专题01 整式的乘法（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题01 整式的乘法（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的乘法运算 题型02 幂运算公式逆用 题型03 多项式乘多项式 题型04 平方差公式 题型05 完全平方公式 题型06 乘法公式变形 题型07 乘法公式的应用 题型08 整式乘法与几何图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的乘法运算 能熟练运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则进行准确计算，并理解其推导过程。 基础必考点，常以选择题、填空题形式直接考查法则应用。易错点在于混淆不同运算法则（如将幂的乘方与同底数幂相乘混淆）以及符号处理不当（尤其在负数的幂运算中）。 单项式乘单项式 能准确进行单项式与单项式的乘法和除法运算，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘除的法则。 高频基础题，是后续复杂运算的基石。易错点在于系数计算错误、遗漏字母因数、指数运算规则应用不熟。 单项式乘多项式 能熟练运用乘法分配律将单项式与多项式相乘，做到不重不漏，并能将结果化为最简形式。 核心连接点，常作为多项式乘多项式及化简求值题的中间步骤单独命题。易错点是分配时漏乘多项式中的某一项或符号出错。 多项式乘多项式 能熟练运用多项式乘法法则（如逐项相乘）或公式（如平方差、完全平方公式的拓展）进行计算，并理解其几何背景。 期中考试重点与难点，常与乘法公式结合，出现在计算题、化简求值题及规律探究题中。命题趋势是增加实际背景或图形验证，考查对算理的理解。易错点是项数较多时合并同类项出现遗漏或错误。 乘法公式 能准确记忆并灵活运用平方差公式和完全平方公式进行简便计算、代数式变形及数值估算。 拉分关键点，是整式乘法的核心工具。命题规律是正向应用与逆向变形并重，常出现在化简求值、图形面积表示、规律探究等综合题型中。易错点是对公式结构特征识别不清（如找不准“a”和“b”），以及完全平方公式中间项漏乘2。 整式的混合运算与化简求值 能综合运用以上所有法则和公式，遵循运算顺序，进行整式的混合运算，并能先化简再代入求值。 综合能力考查点，是期中考试的压轴题型之一。命题趋势是与方程、不等式、函数初步知识结合，或设计多步骤、有技巧的化简。易错点在于运算顺序混乱、公式运用不当、代入数值时未注意括号或符号。 知识点01 同底数幂的乘法 通用前提：所有法则均在m、n为正整数的前提下成立，运算时遵循“先乘方，后乘法，最后合并同类项”的顺序，底数为负数、分数时，需加括号保证运算准确性。 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 公式： 示例：×===-2048 （注意：底数为负数时，结果的符号由指数奇偶性决定） 易错点：底数不同盲目相加：⋅不能合并，因为底数a和b不同。 指数相加变相乘：误将 ⋅算作（混淆为幂的乘方）。 忽略底数为负数时的括号：计算 ×时，若写成 ×会导致符号和指数运算顺序错误。 知识点02 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式： 示例： 易错点：指数相乘变相加：误将  算作（混淆为同底数幂乘法）。 底数连带乘方：误将算作 （正确应为，系数2也需要乘方）。 知识点03 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式： 推广：（多个因式同样适用） 示例： 易错点： 知识点04 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同它的指数一起作为积的一个因式 示例： 易错点：系数计算错误：尤其是分数、负数系数的乘法。 遗漏字母或指数：忘记将某个独有的字母（如示例中的c）及其指数写入结果。 同底数幂指数运算错误：再次混淆加法与乘法。 知识点05 单项式乘多项式 法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 公式： 示例： 易错点： 知识点06 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项 公式： 示例： 易错点： 项项相乘时遗漏组合：确保“每个”项都乘到“另一个”多项式的“每一项”。 合并同类项时出错：项数较多时，容易看漏或算错系数。 未按降幂排列结果：最终结果最好按字母的降幂排列，更规范。 知识点07 平方差公式 公式内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 公式： 核心特征：公式左边为“二项式×二项式”，一组项完全相同，一组项互为相反数； 右边为相同项平方减去相反项平方，只有两项，无中间项。 示例： 易错点： 知识点8 完全平方公式 公式内容：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 公式：和的完全平方 ；差的完全平方 核心特征：左边为“二项式的平方”，右边为三项式，遵循“首平方，尾平方，积的2倍在中央” 示例： 易错点： 题型一 幂的乘法运算 解｜题｜技｜巧 做题先判定运算类型，严格区分三大幂运算核心逻辑， 同底数幂乘法锁定“底数不变，指数相加”， 幂的乘方锁定“底数不变，指数相乘”， 积的乘方锁定“各因式分别乘方再相乘”； 遇到底数含负数、分数，先标注符号， 再按对应法则分步运算，不跳步、不凭直觉做题； 遇到混合运算，先拆分每一步运算，对应单一法则逐一计算 易｜错｜点｜拨 极易混淆指数相加与相乘，把同底数幂乘法错按幂的乘方计算； 忽略单独字母的指数为1，导致指数计算漏项； 底数互为相反数时，未根据指数奇偶性统一底数，直接运算出现符号错误； 多重幂运算时，颠倒运算顺序，先算乘法再算乘方 【典例1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）计算下列各式： (1)； (2) 题型二 幂运算公式逆用 解｜题｜技｜巧 看到指数为和、积的形式，或底数不同但指数相同的式子，优先考虑逆用幂运算法则； 逆用同底数幂乘法，拆分大指数为两个指数和的形式； 逆用幂的乘方，统一指数方便比较大小； 逆用积的乘方，凑整简化计算，核心思路是“逆向拆解，凑出已知条件或整十整百数” 易｜错｜点｜拨 无法识别可逆用的式子特征，仍按正向运算硬算，思路卡顿； 逆用公式时混淆法则，拆分指数错误； 凑整过程中忽略符号，导致结果偏差； 逆用后未按常规运算顺序检查，出现计算失误 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 题型三 多项式乘多项式 解｜题｜技｜巧 按固定顺序逐项相乘，用第一个多项式的第一项依次乘第二个多项式的所有项，再用第一个多项式的第二项依次乘第二个多项式的所有项，不跳步、不交叉乱乘； 运算前预判未合并同类项前的项数，两个二项式相乘预判为4项，二项式乘三项式预判为6项，运算后核对项数，避免漏乘 易｜错｜点｜拨 跳步运算导致漏乘某一项，项数不匹配； 项的符号判断失误，同号得正、异号得负规则混淆； 合并同类项时，误将非同类项合并； 常数项之间的乘积容易遗漏，影响最终结果 【典例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）某超市新进一批进货价为30元/个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元/个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨1元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨a元． (1)试用含a的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为______元． ②涨价后，每个玩具的利润为______元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为______个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到500元，经理甲说“在原销售价40元/个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 题型四 平方差公式 解｜题｜技｜巧 先判定式子结构，找准“相同项”和“相反项”，正确套用平方差公式； 把相同项看作公式里的a，相反项看作公式里的b，直接代入a² - b²计算，无需逐项展开； 遇到底数变形的式子，先调整项的顺序，统一结构再套公式 易｜错｜点｜拨 结构判断失误，无相同项和相反项的多项式乘法强行套用公式； 系数未整体看作a或b的一部分，仅对字母部分平方，漏算系数平方； 平方顺序颠倒，写成相反项平方减相同项平方； 误将结果写成三项式，多添加中间项。 【典例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）______． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【变式3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 题型五 完全平方公式 解｜题｜技｜巧 牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号随二项式中间符号”的口诀 先确定首项和尾项，计算平方项，再计算两倍积，最后核对符号； 含系数的项整体看作首项或尾项，整体平方不拆分系数； 遇到负项的完全平方，可先转化为和的完全平方，再计算，降低符号失误概率。 易｜错｜点｜拨 最易漏乘两倍积，结果写成两项，缺失中间项； 中间项符号判断错误，差的完全平方写成正号； 混淆完全平方与平方和，忽略中间两倍积； 系数未整体平方，仅对字母部分运算，系数结果错误 【典例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： 【变式3】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 题型六 乘法公式变形 解｜题｜技｜巧 掌握完全平方公式的常见变形，利用a²+b²、(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系转换； 已知其中两个式子的值，通过变形公式推导第三个式子的值，核心思路是“整体代换”，不单独求解a、b的具体数值； 遇到复杂式子，先拆分重组，凑出公式标准形式再运算 易｜错｜点｜拨 不熟悉公式变形，无法找到等量关系，思路卡顿；整体代换时符号出错，变形公式推导错误； 忽略已知条件限制，强行求解单个字母值，陷入计算死胡同； 变形后运算步骤出错，结果错误。 【典例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（25-26九年级下·河北沧州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． 题型七 乘法公式的应用 解｜题｜技｜巧 根据乘法公式的结构特征，对比已知式子与标准公式，确定参数对应的位置； 明确乘法公式形式，建立关于参数的方程，求解后验证是否符合乘法公式结构，不遗漏解 易｜错｜点｜拨 只考虑一种完全平方形式，遗漏参数的另一个解； 参数与两倍积系数对应错误，方程列写失误； 忽略参数的取值范围，得出不符合题意的解； 无法识别变形的乘法公式，找不到解题突破口 【典例1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．12 B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【变式2】阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 题型八 整式乘法与几何图形 解｜题｜技｜巧 先结合几何图形，提取边长、面积相关代数式，明确图形整体与部分的数量关系； 根据面积公式，列出整式乘法或乘法公式对应的算式； 利用公式化简算式，推导图形边长、面积的表达式或数值； 结合几何图形实际意义，验证结果合理性，边长、面积需为正数 易｜错｜点｜拨 图形与代数式对应错误，边长表达式列写失误； 面积公式混淆，误用平方差或完全平方公式； 化简算式时出现计算错误，影响几何量求解；忽略几何实际意义，得出负数结果未排除 【典例1】观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（   ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）   A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．计算：＝______． 4．计算： 5．计算； (1)； (2)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1． 计算：______． 2．已知，则的值是______． 3．【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 4．阳光小区前有一块游乐场和一个葡萄园，所占地的形状都是边长为的正方形．今年重新改建，扩大了游乐场，缩小了葡萄园扩大后的游乐场地仍为正方形，边长比原来扩大了3m；缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2m． (1)扩大后的游乐场比缩小后的葡萄园的面积多多少？ (2)当时，扩大后的游乐场比缩小后的葡萄园的面积多多少？ 5．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 2．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 3．观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）． 4．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：                                 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 5．我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． (1)填空：已知，，则______． (2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．                                          图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的乘法运算 题型02 幂运算公式逆用 题型03 多项式乘多项式 题型04 平方差公式 题型05 完全平方公式 题型06 乘法公式变形 题型07 乘法公式的应用 题型08 整式乘法与几何图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的乘法运算 能熟练运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则进行准确计算，并理解其推导过程。 基础必考点，常以选择题、填空题形式直接考查法则应用。易错点在于混淆不同运算法则（如将幂的乘方与同底数幂相乘混淆）以及符号处理不当（尤其在负数的幂运算中）。 单项式乘单项式 能准确进行单项式与单项式的乘法和除法运算，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘除的法则。 高频基础题，是后续复杂运算的基石。易错点在于系数计算错误、遗漏字母因数、指数运算规则应用不熟。 单项式乘多项式 能熟练运用乘法分配律将单项式与多项式相乘，做到不重不漏，并能将结果化为最简形式。 核心连接点，常作为多项式乘多项式及化简求值题的中间步骤单独命题。易错点是分配时漏乘多项式中的某一项或符号出错。 多项式乘多项式 能熟练运用多项式乘法法则（如逐项相乘）或公式（如平方差、完全平方公式的拓展）进行计算，并理解其几何背景。 期中考试重点与难点，常与乘法公式结合，出现在计算题、化简求值题及规律探究题中。命题趋势是增加实际背景或图形验证，考查对算理的理解。易错点是项数较多时合并同类项出现遗漏或错误。 乘法公式 能准确记忆并灵活运用平方差公式和完全平方公式进行简便计算、代数式变形及数值估算。 拉分关键点，是整式乘法的核心工具。命题规律是正向应用与逆向变形并重，常出现在化简求值、图形面积表示、规律探究等综合题型中。易错点是对公式结构特征识别不清（如找不准“a”和“b”），以及完全平方公式中间项漏乘2。 整式的混合运算与化简求值 能综合运用以上所有法则和公式，遵循运算顺序，进行整式的混合运算，并能先化简再代入求值。 综合能力考查点，是期中考试的压轴题型之一。命题趋势是与方程、不等式、函数初步知识结合，或设计多步骤、有技巧的化简。易错点在于运算顺序混乱、公式运用不当、代入数值时未注意括号或符号。 知识点01 同底数幂的乘法 通用前提：所有法则均在m、n为正整数的前提下成立，运算时遵循“先乘方，后乘法，最后合并同类项”的顺序，底数为负数、分数时，需加括号保证运算准确性。 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 公式： 示例：×===-2048 （注意：底数为负数时，结果的符号由指数奇偶性决定） 易错点：底数不同盲目相加：⋅不能合并，因为底数a和b不同。 指数相加变相乘：误将 ⋅算作（混淆为幂的乘方）。 忽略底数为负数时的括号：计算 ×时，若写成 ×会导致符号和指数运算顺序错误。 知识点02 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式： 示例： 易错点：指数相乘变相加：误将  算作（混淆为同底数幂乘法）。 底数连带乘方：误将算作 （正确应为，系数2也需要乘方）。 知识点03 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式： 推广：（多个因式同样适用） 示例： 易错点： 知识点04 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同它的指数一起作为积的一个因式 示例： 易错点：系数计算错误：尤其是分数、负数系数的乘法。 遗漏字母或指数：忘记将某个独有的字母（如示例中的c）及其指数写入结果。 同底数幂指数运算错误：再次混淆加法与乘法。 知识点05 单项式乘多项式 法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 公式： 示例： 易错点： 知识点06 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项 公式： 示例： 易错点： 项项相乘时遗漏组合：确保“每个”项都乘到“另一个”多项式的“每一项”。 合并同类项时出错：项数较多时，容易看漏或算错系数。 未按降幂排列结果：最终结果最好按字母的降幂排列，更规范。 知识点07 平方差公式 公式内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 公式： 核心特征：公式左边为“二项式×二项式”，一组项完全相同，一组项互为相反数； 右边为相同项平方减去相反项平方，只有两项，无中间项。 示例： 易错点： 知识点8 完全平方公式 公式内容：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 公式：和的完全平方 ；差的完全平方 核心特征：左边为“二项式的平方”，右边为三项式，遵循“首平方，尾平方，积的2倍在中央” 示例： 易错点： 题型一 幂的乘法运算 解｜题｜技｜巧 做题先判定运算类型，严格区分三大幂运算核心逻辑， 同底数幂乘法锁定“底数不变，指数相加”， 幂的乘方锁定“底数不变，指数相乘”， 积的乘方锁定“各因式分别乘方再相乘”； 遇到底数含负数、分数，先标注符号， 再按对应法则分步运算，不跳步、不凭直觉做题； 遇到混合运算，先拆分每一步运算，对应单一法则逐一计算 易｜错｜点｜拨 极易混淆指数相加与相乘，把同底数幂乘法错按幂的乘方计算； 忽略单独字母的指数为1，导致指数计算漏项； 底数互为相反数时，未根据指数奇偶性统一底数，直接运算出现符号错误； 多重幂运算时，颠倒运算顺序，先算乘法再算乘方 【典例1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：__________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，进行求解即可． 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方逆运算，将 转化为 ，再根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂运算法则、幂的乘方运算法则及积的乘方运算法则分别计算，再合并即可； （2）根据多项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 题型二 幂运算公式逆用 解｜题｜技｜巧 看到指数为和、积的形式，或底数不同但指数相同的式子，优先考虑逆用幂运算法则； 逆用同底数幂乘法，拆分大指数为两个指数和的形式； 逆用幂的乘方，统一指数方便比较大小； 逆用积的乘方，凑整简化计算，核心思路是“逆向拆解，凑出已知条件或整十整百数” 易｜错｜点｜拨 无法识别可逆用的式子特征，仍按正向运算硬算，思路卡顿； 逆用公式时混淆法则，拆分指数错误； 凑整过程中忽略符号，导致结果偏差； 逆用后未按常规运算顺序检查，出现计算失误 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【详解】解：，， ， ， ． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【解析】解：∵， 又∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； ∵， ， 又∵， ∴， 即，故丙正确； 综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【点睛】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 题型三 多项式乘多项式 解｜题｜技｜巧 按固定顺序逐项相乘，用第一个多项式的第一项依次乘第二个多项式的所有项，再用第一个多项式的第二项依次乘第二个多项式的所有项，不跳步、不交叉乱乘； 运算前预判未合并同类项前的项数，两个二项式相乘预判为4项，二项式乘三项式预判为6项，运算后核对项数，避免漏乘 易｜错｜点｜拨 跳步运算导致漏乘某一项，项数不匹配； 项的符号判断失误，同号得正、异号得负规则混淆； 合并同类项时，误将非同类项合并； 常数项之间的乘积容易遗漏，影响最终结果 【典例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）某超市新进一批进货价为30元/个的玩具，超市经理将该玩具的销售价定为40元/个进行销售，平均每月能售出60个．根据当地市场调研，发现当销售单价每上涨1元时，其销售量就将减少6个．设该玩具每个的销售价上涨a元． (1)试用含a的代数式填空． ①涨价后，每个玩具的销售价为______元． ②涨价后，每个玩具的利润为______元． ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为______个． (2)如果超市销售该玩具，要想销售利润平均每月达到500元，经理甲说“在原销售价40元/个的基础上再上涨5元，可以完成任务”，经理乙说“在原销售价的基础上提高也可以”，试判断经理甲与经理乙的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③； (2)故经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确，理由见详解． 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）已知玩具的原销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨a元，根据利润为涨价后的价格减去进货价，计算求解即可； （2）根据总利润为单个利润与销售量的乘积，列出月销售利润的方程为元，分别计算甲经理上涨5元和乙经理提价后的月销售利润，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：原来玩具得销售价定为40元，每个玩具的销售价上涨a元， 则①涨价后，每个玩具的销售价为：元， ②涨价后，每个玩具的利润为：元， ③涨价后，超市该玩具平均每月的销售量为：个， 故答案为：①，②，③； （2）经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确，理由如下： 根据题意可得，超市该玩具的月销售利润为元， 当时，（元），， 当时，（元），， 故经理甲的说法不正确，经理乙的说法正确． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 题型四 平方差公式 解｜题｜技｜巧 先判定式子结构，找准“相同项”和“相反项”，正确套用平方差公式； 把相同项看作公式里的a，相反项看作公式里的b，直接代入a² - b²计算，无需逐项展开； 遇到底数变形的式子，先调整项的顺序，统一结构再套公式 易｜错｜点｜拨 结构判断失误，无相同项和相反项的多项式乘法强行套用公式； 系数未整体看作a或b的一部分，仅对字母部分平方，漏算系数平方； 平方顺序颠倒，写成相反项平方减相同项平方； 误将结果写成三项式，多添加中间项。 【典例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）______． 【答案】 【详解】解： ， 则原式 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：是一个平方差的形式， ， “”里可以填， 故选：D． 【变式2】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【解析】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴设“幸福数”为（n为整数）， ， ∴“幸福数”是8的倍数， 观察各选项，是8的倍数的只有512， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【答案】 【分析】先把带分数拆成整数与分数的差或和，再利用平方差公式简化运算． 【详解】解：原式 ． 题型五 完全平方公式 解｜题｜技｜巧 牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号随二项式中间符号”的口诀 先确定首项和尾项，计算平方项，再计算两倍积，最后核对符号； 含系数的项整体看作首项或尾项，整体平方不拆分系数； 遇到负项的完全平方，可先转化为和的完全平方，再计算，降低符号失误概率。 易｜错｜点｜拨 最易漏乘两倍积，结果写成两项，缺失中间项； 中间项符号判断错误，差的完全平方写成正号； 混淆完全平方与平方和，忽略中间两倍积； 系数未整体平方，仅对字母部分运算，系数结果错误 【典例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）将变形为，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，先观察式子特征，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行运算，即可作答． 【详解】解： 【变式3】（2023·吉林白城·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 题型六 乘法公式变形 解｜题｜技｜巧 掌握完全平方公式的常见变形，利用a²+b²、(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系转换； 已知其中两个式子的值，通过变形公式推导第三个式子的值，核心思路是“整体代换”，不单独求解a、b的具体数值； 遇到复杂式子，先拆分重组，凑出公式标准形式再运算 易｜错｜点｜拨 不熟悉公式变形，无法找到等量关系，思路卡顿；整体代换时符号出错，变形公式推导错误； 忽略已知条件限制，强行求解单个字母值，陷入计算死胡同； 变形后运算步骤出错，结果错误。 【典例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 【变式1】（25-26九年级下·河北沧州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【解析】（1）解：根据题意可知：方法1：；方法2；． （2）解：根据（1）问可知：； （3）解：∵，，， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 题型七 乘法公式的应用 解｜题｜技｜巧 根据乘法公式的结构特征，对比已知式子与标准公式，确定参数对应的位置； 明确乘法公式形式，建立关于参数的方程，求解后验证是否符合乘法公式结构，不遗漏解 易｜错｜点｜拨 只考虑一种完全平方形式，遗漏参数的另一个解； 参数与两倍积系数对应错误，方程列写失误； 忽略参数的取值范围，得出不符合题意的解； 无法识别变形的乘法公式，找不到解题突破口 【典例1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：完全平方公式为， 又，，且是完全平方式， 中间项， ． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1) (2) (3)有最小值，值为 【解析】（1）解：不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 是完全平方式， 故答案为：； （2）解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， 有最小值，最小值是. 【变式2】阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【解析】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 题型八 整式乘法与几何图形 解｜题｜技｜巧 先结合几何图形，提取边长、面积相关代数式，明确图形整体与部分的数量关系； 根据面积公式，列出整式乘法或乘法公式对应的算式； 利用公式化简算式，推导图形边长、面积的表达式或数值； 结合几何图形实际意义，验证结果合理性，边长、面积需为正数 易｜错｜点｜拨 图形与代数式对应错误，边长表达式列写失误； 面积公式混淆，误用平方差或完全平方公式； 化简算式时出现计算错误，影响几何量求解；忽略几何实际意义，得出负数结果未排除 【典例1】观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】标记如下：    ∵， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4 ＝a2﹣2ab+b2． 故选：C． 【变式1】如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）   A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【解析】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边图形中阴影部分的面积，故可得，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意； 方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意； 方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意； 方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意， 故选：C． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方运算法则，逐一验证选项即可得到结果. 【详解】解：对于选项A：， ∴A错误， 对于选项B：， ∴B错误， 对于选项C：， ∴C正确， 对于选项D：， ∴D错误. 2．已知，则的值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故． 3．计算：＝______． 【答案】 【分析】根据：，（、为正整数）计算即可． 【详解】解：． 4．计算： 【答案】 【分析】先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项即可． 【详解】解： ． 5．计算； (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．计算：______． 【答案】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，分别对系数和字母进行乘方运算，再把所得的幂相乘即可． 【详解】解： ． 2．已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，对比等式两边对应项系数，得到关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 整理得， 对比对应项系数得：，， 解得：，， ． 3．【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 4．阳光小区前有一块游乐场和一个葡萄园，所占地的形状都是边长为的正方形．今年重新改建，扩大了游乐场，缩小了葡萄园扩大后的游乐场地仍为正方形，边长比原来扩大了3m；缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2m． (1)扩大后的游乐场比缩小后的葡萄园的面积多多少？ (2)当时，扩大后的游乐场比缩小后的葡萄园的面积多多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式，再用完全平方公式展开，合并同类项即可； （2）把字母的值代入（1）中的结果计算即可． 【详解】（1）解： （2）当时， 5．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 2．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有 ，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 3．观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先观察等式规律，得出从到的和为，再将原式变形，最后代入即可． 【详解】解： ， ． 4．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：                                 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴展开式中含项的系数是． 5．我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题． (1)填空：已知，，则______． (2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值． 小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．                                          图3 ③在②的结论下， 或9， 若，求的值． 【答案】(1)19 (2)①4，5，12；②或9；③ 【分析】（1）由可知，，代入已知条件，从而求得的值； （2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值； ③先求出，运用将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴， 即； （2）解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y， 根据每个圆圈上的三个数字之和相等， 可得：， 解得：， ∴两个空白“□”中，从左到右依次应填4，5， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， ∵每个圆圈上的三个数字之和为S， ∴， ∴得：， 即， 即， ∵所有填入的数字之和为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，S为整数， ∴或9； ③∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由②得或9， 当时，， ∴； 当时， ∴， 则是方程的两个根， ∵， ∴此情况不存在，舍去； ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $