题号猜押03 上海卷高考数学第19题（解答题）（抢分专练）2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 上海卷高考数学第19题（解答题） 参考答案 考点1 指数函数的综合 【典例1】 【解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 【变式1】 【解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 【变式2】 【解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 考点2 对数函数的综合 【典例2】 【解】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 【变式1】 【解】（1）是偶函数.理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式2】 【解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 考点3 函数、方程与不等式的简单综合 【典例3】 【解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 【变式1】 【解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 【变式2】 【解】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 考点4 利用导数研究函数的单调性 【典例4】 【解】（1）若，则，该函数在上为减函数，故， 若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为， 故在上为减函数，故， 若，则，故在上为减函数， 故， 若，则在上为减函数，在为增函数， 故， 若，则，故在上为增函数， 故， 综上，. （2）， 任意的， ， 因为 在区间上是增函数，故对任意恒成立， 而，故对任意. 若即， 因为，故即，故， 若即，故，符合； 若即，故即，故， 综上，. 【变式1】 【解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 【变式2】 【解】（1）因为，而. 函数的定义域为. 当时，，此时函数为偶函数； 当时，，此时函数为奇函数； 当时，函数为非奇非偶函数； （2）因为时，函数，求导得. 当时，，所以，所以（当且仅当时取等号）. 所以函数在上是严格增函数. 由（1）知为偶函数，而在上是严格增函数. 所以根据函数的单调性和奇偶性，不等式等价于. 两边平方得，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 考点5 利用导数研究函数的极值 【典例5】 【解】（1）函数的定义域为，， 由题可得，即，所以， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以； 又极小值为，所以，所以， 所以. （2）函数的定义域为， ， 当时，的两根为，且， 所以当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【变式1】 【解】（1）由，知. 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数，其定义域为. 所以. 若，恒成立，所以恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点； 若，， 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，其极小值点为，无极大值点. 综上，若，函数无极值点；若，函数的极小值点为，无极大值点. 【变式2】 【解】（1）已知，求导得， 因为函数在处取到极值，所以， 解得. 检验，当，此时 当，则，所以 . 当，则，所以 所以 （2）因为，所以，求导得， 令，解得或者 当，此时，所以，那么单调递增 当，此时，所以，那么单调递减. 当，此时，所以，那么单调递增. 又因为，，且，， 所以为使函数恰有三个零点， 则有， 解得 考点6 利用导数研究函数的最值 【典例6】 【解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）， 易得当时，，在上单调递减， 所以； 当时，令， 若，则在上单调递增， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减，在上递增， ，矛盾舍去. 综上. 【变式1】 【解】（1）解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 （3）解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 考点7 函数导数中创新问题 【典例7】 【解】（1）解：由函数，可得， 则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. （2）解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. （3）解：由函数，可得， 当时，可得， 所以切线方程为，即， 因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，，则不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式1】 【解】（1）， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； （2）， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； （3） 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 1.【解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 2.【解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 3.【解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 4.【解】（1）函数是定义在上的奇函数， ，解得． 又， 所以时，为奇函数，故. （2）由（1）得， 又， ， ， ， 函数的值域， （3）由（1）可得， 当时，， 当时，恒成立， 则等价于对,时恒成立， 令，，即，当时恒成立， 即,由于在,单调递增，故在,上单调递增， 当时有最大值0，所以， 故所求的范围是：． 5.【解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 6.【解】（1）由知，方程为， 即， 解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对于一切都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 故当时，， 所以. 7.【解】（1）由题意，， 因为，则由可得， 即当，时， 单调递增； 由可得， 即当，时， 单调递减， 综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 设，则， 所以当时，，则（即）在上单调递增； 当时，，（即）在上单调递减， 因为，，， 所以存在唯一的，使得， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又，， 所以存在唯一的，使得， 综上可得函数在上存在两个零点0和， 所以曲线与直线在上公共点的个数为2. 8.【解】（1）的解集是，得到的解集是，所以， ，所以， （2）令，因为，所以，当时，， 即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点， 令，根据对勾函数的性质，可得， 因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质， 得或，进而可得答案为： 9.【解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 10.【解】（1）为奇函数，定义域为R， 故，解得，经检验，满足要求； （2），即， 故有两个不同的实数解， 令， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又时，，当时，， 画出，的图象，如下： 故时，有两个不同的实数解. 11.【解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 12.【解】（1）因为，所以， 则， 因为是函数的极值点， 所以，解得， 当时，，， 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，， 要证，即证， 即证，只需证， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 综上，在上恒成立. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 上海卷高考数学第19题（解答题） 溯源 考点 3年考题 考情分析 函数与导数综合 2025年第18题 （1）利用导数单调性解不等式；（2）函数的极值求参数 2024年第17题 （1）对数函数的图形和性质；（2）与数列交汇 2023年第17题 （1）奇偶性；（2）二次函数零点的分布 预测 1. 将是压轴题或次压轴题（通常为第20或21题），分值在18分左右，具有极高的区分度。 2. 将进一步摒弃“求导、列表、得结论”的机械步骤，转向对函数本质性质（单调性、极值、零点）、函数结构分析、参数影响讨论的深度考查。 3. 题目背景可能源于高等数学中的简单思想（如凹凸性、极限思想），但解答完全限定在高中导数和函数知识范围内，考查“化归”能力。 4.与数列、不等式、解析几何、三角函数的结合将更加自然和深刻，体现知识的整体性。 备考核心 1. 重新审视函数单调性、极值、最值、零点的定义，理解导数作为工具如何刻画这些性质。这是应对一切创新题的根本。 2. 建立“解题工具箱”：将函数与导数的常见问题（恒成立、零点、不等式证明、求最值）与对应方法（分离参数、分类讨论、数形结合、构造函数、放缩）形成清晰的映射，并理解每种方法的适用场景和局限性。3.压轴题解答过程长，逻辑环环相扣。平时练习要规范书写，每一步变形、每一次分类、每一个结论都要有充分的理由支撑，训练严谨的逻辑表达能力。 4.可以了解一些简单的微积分背景知识，虽然解题时不能直接使用，但能提升对问题本质的理解，提供更高视角的洞察。 考点1 指数函数的综合 【典例1】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 考点2 对数函数的综合 【典例2】（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【解】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 【变式1】（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【解】（1）是偶函数.理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式2】（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 考点3 函数、方程与不等式的简单综合 【典例3】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 【变式1】（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 【变式2】（2026·上海闵行·月考）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【解】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 考点4 利用导数研究函数的单调性 【典例4】（2026·浙江嘉兴·月考）已知函数 ( 为实常数). (1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式; (2)设 ， 若函数 在区间上是增函数， 求实数的取值范围. 【解】（1）若，则，该函数在上为减函数，故， 若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为， 故在上为减函数，故， 若，则，故在上为减函数， 故， 若，则在上为减函数，在为增函数， 故， 若，则，故在上为增函数， 故， 综上，. （2）， 任意的， ， 因为 在区间上是增函数，故对任意恒成立， 而，故对任意. 若即， 因为，故即，故， 若即，故，符合； 若即，故即，故， 综上，. 【变式1】已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 【变式2】（25-26高三上·上海·月考）已知函数，其中. (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【解】（1）因为，而. 函数的定义域为. 当时，，此时函数为偶函数； 当时，，此时函数为奇函数； 当时，函数为非奇非偶函数； （2）因为时，函数，求导得. 当时，，所以，所以（当且仅当时取等号）. 所以函数在上是严格增函数. 由（1）知为偶函数，而在上是严格增函数. 所以根据函数的单调性和奇偶性，不等式等价于. 两边平方得，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 考点5 利用导数研究函数的极值 【典例5】已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； (2)写出当时函数的单调区间； 【解】（1）函数的定义域为，， 由题可得，即，所以， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以； 又极小值为，所以，所以， 所以. （2）函数的定义域为， ， 当时，的两根为，且， 所以当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【变式1】已知函数； (1)求函数在处的切线方程； (2)函数（其中）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； 【解】（1）由，知. 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数，其定义域为. 所以. 若，恒成立，所以恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点； 若，， 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，其极小值点为，无极大值点. 综上，若，函数无极值点；若，函数的极小值点为，无极大值点. 【变式2】已知． (1)若函数在处取到极值，求的值； (2)设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围． 【解】（1）已知，求导得， 因为函数在处取到极值，所以， 解得. 检验，当，此时 当，则，所以 . 当，则，所以 所以 （2）因为，所以，求导得， 令，解得或者 当，此时，所以，那么单调递增 当，此时，所以，那么单调递减. 当，此时，所以，那么单调递增. 又因为，，且，， 所以为使函数恰有三个零点， 则有， 解得 考点6 利用导数研究函数的最值 【典例6】已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）， 易得当时，，在上单调递减， 所以； 当时，令， 若，则在上单调递增， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减，在上递增， ，矛盾舍去. 综上. 【典例1】（2026·上海静安·二模）已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 【解】（1）解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 （3）解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 考点7 函数导数中创新问题 【典例7】（2025·上海崇明·一模）已知函数，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合． (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明：若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围． 【解】（1）解：由函数，可得， 则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. （2）解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. （3）解：由函数，可得， 当时，可得， 所以切线方程为，即， 因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，，则不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【解】（1）， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； （2）， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； （3） 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 1．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 2．（2026·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 3．（2026·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 4．（2026·江西宜春·月考）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)求函数的值域. (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）函数是定义在上的奇函数， ，解得． 又， 所以时，为奇函数，故. （2）由（1）得， 又， ， ， ， 函数的值域， （3）由（1）可得， 当时，， 当时，恒成立， 则等价于对,时恒成立， 令，，即，当时恒成立， 即,由于在,单调递增，故在,上单调递增， 当时有最大值0，所以， 故所求的范围是：． 5．（2026·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 6．（2026·上海杨浦·一模）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由知，方程为， 即， 解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对于一切都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 故当时，， 所以. 7．（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 【解】（1）由题意，， 因为，则由可得， 即当，时， 单调递增； 由可得， 即当，时， 单调递减， 综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 设，则， 所以当时，，则（即）在上单调递增； 当时，，（即）在上单调递减， 因为，，， 所以存在唯一的，使得， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又，， 所以存在唯一的，使得， 综上可得函数在上存在两个零点0和， 所以曲线与直线在上公共点的个数为2. 8．（2026·上海杨浦·二模）已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 【解】（1）的解集是，得到的解集是，所以， ，所以， （2）令，因为，所以，当时，， 即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点， 令，根据对勾函数的性质，可得， 因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质， 得或，进而可得答案为： 9．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 10．已知函数且为奇函数． (1)求的值； (2)若方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【解】（1）为奇函数，定义域为R， 故，解得，经检验，满足要求； （2），即， 故有两个不同的实数解， 令， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又时，，当时，， 画出，的图象，如下： 故时，有两个不同的实数解. 11．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 12．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 【解】（1）因为，所以， 则， 因为是函数的极值点， 所以，解得， 当时，，， 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，， 要证，即证， 即证，只需证， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 综上，在上恒成立. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 上海卷高考数学第19题（解答题） 溯源 考点 3年考题 考情分析 函数与导数综合 2025年第18题 （1）利用导数单调性解不等式；（2）函数的极值求参数 2024年第17题 （1）对数函数的图形和性质；（2）与数列交汇 2023年第17题 （1）奇偶性；（2）二次函数零点的分布 预测 1. 将是压轴题或次压轴题（通常为第20或21题），分值在18分左右，具有极高的区分度。 2. 将进一步摒弃“求导、列表、得结论”的机械步骤，转向对函数本质性质（单调性、极值、零点）、函数结构分析、参数影响讨论的深度考查。 3. 题目背景可能源于高等数学中的简单思想（如凹凸性、极限思想），但解答完全限定在高中导数和函数知识范围内，考查“化归”能力。 4.与数列、不等式、解析几何、三角函数的结合将更加自然和深刻，体现知识的整体性。 备考核心 1. 重新审视函数单调性、极值、最值、零点的定义，理解导数作为工具如何刻画这些性质。这是应对一切创新题的根本。 2. 建立“解题工具箱”：将函数与导数的常见问题（恒成立、零点、不等式证明、求最值）与对应方法（分离参数、分类讨论、数形结合、构造函数、放缩）形成清晰的映射，并理解每种方法的适用场景和局限性。3.压轴题解答过程长，逻辑环环相扣。平时练习要规范书写，每一步变形、每一次分类、每一个结论都要有充分的理由支撑，训练严谨的逻辑表达能力。 4.可以了解一些简单的微积分背景知识，虽然解题时不能直接使用，但能提升对问题本质的理解，提供更高视角的洞察。 考点1 指数函数的综合 【典例1】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点2 对数函数的综合 【典例2】（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【变式1】（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【变式2】（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 考点3 函数、方程与不等式的简单综合 【典例3】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【变式1】（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【变式2】（2026·上海闵行·月考）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 考点4 利用导数研究函数的单调性 【典例4】（2026·浙江嘉兴·月考）已知函数 ( 为实常数). (1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式; (2)设 ， 若函数 在区间上是增函数， 求实数的取值范围. 【变式1】已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【变式2】（25-26高三上·上海·月考）已知函数，其中. (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 考点5 利用导数研究函数的极值 【典例5】已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； (2)写出当时函数的单调区间； 【变式1】已知函数； (1)求函数在处的切线方程； (2)函数（其中）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； 【变式2】已知． (1)若函数在处取到极值，求的值； (2)设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围． 考点6 利用导数研究函数的最值 【典例6】已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【变式1】（2026·上海静安·二模）已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 考点7 函数导数中创新问题 【典例7】（2025·上海崇明·一模）已知函数，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合． (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明：若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 1．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 2．（2026·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 3．（2026·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 4．（2026·江西宜春·月考）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)求函数的值域. (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 5．（2026·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 6．（2026·上海杨浦·一模）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 7．（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 8．（2026·上海杨浦·二模）已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 9．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 10．已知函数且为奇函数． (1)求的值； (2)若方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 11．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 12．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $