2.5.1 向量的数量积 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章　平面向量及其应用 §5.1　向量的数量积 1 学习目标 掌握平面向量的夹角．（数学抽象） 掌握平面向量的数量积公式．（逻辑推理） 理解投影向量、投影数量的几何意义．（直观想象） 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 小明在雪地里，用雪橇拉着妹妹玩耍，在他的拉力 <m></m> 的作用下，雪橇产生了一段位移 <m></m> ． 阅读教材,结合上述情境回答下列问题: 1.如何计算这个力所做的功？ 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1.如何计算这个力所做的功？ [答案] <m></m> . 如图，如果力的方向与物体运动的方向成角，我们可以将力进行分解；与位移方向平行的分力满足，物体在方向 上产生了位移，因而对物体做的功为. 与位移方向垂直的分力，由于没有使物体在该分力的方向上产生 位移，因而对物体不做功. 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 1：向量的数量积定义 已知两个非零向量和，作，， 向量与的夹角记为或 ()， 称为与的数量积(或内积)，记作， 即. 规定零向量与任一向量的数量积为0. 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例1 如图，已知向量与，其中，且与的夹角， (1)求； 题型一：向量的数量积 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 当时，； 当时，； 当时，； 当时，; 当时，. 知识点 2：向量的数量积与夹角的关系 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型二：向量的数量积与夹角的关系 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 3：向量的投影数量与投影向量 如图，已知两个非零向量和，作，， 过点向直线作垂线，垂足为， 得到在上的投影， 则 称为向量在向量方向上的投影向量， 称为投影向量的数量， 即向量在向量方向上的投影数量为，可以表示为， 向量在向量方向上的投影向量为 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 4：向量的数量积的几何意义 <m>与数量积（）等于 <m>的长度 <m></m> 与 在 <m> 方向上的投影数量 <m></m> 的乘积， 或 <m>的长度 <m></m> 与 <m> 在 <m></m> 方向上的投影数量 <m></m> 的乘积. 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：(2)如图，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则， 所以所求投影数量为. 投影向量为 例1 如图，已知向量与，其中，且与的夹角， (2)求向量在方向上的投影数量及投影向量，并画图解释. 题型三：投影数量及投影向量 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型三：投影数量及投影向量 2.若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 和 <m></m> 的夹角为 <m></m> ，则 <m></m> 在 <m></m> 方向上的投影数量为( )，投影向量为（ ）. 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：+在方向上的投影数量为 . 例2 已知向量，其中，且与的夹角，与 的夹角，求+在方向上的投影数量. 题型三：求投影数量及投影向量 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 5：向量的数量积的运算律 交换律：. 与数乘的结合律：． 关于加法的分配律：. 注意：. 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 6：向量的数量积的性质 ①若是单位向量，则； ②若是非零向量， ； ③，即； ④； ⑤，当且仅当时等号成立. 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例2 已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是( ). ① <m></m> ； ② <m></m> ， <m></m> 反向 <m></m> ； ③ <m></m> ； ④ <m></m> ． A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C 题型四：对定义及性质的理解 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 已知下列说法：①若 <m></m> ，则 <m></m> ；②已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是三个非零向量，若 <m></m> ，则 <m></m> ；③ <m></m> ；④ <m></m> ；⑤若向量 <m></m> ， <m></m> 满足 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为锐角.其中说法正确的是______． [解析] 对于①， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故①正确；对于②， <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 互为相反向量，设 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故②正确；对于③，由于 <m></m> ，故③错误；对于④，由于 <m></m> ，其结果为向量，故④错误；对于⑤，当 <m></m> 与 <m></m> 为同向的非零向量时， <m></m> ，但夹角不是锐角，故⑤错误． ② ① 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型五：求向量的模长 已知向量与的夹角为120°，且||＝4，||＝2，求：(1)|＋ 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型六：求向量的夹角与垂直问题 1、若两个向量与满足||＝1，||＝6，，则向量与的夹角为（ ） 2、若非零向量与满足||＝ || ，，，则向量与的夹角为（ ） 19 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 向量数量积 投影数量与投影向量 数量积的运算律 数量积的运算性质 20 谢谢大家 21 $