专题15 空间点、直线、平面之间的位置关系（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题15 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点01平面的基本性质及辨析 考点02空间中的点（线）共面问题 考点03空间中的点共线问题 考点04空间中的线共点问题 考点05由平面的基本性质做截面图形 考点06平面基本性质的相关计算 考点07异面直线的判定 考点08空间中直线与平面的位置关系 考点09空间中平面与平面的位置关系 考点01 平面的基本性质及辨析 1．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 2．下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 3．下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 4．如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 5．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 6．设表示平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②若表示不同的平面，，则； ③若，则 ④若，则与重合. 其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点02空间中的点（线）共面问题 7．在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 8．在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； (3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 9．已知正方体的棱长为1，则下列说法中正确的是（    ） A．若是的中点，与平面的交点为，则，，三点共线 B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为 C．若是上的动点，则，，，四点共面 D．若是上的动点，则的最小值是 10．如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 11．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ） A．直线共面 B．直线相交 C． D． 12．一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 考点03空间中的点共线问题 13．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 14．在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 15．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 16．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D．空间四点不共面，则任意三点不共线 17．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 18．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 考点04空间中的线共点问题 19．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 20．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 21．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 22．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 23．如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 24． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 考点05由平面的基本性质做截面图形 25．在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ） A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 26．在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________． 27．正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________. 28．如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 29．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C．9 D．18 30．如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 考点06平面基本性质的相关计算 31．甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 32．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 33．已知正方体的棱长为3， (1)求四棱锥的体积； (2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 34．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 35．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为________． 36．已知长方体中，，，点P为的中点，设平面，平面，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 考点07异面直线的判定 37．在如图所示的正方体中，棱长为6，O为BD中点，直线平面，则下列选项正确的是（   ） A．与MO是异面直线 B．，M，O三点共线 C．三棱锥的体积为12 D．平面 38．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平行 B． C．与是相交直线 D．与是异面直线 39．如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 40．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 41．正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 42．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 考点08空间中直线与平面的位置关系 43．下列命题正确的是（   ） A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．四边形可以确定一个平面 D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交 44．在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 45．已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 46．设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（    ） A．若，则且 B．若，则n平行于平面α内的无数条直线 C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面 47．下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 48．已知平面平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线相交 D．有且只有一个过直线的平面与平面平行 49．如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点在平面外 B．直线在平面外 C．存在点，使、、、四点共面 D．三棱锥的体积为定值 50．如图，已知正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（    ） A．直线与为异面直线 B．直线与平面平行 C．将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为 D．若矩形是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是 考点09空间中平面与平面的位置关系 51．已知直线a，b是两条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．，，最多可将空间分成7个部分 52．，是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 53．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 54．设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（    ） A．在内一定存在直线与直线相交 B．在内一定存在直线与直线异面 C．一定存在过直线的平面与平行 D．存在无数过直线的平面与垂直 55．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 56．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 57．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 58．已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点01平面的基本性质及辨析 考点02空间中的点（线）共面问题 考点03空间中的点共线问题 考点04空间中的线共点问题 考点05由平面的基本性质做截面图形 考点06平面基本性质的相关计算 考点07异面直线的判定 考点08空间中直线与平面的位置关系 考点09空间中平面与平面的位置关系 考点01 平面的基本性质及辨析 1．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【答案】1 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 2．下列命题是真命题的是（   ） A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【答案】ABC 【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确； 绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确； 因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确； 当三点共线时，有无数个平面，则D错误． 故选：ABC. 3．下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 4．如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 【答案】AD 【详解】连接、、、，若是的中点，连接、， 由题设，且，则为平行四边形， 所以且， 又E是中点，故且，则为平行四边形， 所以且， 综上，且，故共面，A正确； 由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误； 由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误； 连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且， E、F分别是、的中点，则且， 所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确. 故选：AD 5．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【答案】B 【详解】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误； B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确； C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误； D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 故选：B 6．设表示平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②若表示不同的平面，，则； ③若，则 ④若，则与重合. 其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】，表示两个平面，表示直线，，，表示三个不同的点， ①若，，，，则，由平面的基本性质的公理1，可得①正确； ②，不重合，若，，，，则，由平面的基本性质的公理2，可得②正确； ③若，，则或，可得③不正确； ④若，，，，，，如果，，不共线，则与重合，如果3点共线，则与可以相交．由平面的基本性质的公理3，可得④不正确． 其中正确的个数为2， 故选：B 考点02空间中的点（线）共面问题 7．在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②答案见解析 【详解】（1）证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面， 面面， 是面与面的公共点， 面面， 又面面， 是面与面的公共点， ，即三点共线．    （2）①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面， ， 又， 与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点．      ②解：如图，六边形即为所求作的截面．    8．在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； (3)若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 所以E、F、G、H四点共面； （2）， 为三等分点，又是中点， 所以， 由余弦定理可得：， 得：，同理 ，、分别是、的中点， 所以，， 所以四边形的周长. （3）延长，则必交于点， 证明如下：设， 因为平面， 所以平面， 同理平面， 又平面平面， 所以， 所以，则必交于点， 取的中点，连接， 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得或， 又因为， 所以 9．已知正方体的棱长为1，则下列说法中正确的是（    ） A．若是的中点，与平面的交点为，则，，三点共线 B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为 C．若是上的动点，则，，，四点共面 D．若是上的动点，则的最小值是 【答案】B 【详解】选项A，在正方体中，连接，，如图，，故共面， 连接，平面平面，因为为棱的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因与平面的交点为，则平面，于是得，即，，三点共线， 由，为棱的中点，可得且，故， 于是得，即，所以三点，，共线，且. 而与交于的中点，所以三点，，不共线，故A错误； 选项B，以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如四面体的体积为，故B正确； 选项C，设直线与直线相交于点，直线在平面内，且不过点，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故C错误； 选项D，如图，将平面和平面展开到一个平面上，连接交于点，此时最小. 在中，，，由余弦定理可知.故D错误. 故选：B. 10．如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)三棱台， 【详解】（1）证明：将展开图还原为如图所示的正方体， 连接，在正方体中，且， 四边形是平行四边形，， 由分别是棱的中点，有，则， 所以四点共面，即点在平面内． （2）连接，所以平面截正方体的截面是四边形， 平面中，延长与的延长线交于点，是棱中点，则为中点， 为中点，则延长与的延长线交于点， 所以体积较小的几何体，即体积为的几何体是三棱台， 正方体的体积，其中是三棱台的体积， ， 11．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ） A．直线共面 B．直线相交 C． D． 【答案】ABD 【详解】 由于分别是的重心，所以分别延长交 于中点.因此正确. 因为，所以，因此. 直线相交，B正确. 因为是的重心，所以，因此，C不正确. 因为，所以.因此，D正确. 故选：ABD. 12．一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【详解】 如图，设过P，Q，R三点的平面为平面. 分别取，，的中点F，E，M， 连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP. 由正方体性质知，所以平面. 又，所以平面. 又，所以平面. 所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状. 故选：D. 考点03空间中的点共线问题 13．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 14．在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 即三点共线.    （2）连接，则与相似， 所以， 所以， 在中，作，交于点，则， 所以. 15．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 16．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D．空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】BD 【详解】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，错误； 对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，正确； 对于C， 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误； 对于D， 空间四点不共面，则任意三点不共线，正确. 故选：BD. 17．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【答案】/ 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 18．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 考点04空间中的线共点问题 19．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 20．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 21．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【答案】(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 22．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【答案】ABC 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC 23．如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)1. 【详解】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 24． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，分别为，的中点， 所以. 又因为， 所以. 所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 考点05由平面的基本性质做截面图形 25．在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ） A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 【答案】B 【详解】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面， 由题设有，即为的中点，则且， 又，，则为平行四边形， 所以且，故且，又， 所以为等腰梯形. 故选：B 26．在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________． 【答案】 【详解】如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点， 交延长线于点，连接交分别于点，连接， 则六边形即为过点，，的截面，由为棱上靠近点的三等分点， 得，即，由，得点为上靠近点的三等分点，即， 由，得，，由， 得，即，由，得， 由勾股定理得，，同理得， 所以截面图形的周长为． 故答案为：． 27．正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________. 【答案】 【详解】取中点，延长交于点， 如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线， 则，，， 设梯形的高为则， 所以. 故答案为：. 28．如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 29．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【详解】由题知连接，，，如图所示 因为分别是的中点，所以， 在正方体中，所以， 所以在同一平面内， 所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为， 所以，，， 则到的距离为等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确. 故选：B. 30．如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，取的中点，连接， 因为是的中点，所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形， 连接交于，连接交于，连接， 因为， 所以，所以梯形为等腰梯形， 所以， 所以梯形的面积为， 故选：B    考点06平面基本性质的相关计算 31．甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 【答案】 【详解】如图所示，分别取，的中点，，连结，， 则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1，则由勾股定理可得． 所以在等腰三角形中，． 故答案为：. 32．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 33．已知正方体的棱长为3， (1)求四棱锥的体积； (2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正方体特征知， （2）如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为． 34．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 35．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为________． 【答案】 【详解】如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为. 36．已知长方体中，，，点P为的中点，设平面，平面，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为平面，平面， 所以与的交点即为点， 延长线与的延长线交于点， 因为，且为的中点， 所以， 同理可得与的延长线交于点， 所以， 如图所示，连接， 在长方体中， ， 则， 故选：C． 考点07异面直线的判定 37．在如图所示的正方体中，棱长为6，O为BD中点，直线平面，则下列选项正确的是（   ） A．与MO是异面直线 B．，M，O三点共线 C．三棱锥的体积为12 D．平面 【答案】BC 【详解】对于A：连接，由平面，平面，所以与共面，故A错误； 对于B：由平面，平面，平面，平面， 又平面平面，所以，即，M，O三点共线，故B正确； 对于C：由，所以， 所以，故C正确； 对于D：平面平面，又，所以平面，故D错误. 故选：BC. 38．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平行 B． C．与是相交直线 D．与是异面直线 【答案】BD 【详解】将正方体的展开图还原为正方体，如图所示， 可得与是异面垂直，A错误； 与平行，B正确； 平面ADNE，平面ADNE，平面ADNE， 由异面直线定义可得，与是异面直线，C错误； 与是异面垂直，D正确. 故选：BD. 39．如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B．与是异面直线 C．与相交 D．与是异面直线 【答案】ABD 【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图， 在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确； 与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确； 故选：ABD. 40．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 41．正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 【答案】BCD 【详解】在正方体中，过作分别交于，连接，则， 对于A，平面，点平面，点， 又点平面， 因此是异面直线，A错误； 对于C，四边形是矩形，且是平面截该正方体所得的截面，而为正方形的中心， 则是的中点，，矩形的面积，C正确； 连接，矩形是正方体的对角面，则， 由为正方形的中心，得点为中点，因此， 点共面，则与共面，B正确； 对于D，，延长交于点，连接交于点， 延长交于，连接，令直线交于，连接， 则四边形是平面截正方体所得截面， 由分别为正方形，的中心，得， 连接， 多面体的体积， 而正方体的体积，因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，D正确. 故选：BCD 42．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【答案】C 【详解】因为平面，平面，， 所以直线与是异面直线. 故选：C 考点08空间中直线与平面的位置关系 43．下列命题正确的是（   ） A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．四边形可以确定一个平面 D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交 【答案】B 【详解】 如图所示，当，被第三个面所截，截得交线为，此时，，不满足a、b是异面直线，所以A错误. 如图所示，三条直线两两相交不公点，形成不在一条直线上的三个点，这三个点确定一个平面，这三条线每条线有两个点在面上，则这三条线也在面上，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，所以B正确. 如图所示，四边形有四个顶点，当第四个点不在前面三个点形成的平面上时，四边形不能确定一个面，所以C错误. 如图所示，当两条相交直线a、b形成的平面平行平面时，有平面，b平面，所以D错误. 故选：B. 44．在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接、， 可知点、到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积， 因为，，，、平面，所以平面， 且平面，则， 设，，，，则， 因为为直角三角形，则， 所以， 同理可得：，， 因为，所以，， 则，所以． 故选：A. 45．已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 46．设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（    ） A．若，则且 B．若，则n平行于平面α内的无数条直线 C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面 【答案】BC 【详解】对于A，若，则且或或，故A错误； 对于B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D错误； 故选：BC 47．下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】AD 【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 故选：AD. 48．已知平面平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线相交 D．有且只有一个过直线的平面与平面平行 【答案】ABD 【详解】对A，当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故A错误； 对B，假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，即该直线与相交，显然不成立，故B错误； 对C，在平面内过的直线都与直线相交，故C正确 对D，平面，因此不存在过直线AB的平面与平面平行，故D错误． 故选：ABD． 49．如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点在平面外 B．直线在平面外 C．存在点，使、、、四点共面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【详解】对于A选项，取的中点，连接、、、， 在正方体中，，，、分别为、的中点， 所以，且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 同理可证四边形为平行四边形，则且， 因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，且，故且， 所以，四边形为平行四边形，即平面，A错； 对于B选项，假设平面，则平面，实际上平面，假设不成立， 故直线在平面外，B对； 对于C选项，连接、、、， 因为且，所以，四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点，则，所以，， 所以，、、、四点共面，故当点与重合时，、、、四点共面，C对； 对于D选项，因为，平面，平面，平面， ，故点到平面的距离为定值， 又因为的面积也为定值，故为定值，D对. 故选：BCD. 50．如图，已知正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（    ） A．直线与为异面直线 B．直线与平面平行 C．将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为 D．若矩形是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是 【答案】BCD 【详解】对于A，直线与既不平行也不相交，是异面直线，A正确； 对于B，，而直线与平面相交，故直线与平面也相交，B错误； 对于C，将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，当球的半径为棱长一半，即其半径为1时，球的表面积最大，其表面积最大值，C错误； 对于D，从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，即其最短距离或，D错误； 故选：BCD． 考点09空间中平面与平面的位置关系 51．已知直线a，b是两条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．，，最多可将空间分成7个部分 【答案】C 【详解】对于A，由，且，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或是相交直线或是异面直线，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，当，，为正方体共点的3个面所在平面时，这3个平面分空间为8部分，D错误. 故选：C 52．，是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 【答案】C 【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误； 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误； 如果，，那么无交点，所以，C选项正确； 如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误； 故选：C. 53．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，；②若，为异面直线，，，，；③，，；④，.其中正确命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于①，，或，故①错误； 对于②，因为，，记，， 则，因为，所以，假设不相交，则， 则，这与，为异面直线，故相交， 又，，所以，故②正确； 对于③，，，或异面，故③错误； 对于④，，或异面，故④错误. 所以正确命题的个数有1个. 故选：B. 54．设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（    ） A．在内一定存在直线与直线相交 B．在内一定存在直线与直线异面 C．一定存在过直线的平面与平行 D．存在无数过直线的平面与垂直 【答案】B 【详解】选项A，当直线平行于平面时，在内不存在与相交的直线，所以A错误； 选项B，与平面平行或相交，在内一定存在直线与直线异面，所以B正确； 选项C，当直线与平面垂直时，不存在过直线的平面与平面平行，所以C错误； 选项D，只有当直线与平面垂直时，才存在过直线的无数平面与平面垂直，所以D错误. 故选：B 55．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则，C正确， 对于D，少了与相交的条件，故D错误. 故选：C 56．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C，若，则或与相交，故C错误； 对于D，若，则存在直线（不与重合），使得，又，则或与相交， 若，则，此时可以满足，只需即可，所以， 若与相交，则与也相交，又，所以与也相交，与相矛盾， 所以，则，故D正确； 故选：D. 57．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对选项A：若，，则或为异面直线，错误； 对选项B：若，，则和可以是任何位置关系，错误； 对选项C：若，，则和可以是任何位置关系，错误； 对选项D：若，，，则，正确； 故选：D. 58．已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】对于A：若且，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误； 对于B：若且，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误； 对于C：若且，则与可能相交，也可能平行，故C错误； 对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确. 故选：D. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $