专题18 相交线与平行线-2025-2026学年中考数学一轮复习

专题18 相交线与平行线 相交线与平行线是初中几何的基础核心内容，是后续学习三角形、四边形、圆等几何知识的重要铺垫，也是中考数学的基础必考点。该专题在中考中以基础题为主，分布于选择题、填空题，部分地区会结合几何综合题考查，占分比重约5%-8%，核心考查学生对相交线、平行线相关性质的理解与应用，以及角度计算、基本作图的能力。 考点 ①对顶角与邻补角的识别与计算； ②垂线的性质与应用（垂线段最短、垂线的判定与性质）； ③平行线的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； ④平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； ⑤平行线的实际应用（方位角、生活场景中的平行关系）； ⑥有关平行线的基本作图（作角平分线、作平行线等）。 考情 ①基础题型：侧重对顶角、邻补角、垂线、平行线的基本性质与角度计算，难度较低； ②进阶层题型：侧重平行线性质与判定的综合应用、角度的多步推导，难度中等； ③创新题型：侧重结合生活场景、方位角、作图的综合应用，难度中等偏上。 一、核心概念与性质 1.相交线相关概念与性质 对顶角：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，对顶角相等（核心性质）； 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，邻补角之和为； 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点为垂足； 垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。 2.平行线相关概念与性质 平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（记为）； 平行线的判定（3种核心方法）： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行； 平行线的性质（3种核心结论）： 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即，，则）。 二、解题提速技巧 1.角度计算捷径： 对顶角与邻补角综合：若一个角的对顶角与邻补角互补，则该角为； 平行线中的“拐点”模型：遇到“Z”型（内错角）、“F”型（同位角）、“U”型（同旁内角）拐点，可通过作平行线转化角度关系； 三角形外角与平行线结合：平行线中出现三角形，可利用“两直线平行，同位角/内错角相等”转化外角与内角的关系。 2.实际应用结论： 方位角中的平行关系：若两地观测方向的方位角相等，且方向相同，则两地连线与观测基线平行； 作图结论：过直线外一点作平行线，可通过“作同位角相等”或“作内错角相等”实现，本质是利用平行线的判定定理。 3.易错点提醒： 平行线的性质与判定的区别：“由角定线”是判定，“由线定角”是性质，切勿混淆； 邻补角与补角的区别：邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角（需有公共边和反向延长线）。 考点1：对顶角与邻补角的计算 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，如果，求是多少度？ 【答案】 【分析】根据对顶角相等可知，结合得到，再根据邻补角的定义可知，求出的度数即可． 【详解】解：，， ， ， ． 考点2：垂线的性质与计算 例2．（25-26七年级下·广西崇左·月考）已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：垂线段最短， ∴点P到直线的距离不大于、、． ，，， ． 点P到直线的距离不大于，即不大于1． 考点3：平行线的性质与角度计算 例3．（2026·广东深圳·模拟预测）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴． 考点4：平行线的判定与综合应用 例4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，已知中，点D、E分别在、上，交于点F，，． 请补全下面解答过程，证明． 证明：（________）． （已知）， ________（________）． （________）． （________） ∵∠1=∠B（已知）， ________（________） （________） 【答案】平角定义；3；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质进行解题． 【详解】证明：（平角定义）， （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∵∠1=∠B（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行） 考点5：平行线的实际应用（方位角） 例5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 考点6：有关平行线的基本作图 例6．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 【答案】见解析 【详解】（1）解：如图，过点P画直线即可； （2）如图，连接；过B画的垂线，垂足为C、D； （3）如图，过点P画的垂线段，垂足为E 【点睛】本题考查了平行以及垂线的定义，需要图形结合． 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短． 故选：A 5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 7．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 8．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 10．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 13．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 14．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ，故选：B． 16．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 17．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴．故选C． 18．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 19．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 20．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴．故选C． 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 23．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 24．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 25．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质； 根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：D． 26．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ∴ 故选：C． 27．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后的度数，然后用旋转前的度数减去旋转后的度数即可得到木条旋转的度数．根据平行线的性质求出旋转后的度数是解题的关键． 【详解】解：如图2所示， ， 旋转后的， 要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数可以是． 故选：A． 28．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 29．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 根据题意可得，然后根据平行线的性质结合角的和差即可求解． 【详解】解：如图，根据题意可得， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 30．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 31．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 32．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，易得，根据平行线的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 33．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角互补，根据是互为邻补角，得，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵直线，相交于点O，且， ∴， 故答案为： 35．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，，直线与射线相交于点．若，则_______．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 37．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 38．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则_________． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 39．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意，得到两条折射光线平行，根据平行线的性质得到，即可． 【详解】解：∵， ∴在空气中的两条直线也平行， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 三、解答题 41．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 42．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 43．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 44．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：AD∥BC； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 45．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见解析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 相交线与平行线 相交线与平行线是初中几何的基础核心内容，是后续学习三角形、四边形、圆等几何知识的重要铺垫，也是中考数学的基础必考点。该专题在中考中以基础题为主，分布于选择题、填空题，部分地区会结合几何综合题考查，占分比重约5%-8%，核心考查学生对相交线、平行线相关性质的理解与应用，以及角度计算、基本作图的能力。 考点 ①对顶角与邻补角的识别与计算； ②垂线的性质与应用（垂线段最短、垂线的判定与性质）； ③平行线的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； ④平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； ⑤平行线的实际应用（方位角、生活场景中的平行关系）； ⑥有关平行线的基本作图（作角平分线、作平行线等）。 考情 ①基础题型：侧重对顶角、邻补角、垂线、平行线的基本性质与角度计算，难度较低； ②进阶层题型：侧重平行线性质与判定的综合应用、角度的多步推导，难度中等； ③创新题型：侧重结合生活场景、方位角、作图的综合应用，难度中等偏上。 一、核心概念与性质 1.相交线相关概念与性质 对顶角：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，对顶角相等（核心性质）； 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，邻补角之和为； 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点为垂足； 垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。 2.平行线相关概念与性质 平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（记为）； 平行线的判定（3种核心方法）： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行； 平行线的性质（3种核心结论）： 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即，，则）。 二、解题提速技巧 1.角度计算捷径： 对顶角与邻补角综合：若一个角的对顶角与邻补角互补，则该角为； 平行线中的“拐点”模型：遇到“Z”型（内错角）、“F”型（同位角）、“U”型（同旁内角）拐点，可通过作平行线转化角度关系； 三角形外角与平行线结合：平行线中出现三角形，可利用“两直线平行，同位角/内错角相等”转化外角与内角的关系。 2.实际应用结论： 方位角中的平行关系：若两地观测方向的方位角相等，且方向相同，则两地连线与观测基线平行； 作图结论：过直线外一点作平行线，可通过“作同位角相等”或“作内错角相等”实现，本质是利用平行线的判定定理。 3.易错点提醒： 平行线的性质与判定的区别：“由角定线”是判定，“由线定角”是性质，切勿混淆； 邻补角与补角的区别：邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角（需有公共边和反向延长线）。 考点1：对顶角与邻补角的计算 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，如果，求是多少度？ 考点2：垂线的性质与计算 例2．（25-26七年级下·广西崇左·月考）已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1 考点3：平行线的性质与角度计算 例3．（2026·广东深圳·模拟预测）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 考点4：平行线的判定与综合应用 例4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，已知中，点D、E分别在、上，交于点F，，． 请补全下面解答过程，证明． 证明：（________）． （已知）， ________（________）． （________）． （________） ∵∠1=∠B（已知）， ________（________） （________） 考点5：平行线的实际应用（方位角） 例5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点6：有关平行线的基本作图 例6．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 14．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 19．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 24．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（   ） A． B． C． D． 26．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（   ） A． B． C． D． 28．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（  ） A． B． C． D． 二、填空题 33．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则_________． 34．（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为__________． 35．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，，直线与射线相交于点．若，则_______．    36．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 37．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则______． 38．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则_________． 39．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 40．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为__________． 三、解答题 41．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 42．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 43．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 44．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：AD∥BC； (2)求的度数． 45．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $