第2章 §5 5.1 向量的数量积（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕向量的数量积展开，以物理中力的做功公式为导入，通过功与数量积的关联搭建学习支架，帮助学生从已知的物理概念过渡到数学中的向量数量积概念。 其亮点在于以数学眼光观察物理现象抽象出数量积定义，通过思考问题和运算律推导培养数学思维，结合实例解析和跟踪训练强化数学语言表达。学生能提升抽象能力和运算能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

§5　从力的做功到向量的数量积 5．1　向量的数量积 1 新课导入 学习目标 　　在初中物理课 中我们学过功的概 念：如果一个物体 在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．受此启发，我们引入向量“数量积”的概念．  1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解投影向量的概念以及投影向量的意义． 3．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 4．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　向量的数量积的定义 思考　功只与所受力的大小与移动的位移有关，对吗？ 提示：不对，还与力与位移夹角的大小有关． 返回导航 a·b 返回导航 规定零向量与任一向量的数量积为___． 当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b____0； 当〈a，b〉＝90°时，a·b____0； 当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b____0； 当〈a，b〉＝_____时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝_______时，a·b＝－|a||b|. 0 >  ＝ <  0° 180° 返回导航 × × × × 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 返回导航 二　投影向量和投影数量 思考　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则 线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|.  提示：|OD|＝|OA|cos θ. 返回导航 |a|cos〈a，b〉 返回导航 2．向量的数量积a·b的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积(其中θ为a与b的夹角). 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 三　数量积的运算律和运算性质 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μa)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb(λ，μ∈R). 思考　向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律． 返回导航 [知识梳理] 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝______； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝_________＝_________； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝____________． b·a (λa)·b a·(λb) a·c＋b·c 返回导航 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos 〈a，e〉； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔______；   (4)cos 〈a，b〉＝__________ (|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． a⊥b |a|2 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若题目要求的是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律进行化简，再进行数量积运算． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________． 解析：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. －34 返回导航 22 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)若(a＋λb)⊥(2a－b)，求实数λ的值． 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 45 √ 返回导航 √ 返回导航 －1 返回导航 4．(2025·阜阳月考)已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为__________． 返回导航 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两向量的数量积是非负实数．(　　) (2)若a≠0，a·b＝0，则b＝0.(　　) (3)已知两个向量，的夹角为60°，则∠NMP＝60°.(　　) (4)若a，b是两个单位向量，则a·b＝1.(　　) [知识梳理] 1．如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到向量γ＝________，γ称为a在b上的投影向量． ________________称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为____________． a· 2 $