专题02 函数及其图象（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 函数及其图象（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 函数的概念 题型02 函数的解析式 题型03 自变量取值范围 题型04 平面直角坐标系 题型05 从函数图象获取信息 题型06 一次函数的概念 题型07 一次函数的性质 题型08 一次函数的图象 题型09 一次函数的实际应用 题型10 反比例函数的概念 题型11 反比例函数的图象 题型12 反比例函数的性质 题型13 K的几何意义 题型14 一次函数与反比例函数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 变量与函数的概念 1. 能准确区分常量与变量、自变量与函数；2. 掌握函数的定义，能判断两个变量是否构成函数关系；3. 会确定简单函数的自变量取值范围（整式、分式、二次根式型），会求函数值。 基础必考：多以选择题、填空题考查，常结合实际情境判断函数关系、求自变量取值范围（分式分母≠0、二次根式被开方数≥0 是高频易错点），也会在解答题中作为基础步骤出现。 函数的表示法 1. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解各自优缺点；2. 能根据实际问题列函数关系式，能从表格、图象中提取信息解决问题。 高频考点：常结合实际情境（行程、工程、销售问题）考查函数关系式的建立，图象信息题是中考热点，考查从图象中分析变量变化趋势、获取关键数据（如交点、拐点、最值）的能力。 平面直角坐标系 1. 掌握平面直角坐标系的构成，能根据坐标确定点的位置、根据点的位置写出坐标；2. 掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标规律；3. 会求平面内两点间的距离、点到坐标轴的距离。 基础必考题：多以选择题、填空题考查坐标特征、对称点坐标、坐标平移规律，常与函数图象、几何图形结合，是数形结合的基础。 一次函数的概念与图象 1. 理解一次函数（y=kx+b,k≠0）、正比例函数（y=kx,k≠0）的定义；2. 掌握一次函数的图象是一条直线，会用两点法画图象；3. 理解k、b对函数图象位置的影响（k决定增减性，b决定与 y 轴交点）。 核心必考：选择题、填空题、解答题均高频考查，重点考查k、b的符号与图象象限的对应关系、函数增减性的应用，是本章核心内容。 一次函数的性质与应用 1. 掌握一次函数的增减性（k>0时 y 随 x 增大而增大，k<0时 y 随 x 增大而减小）；2. 会用待定系数法求一次函数解析式；3. 能利用一次函数解决实际问题（方案选择、最值问题、行程 / 销售问题），理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。 中考压轴级考点：解答题高频考查，常结合实际情境考查待定系数法、函数性质、最值求解，同时考查一次函数与方程、不等式的综合应用，是数形结合思想的核心考查点。 反比例函数的概念与图象 1. 理解反比例函数（，也可表示为）的定义；2. 掌握反比例函数的图象是双曲线，会画图象；3. 理解k对图象位置的影响（k>0在一、三象限，k<0在二、四象限）。 高频考点：多以选择题、填空题考查概念、图象象限，常与一次函数结合考查图象共存问题，易错点为忽略k≠0的条件。 反比例函数的性质与应用 1. 掌握反比例函数的增减性（k>0时，在每个象限内 y 随 x 增大而减小；k<0时，在每个象限内 y 随 x 增大而增大）；2. 理解反比例函数中k的几何意义（过双曲线上任意一点作 x、y 轴垂线，所得矩形面积为∣k∣）；3. 会用待定系数法求解析式，解决实际应用问题。 核心考点：选择题、填空题、解答题均有考查，k的几何意义是高频易错点，常与一次函数、几何图形结合考查综合题，实际应用多结合反比例关系的实际情境。 函数的综合应用 1. 能综合运用一次函数、反比例函数的图象与性质解决问题；2. 掌握函数与方程、不等式、几何图形的综合应用；3. 能利用函数思想解决实际问题中的最值、方案选择等。 中考压轴题核心：多以解答题压轴形式出现，考查一次函数与反比例函数的综合、函数与几何的综合，是对本章知识的全面考查，重点考查数形结合、分类讨论思想。 知识点01 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 知识点02 函数的定义及表示方法 定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数的表示方法： 1.解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系（如 ）； 2.列表法：用表格列出自变量 与对应函数值 的关系（如表格中 取 1、2、3 时， 对应取 3、5、7）； 3.图象法：用平面直角坐标系中的点表示自变量 与函数值 的关系（每个点的坐标 对应一组 、 的值）。 函数自变量的取值范围： 使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： 1.分母不为 0（如 ，自变量 ）； 2.被开方数非负（如 ，自变量 ）； 3.结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 知识点03 平面直角坐标系 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（ 轴、 轴）上的点不属于任何一个象限。 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 知识点04 函数的图象 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 画函数图象的步骤： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 知识点05 一次函数 1. 一次函数 定义：一般地，形如 （、 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 2. 一次函数的图象 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 3. 一次函数的性质 当 时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 当 时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 4. 求一次函数的表达式 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 （）；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 知识点06反比例函数 1. 反比例函数 定义：一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 自变量取值范围：（分母不能为 0），函数值 。 2. 反比例函数的图象和性质 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴相交（因为 、）。 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 知识点07 实践探索 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 解题步骤： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 题型一 函数的概念 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数，本题考查了函数的定义． 【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义 综上，答案选A， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为___________．（填“冰的厚度”或“时间”） 【答案】时间 【分析】根据函数的定义，在冰的厚度随时间变化的过程中，时间是独立变化的量，因此是自变量． 本题主要考查自变量的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。熟记函数的概念是解题的关键． 【详解】在冰的厚度随时间变化的过程中，时间不断变化，冰的厚度随之变化，所以自变量是时间． 故答案为：时间． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，则表示是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项，当确定一个数值时，可以有个值与对应，不能表示是的函数，故A选项符合题意； B选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故B选项不符合题意； C选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故C选项不符合题意； D选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故D选项不符合题意． 故选A． 题型二 函数的解析式 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 【答案】 【分析】此题考查列函数关系式，根据“剩余油量现存油量流出油量”的等量关系列函数关系式即可． 【详解】解：根据题意得：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是． 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为_____． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据“付款总金额生态瓶基础工具包费用玻璃瓶的费用”列式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 【答案】(1) (2)至少需要烧水 (3)此时水温不适合冲泡海阳绿茶 【分析】此题考查了求函数解析式、求函数值和自变量的值等知识的应用，准确求出水温T与时间t之间的表达式是关键． （1）根据时间每增加两分钟水温增加求出水温T与时间t之间的表达式即可； （2）把代入（1）中的表达式即可求出答案； （3）求出时T的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，时间每增加两分钟水温增加，即时间每增加一分钟水温增加， 当时，得． ∴水温T与时间t之间的表达式为． （2）解：当时，即， 解得． 所以，至少需要烧水9min． （3）解：当时，． 所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶． 题型三 自变量取值范围 【典例1】（2026·江苏无锡·一模）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式分母不为0的性质，列不等式求解，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为0， ∴， 解得， 因此自变量的取值范围是． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴函数 中，自变量x的取值范围是． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）函数的自变量的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为零．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 题型四 平面直角坐标系 【典例1】（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将方程转化为一次函数经过第一、三、四象限，再根据二元一次方程的一个解是，即可解答． 【详解】解： ， ， 是一次函数， 、， 一次函数经过第一、三、四象限， 二元一次方程的一个解是， 点一定不在第二象限． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 题型五 从函数图象获取信息 【典例1】（2026·河南许昌·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲，乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D．当温度高于时，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多 【答案】D 【分析】通过图象获得信息，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，当温度小于时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度，温度大于时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，则A说法错误； 在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则B说法错误； 将时乙的饱和溶液降温至时，乙物质的溶解度会增大，乙从饱和溶液变为不饱和溶液，则C说法错误； 当温度高于时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多，则D说法正确； 故选：D． 【变式1】（2026·河南许昌·一模）图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【答案】D 【分析】根据时的取值可判断选项A；根据图象的变化形式可判断选项B、C，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，即可判断选项D． 【详解】解：由图象可得，当时，，故电阻的初始阻值不为，故选项A错误，不符合题意； 由图象可得，当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，当的阻值为，故选项B错误，不符合题意； 由图象可得，随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，，故，即定值电阻的阻值为，故选项D正确，符合题意． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上、小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（   ） A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意；     B. （米/分钟）， 即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 题型六 一次函数的概念 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，x的次数为2，不符合一次函数的定义； 选项B：，x的次数不为1，不符合一次函数的定义； 选项C：，符合一次函数的定义； 选项D：，x的次数不为1，不符合一次函数的定义； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、当时，不是一次函数； B、化为，是一次函数； C、分母中含有自变量，不是一次函数； D、自变量次数不是一次，不是一次函数； 故选：B． 题型七 一次函数的性质 【典例1】（25-26九年级下·河南郑州·月考）如果一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的增减性，准确掌握相关性质是解题的关键．根据一次函数的性质得到当y随着x的值增大而减小时，，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的值增大而减小， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·一模）已知一次函数，（，为常数，且）的图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（    ）． A．若，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则 C．若函数图象与轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则 【答案】C 【分析】根据函数的增减性可判断，则当时，图象过一二四象限；平移后与轴交点的纵坐标为，得到；函数图象与轴的交点坐标为，可得；平移后的解析式为，过原点可得，进一步得到，而． 【详解】解：对于A：∵图象经过点和点，其中且， ∴随的增大而减小， ∴， 当时，图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故A错误； 对于B：向上平移后得到，当时，， ∴新函数的图象与轴交点的纵坐标为，则， 解得，故B错误； 对于C：当时，，解得， ∵函数图象与轴交于正半轴， ∴，即，故C正确； 对于D：将函数图象向下平移个单位长度后得到， ∵新函数的图象经过原点， ∴，则， ∵， ∴，故D错误． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】一次函数一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此比较两点横坐标大小即可． 【详解】解： ， 一次项系数， y随x的增大而增大， ， ． 题型八 一次函数的图象 【典例1】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第一象限． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 题型九 一次函数的实际应用 【典例1】（2026·陕西·一模）陈阳在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境可以让细菌的繁殖速度变得非常缓慢，甚至失去活性”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，陈阳想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家长的陪同下做了一个实验：将新鲜的蔬菜放置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数．经观察发现，蔬菜上的菌落总数是天数（天）的一次函数，他记录的部分数据如下： 天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数 20 26 32 38 … (1)求出菌落总数与天数之间的函数关系式； (2)若蔬菜上的菌落总数达到50时就不能食用，那么7天后冰箱里的蔬菜能否食用？ 【答案】(1) (2)7天后冰箱里的蔬菜不能食用，理由见解析 【分析】（1）设菌落总数与天数之间的函数关系式为，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式中求出菌落总数，再与50比较判断，即可解题． 解题的关键在于结合表格数据利用待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】（1）解：设菌落总数与天数之间的函数关系式为， 结合表格数据可得， 解得， 菌落总数与天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 7天后冰箱里的蔬菜不能食用． 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 【答案】(1)甲步行的速度为米每分钟，乙骑车的速度为米每分钟，学校门口和操场的距离为米 (2) (3)，当乙到达学校门口时 【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离； （2）分别求得甲和乙的函数关系式，根据题意列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米每分钟， 乙骑车的速度为米每分钟， 学校门口和操场的距离为：米； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得：； （3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为． 【变式2】（2026·河南许昌·一模）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．杭州某科技公司目前已研制出A、B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为8万元，每台B种型号智能机器人制造成本为6万元，若售出4台A型智能机器人、5台B型智能机器人，可收入95.5万元；若售出2台A型智能机器人、6台B型智能机器人，可收入81万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的销售单价． (2)某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共50台的订单，且种型号智能机器人不多于35台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？ 【答案】(1)A、B两种型号的智能机器人的销售单价分别为12万元、9.5万元 (2)192.5万元 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买A型号智能机器人a台，利润为w，根据题意列出w与a的关系式，得出一次函数，由于，w随a的增大而增大，此时当时，w的值最大，代入即可求得． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得， ∴A、B两种型号的智能机器人的销售单价分别为12万元、9.5万元． （2）解：设购买A型号智能机器人a台，利润为w，根据题意得： ， ∵，w随a的增大而增大， ∴当时，w的值最大，最大值为， ∴该科技公司此笔订单最多可获利192.5万元． 题型十 反比例函数的概念 【典例1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级下·广东广州·月考）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数的定义：满足形式的函数是反比例函数，可知只有是反比例函数； 选项A、B、D不满足反比例函数的定义，不是反比例函数． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 题型十一 反比例函数的图象 【典例1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 题型十二 反比例函数的性质 【典例1】（2026·陕西·一模）已知反比例函数，当时，函数的最大值与最小值之差为3，则__________． 【答案】 【分析】根据推出在第四象限内，随的增大而增大，进而表示出当时，函数的最大值与最小值，结合函数的最大值与最小值之差为3，建立方程求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握反比例函数性质． 【详解】解：， 在第四象限，随的增大而增大， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值与最小值之差为3， ， 解得． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·月考）在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，结合x的取值范围，通过不等式变形求出y的取值范围． 【详解】∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， 又∵当时，，当时，， ∴当时，． 【变式2】（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质列出不等式组求解． 【详解】解：由得，，且， 根据反比例函数的性质得，双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∵，， ∴， 即， 解得． 题型十三 K的几何意义 【典例1】（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得直角三角形的面积为． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， ∴； 故选：D． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 【变式2】（25-26九年级下·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 题型十四 一次函数与反比例函数的综合 【典例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式 的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）求解，结合，，，再进一步求解即可. （3）不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵记的图象与轴的交点为， 当时，， ∴， ∵，， ∴. （3）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 【变式1】（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与坐标轴交于． (1)求值和反比例函数的解析式； (2)连接和，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数、反比例函数与几何综合等，数形结合是解答此题的关键． （1）根据是一次函数的点，代入求出，在根据是一次函数的点，代入求出即可求出反比例函数解析式； （2）根据点是一次函数与反比例函数的交点，联立求出点坐标，再根据一次函数的图象与轴交于，求出点坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入，解得：，即， ∴将代入，解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：如图，连接， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ∴联立和，即： ， 整理得：， 解得：，，即，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于， ∴当时，，即，， ∴ ． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题． （1）把代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求； （2）把代入一次函数，得到，再根据求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， ， 把代入反比例函数，得， 即； （2）解：把代入一次函数，得， 解得，即， 时，，即， ， 则的面积为； （3）解：根据图像，时x的取值范围为或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】将代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴， 解得 ． 2．过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将点代入正比例函数的解析式求得其坐标，设这个一次函数的表达式为，然后代入一次函数的表达式即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象过点， ∴， ∴， 设这个一次函数的表达式为，把，代入得， ，解得：， ∴这个一次函数的表达式为． 3．在一次函数中，当时，，则_______． 【答案】 【分析】把，代入解析式，进行求解即可. 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴. 4．点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据点在双曲线上求出k的值，再根据的特点找出符合条件的一组x、y的对应值即可．． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， 解得， ∵反比例函数中为定值， ∴即可， ∴点B的坐标可以是． 5．已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 7．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 8．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 9．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 10．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 12．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意． 故选：D． 13．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】(1)的坐标为，图见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 15．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润 种型号吉祥物利润 种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题知，， 解得； （2）解：购买种型号吉祥物的数量个， 则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ， 解得， 种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍． ， 解得， 即， 由题知，， 整理得， 随的增大而减小， 当时，的最大值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其图象（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 函数的概念 题型02 函数的解析式 题型03 自变量取值范围 题型04 平面直角坐标系 题型05 从函数图象获取信息 题型06 一次函数的概念 题型07 一次函数的性质 题型08 一次函数的图象 题型09 一次函数的实际应用 题型10 反比例函数的概念 题型11 反比例函数的图象 题型12 反比例函数的性质 题型13 K的几何意义 题型14 一次函数与反比例函数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 变量与函数的概念 1. 能准确区分常量与变量、自变量与函数；2. 掌握函数的定义，能判断两个变量是否构成函数关系；3. 会确定简单函数的自变量取值范围（整式、分式、二次根式型），会求函数值。 基础必考：多以选择题、填空题考查，常结合实际情境判断函数关系、求自变量取值范围（分式分母≠0、二次根式被开方数≥0 是高频易错点），也会在解答题中作为基础步骤出现。 函数的表示法 1. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解各自优缺点；2. 能根据实际问题列函数关系式，能从表格、图象中提取信息解决问题。 高频考点：常结合实际情境（行程、工程、销售问题）考查函数关系式的建立，图象信息题是中考热点，考查从图象中分析变量变化趋势、获取关键数据（如交点、拐点、最值）的能力。 平面直角坐标系 1. 掌握平面直角坐标系的构成，能根据坐标确定点的位置、根据点的位置写出坐标；2. 掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标规律；3. 会求平面内两点间的距离、点到坐标轴的距离。 基础必考题：多以选择题、填空题考查坐标特征、对称点坐标、坐标平移规律，常与函数图象、几何图形结合，是数形结合的基础。 一次函数的概念与图象 1. 理解一次函数（y=kx+b,k≠0）、正比例函数（y=kx,k≠0）的定义；2. 掌握一次函数的图象是一条直线，会用两点法画图象；3. 理解k、b对函数图象位置的影响（k决定增减性，b决定与 y 轴交点）。 核心必考：选择题、填空题、解答题均高频考查，重点考查k、b的符号与图象象限的对应关系、函数增减性的应用，是本章核心内容。 一次函数的性质与应用 1. 掌握一次函数的增减性（k>0时 y 随 x 增大而增大，k<0时 y 随 x 增大而减小）；2. 会用待定系数法求一次函数解析式；3. 能利用一次函数解决实际问题（方案选择、最值问题、行程 / 销售问题），理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。 中考压轴级考点：解答题高频考查，常结合实际情境考查待定系数法、函数性质、最值求解，同时考查一次函数与方程、不等式的综合应用，是数形结合思想的核心考查点。 反比例函数的概念与图象 1. 理解反比例函数（，也可表示为）的定义；2. 掌握反比例函数的图象是双曲线，会画图象；3. 理解k对图象位置的影响（k>0在一、三象限，k<0在二、四象限）。 高频考点：多以选择题、填空题考查概念、图象象限，常与一次函数结合考查图象共存问题，易错点为忽略k≠0的条件。 反比例函数的性质与应用 1. 掌握反比例函数的增减性（k>0时，在每个象限内 y 随 x 增大而减小；k<0时，在每个象限内 y 随 x 增大而增大）；2. 理解反比例函数中k的几何意义（过双曲线上任意一点作 x、y 轴垂线，所得矩形面积为∣k∣）；3. 会用待定系数法求解析式，解决实际应用问题。 核心考点：选择题、填空题、解答题均有考查，k的几何意义是高频易错点，常与一次函数、几何图形结合考查综合题，实际应用多结合反比例关系的实际情境。 函数的综合应用 1. 能综合运用一次函数、反比例函数的图象与性质解决问题；2. 掌握函数与方程、不等式、几何图形的综合应用；3. 能利用函数思想解决实际问题中的最值、方案选择等。 中考压轴题核心：多以解答题压轴形式出现，考查一次函数与反比例函数的综合、函数与几何的综合，是对本章知识的全面考查，重点考查数形结合、分类讨论思想。 知识点01 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 知识点02 函数的定义及表示方法 定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数的表示方法： 1.解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系（如 ）； 2.列表法：用表格列出自变量 与对应函数值 的关系（如表格中 取 1、2、3 时， 对应取 3、5、7）； 3.图象法：用平面直角坐标系中的点表示自变量 与函数值 的关系（每个点的坐标 对应一组 、 的值）。 函数自变量的取值范围： 使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： 1.分母不为 0（如 ，自变量 ）； 2.被开方数非负（如 ，自变量 ）； 3.结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 知识点03 平面直角坐标系 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（ 轴、 轴）上的点不属于任何一个象限。 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 知识点04 函数的图象 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 画函数图象的步骤： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 知识点05 一次函数 1. 一次函数 定义：一般地，形如 （、 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 2. 一次函数的图象 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 3. 一次函数的性质 当 时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 当 时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 4. 求一次函数的表达式 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 （）；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 知识点06反比例函数 1. 反比例函数 定义：一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 自变量取值范围：（分母不能为 0），函数值 。 2. 反比例函数的图象和性质 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴相交（因为 、）。 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 知识点07 实践探索 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 解题步骤： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 题型一 函数的概念 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为___________．（填“冰的厚度”或“时间”） 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二 函数的解析式 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为_____． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 题型三 自变量取值范围 【典例1】（2026·江苏无锡·一模）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）函数的自变量的取值范围为_____． 题型四 平面直角坐标系 【典例1】（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 题型五 从函数图象获取信息 【典例1】（2026·河南许昌·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲，乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D．当温度高于时，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多 【变式1】（2026·河南许昌·一模）图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上、小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（   ） A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟 题型六 一次函数的概念 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 题型七 一次函数的性质 【典例1】（25-26九年级下·河南郑州·月考）如果一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是______． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·一模）已知一次函数，（，为常数，且）的图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（    ）． A．若，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则 C．若函数图象与轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 题型八 一次函数的图象 【典例1】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型九 一次函数的实际应用 【典例1】（2026·陕西·一模）陈阳在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境可以让细菌的繁殖速度变得非常缓慢，甚至失去活性”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，陈阳想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家长的陪同下做了一个实验：将新鲜的蔬菜放置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数．经观察发现，蔬菜上的菌落总数是天数（天）的一次函数，他记录的部分数据如下： 天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数 20 26 32 38 … (1)求出菌落总数与天数之间的函数关系式； (2)若蔬菜上的菌落总数达到50时就不能食用，那么7天后冰箱里的蔬菜能否食用？ 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 【变式2】（2026·河南许昌·一模）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．杭州某科技公司目前已研制出A、B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为8万元，每台B种型号智能机器人制造成本为6万元，若售出4台A型智能机器人、5台B型智能机器人，可收入95.5万元；若售出2台A型智能机器人、6台B型智能机器人，可收入81万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的销售单价． (2)某物流公司与该科技公司签订了一笔购买这两种型号智能机器人共50台的订单，且种型号智能机器人不多于35台，求该科技公司此笔订单最多可获利多少万元？ 题型十 反比例函数的概念 【典例1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【变式1】（25-26九年级下·广东广州·月考）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 题型十一 反比例函数的图象 【典例1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 题型十二 反比例函数的性质 【典例1】（2026·陕西·一模）已知反比例函数，当时，函数的最大值与最小值之差为3，则__________． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·月考）在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 【变式2】（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 题型十三 K的几何意义 【典例1】（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【变式2】（25-26九年级下·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 题型十四 一次函数与反比例函数的综合 【典例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式 的解集 ． 【变式1】（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与坐标轴交于． (1)求值和反比例函数的解析式； (2)连接和，求的面积． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)直接写出时x的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．在一次函数中，当时，，则_______． 4．点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是_____（写出一个即可）． 5．已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为_____． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 8．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 10．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A． B． C． D． 12．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 15．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $