下图所示把它 切成两个小长方体，那么表面积增加了108平方分米。求原来长方 母题视频讲解 体的体积。 子题1如图，用三个完全相同的长方体积木拼成一个长是4.5分 培优攻略 米的大长方体，表面积比原来三个积木的表面积总和减少了0.32平 把一个长（正）方体截成2段、 方分米。原来每个积木的体积是多少立方分米？ 3段、4段…n段，表面积分 别增加了2个、4个、6个… (n-1)×2个截面的面积。 4.5dm 子题2一个长方体，前后两个面都是边长为4.5厘米的正方形（如 图)，切成四块后表面积增加了440.5平方厘米。求原长方体的体积。 之重难点3用画图法解决容器制作问题 母题一块长方形纸板，长是30厘米，宽是20厘米，在这块纸板 的四个角上分别剪掉一个边长是5厘米的小正方形，然后折成一个 无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸板的厚度忽 母题视频讲解 略不计) 5 cm 培优攻略 20 cm 从长方形（或正方形）纸板 的四个角上分别剪掉边长 30 cm 相等的小正方形，制成纸 子题1在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为10厘米 盒的长和宽要分别从纸板 的长和宽中减掉两个小正 的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形的另一边的中 方形的边长，纸盒的高就 间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多 是小正方形的边长。 少立方分米？（铁皮的损耗不计） 40 cm 60 cm 子题2在边长为16厘米的正方形纸片的四个角上各剪去一个正 方形，就可以做成一个无盖的长方体纸盒。如图，按A、B、C三种方 法做出来的纸盒中，容积最大的是哪一个？（纸片的厚度忽略不计） 5 cm 4 cm 3 cm B 培优100分数学五年级下册J刀版 23 重难点4用抓不变量法解决与体积有关的问题 母题有一个完全封闭的长方体容器，内壁的长是20厘米，宽是 16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如图1）。如果把这个 容器竖起来放（如图2），水面高多少厘米？ 母题视频讲解 “培优攻略 20 cm 解决此类问题的关键是抓 10cm 住不变量。如本题中，长 16 cm 16 cm 20 cm 10cm 方体容器无论如何放置， 图1 图2 水的体积是不会变的。根 据水的体积不变，结合长 方体的体积公式和实际情 子题1一个密封的长方体水箱长25厘米，宽16厘米，高10厘米 况求出水面高度即可。 (厚度不计)，里面水深是4厘米。如果将水箱的右侧面作为底面进 行放置，那么现在的水深是多少厘米？ 25 cm 10 cm 4cm 16 cm 25 cm 16 cm 10 cm 子题2桌上放着两个玻璃鱼缸，小华想把A鱼缸的水倒入B鱼缸 些，使两个鱼缸中的水一样深。小华倒完后，这两个鱼缸现在的 水深是多少厘米？ 24 cm B 24 cm 50 cm 50 cm 20 cm 40 cm ≈重难点5有水溢出的浸没问题 母题一个内部长1.5分米、宽1.2分米、高0.9分米的长方体水 箱，水面高度是0.7分米，将一块石头浸没在水中后，溢出了250毫 升水。这块石头的体积是多少立方分米？ 母题视频讲解 24 培优100分数学五年级下册J刀版 子题1一个长方体玻璃缸，内部长9分米，宽8分米，高5.5分米，水 深4.5分米。如果向玻璃缸中放入一块棱长5分米的正方体铁块， 玻璃缸里的水会溢出吗？如果溢出，溢出多少升？ 弥 子题2一个长方体容器，底面是边长8厘米的正方形，高16厘米， 培优小贴士 往容器中倒入一定量的水，使水面距离容器口2厘米。现把一块鹅 解题关键在于弄清“鹅卵石 卵石放入容器中，会有部分水溢出。当把鹅卵石取出后，水面距离 的体积=水面上升部分的 封 容器口5厘米。溢出的水的体积是多少？ 体积+溢出的水的体积”。 线 ≈重难点6物体没有完全浸入且水没有溢出的问题 母题一个长6分米、宽4分米、高4.8分米的长方体水缸，水深 内 1.5分米。在其中放入一个棱长3分米的正方体铁块，铁块没有被 淹没，且水没有溢出。这时长方体水缸的水面上升了多少分米？ 母题视频讲解 座 (水缸壁厚忽略不计) “培优小贴士 不 在一个已经有一些水的长 方体容器中放入一个正方 体物体，水面上升了而水没 有淹没物体，且水没有溢 子题1一个内壁长8米、宽4.5米、深3米的长方体水池中，水深 出，这时容器中水的底面积 要 0.8米。把一个长4米、宽1.5米、高5米的长方体石碑立着放入水池 发生了变化，变为容器原来 的底面积减去放入物体的 中，水没有溢出。现在水池里水深增加了多少米？ 底面积，而容器中水的体积 不变。 答 子题2一个正方体容器，从里面量棱长为6分米，里面装有2分米 题 深的水。将一个棱长为4分米的正方体铁块放入水中，水深变为多 少分米？