精品解析：北京中学2025-2026学年第二学期3月学情调研高二数学试卷

2025-2026学年第二学期3月学情调研 高二数学试卷 2026.4 一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 计算：（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式计算可得结果. 【详解】. 故选：D 2. 二项式的展开式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式， . 故选：B 3. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 4. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ） A. 75 B. 150 C. 300 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，共有种分组方法，再分配到上午和下午，共有种分配方法. 【详解】解：共有(种)， 故选：C . 5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 6. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理，分别赋值和即可解得. 【详解】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 8. 已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数在区间上单调递增 C. ，对于 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定图象，求出函数的单调区间及极值、最值情况，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，当时，；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 对于A，是函数的唯一极值点，且为极大值点，A错误； 对于B，，函数在区间上单调递减，B错误； 对于C，，函数值域为，因此不存在， 使得对于，C错误； 对于D，由选项C知，函数值域为，，D正确. 故选：D 9. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为（ ） A. 4.5cm B. 5cm C. 5.5cm D. 6cm 【答案】D 【解析】 【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值. 【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，， ， 于是，递减；，递增， 是极小值点，于是在，只可能使得最大. 故选：D 10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解. 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 的展开式中常数项是____________． 【答案】 【解析】 【分析】求得二项展开式通项，结合通项确定的取值，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项为， 令，可得展开式中的常数项为. 故答案为：. 12. 人排成一排.其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有__________种． 【答案】24. 【解析】 【详解】分析：由题意结合排列组合的方法和计算公式整理计算即可求得最终结果. 详解：将甲乙捆绑后排序，有种方法， 余下的丙丁戊三人排序，有种方法， 甲乙均不与丙相邻，则甲乙插空的方法有2种， 结合乘法原理可知满足题意的排列方法有：种. 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 13. 一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求前三次中每一次都没有摸到红球的概率，进而得前三次均未摸到红球的概率，利用对立事件即可求得前三次至少有一次摸到红球的概率. 【详解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为， 第二次没有摸到红球概率为，第三次没有摸到红球的概率为， 所以前三次均未摸到红球的概率为， 所以前三次至少有一次摸到红球的概率为. 故答案为：. 14. 对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可得，在定义域内单调递减，在定义域内单调递增，分析即可得一个满足条件的函数. 【详解】取函数， 则， 所以，满足题意. 所以一个满足条件的函数. 故答案：（答案不唯一） 15. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数. 则第10行共有___________个奇数；第100行共有___________个奇数. 【答案】 ①. 4 ②. 8 【解析】 【分析】根据杨辉三角找到规律，即可得答案； 【详解】由杨辉三角可得如下表： 第1行，，而；第2行，个，而； 第3行，个，而； 第4行，个，而； 第5行，个，而； 第6行，个，而； 第7行，个，而；第8行，，而； 总结规律可发现，设n化为二进制后包含1的个数为k，则第n行中奇数的个数即为， 因为，所以第10行共有个奇数； ，所以第100行共有个奇数. 故答案为：4；8. 16. 已知函数，，给出下列四个结论： ①若，则； ②若函数，则在区间上单调递增； ③若关于x的方程在区间上无解，则； ④若点M，N分别在函数和的图象上，则一定存在M，N关于直线对称.其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①：求导分析的符号，的单调性，即可判断①是否正确；对于②：，求导分析单调性，即可判断②是否正确；对于③：若在上无解，在上无解，即可判断③是否正确；对于④：由于点，分别在函数和的图象上，设，，若点与点关于对称，则,，进而可得，即在上有解，即可判断④是否正确. 【详解】对于①：， 因为，所以当时，，单调递减， 若，则，所以，故①错误； 对于②：， ， 若，则，单调递增，故②正确； 对于③：若在上无解，则在上无解， 所以在上无解， 设，，， 所以在上单调递增， 所以，所以，所以或，故③错误； 对于④：因为点，分别在函数和的图象上，所以设，， 若点与点关于对称，则,， 又点在图象上，则，所以在上有解， 令，，， 所以在上，单调递增，所以， 又，所以方程在上有解，故④正确． 故答案为：②④． 三、解答题（共5题，满分70分） 17. 已知函数． （1）已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； （2）求的单调区间； （3）已知，直接写出函数的零点个数． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，设切点为，由导数几何意义得到方程，解得，得到切点坐标，求出切线方程； （2）先求定义域，令得，令得或，从而求出单调区间； （3）令，则或，从而可得零点个数. 【小问1详解】 由题意的， 而切线的倾斜角是0，则切线斜率为， 设切点为，则，解得， 故，故切点坐标为， 故该切线方程为； 【小问2详解】 在中，令，解得， 故定义域为， 由（1）知，，令得， 令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 令，则或， 当时，即，解得， 当，即，解得， 因为函数定义域为， 所以函数零点的个数为1. 18. 商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 （1）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； （2）若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； （3）若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可得； （2）得到随机变量的所有可能取值后计算相应概率，即可得其分布列，再借助期望公式计算即可得其数学期望； （3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得、、，即可得解. 【小问1详解】 设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件， 由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150， 所以； 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， ， ； 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以的数学期望为； 【小问3详解】 2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则， 故， 即、、中最大. 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 【答案】（1）， （2）直线的斜率与直线的斜率的比值为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过定点及短轴长列方程组求出，值，即可得到椭圆方程，进而求出离心率. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入的代数式中化简即可. 【小问1详解】 由短轴长为可得，. 由椭圆过点可得，，解得，所以. 所以椭圆的方程为. 离心率为. 【小问2详解】 设直线的方程为，设，. 因为，分别为椭圆的左、右顶点，所以，. 联立，整理得， ， 所以，. ，， 所以 . 当直线斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程解得. 不妨设，，则. 综上，直线的斜率与直线的斜率的比值为定值，定值为. 20. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的极值； （3）已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）时，无极值；时，的极大值为，无极小值； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存定理有零点，由三角形性质可比较. 【小问1详解】 当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问3详解】 由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 21. 对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列. （1）若：，1，，1，1，，写出，并求； （2）对于任意给定正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列的个数. 【答案】（1）：1，，1，1，，，； （2）不存在适合题意的数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用变换的定义即可； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【小问1详解】 由：，1，，1，1，， 可得：1，，1，1，，， ，1，1，，，1. ∴； 【小问2详解】 ∵， 由数列A为数列，所以， 对于数列，，…，中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有个，有个，则， 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 故不存在适合题意的数列； 【小问3详解】 首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ∵， ， ∴， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个， 所以数列的个数为个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期3月学情调研 高二数学试卷 2026.4 一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 计算：（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 2. 二项式的展开式为（ ） A B. C. D. 3. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 4. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ） A. 75 B. 150 C. 300 D. 600 5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 6. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 02 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数在区间上单调递增 C ，对于 D. 9. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为（ ） A. 4.5cm B. 5cm C. 5.5cm D. 6cm 10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 的展开式中常数项是____________． 12. 人排成一排.其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有__________种． 13. 一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 14. 对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______. 15. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数. 则第10行共有___________个奇数；第100行共有___________个奇数. 16. 已知函数，，给出下列四个结论： ①若，则； ②若函数，则在区间上单调递增； ③若关于x的方程在区间上无解，则； ④若点M，N分别在函数和的图象上，则一定存在M，N关于直线对称.其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共5题，满分70分） 17. 已知函数． （1）已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； （2）求的单调区间； （3）已知，直接写出函数的零点个数． 18. 商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 （1）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； （2）若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； （3）若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 20 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的极值； （3）已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 21. 对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列. （1）若：，1，，1，1，，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $