题号猜押04 上海卷高考数学第20题（解答题）（抢分专练）2026年高考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk com 题号猜押04上海卷高考数学第20 参考答案 ◆考点1椭圆的综合问题 【典例1】 ,y2 解】设圆的流准方程为。千宁，a>0,6>0,由己如可容 因为点引在上，所以宁=1， 又a2=b2+1,所以a2=4,b2=3, 所以椭圆方程为女+ -=1, 43 所以e=c= a 2 (2)①P5, J ),直线PE的解所氏为y二一++ 因为aPOE,的面积为3，所以PE边上的高为， 过0做PE的平行线，则直线OR的解析式为y=-3x-9 -4x-41 R x2 =1 联立方程组 3 3 9 y=- 4 x=-1 11 7 解得： 3或 15 y=14 所以点？的坐标为 -山- 1/38 上好每一堂课 题（解答题） =1, 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)①若AB或CD垂直于x轴，则AB+CD=7, ②若AB和CD不垂直于x轴， 设直线AB的解析式为y=k(x+1),点A(x,y),B(x2,y2), =1 联立方程组4T3,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, y=k(x+1) 从而x+x2= -8k2 3+4k2’七63= 4k2-12 3+4k2 4B=1+k2 -8k2） 4k2-1212(k2+1 3+4k2 3+4k2 3+4k2 同理CD= 12(k2+1 4+3k2 2(k2+112k2+184(k+2k2+1 AB+CD= 3+4k2+4+3k2= =7.1- 12k4+25k2+12 12 12k+是+25 因为12k2+ 是+25≥49，所以≤18+Cn<7, 综上，AB+CD的取值范围是 【变式1】 【解】（1)由e=-可得。=，又佛照过点2，则有兰+京1， a 2 将两方程联立，解得a=√6，b=√5， 故椭圆E的方程为艺+父】 6+3 (2)依题意，设1：y=x+m,因直线1：y=x+m与圆0：x2+y2=2相切， m=2,整理得，m2=2(k2+),① 故有 [y=+m 由兰+上-1消去少，整理得，(2k+r+4mx+2m-6=0, 63 x+X2=- 4km 2k2+1 显然△>0，设A(x,y)B(x2,y2),则 2m2-6 X=2k2+1 2/38 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则=(+m)kx,+m)=kxx,+mk(+x,)+m2-2m2-6_4m 2k2+12k2+ +m2=m2-6k2 2k2+1’ 于是kk,=业=m-6从.2k2+1-m2-62 厂2k2+12m2-62m-6,将0式代入得，k6, 2-4k2 =-1, Γ4k2-2 即0A10B恒成立，则k=kk2=-1,代入①式，可得，m=±2， 故直线1的方程为y=-x±2； (3)当直线I的斜率不存在时，：x=±√2，利用对称性，可取1：x=√2， 代入椭圆方程得A(2,√2)，B(√2，-√2)， 此时△0AB与A0CD的面积之和S=x2V2x√2+x(W2}=3: 2 x1+X2=- 4km 当直线l的斜率存在为k时，：y=x+m,仿上可得， 2k2+1 2m2-6 七3= 2k2+1 则AB=1+k2.V+x)2-4xx2=1+k2 16k2m24(2m2-6) V(2k2+1)2 2k2+1 =V1+k2. 8(6k2-m2+3》=22V1+k 4k2+1 =22 4k4+5k2+1 V(2k2+1)2 V(2k2+1)2 V4k4+4k2+1 于是，△0AB与△OCD的面积之和为： 4k+5k2+1+1, s=8m+Sawl48xw5+=2歌t k2 即S=21+ +1=21+1—+1 k4+4k2+1 +4 因>0,4秋+点24=4，当且仅当k=士时等号成立， 1一>0则S>3 此时S≤2+2+1-32+1，又4+ 4+4 2 ?+4 即3<Ss32+1 综上所述，△OAB与△0CD的面积之和的取值范围为[B,√2+川 【变式2】 【解】(1)由椭圆方程知，a=2√2，b=2, 所以c=Va2-b2=2, 3/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以离心率e=C=2一2 a2√22 (2)F-2,0),F2（2,0),设Ax,y),且y>0 所以AE=(-x-2,-y),AE=（-x+2-y), :∠F,AB=90(LF,AF2=90),AEAF,=x2-4+y=0, 又A在相圆上，满起美+子=1，即片=41-苔)】 84 =0,解得x=0,即A0,2) 所以直线AB:y=-x+2, y=-x+2 [8 x= 1’解得 3 x=0 联立 x2.y2 2或 8+ y=21 4 y=- 3 所以B82) (33 (3)设Ax,),B(x2y2),M(0,y3),N(0,y4), M 直线l:x=my+2, x=my+2 联立 =1得(m+22+4my-4=0 4 4m -4 则y+》2=- ㎡+2'4Fm+2 雪线AE的方程：y=+2x+，令x=0得M纵坐标= 七+2 直线B5的方程：=3x+2引，令x=0得N的纵坐标片=2% 2+2 x,+2 则S5=FHy-=2y-小，Sw-F0y-y=y-y 4/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若S54B=S5Mw,即2y1-y2=y3-y4, 房-=2，-22y. 2 8(y1-y2) x+2x2+2my1+4my2+4my,+4)(my2+4) =2y-y2, my,+4)(my2+4)=4,m2yy2+4m(y+⅓2)+16=4， 代入根与系数的关系，得 -4m m2+ +4m.-4m +16=4,解得m=±5 m2+2 :存在直线x+√3y-2=0或x-√5y-2=0满足题意 一考点2双曲线的综合问题 【典例2】 【解】(1)设半焦距为C,则∈=1即c=2a,而b=25,故c2-a2=12, a 放a2c4,放双线T的方程为：子一 (2)由(1)得F（4,0,A-2,0), 因为P在第一象限，故设P(m,n),其中m>2,n>0, 因为三角形APF是等腰三角形，故AP=PF,或AF,=PF,或AF,=PA, 若AP叫=PF,则P在AR的中垂线上，则m=2+4=1<2,舍： 2 若AF2=PF,,则AF,=Q+c=6,故PF=6, m2 n2 故421 m=4 ，解得 (m-4)2+n2=36 n=6’故P(4,6) m2 n2 4121 m35-」 若4F=P4A,同理有(m+2)}2+n2=36, 2 m>2 n= 3V10-25 2 故P 3V5-13V10-2W5 2 2 5/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 综上，P(4,6)或P 35-13W10-25 2 (3) 设直线PF2:y=k(x-4),设P(1,y),Qx2,y2), 而F(-4,0),故PF=（-4-x,-),Q℉=(-4-x2,-y2), 因为∠PF2是锐角，故x,+4)(x2+4)+yy2>0, 所以x+4)x2+4+k2x1-4)(x2-4>0, 整理得到1+k2)xx2+4-4k2)(x+x2)+16+16k2>0, 由-，可得3-k2)x+8x-16k-12=0, 3x2-y2=12 故3-k2≠0且△=64k4+43-k2)16k2+12)=144k2+144>0, 且x+5=8 3二书=16k12,因为点P在第一象限，所巴 3-k2 1-2-器16120 监里有：号c0,黄30成5或5 【变式1】 【解】(1)由题意得a=1,c=V+3=2,e=e=2 (2)证明：由题意知A(1,0),F(2,0), 设直线P2的方程为x=my+2(m≠0)，P(x,y),Q(x2,y2) x=my+2 联立方程组 x2、y2 1'得6m2-y2+12my+9=0, 3 6/38 上好每一堂课 √5或k<0, 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >5,0<m< 1 因为过焦点F的直线与『的右支交于P,Q两点，故 m -12m 9 则y+%=3m-'43m2-1' 9 则kk0=片x五= 3m2-1 -1-1m'yy2+m(4+为)+19m212m —=-9 +1 3m2-13m2-1 直线PO斜率不存在时，P2,O2,-3),kka?号×23 -=-9, 故k4PkAO为定值 (3)由题意可得S4-为=-小 线加的方程为兰》，明产 直线0的方程为合-小，则六-分 x2-1 则S,XD8+1,+8m土m士 22 所以是-4i+心i+为)r 4 3m2-1' 4 由于0<m<号即0<3m<1,0<m-kl,故3n>4, 当直线P2斜率不存在时，P(2,3),Q2,-3),直线AP方程为y=3(x-1), 1 ×1×6 直线0方程为=-，可符如行引引是 22”S11=4 22 综上 、的取值范围为4，+0) 【变式2】 【解】(1)因为双曲线Γ过点(-2,3)，且它的虚轴的端点与焦点的距离为√7， 7/38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [49 a2=1 可得： a26=1 解得： b2+a2+b2）=7 b2=3' 所以双曲线r的方程为产-上=1. 3 (2)因为直线1：x-my-t=0,且过点F2(2,0), 则2-m×0-t=0,解得：t=2, 由MF=FF得：三角形FMF为等腰三角形， 所以等腰三角形FMF,底边MF,上的高的大小为 ME- MF -2 =5, 2 又因为点F,到直线I:x-my-2=0的距离等于等腰三角形FMF底边上的高， 则d=上2-0-2-s, Vm2+1 化简得：m2= 5即m=± 15 (3)设M(x,y),N(x2,y2), 由直线与双曲线联立得： 3 x-my-2=0 化简得：(3m2-1y2+12my+9=0, 12m 9 由韦达定理得：y+为1一3m,少= 1-3m2, 又M丽-}N,即为=-2，则-y=1m2 12m 9 1-3m2, 即212m29 1 (1-3m2 1-3m,则m 35’ 又点M关于坐标原点O的对称点为P,则： 12m 、2 S=2Soww=2y1-y2=2V+y2)-4yy2=2 9 -4 12Vm2+1_93 1-3m2 1-3m2 1-3m2 4 则所求的△PN面积为35 ◆考点3抛物线的综合问题 【典例3】 8/38 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解】(1)由题意知p=2,所以抛物线方程为y2=4x (2) A M D OEFN B 由题意可设直线AB的方程为x=y+1,A(x,y),B(x2,y,则A(-1,乃)，B,(-1,y2),D(2,0) 所以 =m+1'得)2-4my-4=0, y2=4x, 所以y1+y2=4m,yy2=-4 所以直线AD的方程为：y=-(x-2),与直线AB的方程x=m+1联立消去x, 3 my+3,同理w=业 解得yw=少 my2+3 所以上+1=网+3+心：+3-2m+3+=-m=1所以m=- yM yN y y2 yy2 所以直线AB的斜率为上=-1 m (3)设E(t,0), my2+1-2 因为上=wy-2my+3y,+3 -3y1 k2 %x-t yx my+1-1 (2-t)myy2+(3-3t)y2 my+3 my2+3 因为y1+y2=4m,yy2=-4 所以 -3y1 -3y k2(2-t)m(-4)+(3-31)(4m-y)(3t-3)y-m(8t-4' 当1=时，3 1 2为定值所以行 【变式1】 【解】(1)由题设，令E(x,x2),则0E=√x2+x4=√2，即x4+x2-2=(x2+2)(x2-1)=0, 9/38 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以x2=1→x=±1，故E(1,1)或E(-1,1): (2)若PG垂直抛物线T的准线y=-}于G,由抛物线的定义知PG PF1, 4 所以AP+PF=AP+PG≥AG,当且仅当A,P,G三点共线时取等号， 又AG1抛物线T的准线时，4G最小为2-（司=4， 1、9 9 所以AP+PF的最小值为4： B (3)由题设，直线BC的斜率一定存在，设BC:y-2=k(x-1),B(x,y),C(x2,y2), 而y=2x,则过B的切线斜率为2x,对应切线为y-,=2x(x-x)，,即y=x(2x-x), 同理过C的切线为y-y2=2x2(x-x2),即y=x2(2x-x2), 联立 =,2x-)可得2x-=2xx-,整理得2x红-)=-好， y=x(2x-x) 由题意x≠，则x。=当十互，y。=x, 2 联立 y-2-D,得-+k-2=0,且△=k2-4k-2)=-2+4>0, ly=x2 所以*与=，=友-2则。分%=-2 显然点D在直线y=2x-2,即2x-y-2=0上，得证 【变式2】 【解】(1)(1)已知点A(2,1)在C:x2=2pyp>0)上， 所以22=2p×1,即4=2p,解得p=2, 所以C的方程为x2=4y 10/38 题号猜押04 上海卷高考数学第20题（解答题） 溯源 考点 3年考题 考情分析 解析几何 2025年第20题 由直线与圆的位置关系求参数、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量点乘问题 2024年第20题 由双曲线的离心率求参数的取值范围、双曲线中向量点乘问题、判断点和双曲线的位置关系 2023年第20题 抛物线定义的理解、求直线与椭圆的交点坐标、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 预测 1. 通常位于解答题中后部（如第19或20题），分值在18分，是区分考生数学能力（尤其是运算能力和思维韧性）的关键题目。 2. 不会单纯沦为“暴力计算”题。题目将保留鲜明的几何背景（如圆锥曲线的光学性质、三角形特征等），要求考生先用几何眼光分析，再选择合适的代数工具（方程、向量、参数）进行转化和求解。 3. 对韦达定理的应用将不再停留在套用层面，而是要求能灵活进行复杂的代数式变形和整体处理，这是简化运算的核心技巧。 4.向量作为沟通几何与代数的天然工具，在上海卷解析几何中应用频繁，可能以向量形式给出条件（如数量积、共线），或要求用向量方法证明几何结论。 备考核心 1. 熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、参数方程。理解圆与直线、圆锥曲线与直线的位置关系判别（判别式法、几何法）。将向量、三角函数、不等式、函数最值等知识与解析几何建立联系。2.重点掌握：（1）求轨迹方程的几种方法（直译法、定义法、相关点法、参数法）；（2）处理定点、定值、最值问题的通用思路（设参 → 联立 → 韦达 → 表达目标 → 化简论证）（3）探索性问题的解题规范。 3.解答题步骤要完整。从“设”、“列”到“化”、“得”，每一步变形要有依据。对使用韦达定理、判别式等要写出前提条件。最终结论要明确。 考点1 椭圆的综合问题 【典例1】（2026·上海长宁·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点．    (1)求该椭圆的离心率； (2)点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； (3)A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【解】（1）设椭圆的标准方程为，，，由已知可得， 因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以椭圆方程为， 所以； （2）①，直线的解析式为， 因为的面积为3，所以边上的高为， 过做的平行线，则直线的解析式为，    联立方程组， 解得：或， 所以点的坐标为或； （3）①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 【变式1】已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． (1)求椭圆E的方程； (2)直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； (3)直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围． 【解】（1）由可得，又椭圆过点，则有， 将两方程联立，解得， 故椭圆E的方程为； （2）依题意，设，因直线与圆相切， 故有:，整理得，，① 由消去，整理得，， 显然，设，则， 则， 于是，将① 式代入得，， 即恒成立，则，代入① 式，可得，， 故直线l的方程为； （3）当直线的斜率不存在时，，利用对称性，可取， 代入椭圆方程得, 此时与的面积之和； 当直线的斜率存在为时，，仿上可得，， 则 ， 于是，与的面积之和为： , 即. 因，，当且仅当时等号成立， 此时，又则, 即. 综上所述，与的面积之和的取值范围为. 【变式2】（2026·上海浦东模拟）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由椭圆方程知，，， 所以， 所以离心率. （2），，设，且. 所以，， ，， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即. 所以直线：， 联立，解得或， 所以； （3）设，，，， 直线：， 联立，得. 则，. 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标. 则， 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得. 存在直线或满足题意. 考点2 双曲线的综合问题 【典例2】（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 【变式1】（2026·上海金山·月考）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 【解】（1）由题意得，，∴. （2）证明：由题意知，， 设直线的方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. （3）由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为.    【变式2】（2026·上海普陀·二模）设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)当时，求实数m的值； (3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值． 【解】（1）因为双曲线过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为， 可得：，解得：， 所以双曲线的方程为． （2）因为直线，且过点F2（2，0）， 则，解得：， 由得：三角形为等腰三角形， 所以等腰三角形底边上的高的大小为， 又因为点F1到直线的距离等于等腰三角形底边上的高， 则， 化简得：，即． （3）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由直线与双曲线联立得：， 化简得：， 由韦达定理得：，， 又，即，则，， 即，则， 又点M关于坐标原点O的对称点为P，则： ． 则所求的△PMN面积为． 考点3 抛物线的综合问题 【典例3】（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 【变式2】已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【解】（1）（1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. （2）抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. （3）易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 考点4 圆锥曲线的轨迹问题 【典例4】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 【变式1】已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 【变式2】（2026·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 考点5 圆锥曲线的最值范围问题 【典例5】已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 【解】（1）抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 设点、的横坐标为、. 由，消得 于是，故. （2）①设，于是有，抛物线的准线方程为， 设、，过的直线的方程可设为， 由题意，两直线均与圆相切，故，整理得， 设直线、的斜率为、， 于是， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 故点的横坐标为3. ②由①，， 点到的距离，故的面积， 不妨令，于是， 当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为. 【变式1】设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【解】（1）双曲线的右焦点的坐标为， 因为过点， 所以，所以， 因为， 所以点在双曲线的左支上， 由双曲线定义知，又， 所以. （2）由（1）知，，则双曲线， 联立 ，消去得， 则， 设，则，， 所以， ， 又，所以， 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故与互相平分，点在直线上， 所以，又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为. （3）因为， 所以， 所以，又，所以， 由双曲线的对称性可得，， 所以， 所以， 令，，即， 所以， 因为在区间上单调递减，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为. 【变式2】已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 考点6 圆锥曲线的探索问题 【典例6】（2026·上海普陀·二模）在xOy平面上．设椭圆：，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为 (1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值； (2)设，直线经过点，求的取值范围； (3)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解】（1）因为梯形为的长轴，的高为， 所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得， 可得，又因为在上的射影为的焦点， ，解得， ，. （2）由题意，椭圆：，直线的方程为， 设，则， 化简得， ，得， ， ， ，所以 所以的取值范围为 （3）设直线的方程为，， ，联立， 化简得， ， ， ， 联立，化简得 ， ， ，所以， 化简得，即. 又的高为， 所以 将代入化简得，. 故的面积为定值. 【变式1】动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. （2）设，， 故当时，最小值为2 （3）联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 考点7 圆锥曲线的应用问题 【典例7】（2025·上海静安·一模）如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 【解】（1）如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 则曲线过点，所以，故， 所以，曲线的方程为， 线段的方程为， （2）设，则 . 以为母线的圆柱的底面半径满足， 所以， 所以圆柱的体积 . 所以， 所以，当时，其体积取得最大值； （3）证明： 因为函数的导函数， 所以，抛物线上任意一点的切线斜率为， 设是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为， 则其方程分别为 ， 且， 消去，解得， 因为，得. 故抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上. 【变式1】（2025·上海浦东新·二模）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 【解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知，，， 解得，， 所以， 故所求椭圆的方程为：. （2）由（1）知， 设变轨时，地球位于， 则， 又， 解得， 设过点P的直线方程为， 即， 由， 化简可得 解得 若使地球与木星不会发生碰撞，则“变轨系数”k的取值范围是. 1．（2026·上海长宁·二模）设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若，求点纵坐标的值； （3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值． 【解】（1）令则， ∴双曲线的渐近线方程为． （2）由题意知，， 设为，则，且， 又，解得， 所以点M纵坐标的值为 （3）①当直线MN的斜率不存在时，其方程为与轴有无数个交点，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为， 设，则， 联立，得， 所以， 因为三点共线， 所以，即，即， 所以，即， 所以， 化简得，为定值， 故命题得证． 2．（2026·上海闵行·一模）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）. (1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？ (2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？ 【解】（1）由题设，构建以EF的中点O为原点，过O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，如下图示： ∴，，，，， 要使新型飞行器在试飞过程中到F和到直线AE的距离始终相等， ∴其轨迹为以为准线，为焦点的抛物线，故轨迹方程为， ∴在轨迹上，即该飞行器经过线段EF的中点O， 连接，交抛物线于，而， ∴千米，故小镇A会受到该飞行器的噪音污染. （2）设飞行器的坐标为， ∴，又， ∴当时，千米，故小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为3级. 3．（2026·上海崇明·一模）已知椭圆，其左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.圆是以线段为直径的圆. (1)求圆的方程； (2)若点是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线分别交轴于点，求证：为定值； (3)若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意得，所以圆的方程是 （2）由题意，得，设，则，且， 可得直线的方程是，所以.同理得. 因为，所以 （3）显然直线的斜率存在，设其方程为， 代入椭圆Г的方程，得. 设，则，得. 因为圆心到直线的距离，所以. 假设存在点，使得，则，于是， 化简得，此方程在实数范围内无解， 所以不存在点，使得. 4.已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； (3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 【解】（1）当时，椭圆，焦点在上， 则，则. （2）因为为椭圆的左右顶点，所以， 令中，则， 若，， ， 解得：. 若，， ， 解得：. （3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线， 设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点， ①直线与双曲线的渐近线平行时， 则双曲线的渐近线为：，所以. 因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意. ②直线与双曲线的渐近线不平行时， ，则， 则，解得：， 解得：，因为，所以. 又因为P为椭圆上一点，所以，则， 则，解得：， 所以，所以，综上所述：. 则m的取值范围为： 5．（2025·上海黄浦·二模）已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：． (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域； (3)证明：存在常数、，使得． 【解】（1）解：由题意，点的坐标为，将代入双曲线中，可得，所以， 不妨取的坐标为， 于是直线的方程为． 将代入直线的方程，得点的坐标为． 因此． （2）解：由题意，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，由，，又、， 即， 所以，代入双曲线方程，得，整理得． 由，即，结合，解得或． 又，即，结合，解得． 因此，． （3）证明：点的坐标为． 当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为． 设直线与轴的交点为，点的坐标为． ，即． ． 由为线段与的交点，得点的坐标满足方程，即． 于是，又，故． 于是． 故存在常数、，使得． 当点在轴上时，，，， 所以，，即， 所以，即上述结论亦成立． 6．（2021·上海嘉定·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2）若，求点的坐标； （3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且点分别为线段的中点，求的面积的最小值． 【解】（1）抛物线的焦点为，即 ，解得： 抛物线的方程为：； （2）设点，由抛物线的定义得：，解得：， 点在抛物线上，把代入，解得：， 点的坐标为或； （3）由题意知：直线的斜率存在，且不为零， 可设直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为，直线的方程为， 设，， 由消去整理得：， 由一元二次方程”根与系数的关系得：， ， 即，，同理可得：， ，， （当且仅当，即时，等号成立）， 的面积的最小值等于． 7．（2026·上海浦东新·期中）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【解】（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； （2）设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 8．（2025·上海闵行·三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 【解】（1）由可知， ，，故， 所以焦距，离心率． （2）设，， 由题意，，，，，，，， 又， 所以，得， 方法一：由三点共线，则，即， 同理可得，三点共线，则，即， 故，即， 又，， 所以， 所以， 由，整理得， 所以有， 又， 故， 所以， 所以三点共线． 方法二：因为，，则， 由得直线的方程为， 与椭圆联立，得， 则， 所以， 同理得， 所以，，即三点共线．    （3）设， 因为，，， ①当直线的斜率不存在时，则， 所以，， 又是椭圆上的点，此时， 故， ②当直线的斜率存在时，可设， 由，得， 所以，， 所以， 又点在椭圆上，代入整理得，， 从而， 于是， 点到直线的距离， 所以．    9．已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 【解】（1）设，，，， ，．因为， 则，所以，所以轨迹E的方程为． （2）设轨迹E：上任一点为，所以， 所以， 令，对称轴为：， 当，即时，在区间严格增，所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为； 当，即时，在区间严格减，在区间严格增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为， 所以    10．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 11．（2024·上海·模拟预测）已知直线l：与双曲线C：相切于点Q． (1)试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值； (2)设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为； (3)已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程． 【解】（1）由题得双曲线渐近线方程为， 所以当时，直线与双曲线不可能相切，故 联立， 消去可得:， 所以， ， 当时，； 当时，. （2）由题任取直线上一点，则由题意， ， 即直线的直线方程为，与切线平行， 所以直线与过原点的平行直线的距离为， 因为，所以，故， 故，即， 由（1），所以直线与过原点的平行直线的距离为： ， 因为，所以，故，即，如图， 所以时，直线与与曲线C右支相切的切线距离为， 故当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为. （3）由题可设切点且，则即， 对求关于的导数可得:， 所以， 则切线斜率， 又过点与垂直的直线分别交，轴于两点， 所以， 所以， 令， 得， 所以， 令， 得， 所以， 所以， 设， 则，则由以及消参得：， 即的轨迹方程是. 12．（2024·上海·模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. (1)求椭圆C的蒙日圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； (3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的蒙日圆的方程为； （2）如图， 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由，得，即， 所以坐标原点到直线：的距离， 所以， 所以； （3）由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则，设，， 则切线的方程为，切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 故直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立得， 消去并整理得， 显然，， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以， 设，则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以面积的最小值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 上海卷高考数学第20题（解答题） 溯源 考点 3年考题 考情分析 解析几何 2025年第20题 由直线与圆的位置关系求参数、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量点乘问题 2024年第20题 由双曲线的离心率求参数的取值范围、双曲线中向量点乘问题、判断点和双曲线的位置关系 2023年第20题 抛物线定义的理解、求直线与椭圆的交点坐标、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 预测 1. 通常位于解答题中后部（如第19或20题），分值在18分，是区分考生数学能力（尤其是运算能力和思维韧性）的关键题目。 2. 不会单纯沦为“暴力计算”题。题目将保留鲜明的几何背景（如圆锥曲线的光学性质、三角形特征等），要求考生先用几何眼光分析，再选择合适的代数工具（方程、向量、参数）进行转化和求解。 3. 对韦达定理的应用将不再停留在套用层面，而是要求能灵活进行复杂的代数式变形和整体处理，这是简化运算的核心技巧。 4.向量作为沟通几何与代数的天然工具，在上海卷解析几何中应用频繁，可能以向量形式给出条件（如数量积、共线），或要求用向量方法证明几何结论。 备考核心 1. 熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、参数方程。理解圆与直线、圆锥曲线与直线的位置关系判别（判别式法、几何法）。将向量、三角函数、不等式、函数最值等知识与解析几何建立联系。2.重点掌握：（1）求轨迹方程的几种方法（直译法、定义法、相关点法、参数法）；（2）处理定点、定值、最值问题的通用思路（设参 → 联立 → 韦达 → 表达目标 → 化简论证）（3）探索性问题的解题规范。 3.解答题步骤要完整。从“设”、“列”到“化”、“得”，每一步变形要有依据。对使用韦达定理、判别式等要写出前提条件。最终结论要明确。 考点1 椭圆的综合问题 【典例1】（2026·上海长宁·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点．    (1)求该椭圆的离心率； (2)点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； (3)A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【变式1】已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． (1)求椭圆E的方程； (2)直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； (3)直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围． 【变式2】（2026·上海浦东模拟）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 考点2 双曲线的综合问题 【典例2】（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【变式1】（2026·上海金山·月考）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. (1)求双曲线的离心率； (2)求证：为定值； (3)求的取值范围. 【变式2】（2026·上海普陀·二模）设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)当时，求实数m的值； (3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值． 考点3 抛物线的综合问题 【典例3】（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【变式2】已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 考点4 圆锥曲线的轨迹问题 【典例4】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【变式1】已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【变式2】（2026·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 考点5 圆锥曲线的最值范围问题 【典例5】已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆. ①若，求点的横坐标； ②求面积的最小值. 【变式1】设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【变式2】已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 考点6 圆锥曲线的探索问题 【典例6】（2026·上海普陀·二模）在xOy平面上．设椭圆：，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为 (1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值； (2)设，直线经过点，求的取值范围； (3)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式1】动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 考点7 圆锥曲线的应用问题 【典例7】（2025·上海静安·一模）如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 【变式1】（2025·上海浦东新·二模）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 1．（2026·上海长宁·二模）设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若，求点纵坐标的值； （3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值． 2．（2026·上海闵行·一模）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）. (1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？ (2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？ 3．（2026·上海崇明·一模）已知椭圆，其左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.圆是以线段为直径的圆. (1)求圆的方程； (2)若点是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线分别交轴于点，求证：为定值； (3)若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4.已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； (3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 5．（2025·上海黄浦·二模）已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：． (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域； (3)证明：存在常数、，使得． 6．（2021·上海嘉定·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2）若，求点的坐标； （3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且点分别为线段的中点，求的面积的最小值． 7．（2026·上海浦东新·期中）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 8．（2025·上海闵行·三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 9．已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 10．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 11．（2024·上海·模拟预测）已知直线l：与双曲线C：相切于点Q． (1)试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值； (2)设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为； (3)已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程． 12．（2024·上海·模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. (1)求椭圆C的蒙日圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； (3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $