专题03 解三角形中边、角的最值（范围）问题7种重点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题03 解三角形中边、角的最值（范围）问题7种重点常考题型 题型一：边长的最值 题型二：边长的范围问题 题型三：角的最值 题型四：角的最值范围问题 题型五：与边有关的表达式最值（范围）问题 题型六：与角有关的表达式最值（范围）问题 题型七：解三角形中边、角与其他章节的融合 题型一：边长的最值 1．已知中，，，，则边的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2＋ D. 2.在中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3.在中，，的面积为3，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.（多选）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是 D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 5.在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为 . 6.在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 题型二：边长的范围问题 7．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7.已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是为（ ） A． B． C． D． 8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9.在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 10.在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，若，则的取值范围为__________. 11.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 12.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 题型三：角的最值 13．设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 14.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 15.在中，内角所对的边分别为，且，若是的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16.在中，设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 题型四：角的最值范围问题 17．的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 18.如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 20.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为________； 21.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 题型五：与边有关的表达式最值（范围）问题 22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 23.如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8    24.已知的内角A，B，C满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，若，则的取值可能是（ ） A．7 B． C．8 D． 25.在中，若，则的取值范围为________ 26.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 27.在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为 28.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 29.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 30.已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 31．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 题型六：与角有关的表达式最值（范围）问题 32．记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 33.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 34.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 35.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 36.（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 37.锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围 . 题型七：解三角形中边、角与其他章节的融合 38.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 39.在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 40.已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 41.在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 42.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形中边、角的最值（范围）问题7种重点常考题型 题型一：边长的最值 题型二：边长的范围问题 题型三：角的最值 题型四：角的最值范围问题 题型五：与边有关的表达式最值（范围）问题 题型六：与角有关的表达式最值（范围）问题 题型七：解三角形中边、角与其他章节的融合 题型一：边长的最值 1．已知中，，，，则边的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2＋ D. 【答案】B 【分析】先利用，求得a，c关系，再利用构造出a，c的不等关系，进而求得边的最小值. 【解析】中，，， 则，则， 则，整理得， 又中，，则， 整理得， 又， 代入整理得，解之得. 故的最小值为3. 故选：B 2.在中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解. 【解析】 由，，则，， 在中，有， 即，即， 有， 故，， ， 则 ， 其中，， 则当，即时，有最大值， 由，则，由，则， 故可取，故有最大值. 故选：D 3.在中，，的面积为3，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可. 【解析】设，则， 由，得. 由余弦定理得， 令，则， 即（其中）， 所以，即， 得，解得或，即或（舍去）， 解得或（舍去），所以的最小值为4. 故选：B 4.（多选）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是 D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，对于B，利用正弦定理求解判断，对于C，由正弦定理得，再由为锐角三角形，求出角，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，对于D，由题意得，两边平方化简，结合余弦定理和基本不等式可求得结果. 【解析】对于A，因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，即，得， 因为，所以或， 所以有两解，所以B错误， 对于C，由正弦定理得，即，得， 因为为锐角三角形，所以， 所以，得， 所以，得， 所以，即b取值范围是，所以C正确， 对于D，因为D为BC边上的中点，所以， 所以 ， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以AD的最大值为，所以D正确. 故选：ACD 5.在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，可得，进而结合正弦定理可得，再结合正弦函数及不等式的性质求解即可. 【解析】由题意，要求AD的最大值，不妨设，，则， 由，则， 在中，由正弦定理得，， 即，即， 由，则，即， 则，则， 则AD的最大值为. 故答案为：. 6.在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解直角三角形结合等边三角形的性质计算即可； （2）利用正弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质计算即可. 【解析】（1）当为等边三角形时，因为，所以， 则在中，， 故，即； （2）设，则，． 在中，由正弦定理可得， 则， 则在中， ， 因为，所以， 所以当时上式取得最大值， 即AD的最大值为． 题型二：边长的范围问题 7．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而可得结果. 【解析】因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故选：D 7.已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解． 【解析】在中，，， 则，即， ，，， 则角为钝角或角为钝角， 若角是钝角， 则，即， 故， 若角是钝角， 则，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 故选：D 8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解. 【解析】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 9.在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【解析】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10.在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果. 设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围. 【解析】在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴. 设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是. 故答案为： 11.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【答案】 【分析】若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【解析】因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：. 12.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，选择①②③用正弦定理或余弦定理求得； （2）根据是锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦定理建立边与角的式子即可. 【解析】（1）若选条件①，由正弦定理得， 所以， 即， 因为，所以． 若选条件②，由余弦定理， 所以， 即，， 所以， 因为，所以． 若选条件③，由正弦定理得， 所以， 又因为, 所以，又， 所以，因为，所以． （2）因为是锐角三角形，， 所以，所以， 由正弦定理可得， ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为． 题型三：角的最值 13．设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求出，利用均值不等式求解作答. 【解析】在中，由正弦定理及得：， 即，整理得：， 即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛盾， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 故选：D 14.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，根据基本不等式可得最值. 【解析】由已知， 则中，由正弦定理可得， 则，即， 又由余弦定理可知， 所以，当且仅当，即时等号成立， 又， 所以， 故选：A. 15.在中，内角所对的边分别为，且，若是的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，将已知等式化为，即可得到； 应用余弦定理得，再由基本不等式求最值，进而确定角的最大值. 【解析】因为， 所以则， 整理得，即. 因为，所以，即. 有， 所以 ， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 16.在中，设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用面积公式及余弦定理解得. （2）利用余弦定理得出函数，利用单调性解决问题。 【解析】（1）由三角形面积公式可得， 则，又， 由余弦定理可得， ∴，. （2）由，可得， ∴， 如图，过点作于，过点作，使得，连接，，则， 在中，， 则， 即，解得， 则，∴， 而， 令，则在时为减函数， ∴， ∴当时，，此时取得最小值. 题型四：角的最值范围问题 17．的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【解析】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 18.如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解. 【解析】由，得， 又，所以， 则当时，三角形只有一个解， 此时， 故选：C 19.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得，然后根据余弦定理可得、，根据三角形是钝角三角形求出，，，然后利用对勾函数的性质求出的范围即可． 【解析】如图所示： 连接，并延长交于， 由是三角形的重心，得是的中点， ，， 由重心的性质得，即， 由余弦定理得：， ， ，， ， 则， ，，，为锐角， 是钝角三角形，或为钝角， 或， 将代入得：，，， ． 故选：A 20.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为________； 【答案】 【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，再利用锐角三角形内角的范围即可求解 【解析】在中，由正弦定理可将式子化为， 又， 代入上式得，即， 因为，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以，因为为锐角三角形，，所以， 由解得 故答案为： 21.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围． 【解析】因为，由余弦定理得，所以， ， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以，，， 由，得，， ， ，所以． 故答案为：． 题型五：与边有关的表达式最值（范围）问题 22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简整理得到；再根据题意利用正弦定理整理可得，分析运算即可. 【解析】∵，由正弦定理可得， 即，则， 注意到，则， 可得，则， 所以或（舍去）， 即，则，解得，可得， 由正弦定理可得：， ∵，则，可得， 故选：B 23.如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8    【答案】B 【分析】由锐角的面积求出，得，中由余弦定理求，由余弦定理和基本不等式，求的最大值. 【解析】因为锐角的面积为，即， 解得，所以． 中由余弦定理得，解得． 在中，，，由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时等号成立，解得， 所以的最大值为4． 故选：4 24.已知的内角A，B，C满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，若，则的取值可能是（ ） A．7 B． C．8 D． 【答案】BCD 【分析】先利用三角形公式将条件变形可得，再将条件中不等式变形为，利用面积公式计算得到的范围即可. 【解析】 ， 又，，即， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：BCD. 25.在中，若，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果. 【解析】在中，，，由及正弦定理， 得 ， 由，，得，且， 则，因此，， 所以的取值范围为. 故答案为: 26.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值. 【解析】如图： 过作于. 因为，所以. 设，则 设，则 若，则；若，则； 当时， （当且仅当即时取“”）. 所以 故答案为： 27.在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】要求的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE2，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF2，然后可得BE与CF的平方比，分离常数变形后，由A为三角形的内角得到A的范围，求出比值的范围，进而可得到的取值范围． 【解析】根据题意画出图形，如图所示： ∵， ∴， 又E,F分别是AC,AB的中点， ∴． 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， ∴， ∴． 令， 则在上单调递减， ∴，即. 又恒成立， ∴， ∴实数的最小值为． 故答案为:． 28.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案； （2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案. 【解析】（1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 29.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到； （2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可. 【解析】（1），所以， 所以， 又，所以， 因为，所以． （2）因为锐角三角形，所以，整理得． 因为，所以． 令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 故的取值范围为. 30.已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求解即可； （2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可. 【解析】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 31．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【解析】（1）因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）由正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，所以， 而， 所以，则， 所以. 题型六：与角有关的表达式最值（范围）问题 32．记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求. 【解析】根据三角形三边关系可得，即， 又， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以，又为三角形的内角， 所以， 所以. 故选：C. 33.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简整理得到；再利用三角恒等变换整理得，结合基本不等式分析运算即可. 【解析】∵，由正弦定理可得， 即，则， 注意到，则， 可得，则， 所以或（舍去）， 即， ， 即， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 34.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【解析】在中，， 故题干条件可化为，由余弦定理得， 故，又由正弦定理化简得： ， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得，故 故选：C 35.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【解析】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 36.（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【答案】ABC 【分析】A：利用正弦定理和三角恒等变换即可判断；B：利用正弦定理边化角，结合A选项结论和三角恒等变换即可求出的三个内角，从而可判断其形状；C和D，根据是锐角三角形和选项A结论求出B的范围，利用函数单调性的方法可分别求两个式子的范围. 【解析】∵，由正弦定理可得， 在中，， 可得，而与不可能互补， ∴，即，∴A选项正确； 选项B中，，可得，由A选项可得， 则，在中，， 可得，则，∴，即为直角三角形，∴B选项正确； 选项C中，为锐角三角形中， ． 设， ∵为锐角三角形，∴，可得， ∴，即， 令，则函数单调递增， ，而，即． ∴，∴，∴C正确； 选项D中，∵为锐角三角形，由A选项可得， ∴，可得，∴， ∴． 设． 设在单调递减，∴， ∴D选项不正确： 故选：ABC． 37.锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用正弦定理，由题意得，再结合是锐角三角形，得出的范围，然后根据存在最大值，得出的取值范围. 【解析】由正弦定理，，，得， 代入，得， 所以，即， 因为，所以或（舍去）， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 因为，且， 即， 利用辅助角公式可得, ，其中, 因为，要使存在最大值， 只需存在，使，，所以， 因为，所以，解得. 所以的取值范围. 故答案为：. 题型七：解三角形中边、角与其他章节的融合 38.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，设，利用正弦定理将表示为关于的式子，然后利用三角恒等变形与三角函数的值域求的取值范围即可. 【解析】设， 则，， 由得， 解得，满足，，    在中，， 可得， 同理可得， 所以 ， 因为 ， 所以当，即时，最大值为， 结合，可得的最小值为， 所以当时，由最小值， 即的取值范围是. 故选：D 39.在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 【答案】 8 【分析】余弦定理和基本不等式即可求解. 【解析】由和正弦定理可得， 故, ， ，故, 当且仅当，即时取等号， ，故， 此时周长为， 故答案为：8， 40.已知函数． (1)求的最小正周期； (2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式以及周期公式即可求解； （2）根据函数求解角度A，再由正弦定理和诱导公式以及两角和与差的正弦公式即可求解. 【解析】（1）函数 函数的最小正周期为． （2）， 所以， 因为， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以的取值范围为． 41.在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【解析】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 42.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)=； (2) 【解析】（1）由条件可知，， 即，即， ，即，则， 所以，且，所以； （2）由余弦定理， ， 因为，则，即， ， 设，， 设，则， 当，函数单调递增， 所以的范围是，所以的范围是. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $