专题04 平面向量基本定理及坐标表示（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题04 平面向量基本定理及坐标表示 考点01平面向量基本定理的应用 考点02利用平面向量基本定理求参数 考点03平面向量共线定理证明点共线问题 考点04已知向量共线求参数 考点05平面向量的正交分解及坐标表示 考点06由向量线性运算结果求参数 考点07向量坐标的线性运算解决几何问题 考点08线段的定比分点 考点09由向量线性运算解决最值及范围问题 考点01 平面向量基本定理的应用 1．已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 2．在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，点满足，若，则______ 4．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为________． 5．在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． (1)已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． (2)若，求的值． 考点02利用平面向量基本定理求参数 6．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 7．如图，在四边形中，是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 8．在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 9．在平行四边形中，，，，，分别为和上的动点，且，. (1)若，，请用，表示，； (2)若，与相交于点，求的值； (3)若，求的取值范围. 10．如图，在直角梯形中，，，，，，，分别是线段和上的动点，交于点，且，，. (1)若，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 考点03平面向量共线定理证明线平行问题 11．在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________. 12．设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 13．已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若向量与平行，求实数k的值． 14．已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，证明：三点共线； (2)若向量，共线，求实数的值． 15．已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A，B，D三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值． 考点04已知向量共线求参数 16．设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 17．已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________. 18．在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____ 19．如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 20．在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 考点05平面向量的正交分解及坐标表示 21．下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 22．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 23．已知向量，并且，则实数的取值范围为______________． 24．如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 25．已知点，，则（   ） A． B． C． D． 考点06由向量线性运算结果求参数 26．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为__________． 27．点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 28．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 29．已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 30．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 考点07向量坐标的线性运算解决几何问题 31．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 32．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 33．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（    ）      A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 34．在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 35．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ） A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个 D．λ+μ=的点P有且只有一个 考点08线段的定比分点 36．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 38．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 39．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 40．已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________． 考点09由向量线性运算解决最值及范围问题 41．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 42．如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是____________． 43．设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则____________；若在线段上，且，则的取值范围为____________. 44．已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 45．在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量基本定理及坐标表示 考点01平面向量基本定理的应用 考点02利用平面向量基本定理求参数 考点03平面向量共线定理证明点共线问题 考点04已知向量共线求参数 考点05平面向量的正交分解及坐标表示 考点06由向量线性运算结果求参数 考点07向量坐标的线性运算解决几何问题 考点08线段的定比分点 考点09由向量线性运算解决最值及范围问题 考点01 平面向量基本定理的应用 1．已知在正方形ABCD中，，． (1)设，，用，表示； (2)若AC上一点R满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， （2） 由题意， 设， 因为不共线， 从而，解得. 2．在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 又，所以，所以. 故选：B 3．在中，点满足，若，则______ 【答案】 【详解】由题得， 所以， 又，所以，所以， 所以． 故答案为：． 4．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为点为线段的中点，，所以，， 所以， 又因为在线段上， 所以有且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以有，且，即， 则， 当且仅当，即，时取等号， 故答案为：. 5．在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． (1)已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【详解】（1）因为是线段的中点，所以， 因为，则， 因为，，，所以， 所以. （2）设，则，所以，又，所以， 由（1）知，所以， 因为三点共线，可设（）， 所以，所以， 又，所以，解得， 所以. 考点02利用平面向量基本定理求参数 6．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 7．如图，在四边形中，是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）因为是的中点，由向量的线性运算法则， 可得：， . （2）由三点共线，， 又因为，，所以， 所以 由三点共线，所以 所以. 8．在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【详解】（1）由， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以， 所以. 9．在平行四边形中，，，，，分别为和上的动点，且，. (1)若，，请用，表示，； (2)若，与相交于点，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【详解】（1）由题设，； （2）由，，三点共线，，， 由，若，则， ，，， ，解得，所以； （3） ， ， . 10．如图，在直角梯形中，，，，，，，分别是线段和上的动点，交于点，且，，. (1)若，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在直角梯形中，易得，， 因为， 可得，所以. （2）因为 ， 当时，， 设，， 则， 又因为， 且，不共线，则，解得， 所以. （3）因为， 所以， ， 由题意知，， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 考点03平面向量共线定理证明线平行问题 11．在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________. 【答案】 / 【详解】①令，， 则， 即， 所以，即点在直线上. 设的中点为Q，因为，所以 因为，， ∴ 所以 ②设，由向量共线的充要条件不妨设 则 又 则，即， 又的面积为面积的一半，得,∴ 所以，. 由①得， . 解得，∴ 所以. 故答案为：①；②. 12．设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知得， 因为，所以， 又与有公共点， 所以三点共线； （2）由（1）知，若，且， 可设， 所以， 即， 又是两个不共线的向量，所以， 解得. 13．已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若向量与平行，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，又， 故，又与有公共点B， 所以A，B，D三点共线． （2）因为与共线，即， 因为与是不共线的两个非零向量， 所以，故综上，k的值为． 14．已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，证明：三点共线； (2)若向量，共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， ， 所以，且直线与直线有公共点， 因此三点共线. （2）因为，不共线，所以向量为非零向量， 因为向量，共线， 所以存在实数，使得，即， 必有，由，不共线， 所以 解得 ， 因此，当向量，共线时，. 15．已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A，B，D三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）, ， 所以共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线 （2）因为和是方向相反的两个向量， 所以存在实数，使，且 又不共线，所以，解得，或， 因为，所以，所以 考点04已知向量共线求参数 16．设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 17．已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________. 【答案】 【详解】由题意，设，， 则有，解得. 故答案为：. 18．在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则_____ 【答案】8 【详解】因为，所以，则， 所以，， 因为为的中点，故． 又因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以， 所以，，故． 故答案为：8. 19．如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【详解】（1）由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得， 所以． （2）在等腰梯形中，由， 可得， 根据，可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量互相平行， 可得，结合，解得， 所以． （3）由（1）的结论，可得， 过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得． 所以，， 可得 ， 结合，可得． 20．在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三点共线，设， 又因为， 可得 ， 因为，可得，可得. 故选：D. 考点05平面向量的正交分解及坐标表示 21．下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 22．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 23．已知向量，并且，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【详解】∵向量，并且， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，；当时，， ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 24．如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）作交于，又，则， ∴，， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴坐标为. （2）∵， ∴， ∴坐标为. 25．已知点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B 考点06由向量线性运算结果求参数 26．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 27．点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 28．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 29．已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 30．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 考点07向量坐标的线性运算解决几何问题 31．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 32．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 33．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（    ）      A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 【答案】BC 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以，， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以； ②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在（不含点C）上时，，且， 所以，即，所以； ④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于A，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误， 对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确， 对于CD，由①②③④可得： 当，即点为点时，取到最小值0； 当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误， 故选：BC.    34．在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)    ∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m， m)(m≠0) 则λ＝m，且μ＝m， ∴，即 故选：B 35．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ） A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个 D．λ+μ=的点P有且只有一个 【答案】C 【详解】如图建系，取，∵， ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B错误； 选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确； 选项D，当点在上时，均可能满足，此时点有三个，故D错误； 故选：C. 考点08线段的定比分点 36．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 37．已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点坐标是， 由三点共线可知，即，解得； 所以中点坐标为. 故选：B 38．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 39．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 40．已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________． 【答案】/ 【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点， 所以，设， 则有， 故答案为： 考点09由向量线性运算解决最值及范围问题 41．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】/ 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 42．如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是____________． 【答案】 【详解】以的中点为坐标原点，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设， 因为，可得为等边三角形， 又因为，可得，且，则轴， 则，可得， 设，则， 因为，可得， 则，即， 即， 又由为的中点，可得， 因为，所以线段的方程为，其中， 将点代入线段的方程，可得， 即，整理得，即， 因为点在线段上，可得，即， 又由，其中， 当时，取得最大值，最大值为； 当或时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 43．设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则____________；若在线段上，且，则的取值范围为____________. 【答案】 【详解】由正八边形的对称性可知，为线段的中点， 则，所以，， 故； 在正八边形中，，则， 以为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、、， 所以，，，，， 设，其中，则 ， 因为，即 ， 所以，，即. 故答案为：；. 44．已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 45．在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $