专题08 复数的概念（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题08 复数的概念 考点01求复数的实部和虚部 考点02根据相等条件求参数 考点03复数的相等 考点04判断复数对应的点所在的象限 考点05根据复数的坐标写出对应的复数 考点06根据复数对应坐标的特点求参数 考点07求复数的模 考点08由复数模求参数 考点09与复数模相关的轨迹问题 考点01 求复数的实部和虚部 1．若复数，则的虚部为______. 2．复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 3．复数的虚部是___________． 4．已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 5．复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 考点02根据相等条件求参数 6．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 7．若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 8．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 9．已知，则______． 10．已知，则_______ 考点03复数的相等 11．若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 12．已知，其中，则____. 13．定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 14．已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 15．若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 考点04判断复数对应的点所在的象限 16．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．若复数满足，则的取值范围为 20．在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 考点05根据复数的坐标写出对应的复数 21．平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、． (1)求点对应的复数： (2)在中，求边上的高． 22．在复平面内，点对应的复数分别为. (1)求向量及的坐标； (2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长. 23．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数 C．若，则z的虚部为－2i D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 24．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为_________． 25．已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z； （2）若，求实数m，n的值. 考点06根据复数对应坐标的特点求参数 26．已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 27．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 28．已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. (1)z为实数; (2)z为纯虚数. (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 29．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 30．复数. (1)若复数是实数，求实数的值; (2)若复数是纯虚数，求实数的值; (3)在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 考点07求复数的模 31．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 32．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 33．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 34．复数，满足，，则的最小值为______. 35．设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 考点08由复数模求参数 36．已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 37．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 38．已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（    ） A．1 B． C． D．3 39．在①；②的实部与虚部互为相反数；③为纯虚数．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知复数． （1）若________，求实数的值； （2）若为整数，且，求在复平面内对应点的坐标． 注：若选择多个条件分别解答，按读一个解答计分． 40．已知复数z满足，的虚部为2， （1）求复数z； （2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值． 考点09与复数模相关的轨迹问题 41．已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 42．若z是复数，则的最小值为______； 43．已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 45．已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 复数的概念 考点01求复数的实部和虚部 考点02根据相等条件求参数 考点03复数的相等 考点04判断复数对应的点所在的象限 考点05根据复数的坐标写出对应的复数 考点06根据复数对应坐标的特点求参数 考点07求复数的模 考点08由复数模求参数 考点09与复数模相关的轨迹问题 考点01 求复数的实部和虚部 1．若复数，则的虚部为______. 【答案】 【详解】由复数，可得复数的虚部为. 故答案为： 2．复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 3．复数的虚部是___________． 【答案】 【详解】复数的虚部为：， 故答案为： 4．已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 5．复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 【答案】B 【详解】由得，实部为， 故选：B. 考点02根据相等条件求参数 6．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 7．若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 8．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 【答案】（4） 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 9．已知，则______． 【答案】1 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 10．已知，则_______ 【答案】3 【详解】因为，， 所以 解得. 所以. 故答案为：3. 考点03复数的相等 11．若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 12．已知，其中，则____. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 13．定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【答案】 【详解】由题意可得，， 则， 所以，解得， 故. 故答案为： 14．已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为纯虚数，所以解得． （2）由于，所以 所以， 又，所以当时，，当时，， 所以实数的取值范围是． 15．若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由得，所以，，所以. 故选：A 考点04判断复数对应的点所在的象限 16．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 17．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限， 故选：B 18．当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 19．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．若复数满足，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】由题意，得. 对于A，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B不正确； 对于C，的虚部为，故C正确； 对于D，由知，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 20．在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 考点05根据复数的坐标写出对应的复数 21．平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、． (1)求点对应的复数： (2)在中，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、， 由复数的几何意义可得、、， 由平面向量加法的平行四边形法则可得， 故点对应的复数为. （2）解：因为，，所以，， 所以，， 因此，的边上的高为. 22．在复平面内，点对应的复数分别为. (1)求向量及的坐标； (2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长. 【答案】(1), (2),. 【详解】（1）因为点对应的复数分别为， 所以， 所以，. （2）由（1）知，， 设顶点的坐标为，则， 由题意可知，，所以， 即，解得，所以. 所以点对应的复数为， 所以. 所以的长为. 23．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数 C．若，则z的虚部为－2i D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，由于点Z的坐标为（－1，l），所以，所以是纯虚数，所以B正确， 对于C，由于，所以z的虚部为－2，所以C错误， 对于D，设，则，因为，所以，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确， 故选：BD 24．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为_________． 【答案】 【详解】因为向量所对应的复数为，所以， 又向量所对应的复数为，所以， 因为点C所对应的复数为，所以, 又因为点C与点D关于虚轴对称，所以， 设所对应的复数为， 则，故点A，B，C，D四点在以为圆心，为半径的圆上，即圆M，故圆M的半径为. 故答案为：. 25．已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z； （2）若，求实数m，n的值. 【答案】(1) 或.   (2) ，. 【详解】（1）设，则， 因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，， 所以或， 所以或. （2）由（1）知或， 当时，；当时. 因为，所以，解得，. 考点06根据复数对应坐标的特点求参数 26．已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：. （2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：. （3）由得， 由复数相等的定义知，必有， 因为，所以 故的取值范围为 27．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【详解】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 28．已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. (1)z为实数; (2)z为纯虚数. (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，解得或. （2）由题意可得，解得. （3）由题意可得，解得. 29．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 30．复数. (1)若复数是实数，求实数的值; (2)若复数是纯虚数，求实数的值; (3)在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3) 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； （2）因为复数是纯虚数 所以， 所以， 解得； （3）因为复数对应的点位于第三象限， 所以 所以， 解得的取值范围是 考点07求复数的模 31．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 32．在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 33．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 34．复数，满足，，则的最小值为______. 【答案】/ 【详解】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 35．设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故选：A. 考点08由复数模求参数 36．已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 37．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 38．已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【详解】设（），则， 即所对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 设该圆与轴交点， 因为模为1的纯虚数对应复平面内的点为，即， 若，则为的中点，故对应的点不合题意，舍去， 因此，由圆的切割线定理可得， 设，则，则，则. 故选：B. 39．在①；②的实部与虚部互为相反数；③为纯虚数．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知复数． （1）若________，求实数的值； （2）若为整数，且，求在复平面内对应点的坐标． 注：若选择多个条件分别解答，按读一个解答计分． 【答案】（1）若选①，；若选②，或；若选③，；（2） 【详解】（1）若选①： ，则，解得； 若选②： 的实部与虚部互为相反数，则， 解得或； 若选③： 为纯虚数，则，解得； （2）因为， 所以， 即， 因为为整数， 所以为平方数，为奇数， 又因为或， 所以验证可得，即， 因为，所以， 所以在复平面内对应点的坐标为 40．已知复数z满足，的虚部为2， （1）求复数z； （2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值． 【答案】（1）或；（2）最大值，最小值. 【详解】（1）设，因为，所以， 又因为，的虚部为，所以， 所以，所以或， 所以或； （2）因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以， 设，因为，所以，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，. 考点09与复数模相关的轨迹问题 41．已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 42．若z是复数，则的最小值为______； 【答案】 【详解】, 在复平面中，设点， 则，且为等边三角形，如图，将逆时针旋转得到，， ，又，所以， ， 故答案为：. 43．已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 44．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 45．已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $