题号猜押05 上海卷高考数学第21题（解答题）（抢分专练）2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押05 上海卷高考数学第21题（解答题） 参考答案 溯源 考点 3年考题 考情分析 函数新定义与代数论证 2025年第21题 函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 2024年第21题 用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 2023年第21题 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、等差中项的应用 预测 1. 作为最后一题，其难度、深度和创新度均为全卷之最。分值通常为18分，由2-3个小问构成，呈现“定义理解→初步应用→深度论证”的递进结构。 2. （1）“无迹”：题目背景是全新的，课本上绝对没有。可能涉及离散数学、初等数论、组合数学、抽象代数、图论等大学数学的简单思想，或是对基本概念（如运算、函数、序列、集合）的极端抽象和重新定义；（2）“有法”：解答所需的全部工具均不超纲，完全依赖于高中数学的基本概念、基本方法和基本逻辑（如函数性质、不等式、数学归纳法、反证法、分类讨论、构造法等）。 3. 通常剥离具体的几何或实际背景，呈现为纯粹的符号、定义和规则。要求考生在抽象的“符号世界”里进行逻辑演绎。 4. 重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算这三大核心素养，尤其是“用数学语言表达和交流”的能力。 备考核心 1. 认识到此题目的目标是区分“天才”和“优秀”，目标是“得步骤分”而非“得满分”。抱着学习和探索的心态去接触，即使不能完全解出，也要争取完成前两问（通常是理解和简单应用）并给出后续的论证思路。 2. 在老师指导下，有计划地接触一些简单的大学数学先修知识的思想，如集合与映射、初等数论（整除、同余）、组合原理（抽屉原理、算两次）、图论基础概念。 3.在日常练习中，刻意选择需要严格证明的小题或大题。学习并模仿规范的数学证明书写，做到逻辑清晰、语言精准、格式严谨。 考点1 函数新定义问题 【典例1】 【解】（1）由为“函数”，得， 即，解得，所以实数的值为. （2）由函数为“G(1)函数”，得存在实数，， 即，则，且， 整理得，当时，，符合题意； 当时，由，即， 解得且， 所以实数的取值范围是. （3）由为“函数”，得，即，则，， 不妨设，由，得，即， 令，则在区间上单调递增， 函数，函数的递增区间是， 因此，解得， 所以实数的最大值是1. 【变式1】 【解】（1）因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. （2）若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 【变式2】 【解】（1）因为，则， 所以函数在的大致图象如图所示： 且， 所以函数在的大致图象如图所示： （2）因为，且，可得， 又因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为8，此时的取值范围为. （3）对于①：，可得， 若，则， 可得，解得； 若，则，不合题意； 若，则， 可得，解得； 综上所述：的解集为； 对于②：， 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 即，解得； 若，则，，即成立，符合题意； 若，由图象可知， 可得，即不成立，不合题意； 综上所述：的解集为. 考点2 导数新定义问题 【典例2】 【解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 【变式1】 【解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【变式2】 【解】（1）若要整数与“相关”于，即： 由于，故这等价于. 即，得到满足条件的全部为. （2）由题意知，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数. 这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数. 所以这十个数中至多有两个数不等于零. 假设不全为零，不全为零，也不全为零. 那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾. 所以必定存在整数，使得. 此时，所以都与“相关”于. （3）原条件等价于下列两个命题之一成立： ①存在使得，且集合是非空有限集； ②存在使得，且集合是非空有限集. 设，则，从而当时，当时. 所以在上递增，在上递减，从而. 对求导可得. 若，则当时，由且知； 当时，有. 所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立； 若，则当时， 得； 当时，由有 . 所以在上递减，从而对有. 所以对任意都有，从而命题①不成立；而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立； 若，则当时，由， 得； 当时，由知，从而 ， 故，从而一定是有限集. 而，，， 所以，从而一定是非空有限集. 同时，上面已经证明，所以此时命题②成立； 若，则当时，有； 当时，有. 所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立. 综上，的取值范围是，且此时存在使得，且集合是非空有限集. 这表明对每个满足条件的，都有. 考点3 抽象函数综合问题 【典例3】 【解】（1）因为，      ① 令，可得，，     因为，所以， 由，得．         由，得， 解得． 因为，所以，     所以，则     ， 所以．         解法二：因为，所以 ．         ． 因为，所以， 解得，或． 当时，，与已知矛盾，所以， 由，且，得   所以． （2）由（1）得，，     ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； （3）令得，，     即有， 从而可知，，     故， 即．         所以函数是一个周期为的周期函数． （4）由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点．     又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和．         ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，．     在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 【变式1】 【解】（1），则； ，则， 故①否；②是. （2）因为为阶梯函数，所以对任意有： . 所以对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，. （3）因为，所以函数， 则， . 取， 则有，， 由于在上单调递减，因此在上单调递减， 结合， 则有在上有唯一零点，在上有唯一零点. 又由于， 则对任意，有，， 因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，. 综上所述，存在，使得在上有4046个零点， 且，，，，，，， 其中，. 考点4 函数导数与三角深度融合 【典例4】 【解】（1）由题意可知， 故， 则m的取值范围为； （2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 故在上当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有，可知图象关于点对称， 又，即， 故2a为函数的周期， 故， ， 当时，， 时，， 若，，，此时有为最大值； 当时，， 时，， 若，，此时有为最大值， 由于，故， 即不存在，使得， 所以与不具有“4关联”性． 【变式1】 【解】（1）由题意得：和的定义域是R， 当时，，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）证明：由题意，当时，，故， 当时，，故， ∵在任意区间上不恒为0，故存在，使得， 又∵， ∴， 故不是偶函数； （3）证明：当时， 当时，∵， 又∵在区间上单调递增， 故存在唯一使得， 且当时，，当时，， 当时，，故且存在使得， 当时，，故且存在使得， 由零点定理可知， 存在，使得， 故在区间上存在零点． 考点5 函数导数与数列深度融合 【典例5】 【解】（1）因为，所以函数图象在处的切线方程为， 即，令可得，即切线与轴的交点为， 所以 （2）若为等差数列，设其公差为，则， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因此最多有两个不同的根，即最多项成等差数列， 若、、成等差数列，即， 由（1）可知，所以， 又， 令，则， 所以当时，所以在上单调递增， 又， （其中，所以）， 又， 所以存在，使得， 即存在，使得，即为等差数列， 此时，数列的项数. 【变式1】 【解】（1）由题意得， 故点处的切线方程为： ， 令，则. （2）由(1) 知要比较与大小，只需比较和的大小. 设，求导 令 ，解得， 易知在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以有，所以，所以，当且仅当时成立. 故，即. （3）假设存在依次成等差数列, 则必有， 因为，解得，又， 综上，变形 ，现在考虑该式是否存在使之成立， 设函数 ，求导， 因为 ，所以有，说明严格单调递增，且 ， 根据零点存在性定理可以知道，有唯一解使得方程成立，故是成立. 下面证明不成立： 利用零点唯一性得出矛盾，当时，有上面证明可知， 另一方面由第(2) 可知，数列为严格递减数列，矛盾，所以只有. 综上，满足题意的只有. 1.【解】（1）则曲线C在点An处的切线方程为：， 令x=0，则，所以，，； （2），所以， ， 两式相减得， ． 2.【解】（1）由题意得：和的定义域是R， 当时，，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）证明：由题意，当时，，故， 当时，，故， ∵在任意区间上不恒为0，故存在，使得， 又∵， ∴， 故不是偶函数； （3）证明：当时， 当时，∵， 又∵在区间上单调递增， 故存在唯一使得， 且当时，，当时，， 当时，，故且存在使得， 当时，，故且存在使得， 由零点定理可知， 存在，使得， 故在区间上存在零点． 3.【解】（1），时，， 根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数. （2）因为在上单调递增， 结合题意易知在内单调递增，且定义域和值域都是， 所以或，， 因此是方程的两个不等实数根， 等价于方程有两个不等的实数根， 即，解得或， 当时，，所以，满足； 当时，，所以，满足； 所以实数的取值范围为. （3），， ， 即为对恒成立. 令，易证在单调递增， 同理在单调递减.因此，， ，所以 解得，又或， 所以的取值范围是. 4.【解】（1）∵, 所以 ，则 ，故不具有性质； ∵， ∴恒成立，故具有性质． （2）由 ， 则 ， 对任意恒成立， 显然时，上式不等式成立； 时， ，若 则，故不是对任意成立，舍去； 综上，． （3）因为具有性质，所以 ， 因为函数的值域为，所以 ， ， 则 ∴ ， ∴ ． ∵ ∴ ， 所以 ，即具有性质． 5.【解】（1） 记，则，所以. 又，所以的广义反曲点是. （2）函数，则， 记，则. 记， 设的广义反曲点的横坐标分别为，，，则，，是的全部零点. 证明的三个广义反曲点共线等价于证明，使得，. 即证，使得，，是方程的根， 即方程有且仅有三个不相同的根，，. 由， 所以， 即，由，解得， 代入成立，所以满足条件. 即的三个广义反曲点共直线. 6.【解】（1）因为，所以， ，故，， 由曲率公式得. （2）因为，所以， ，由曲率公式得， 故， 则， 令，令，函数化为， 令，则，函数化为， 对进行变形，得到， 令，函数化为， 此时，我们研究的范围即可，而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而，， 故，即，故. 7.【解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 8.【解】（1）①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2）在无解， 即在无解， 所以 （3）若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 9.【解】（1）假设是型函数， 则任取，都有恒成立 即 当时， 当时， 综上所述， （2）设， 任取 则 则 则也是型函数. （3）假设且 则 由于 或 ①当时，假设存在且 若，则 若，则 均矛盾，故对任意，都有 此时，的解析式为 ②同理，当时，的解析式为 综上，的解析式为或 10.【解】（1）指数函数不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，， 因为，， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质. （2）因为，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以， 因此函数存在零点. 即“函数存在零点”是“”的必要条件. 若函数存在零点， 设，，则， 因为对于任意，则，则， 且满足， 所以函数具有性质，但， 因此“函数存在零点”不是“”的充分条件. “函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； （3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称， 因为，值域为，则， i：当时，的值域为，此时不满足题意； ii：当时，的对称轴为， 开口向上且， 值域为：，此时， 所以不满足题意， iii：当时，的对称轴为， 开口向下， ①当即时， 且， 解得或（舍去）， ②当即时， 且， 不满足题意； ③当即时， 且，满足题意； 综上所述：或. 11.【解】（1）解：由为偶函数可知， 所以. （2）解：由得， 所以，由于，所以可化简得，所以. 构造函数，，所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在处，有极大值，在处有极小值. 所以的取值范围是. （3）解：构造函数，， 所以为偶函数.由于， 所以有最小值符合题意.在递减，在递增. 另补证明：由于为偶函数，只需求得上的单调性. 构造函数，，由于时，， 故，所以函数在上递增. 根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递增. 根据为偶函数可知，函数在递减. 12.【解】（1）（i）因为是等和积函数，所以， 即，所以； （ii）由（i）得①， 则有②， ②①可得：， 因为，所以，即； （2）因为是等和积函数，所以①， 则有②， ②①可得：， 变形可得：， 则有或者， 当时，， 此时，所以， 故， 所以成立，即是周期为3的周期函数， 又， 等号两边同除可得： ， 所以，， 变形可得：， ， 则，， 又因为函数在上连续，故即在上至少有一个解，且周期为3，故在一个周期内至少有2个解， 又函数在上共有675个周期， 所以函数在上至少有1350个零点． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 上海卷高考数学第21题（解答题） 溯源 考点 3年考题 考情分析 函数新定义与代数论证 2025年第21题 函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 2024年第21题 用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 2023年第21题 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、等差中项的应用 预测 1. 作为最后一题，其难度、深度和创新度均为全卷之最。分值通常为18分，由2-3个小问构成，呈现“定义理解→初步应用→深度论证”的递进结构。 2. （1）“无迹”：题目背景是全新的，课本上绝对没有。可能涉及离散数学、初等数论、组合数学、抽象代数、图论等大学数学的简单思想，或是对基本概念（如运算、函数、序列、集合）的极端抽象和重新定义；（2）“有法”：解答所需的全部工具均不超纲，完全依赖于高中数学的基本概念、基本方法和基本逻辑（如函数性质、不等式、数学归纳法、反证法、分类讨论、构造法等）。 3. 通常剥离具体的几何或实际背景，呈现为纯粹的符号、定义和规则。要求考生在抽象的“符号世界”里进行逻辑演绎。 4. 重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算这三大核心素养，尤其是“用数学语言表达和交流”的能力。 备考核心 1. 认识到此题目的目标是区分“天才”和“优秀”，目标是“得步骤分”而非“得满分”。抱着学习和探索的心态去接触，即使不能完全解出，也要争取完成前两问（通常是理解和简单应用）并给出后续的论证思路。 2. 在老师指导下，有计划地接触一些简单的大学数学先修知识的思想，如集合与映射、初等数论（整除、同余）、组合原理（抽屉原理、算两次）、图论基础概念。 3.在日常练习中，刻意选择需要严格证明的小题或大题。学习并模仿规范的数学证明书写，做到逻辑清晰、语言精准、格式严谨。 考点1 函数新定义问题 【典例1】（2026·上海金山·二模）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数” (1)若函数为“函数”，求实数的值. (2)若函数为“函数”，求实数的取值范围. (3)已知为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值. 【解】（1）由为“函数”，得， 即，解得，所以实数的值为. （2）由函数为“G(1)函数”，得存在实数，， 即，则，且， 整理得，当时，，符合题意； 当时，由，即， 解得且， 所以实数的取值范围是. （3）由为“函数”，得，即，则，， 不妨设，由，得，即， 令，则在区间上单调递增， 函数，函数的递增区间是， 因此，解得， 所以实数的最大值是1. 【变式1】（2026·上海虹口·期末）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. （2）若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 【变式2】对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. (1)根据定义作出函数和在的大致图象； (2)当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； (3)求下列方程的解集：①；②. 【解】（1）因为，则， 所以函数在的大致图象如图所示： 且， 所以函数在的大致图象如图所示： （2）因为，且，可得， 又因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为8，此时的取值范围为. （3）对于①：，可得， 若，则， 可得，解得； 若，则，不合题意； 若，则， 可得，解得； 综上所述：的解集为； 对于②：， 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 即，解得； 若，则，，即成立，符合题意； 若，由图象可知， 可得，即不成立，不合题意； 综上所述：的解集为. 考点2 导数新定义问题 【典例2】函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 【变式1】（2026·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【变式2】（2026·上海·三模）设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于． (1)设，，写出所有与“相关”于的整数； (2)设满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于； (3)是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 【解】（1）若要整数与“相关”于，即： 由于，故这等价于. 即，得到满足条件的全部为. （2）由题意知，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数. 这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数. 所以这十个数中至多有两个数不等于零. 假设不全为零，不全为零，也不全为零. 那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾. 所以必定存在整数，使得. 此时，所以都与“相关”于. （3）原条件等价于下列两个命题之一成立： ①存在使得，且集合是非空有限集； ②存在使得，且集合是非空有限集. 设，则，从而当时，当时. 所以在上递增，在上递减，从而. 对求导可得. 若，则当时，由且知； 当时，有. 所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立； 若，则当时， 得； 当时，由有 . 所以在上递减，从而对有. 所以对任意都有，从而命题①不成立；而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立； 若，则当时，由， 得； 当时，由知，从而 ， 故，从而一定是有限集. 而，，， 所以，从而一定是非空有限集. 同时，上面已经证明，所以此时命题②成立； 若，则当时，有； 当时，有. 所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立. 综上，的取值范围是，且此时存在使得，且集合是非空有限集. 这表明对每个满足条件的，都有. 考点3 抽象函数综合问题 【典例3】已知函数的定义域为，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数是偶函数； (3)证明函数是周期函数； (4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且． 【解】（1）因为，      ① 令，可得，，     因为，所以， 由，得．         由，得， 解得． 因为，所以，     所以，则     ， 所以．         解法二：因为，所以 ．         ． 因为，所以， 解得，或． 当时，，与已知矛盾，所以， 由，且，得   所以． （2）由（1）得，，     ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； （3）令得，，     即有， 从而可知，，     故， 即．         所以函数是一个周期为的周期函数． （4）由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点．     又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和．         ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，．     在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 【变式1】对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且. 【解】（1），则； ，则， 故①否；②是. （2）因为为阶梯函数，所以对任意有： . 所以对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，. （3）因为，所以函数， 则， . 取， 则有，， 由于在上单调递减，因此在上单调递减， 结合， 则有在上有唯一零点，在上有唯一零点. 又由于， 则对任意，有，， 因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，. 综上所述，存在，使得在上有4046个零点， 且，，，，，，， 其中，. 考点4 函数导数与三角深度融合 【典例4】对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 【解】（1）由题意可知， 故， 则m的取值范围为； （2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 故在上当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有，可知图象关于点对称， 又，即， 故2a为函数的周期， 故， ， 当时，， 时，， 若，，，此时有为最大值； 当时，， 时，， 若，，此时有为最大值， 由于，故， 即不存在，使得， 所以与不具有“4关联”性． 【变式1】若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若，是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 【解】（1）由题意得：和的定义域是R， 当时，，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）证明：由题意，当时，，故， 当时，，故， ∵在任意区间上不恒为0，故存在，使得， 又∵， ∴， 故不是偶函数； （3）证明：当时， 当时，∵， 又∵在区间上单调递增， 故存在唯一使得， 且当时，，当时，， 当时，，故且存在使得， 当时，，故且存在使得， 由零点定理可知， 存在，使得， 故在区间上存在零点． 考点5 函数导数与数列深度融合 【典例5】已知函数，若数列的各项由以下算法得到： ①任取（其中），并令正整数； ②求函数图象在处的切线在轴上的截距； ③判断是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步； ④令，返回第②步； ⑤结束算法，确定数列的项依次为． 根据以上信息回答下列问题： (1)求证：； (2)是否存在实数使得为等差数列，若存在，求出数列的项数；若不存在，请说明理由．参考数据：． 【解】（1）因为，所以函数图象在处的切线方程为， 即，令可得，即切线与轴的交点为， 所以 （2）若为等差数列，设其公差为，则， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因此最多有两个不同的根，即最多项成等差数列， 若、、成等差数列，即， 由（1）可知，所以， 又， 令，则， 所以当时，所以在上单调递增， 又， （其中，所以）， 又， 所以存在，使得， 即存在，使得，即为等差数列， 此时，数列的项数. 【变式1】已知函数，取点，过其作曲线切线交轴于点 ，取点，过其作曲线作切线交轴于，若，则停止操作，以此类推，得到数列. (1)若正整数，证明 (2)若正整数，试比较与 大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列? 若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由. 【解】（1）由题意得， 故点处的切线方程为： ， 令，则. （2）由(1) 知要比较与大小，只需比较和的大小. 设，求导 令 ，解得， 易知在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以有，所以，所以，当且仅当时成立. 故，即. （3）假设存在依次成等差数列, 则必有， 因为，解得，又， 综上，变形 ，现在考虑该式是否存在使之成立， 设函数 ，求导， 因为 ，所以有，说明严格单调递增，且 ， 根据零点存在性定理可以知道，有唯一解使得方程成立，故是成立. 下面证明不成立： 利用零点唯一性得出矛盾，当时，有上面证明可知， 另一方面由第(2) 可知，数列为严格递减数列，矛盾，所以只有. 综上，满足题意的只有. 1．已知函数的图象是曲线C，点是曲线C上的一系列点， 曲线C在点处的切线与y轴交于点．若数列是公差为2的等差 数列，且 （1）分别求出数列与数列的通项公式； （2）设O为坐标原点，表示的面积，求数列的前项n和 【解】（1）则曲线C在点An处的切线方程为：， 令x=0，则，所以，，； （2），所以， ， 两式相减得， ． 2.若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若，是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 【解】（1）由题意得：和的定义域是R， 当时，，满足“区间”的定义， 故在区间上的一个“区间”可以是及其非空子集； （2）证明：由题意，当时，，故， 当时，，故， ∵在任意区间上不恒为0，故存在，使得， 又∵， ∴， 故不是偶函数； （3）证明：当时， 当时，∵， 又∵在区间上单调递增， 故存在唯一使得， 且当时，，当时，， 当时，，故且存在使得， 当时，，故且存在使得， 由零点定理可知， 存在，使得， 故在区间上存在零点． 3．（2026·上海杨浦·期末）对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足： ①在内是单调函数； ②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”． (1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”； (2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； (3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【解】（1），时，， 根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数. （2）因为在上单调递增， 结合题意易知在内单调递增，且定义域和值域都是， 所以或，， 因此是方程的两个不等实数根， 等价于方程有两个不等的实数根， 即，解得或， 当时，，所以，满足； 当时，，所以，满足； 所以实数的取值范围为. （3），， ， 即为对恒成立. 令，易证在单调递增， 同理在单调递减.因此，， ，所以 解得，又或， 所以的取值范围是. 4．（2026·上海奉贤·二模）对于函数，如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得 恒成立，称函数具有性质 ． (1)判别函数 和 是否具有性质 ，请说明理由； (2)函数，若函数 具有性质，求a满足的条件； (3)若函数的定义域为一切实数，的值域为 ，存在常数  且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由． 【解】（1）∵, 所以 ，则 ，故不具有性质； ∵， ∴恒成立，故具有性质． （2）由 ， 则 ， 对任意恒成立， 显然时，上式不等式成立； 时， ，若 则，故不是对任意成立，舍去； 综上，． （3）因为具有性质，所以 ， 因为函数的值域为，所以 ， ， 则 ∴ ， ∴ ． ∵ ∴ ， 所以 ，即具有性质． 5．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程. 【解】（1） 记，则，所以. 又，所以的广义反曲点是. （2）函数，则， 记，则. 记， 设的广义反曲点的横坐标分别为，，，则，，是的全部零点. 证明的三个广义反曲点共线等价于证明，使得，. 即证，使得，，是方程的根， 即方程有且仅有三个不相同的根，，. 由， 所以， 即，由，解得， 代入成立，所以满足条件. 即的三个广义反曲点共直线. 6．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 【解】（1）因为，所以， ，故，， 由曲率公式得. （2）因为，所以， ，由曲率公式得， 故， 则， 令，令，函数化为， 令，则，函数化为， 对进行变形，得到， 令，函数化为， 此时，我们研究的范围即可，而， 当时，恒成立，故在上单调递增， 而，， 故，即，故. 7．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 8．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 【解】（1）①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2）在无解， 即在无解， 所以 （3）若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 9．（23-24高一上·上海·月考）设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数 (1)判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数； (2)设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； (3)设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式 【解】（1）假设是型函数， 则任取，都有恒成立 即 当时， 当时， 综上所述， （2）设， 任取 则 则 则也是型函数. （3）假设且 则 由于 或 ①当时，假设存在且 若，则 若，则 均矛盾，故对任意，都有 此时，的解析式为 ②同理，当时，的解析式为 综上，的解析式为或 10．（2026·上海嘉定·月考）已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，说明理由； (2)若函数的定义域为D，且具有性质，求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； (3)若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值. 【解】（1）指数函数不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，， 因为，， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质. （2）因为，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以， 因此函数存在零点. 即“函数存在零点”是“”的必要条件. 若函数存在零点， 设，，则， 因为对于任意，则，则， 且满足， 所以函数具有性质，但， 因此“函数存在零点”不是“”的充分条件. “函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； （3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称， 因为，值域为，则， i：当时，的值域为，此时不满足题意； ii：当时，的对称轴为， 开口向上且， 值域为：，此时， 所以不满足题意， iii：当时，的对称轴为， 开口向下， ①当即时， 且， 解得或（舍去）， ②当即时， 且， 不满足题意； ③当即时， 且，满足题意； 综上所述：或. 11.（2026·上海·模拟预测）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m、n使，则称函数是由“基函数和”生成的． (1)若和生成一个偶函数，求的值； (2)若由函数（，且）生成，求的取值范围： (3)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明） 【解】（1）解：由为偶函数可知， 所以. （2）解：由得， 所以，由于，所以可化简得，所以. 构造函数，，所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在处，有极大值，在处有极小值. 所以的取值范围是. （3）解：构造函数，， 所以为偶函数.由于， 所以有最小值符合题意.在递减，在递增. 另补证明：由于为偶函数，只需求得上的单调性. 构造函数，，由于时，， 故，所以函数在上递增. 根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递增. 根据为偶函数可知，函数在递减. 12．已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，设，若对于任意的，均有，则称是等和积函数． (1)若是等和积函数； （i）证明：； （ii）证明：； (2)若是等和积函数，证明：函数在上至少有1350个零点． 【解】（1）（i）因为是等和积函数，所以， 即，所以； （ii）由（i）得①， 则有②， ②①可得：， 因为，所以，即； （2）因为是等和积函数，所以①， 则有②， ②①可得：， 变形可得：， 则有或者， 当时，， 此时，所以， 故， 所以成立，即是周期为3的周期函数， 又， 等号两边同除可得： ， 所以，， 变形可得：， ， 则，， 又因为函数在上连续，故即在上至少有一个解，且周期为3，故在一个周期内至少有2个解， 又函数在上共有675个周期， 所以函数在上至少有1350个零点． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 上海卷高考数学第21题（解答题） 溯源 考点 3年考题 考情分析 函数新定义与代数论证 2025年第21题 函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 2024年第21题 用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 2023年第21题 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、等差中项的应用 预测 1. 作为最后一题，其难度、深度和创新度均为全卷之最。分值通常为18分，由2-3个小问构成，呈现“定义理解→初步应用→深度论证”的递进结构。 2. （1）“无迹”：题目背景是全新的，课本上绝对没有。可能涉及离散数学、初等数论、组合数学、抽象代数、图论等大学数学的简单思想，或是对基本概念（如运算、函数、序列、集合）的极端抽象和重新定义；（2）“有法”：解答所需的全部工具均不超纲，完全依赖于高中数学的基本概念、基本方法和基本逻辑（如函数性质、不等式、数学归纳法、反证法、分类讨论、构造法等）。 3. 通常剥离具体的几何或实际背景，呈现为纯粹的符号、定义和规则。要求考生在抽象的“符号世界”里进行逻辑演绎。 4. 重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算这三大核心素养，尤其是“用数学语言表达和交流”的能力。 备考核心 1. 认识到此题目的目标是区分“天才”和“优秀”，目标是“得步骤分”而非“得满分”。抱着学习和探索的心态去接触，即使不能完全解出，也要争取完成前两问（通常是理解和简单应用）并给出后续的论证思路。 2. 在老师指导下，有计划地接触一些简单的大学数学先修知识的思想，如集合与映射、初等数论（整除、同余）、组合原理（抽屉原理、算两次）、图论基础概念。 3.在日常练习中，刻意选择需要严格证明的小题或大题。学习并模仿规范的数学证明书写，做到逻辑清晰、语言精准、格式严谨。 考点1 函数新定义问题 【典例1】（2026·上海金山·二模）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数” (1)若函数为“函数”，求实数的值. (2)若函数为“函数”，求实数的取值范围. (3)已知为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值. 【变式1】（2026·上海虹口·期末）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【变式2】对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. (1)根据定义作出函数和在的大致图象； (2)当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； (3)求下列方程的解集：①；②. 考点2 导数新定义问题 【典例2】函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【变式1】（2026·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【变式2】（2026·上海·三模）设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于． (1)设，，写出所有与“相关”于的整数； (2)设满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于； (3)是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 考点3 抽象函数综合问题 【典例3】已知函数的定义域为，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数是偶函数； (3)证明函数是周期函数； (4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且． 【变式1】对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且. 考点4 函数导数与三角深度融合 【典例4】对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 【变式1】若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若，是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 考点5 函数导数与数列深度融合 【典例5】已知函数，若数列的各项由以下算法得到： ①任取（其中），并令正整数； ②求函数图象在处的切线在轴上的截距； ③判断是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步； ④令，返回第②步； ⑤结束算法，确定数列的项依次为． 根据以上信息回答下列问题： (1)求证：； (2)是否存在实数使得为等差数列，若存在，求出数列的项数；若不存在，请说明理由．参考数据：． 【变式1】已知函数，取点，过其作曲线切线交轴于点 ，取点，过其作曲线作切线交轴于，若，则停止操作，以此类推，得到数列. (1)若正整数，证明 (2)若正整数，试比较与 大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列? 若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由. 1．已知函数的图象是曲线C，点是曲线C上的一系列点， 曲线C在点处的切线与y轴交于点．若数列是公差为2的等差 数列，且 （1）分别求出数列与数列的通项公式； （2）设O为坐标原点，表示的面积，求数列的前项n和 2.若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”． (1)写出和在上的一个“区间”（无需证明）； (2)若，是和的“区间”，证明：不是偶函数； (3)若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点． 3．（2026·上海杨浦·期末）对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足： ①在内是单调函数； ②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”． (1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”； (2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； (3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 4．（2026·上海奉贤·二模）对于函数，如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得 恒成立，称函数具有性质 ． (1)判别函数 和 是否具有性质 ，请说明理由； (2)函数，若函数 具有性质，求a满足的条件； (3)若函数的定义域为一切实数，的值域为 ，存在常数  且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由． 5．记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程. 6．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为． (1)已知函数，求曲线在点处的曲率； (2)已知函数，求曲线的曲率的范围． 7．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 8．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 9．（23-24高一上·上海·月考）设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数 (1)判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数； (2)设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； (3)设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析 10．（2026·上海嘉定·月考）已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，说明理由； (2)若函数的定义域为D，且具有性质，求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； (3)若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值. 11.（2026·上海·模拟预测）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m、n使，则称函数是由“基函数和”生成的． (1)若和生成一个偶函数，求的值； (2)若由函数（，且）生成，求的取值范围： (3)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明） 12．已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，设，若对于任意的，均有，则称是等和积函数． (1)若是等和积函数； （i）证明：； （ii）证明：； (2)若是等和积函数，证明：函数在上至少有1350个零点． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $