第3单元 长方体和正方体 B卷 培优验收综合卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（冀教版2012）

长方体的侧面展开图是一个长20厘米、宽11厘米 表面积至少是212.5平方厘米 的长方形。 答：这个饼干盒的表面积至少是212.5平方 厘米。 三重难点4 侧面积是 长方体的底 底面边 底面积X 20×11= 面是周长为 长是20 2是5×5 母题 72÷3=24(厘米)24÷4=6（厘米） 220(平方 20厘米的 ÷4=5 ×2=50 6+3=9(厘米) 厘米) 正方形。 (厘米)。 (平方厘 米)。 6×9×4+6×6×2=288(平方厘米) 答：原来长方体的表面积是288平方厘米。 所以长方体的表面积是220+50=270（平方厘米）。 【解析】 子题128÷4=7（厘米） 28×12+7×7×2=434(平方厘米) 观察发现：剩下正方体的 3 cm 表面积比原长方体的表 答：这个长方体的表面积是434平方厘米。 切面 面积减少了72平方厘 子题224÷4=6（厘米） 米，即减少了高为3厘米 24×24+6×6×2=648(平方厘米) 的长方体的侧面积。 答：这个长方体的表面积是648平方厘米。 由此求得长方体的底面周长为72：3=24（厘米），长 【解析】长方体的侧面展开图是一个边长为24厘米 方体的底面边长为24÷4=6（厘米），即长方体的长、 的正方形，如下图所示。 宽均为6厘米，长方体的高为6+3=9（厘米）。然后 24 cm 代入数据求解即可。 子题1160÷5÷4=8（厘米） 24 cm 8+5=13(厘米) 所以长方体的底面是边长为24÷4=6（厘米）的正方 8×13×4+8×8×2=544(平方厘米) 形。长方体的表面积可以通过“侧面积十底面积X 答：原来长方体的表面积是544平方厘米。 2”来进行计算。列式为24×24+6×6×2=648（平 方厘米)。 子题2 240÷(3+5)÷4=7.5(厘米) 子题3当侧面展开图的长是20厘米时，如下图所示： 7.5×(7.5+3+5)×4+7.5×7.5×2=577.5 (平方厘米) 答：原来长方体的表面积是577.5平方厘米。 20 cm 重难点5 母题 5×5×6=150(平方厘米) 20÷2÷4=2.5(厘米) 或5×5×8=200（平方厘米） 20×(2.5×4)+2.5×2.5×2=212.5(平方 厘米) 答：表面积减少150平方厘米或200平方厘米。 当侧面展开图的宽是20厘米时，如下图所示： 【解析】4个相同的正方体可能拼成的长方体的所有 情况如下图。由图可以发现，减少的面积等于正方 体拼接面的面积之和。图1中减少了6个面，即5× 20 cm 5×6=150(平方厘米)；图2中减少了8个面，即5× 5×8=200(平方厘米)。 20×2÷4=10(厘米) 10×4×20+10×10×2=1000(平方厘米) 212.5<1000 图 图2 56 培优100分数学 五年级下册JJ版 子题1第一种拼法： 子题110×10×6-8×2×2=568（平方厘米） 方法一：(6×1+6×1+1×1)×2=26（平 答：剩下部分的表面积是568平方厘米。 方厘米) 【解析】如图，锯下一个小长方体后，正方体的表面 方法二：1×1×(6×6-10)=26（平方厘米） 积减少了小长方体上面、前面、左面和右面的面积， 同时增加了下面和后面的面积。故剩下部分的表面积 第二种拼法： =正方体的表面积一小长方体左面和右面面积之和。 方法-：(3×2+3×1+2×1)×2=22（平 方厘米) 方法二：1×1×(6×6-14)=22（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是26平方厘米或 子题23×3×6-1×1×2+1×3×4=64（平方厘米） 22平方厘米。 答：剩下部分的表面积是64平方厘米。 【解析】把6个相同正方体拼成一个长方体，有以下 【解析】自上而下挖掉中间的3个小正方体后，相当 两种拼法。 于大正方体的表面积减少了1个长1厘米、宽1厘米、 高(1×3)厘米的长方体上、下2个面的面积和，增加 图示 了前、后、左、右4个面的面积和，故剩下部分的表面 长是6厘米，宽和高都长是3厘米，宽是2厘 积=大正方体的表面积一长方体的上、下面面积之 是1厘米。 方法一 米，高是1厘米。 和十长方体前、后、左、右面面积之和。 (6×1+6×1+1×1) (3×2+3×1+2×1) ×2=26(平方厘米) ×2=22(平方厘米) 子题34×4×6+2×2×4+1×1×4=116（平方 拼之前有(6×6)个正 拼之前有(6×6)个正 厘米) 方形，拼接处去掉10方形，拼接处去掉14 答：最后得到的立体图形的表面积是116平 方法二 个正方形。 个正方形。 1×1×(6×6-10)=1×1×(6×6-14)= 方厘米。 26(平方厘米) 22(平方厘米) 第三单元B卷 培优验收综合卷 子题2 (6×4+6×2+4×2)×2×2=176(平方厘米) -、1.14 176-4×2×2=160(平方厘米) 2.(1)诚 (2)248 答：大长方体的表面积最大是160平方厘米。 3. 序号 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 【解析】求拼成后的大长方体的表面积最大是多少， ① 1 1 6 只需用两个小长方体的表面积之和减去两个最小的 拼接面之和。已知两个小长方体表面积之和是(6X ② 2 2 5 4+6×2+4×2)×2×2=176(平方厘米)，最小的拼 ③ 3 1 4 接面积=2×4=8（平方厘米），所以大长方体的表面 ④ 2 2 4 积最大是176-8×2=160（平方厘米）。 (答案不唯一) ≈重难点6 4.80005.232 6.2207.7294 母题 (5×3+5×2+3×2)×2=62(平方分米) 8.52【解析】将长方体按照①的方式切割，增 加的面积是长方体前、后两个面的面积之和； 答：剩下部分的表面积是62平方分米。 按照②的方式切割，增加的面积是长方体上、 【解析】由图可知，挖去一个小正方体后，减少了小 下两个面的面积之和；按照③的方式切割，增 正方体的上面、前面、右面3个面，同时增加了下面、 加的面积是长方体左、右两个面的面积之和。 后面、左面3个面，因此从总体上看，长方体表面积没 所以原来长方体的表面积是16+24+12=52 有变化。根据长方体表面积计算公式求解即可。 (平方厘米)。 9.896 10.144【解析】长方体的底面是面积为9平方 厘米的正方形，3×3=9，所以底面是边长为3 厘米的正方形。该长方体的侧面展开图是一 3 cm 个正方形，如图 所示，所以该长方 体的高，与底面正方形的周长相等，即是3×4 =12(厘米)。这个长方体的侧面积是12×12 =144(平方厘米)。 11.14a2202a2 二、1.×2.√3.×4.×5.V 6.×【解析】本题我们可以举例说明，如图 2a,此时表面积=2a×a×4十aXaX2 =10a2。将该长方体切成两个完全相同的正 方你，如图@所示，此时表面积=0X6 6a。所以本题说法错误。 三、1.A2.C3.A4.B5.B 6.A 已大人辅导延展 将几个大小相同的长方体或正方体形状的 物体包装在一起，求怎样包装最节省包装纸时， 可以观察哪种包装方法中物体重合部分的面积 最大，这种包装方法就最节省包装纸。也可以 根据每种包装方法的长、宽、高求出每种包装方 法需要多大面积的包装纸，进而比较出最节省 包装纸的包装方法。 7.A 四、1.(10×8+10×6+8×6)×2=376（平方分米） 2.8×3×4+3×3×2=114(平方分米) 3×3×4=36(平方分米) 114+36=150(平方分米) 五、1.示例 (涂法不唯一) 大人辅导延展 正方体的展开图一般有四类。 第一类：“1一4-1型”，如图： 中即甲中电中脚 第二类：“2一3-1型”，如图： ■ 西 第三类：“2-2-2型”，如图： 第四类：“3一3型”，如图： 吧▣ 2.(1)8 400(或80 40)》 (2)ǖ 或 (根据长方体摆放位置的不同，画法不唯一) 、1.30×2+10×4+15×6+20=210(厘米) 答：一共需要210厘米彩带。 2.(70×44+70×32+32×44)×2=13456(平方 厘米) 13456平方厘米=1.3456平方米 1.3456+0.06=1.4056(平方米) 答：制作这样一个纸箱共用了1.4056平方米 的纸板。 3.120÷(2+3)÷4=6(厘米) 6+3+2=11(厘米) 6×11×4+6×6×2=336(平方厘米) 答：原来这块茯苓砖茶的表面积是336平方 厘米。 4.12×6+(12×3.5+6×3.5)×2-12=186(平 方米) 186×0.8=148.8(千克) 答：一共需要148.8千克涂料。 5.将2块薰香包装在一起，有3种包装方法： 方法一： 3 cm 3 cm 10 cm 5 cm 包装纸面积：10×5×2+10×(3+3)×2+5× (3+3)×2=280(平方厘米) 方法二： 3 cm 5 cm 10cm 5 cm 包装纸面积：10×(5+5)×2+10×3×2+(5+ 子题1326 5)×3×2=320(平方厘米) 【解析】分析如下表： 方法三： 3 cm 5 cm 计算 分析 结果 10 cm 10 cm 包装纸面积：(10+10)×5×2+(10+10)× ×4=4 6 5= 分母相同，分子大的 最大填 3×2+5×3×2=350(平方厘米) 4□ 6>6 分数大。4>口。 280<320<350,方法一最节省包装纸。 .47 答：最节省包装纸的包装方法需要280平方厘 9-27 分子相同，分母小的 最大填 7 米的包装纸。 27<日 分数大。27>口。 26 附加题 1.(1)969288(2)76 子题2 1734 911 (3)100-4m【解析】切割下一个小正方体钢 【解析】分析如下表： 块，剩下方钢的表面积是100一4=96（平方分 计算 分析 结果 米)；切割下2个小正方体钢块，剩下方钢的表 *:6 分子相同，分母 最小 面积是100一2×4=92（平方分米）；切割下3 7 7 小的分数大。 填17 个小正方体钢块，剩下方钢的表面积是100一 162() 16<( )。 3×4=88(平方分米)。根据这个规律，切割下 5×5=5 5* 分子相同，分母 最小 6个小正方体钢块，剩下方钢的表面积是100一 5 小的分数大。 33>() 填34 6×4=76(平方分米)，切割下m(m<25)个小 33<(). 正方体钢块，剩下方钢的表面积是(100一4m) x3- 平方分米。 6 10 分母相同，分子 8 > 大的分数大。 最小 2.5×5×6-1×1×6+(5-1)÷2×1×4×6= 10 9 )×9>8× 填9 192(平方厘米) x9.8×10 10。 答：挖孔后图形的表面积是192平方厘米。 10x9 9x10 51410 -X 第四单元A卷 母子题培优专项卷 71111 分母相同，分子 10 大的分数大。 最小 ≈重难点1 11 12 10×12<() 填11 母题1565 10x12 )x11 11x2< ×11。 【解析】先计算，再比较分析如下表： 12x11 计算 分析 结果 ≈重难点2 713、183 分子相同，分母小的分 最大填 母题 772242 i6<立 数大。口<16。 15 【解析】 713 的倒数是77,772=159.188的倒 772 713'713713°242 分母相同，分子大的分 最大填 数是242,242=159 183'183 1鼎<器中器 713183 ☐×425 数大。☐×4<25。 6 30<30 因为一个数的倒数越大，这个数越小，所以713183 5x口<1 772242 7 4 分母相同，分子大的分 最大填 子题1 1111111 111111111 5x0<28 数大。5×口<28。 2828 【解析】 1的倒数是，1=10 1111 1111 111’111 111° 11111 培优100分数学 五年级下册J小版 57培优100分数学五年级下册J小版 【答案见P56】 第三单元 长方体和正方体 B卷培优验收综合卷 拍照批改+错题本 限时：90分钟满分：(100+10)分 得分： 一、认真读题，准确填空。（每空1分，共26分) 1.〔秦皇岛市期末〕一个长方体的所有棱长总和是56厘米，那么 威 它的长、宽、高之和为( )厘米。 2.下面是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了汉字。 10 cm 治 6cm文 明 法 诚 14 cm 信 (1)将该长方体的表面展开图围成长方体后，和“明”字相对 线 的面上是“( )”字。 不要答 (2)这个长方体的表面积是( )平方厘米。 3.用一根长32厘米的木条做一个棱长是整厘米数的长方体框 架（木条无剩余），这个长方体框架的长、宽、高可能是多少厘 米？想一想，填一填。（写出四种） 序号 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） ① ② ③ ④ 4.用铁皮做一节长2米的长方体通风管，这节通风管的横截面 是边长10厘米的正方形，做它共需要( )平方厘米的 铁皮。 图 5.右图是一个长方体的部分框架，搭完 8 dm 框架要把每个面糊一层彩纸（接头部 7dm 分忽略不计)，那么至少需要( 4 dm 平方分米彩纸。 6.妈妈购买了一个长、宽、高分别是35厘米、20厘米、11厘米的 首饰盒。那么这个首饰盒的占地面积至少是( )平方 厘米。 7.有两根长度相同的铁丝。其中一根铁丝可以做成一个长、 宽、高分别是10厘米、8厘米、3厘米的长方体框架；另一根 铁丝如果做成一个正方体框架，则正方体框架的棱长是 ( )厘米，表面积是( )平方厘米。（两根铁丝均 无剩余) 8.〔苏州市期末〕长方体切割一个长方体按照下图所示的三种方 式切割成两个相同的长方体，表面积分别增加了16平方厘米、 24平方厘米、12平方厘米，原来长方体的表面积是( 平方厘米。 (② ③ 9.拼接问题用一些长4厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体木块 拼成一个正方体，至少要用( )个这样的长方体，拼成 的正方体的表面积是( )平方厘米。 10.易错题·侧面展开图一个长方体的底面是面积为9平方厘米 的正方形，它的侧面展开图是一个正方形，这个长方体的侧 面积是( )平方厘米。 11.下图中每个正方体的棱长是a。 50个 表面积：6a 10a2 二、仔细斟酌，认真判断。（对的画“√”，错的画“×”）(6分) 1.〔北京市期末〕所有的长方体都有3组大小不同的面。( 2.如果一个长方体相邻的2个面是正方形，那么这个长方体一 定是正方体。 3.〔石家庄市期未〕一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度 相等。 () 4.底面积是1平方米，高是1米的长方体一定是正方体。 ( ) 5.〔保定市期末〕正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积就扩大 到原来的4倍。 ) 6.将一个长方体切成两个完全相同的正方体，每个正方体的表 面积是原来长方体表面积的一半。 三、反复比较，慎重选择。（将正确答案的序号填在括号里）(14分) 1.〔成都市期末)下列图形中，不能围成正方体的是()。 A B.L 2.把一个长12厘米、宽9厘米、高7厘米的长方体切成一个尽可 能大的正方体，则这个正方体的棱长是( )厘米。 A.12 B.9 C.7 3.〔南京市期末〕在模型①的基础上，再添加一个同样的小正方 体后得到的模型中，( )的表面积最小。 A B. 4.一张长方形纸长40厘米，宽8厘米，把它对折、再对折。打开 后，围成一个高8厘米的长方体。如果为这个长方体配一个 底面，则底面面积是()。 A.320平方厘米B.100平方厘米C.80平方厘米 5.下面是一个长方体火柴盒。做这样一个火柴盒的外盒需要 ()平方厘米的硬纸板，内盒需要( )平方厘米的硬 纸板。（硬纸板厚度忽略不计） A.7648.8 1.6① B.5648.8 单位：cm C.68.848.8 6.要把4个长10厘米、宽6厘米、厚1厘米的盒子包装在一起， 下面组合方法中最节省包装纸的是( )。 A. B 7.挖去问题有3个大小一样的正方体，分别取走涂色处的小正 方体，剩下的物体中表面积最大的是( )。 B 培优100分数学五年级下册JJ版 13 四、计算下面图形的表面积。（单位：分米）(6分) 2 6 10 五、弄清题意，细心作图。(16分) 1.〔蚌埠市期末〕开放探究在下面两幅图中各添加一个正方形 (用涂色表示)，使新图形剪下来折叠后能够围成一个封闭的 正方体。(6分) 2.〔郑州市期末〕下面是四种长度的小棒及根数。(10分) 2 cm 3cm 9根 4根 4cm 5cm 5根 2根 (1)请你从中选择12根小棒，制作一个有两个相对的面是 正方形的长方体框架，将你选择的小棒情况填在下表中 (不能破坏小棒)。(4分) 长度（厘米） 2 3 4 5 根数 (2)用你选择的小棒做成长方体框架后，在框架的表面贴 上彩纸。请在下面方格纸上用直尺画出这个长方体的前 面、上面和右面。（每个小方格边长表示1厘米)(6分) 14 培优100分数学 五年级下册J刀版 六、走进生活，解决问题。(32分) 主题情境茶文化 茶文化与实际生活紧密相连，它渗透到人们的日常生活中， 丰富着人们的日常活动。多种多样的茶商品也是紧紧地围绕在 我们的身边。 1.爷爷的生日就要到了，爸爸买了爷爷最喜欢的茶叶，用礼盒包 装后作为生日礼物。该长方体礼盒的长、宽、高分别为30厘 米、10厘米、15厘米。用彩带把这个礼盒按如图所示的方式捆 扎起来，打结处长20厘米，一共需要多少厘米彩带？(6分) 2.妈妈给爷爷购买了一套茶具，又制作了一个纸箱来盛放这套 茶具。已知这个纸箱的长是70厘米，宽是44厘米，高是32厘 米，接头处用了0.06平方米的纸板。制作这样一个纸箱共用 了多少平方米的纸板？(6分) 3.切割问题爷爷的朋友来家里，爷爷拿出一块长方体茯苓砖 茶，切出一部分泡茶。已知从砖茶的上部和下部分别截去高 为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减 少了120平方厘米。那么原来这块茯苓砖茶的表面积是多少 平方厘米？(6分) 4.爷爷准备装修自己的茶室。该茶室长是12米，宽是6米，高 是3.5米。现在要用涂料粉刷茶室的四壁和屋顶，已知门窗 的面积一共是12平方米。如果每平方米需要涂料0.8千克， 那么一共需要多少千克涂料？(7分) 弥 5.拼接问题品茶时点燃熏香可以使品茶过程更加美好。叔叔 封 购买了2块长10厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体熏香送给 爷爷。把熏香包装在一起，忽略接口处的大小，最节省包装 纸的包装方法需要多大面积的包装纸？（单位：厘米）(7分) 线 内 附加题。（10分) 1.一根方钢的表面积是100平方分米，它的左、右两个侧面是 边长为1分米的正方形（如图），工人师傅每次都切割下一 个棱长为1分米的小正方体钢块。 不 (1)填表。(3分) 1 dm 切割下小正方体钢块的个数 1 2 3 剩下方钢的表面积（平方分米） 要 (2)当切割下6个小正方体钢块时，剩下方钢的表面积是 ( )平方分米。(2分) (3)当切割下m(m<25)个小正方体钢块时，剩下方钢的表面 答 积是( )平方分米。(2分) 2.挖去问题在棱长为5厘米的正方体的上、下、左、右、前、后六个 面的正中位置都挖去一个穿透的孔，孔的横截面是边长为1厘 题 米的正方形，挖孔后图形的表面积是多少平方厘米？(3分) 视频讲解